抽屜原理例題

抽屜原理

抽屜原理又稱鴿巢原理，最先由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷明確地提出來的。因此，也

稱為狄利克雷原理。

原理1：如果把x+k（k2l）個元素放到x個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有2個或

2個以上的元素。

原理2:如果把mx+k（x>k21））個元素放到x個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有m+1

個或更多的元素。

例1：六年級有367名學(xué)生，①有沒有兩個學(xué)生的生日是同一天?②至少有多少名同學(xué)是

在同一個月出生？

［分析］①把一年的天數(shù)看成抽屜，把學(xué)生人數(shù)看成元素。一年最多有366天,把367

個元素放到366個抽屜中至少有一個抽屜中有兩個元素，就是至少有兩個學(xué)生的生日

是同一天。

②把一年的月份數(shù)看成抽屜，把學(xué)生數(shù)看成元素。一年有12個月，把367個元素放入

12個抽屜中,根據(jù)原理2可以求出：367+12=30……7,,即至少有31名同學(xué)是同一個

月出生。

解:①平年有365天，閏年有366天。把367名同學(xué)放入366個抽屜中，至少有一個抽

屜里有兩個人，因此肯定有兩個同學(xué)的生日是同一天。

②367+12=30（個）...73（名））30+1=31（名）

答:肯定有兩個同學(xué)在同一天出生；至少有31名同學(xué)在同一個月出生。

［溫馨提示］利用抽屜原理解題時要注意區(qū)分哪些是抽屜，哪些是元素，區(qū)分清楚后按

照①構(gòu)造抽屜，指出元素；②把元素放入（或取出）拍屜；③說明理由，得出結(jié)論。

練習(xí)一：

1.37只鴿子飛回6個鴿舍，至少有幾只鴿子飛回同一個鴿舍？

2.從一副撲克牌（去掉大小王）中任意取出14支牌，至少有兒支是同一個花色？至少

有幾支是同一個點數(shù)？

例2：夏令營組織2000名營員活動,其中有爬山、參觀博物館和到海灘游玩三個項目。

規(guī)定每人必須參加一項或兩項活動。那么至少有幾名營員參加的活動項目完全相同？

［分析］本題的抽屜不是那么明顯，因為問的是“至少有幾名營員參加的活動項目完全

相同”，所以應(yīng)該把活動項目當(dāng)成抽屜，營員當(dāng)成物品。營員數(shù)已經(jīng)有了，現(xiàn)在的問

題是應(yīng)當(dāng)搞清有多少個抽屜。因為“每人必須參加一項或兩項活動”，共有3項活動,

所以只參加一項活動的有3種情況，參加兩項活動的有爬山與參觀、爬山與海灘游玩、

參觀與海灘游玩3種情況，所以共有3+3=6（個）抽屜。

解:2000+6=333....2

333+1=334（件）

答:至少有334名營員參加的活動項目是相同的。

練習(xí)二:

1.五年級有47名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競賽，成績都是整數(shù)，滿分是100分。已知3名學(xué)

生的績在60分以下,其余學(xué)生的成績均在75-95分之間。問：至少有幾名學(xué)生的成績相

同？

2.把125本書分給五（2）班學(xué)生，如果其中至少有1人分到至少4本書，那么，這個班

最多有多少人？

3.五⑴班張老師在一次數(shù)學(xué)課上出了兩道題，規(guī)定每道題做對得2分，沒做得1分，

做錯得0分。張老師說可以肯定全班同學(xué)中至少有6名學(xué)生各題的得分都相同，那么，

這個班最少有多少人？

例3：一個袋內(nèi)有100個球，其中有紅球28個，綠球20個，黃球12個，藍(lán)球2。個，白

球10個，黑球10個,現(xiàn)在從袋中任意摸球出來，如果要使模出的球中，至少有15個

球的顏色相同，問至少要摸出幾個球才能保證滿足要求？

［分析］題目中有六種不同顏色球，其中黃球白球黑球都不到15個，紅球、綠球、藍(lán)球

多于15個。要保證15個司色球，只可能是紅、綠、藍(lán)三種球中的一種。做最壞打算,

先摸出的全是黃、白、黑球，那么把它們都摸完，即摸出10+10+12個后開始摸出有效

球。然而后面有三種顏色，為了保證一定能滿足條件，再次做最壞打算，只有余下的

三種球每種達(dá)到14個，再任意摸出一個，就有某種顏色球有15個，即再次摸出14X

3+1=43（個）。

解：10+10+12+14x3+1=75（個）答:至少要摸出75個球。

［溫馨提示］在解答抽屜原理問題時，除了兩個基木原理外，還要遵循“最不利原則”，

即做最壞打算。如摸球時,①需要摸出同色球，最不利的是盡量摸到不同色球還能保證

一定滿足條件，那么球的顏色數(shù)是抽屜;②需要摸出不同顏色球的最不利情況是老是摸

到同色球，那么每種顏色球的個數(shù)就是抽屜③要摸出某種顏色球時，最不利的情況是

摸完其他顏色球后，才能保證一定摸出需要的顏色球。

練習(xí)三：

1.有紅、黃、藍(lán)、白珠子各10粒，裝在一只袋子里，為了保證摸出的珠子有三粒顏色

相同，應(yīng)至少摸出幾粒？

2.在一個口袋里有10個黑球,6個白球,4個紅球，至少取出幾個球才能保證其中有白

球？

3.3.從一副撲克牌（沒有大小王）中，至少抽出多少張牌，才能保證至少有3張牌的花

色不同？

4.盒子里有白球12個，紅球15個，黃球10個，黑球18個，藍(lán)球9個。至少摸出多少

個球才能保證有11個球的顏色相同？

例4：有紅色、黑色、白色、綠色筷子各10根混放在起。讓小明閉上眼睛去拿。

①他一次至少拿幾根才能保證有兩雙同色的筷子?②至少拿幾根才能保證有兩雙筷

子?③至少拿兒根才能保證有兩雙不同色的筷子？

［分析］①要保證兩雙同色的筷子，就要把筷子的顏色數(shù)看作抽屜，使每種顏色模子都

有3根，再加上一根就可以了。②要保證有兩雙筷子，只考慮每雙筷子的顏色相司，不

考慮兩雙是否同色，要先把筷子的顏色數(shù)看成抽屜，每種顏色一根，再加上一根就有

了第一雙；此時，做最壞打算，某種顏色沒有，又拿一根是缺少的那種顏色，再取一

根就有了第二雙；如此反復(fù)，以后每取2根,就有了一雙。③要保證有兩雙不同顏色的

筷子,做最壞打算，拿出的都是同一種顏色，當(dāng)把某種顏色全部取完，就有了第一種顏

色的筷子，還需要另一雙余下顏色的筷子，不管是余下的哪種顏色，都有了兩雙不同顏

色的筷子，因此第二雙只要余下顏色筷子各一根，再加一根就可以了。

解:①（4-l）x4+l=13（根）

②4+1+2=7（根）

③10+3+1=14（根）

答:他一次拿13根才能保證有兩雙間色的筷子；②拿7根才能保證有兩雙筷子；③拿

14根才能保證有兩雙不同色的筷子。

［溫馨提示］取筷子（或手套）的抽屜問題一定要認(rèn)真分析題目的要求，一般有以下三

種要求:①相同顏色的筷子，就要以顏色數(shù)做抽屜，用顏色數(shù)x（雙數(shù)X2-D+1解答；②

不分顏色的幾雙筷子，以顏色做抽屜，每種顏色一根，再加一根就有一雙筷子，以后每

取2根，就增加一雙筷子，即顏色數(shù)+1+（雙數(shù)-1）x2；③不同顏色筷子，先取完其中一

種顏色筷子,再按余下顏色數(shù)各取一根,再加一根得到又一一雙不同顏色的筷子。

練習(xí)四：

1.有五種不同顏色的筷子各20根混合在一起。①閉著眼睛至少取出多少根才能保證有

三雙相同顏色的筷子?②取出多少根才能保證有3雙筷子？

2.已知口袋中裝有大小相同但顏色不同的手套,有黑、紅、白、藍(lán)、黃、花六種各12

只，最少要摸出多少只手套才能保證有兩雙不同顏色的？

3.現(xiàn)在有64個乒乓球，18個乒乓球盒,每個盒子最多可以放6個乒乓球（最少也要放1

個乒乓球），至少有幾個乒乓球盒子里的乒乓球數(shù)目相同？

綜合練習(xí)

1.張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是41環(huán)。張叔叔至少有一鏢不低于9環(huán)。為

什么？

2.有紅、黃、藍(lán)、白珠子各10粒，裝在一個袋子里，為了保證摸出的有5粒相同，應(yīng)

該至少摸出幾粒？

2.從一副完整的撲克牌中，至少抽出多少張牌，才能保證至少有6張牌的花色相同？

4.新年晚會上，老師讓每位同學(xué)從一個裝有許多玻璃球的口袋中摸2個球,這些球給人

的手感相同,有紅、黃、白、藍(lán)、綠之分，結(jié)果發(fā)現(xiàn)總有3個人取的球顏色相同。由此

可知，參加取球的至少有多少人？

5.某校有35名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，如果把參賽者任意分成四個組，必然有一組的女生

多于2人，又知道參賽者任意10人中必有男生,參褰男生有多少人？

6.一個布袋于子里有紅黃藍(lán)色襪子各15只，至少要拿出多少只才能保證其中至少有2

雙顏色不同的襪子？

答案

［一］

1.37+6=6……16+1=7（只）

2.同一花色：14+4=3...23+1=4（支）

同一點數(shù)：14+13=1...11+1=2（支）

（二］

L成績?yōu)槌閷希瑢W(xué)生為物品。除3名成績在60分以下的學(xué)生外，其余成績均在75~95

分之間，75~95共有21個不同分?jǐn)?shù)，將這21個分?jǐn)?shù)作為21個抽屜，把47-3=44（個）學(xué)

生作為物品。44+21=3……22+1=3,這47名學(xué)生中至少有3名學(xué)生的成績是相同的。

2.125-（4-1）=41……2,這個班最多有41人。

3.得分有（2,2）,（2,1）,（2：0）,（1,2）,（1,1）,（1,0）,（0,2）,（0,1）,（0,0）9種情況,即有

9個抽屜。已知9個抽屜中至少有一個抽屜至少有6件物品，求至少有多少件物品。至

少有9x（67）+1=46（人）。

［三］

1.（3-l）x4+l=9（粒）2.10+4+1=15（個）3.13x（37）+1=27（張）

4.9+10+（117）x3+1=50（個）

［四］

1.①（3x2-l）x5+l=26（根）②5+1+（3-1）乂2=10（根）

2.12+5+1=18（只）

3.1+2+3+4+5+6=21（個）64-21x3=1（個）3+1=4（個）前面1-6個乒乓球盒子里的乒乓球

個數(shù)互不相同。分別是1,2,3,4,5,6個乒乓球（最少1個,最多6個），一共裝了21個球。

第7-12個和第13-18個盒子也一樣。這樣裝完以后，一共裝了63個球，此時有3個

盒子裝的乒乓球教量是一樣多的。而第64個乒乓球算上以后，則應(yīng)該有4個盒子裝的

乒乓球數(shù)量一樣多。

綜合練習(xí)：

1.成績41環(huán)看作元素,5鏢看作抽屜41-?5=8...18+1=9

2.4x（57）+1=17（粒）

3.4x（6-1）+2+