2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第八節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差學(xué)案理含解析新人教A版

PAGEPAGE10第八節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差2024考綱考題考情1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。(2)D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。2．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b。(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))。3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差XX聽從兩點(diǎn)分布X～B(n，p)E(X)p(p為勝利概率)npD(X)p(1－p)np(1－p)1．均值E(X)是一個實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X值的取值平均狀態(tài)。2．已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可干脆按定義(公式)求解。若所給隨機(jī)變量聽從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布等，則可干脆利用它們的均值、方差公式求解。一、走進(jìn)教材1．(選修2－3P68A組T1改編)已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為()A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．1解析E(X)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq\f(2,3)＋3＝eq\f(7,3)。故選A。答案A2．(選修2－3P68A組T5改編)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是________。解析E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1。E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，因?yàn)镋(Y)<E(X)，所以乙技術(shù)好。答案乙二、走近高考3．(2024·浙江高考)設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時()A．D(ξ)減小 B．D(ξ)增大C．D(ξ)先減小后增大 D．D(ξ)先增大后減小解析由題可得E(ξ)＝eq\f(1,2)＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，所以當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時，D(ξ)先增大后減小。故選D。答案D三、走出誤區(qū)微提示：①期望、方差的性質(zhì)不熟導(dǎo)致錯誤；②二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式用法不當(dāng)；③求錯分布列，導(dǎo)致E(ξ)出錯。4．已知兩個隨機(jī)變量X，Y滿意X＋2Y＝4，且X～N(1,22)，則E(Y)，D(Y)依次是________。解析由X～N(1,22)得E(X)＝1，D(X)＝4。又X＋2Y＝4，所以Y＝2－eq\f(X,2)，所以E(Y)＝2－eq\f(1,2)E(X)＝eq\f(3,2)，D(Y)＝eq\f(1,4)D(X)＝1。答案eq\f(3,2)，15．在一次聘請中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題。乙能正確完成每道題的概率為eq\f(2,3)，且每道題完成與否互不影響。記乙能答對的題數(shù)為Y，則Y的數(shù)學(xué)期望為________。解析由題意知Y的可能取值為0,1,2,3，且Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，則E(Y)＝3×eq\f(2,3)＝2。答案26．某學(xué)生在參與政治、歷史、地理三門課程的學(xué)業(yè)水平考試中，取得A等級的概率分別為eq\f(4,5)，eq\f(3,5)，eq\f(2,5)，且三門課程的成果是否取得A等級相互獨(dú)立。記ξ為該學(xué)生取得A等級的課程數(shù)，則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)的值為__________。解析ξ的可能取值為0,1,2,3。因?yàn)镻(ξ＝0)＝eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,125)，P(ξ＝1)＝eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(37,125)，P(ξ＝2)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(58,125)，P(ξ＝3)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(24,125)，所以E(ξ)＝0×eq\f(6,125)＋1×eq\f(37,125)＋2×eq\f(58,125)＋3×eq\f(24,125)＝eq\f(9,5)。答案eq\f(9,5)

考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值【例1】(2024·貴陽監(jiān)測)從A地到B地共有兩條路徑L1和L2，經(jīng)過這兩條路徑所用的時間互不影響，且經(jīng)過L1和L2所用時間的頻率分布直方圖分別如圖①和②?，F(xiàn)甲選擇L1或L2在40分鐘內(nèi)從A地到B地，乙選擇L1或L2在50分鐘內(nèi)從A地到B地。(1)求圖①中a的值；并回答，為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到B地，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到B地的人數(shù)，針對(1)中的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。解(1)(0.01＋0.02×3＋a)×10＝1，解得a＝0.03，用Ai表示甲選擇Li(i＝1,2)在40分鐘內(nèi)從A地到B地，用Bi表示乙選擇Li(i＝1,2)在50分鐘內(nèi)從A地到B地，則P(A1)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(A2)＝(0.01＋0.04)×10＝0.5，P(A1)>P(A2)，所以甲應(yīng)選擇L1。又P(B1)＝(0.01＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8，P(B2)＝(0.01＋0.04＋0.04)×10＝0.9，P(B2)>P(B1)，所以乙應(yīng)選擇L2。(2)用M，N分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙兩人在各自允許的時間內(nèi)趕到B地，由(1)知P(M)＝0.6，P(N)＝0.9，X的可能取值為0,1,2。由題意知，M，N相互獨(dú)立，所以P(X＝0)＝0.4×0.1＝0.04，P(X＝1)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P(X＝2)＝0.6×0.9＝0.54，所以X的分布列為X012P0.040.420.54所以E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5。求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的全部可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算?！咀兪接?xùn)練】隨著網(wǎng)絡(luò)營銷和電子商務(wù)的興起，人們的購物方式更具多樣化。某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取10名購物者進(jìn)行采訪，5名男性購物者中有3名傾向于選擇網(wǎng)購，2名傾向于選擇實(shí)體店，5名女性購物者中有2名傾向于選擇網(wǎng)購，3名傾向于選擇實(shí)體店。(1)若從10名購物者中隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名傾向于選擇實(shí)體店的概率；(2)若從這10名購物者中隨機(jī)抽取3名，設(shè)X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購的男性購物者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。解(1)設(shè)“隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，至少1名傾向于選擇實(shí)體店”為事務(wù)A，則eq\o(A,\s\up6(－))表示事務(wù)“隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，都傾向于選擇網(wǎng)購”，則P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,5))＝eq\f(19,25)。(2)X全部可能的取值為0,1,2,3，且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,24)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,40)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,40)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,120)。所以X的分布列為X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)E(X)＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(21,40)＋2×eq\f(7,40)＋3×eq\f(1,120)＝eq\f(9,10)。考點(diǎn)二二項(xiàng)分布的均值與方差【例2】(2024·陜西質(zhì)檢)為了解共享單車在A市的運(yùn)用狀況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行分析，得到如下列聯(lián)表(單位：人)。常常運(yùn)用間或運(yùn)用或不運(yùn)用合計(jì)30歲及以下703010030歲以上6040100合計(jì)13070200(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為A市運(yùn)用共享單車的狀況與年齡有關(guān)？(2)①現(xiàn)從所選取的30歲以上的網(wǎng)友中，采納分層抽樣的方法選取10人，再從這10人中隨機(jī)選出3人贈送實(shí)惠券，將頻率視為概率，求選出的3人中至少有2人常常運(yùn)用共享單車的概率；②將頻率視為概率，從A市全部參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機(jī)選取10人贈送禮品，記其中常常運(yùn)用共享單車的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差。參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d。參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解(1)由列聯(lián)表可知，K2＝eq\f(200×70×40－60×302,130×70×100×100)≈2.198。因?yàn)?.198>2.072，所以能在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為A市運(yùn)用共享單車的狀況與年齡有關(guān)。(2)①依題意，可知所選取的10名30歲以上的網(wǎng)友中，常常運(yùn)用共享單車的有10×eq\f(60,100)＝6人，間或運(yùn)用或不運(yùn)用共享單車的有10×eq\f(40,100)＝4人。則選出的3人中至少有2人常常運(yùn)用共享單車的概率P＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,3)。②由列聯(lián)表可知選到常常運(yùn)用共享單車的網(wǎng)友的頻率為eq\f(130,200)＝eq\f(13,20)，將頻率視為概率，即從A市全部參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨意選取1人，恰好選到常常運(yùn)用共享單車的網(wǎng)友的概率為eq\f(13,20)。由題意得X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(13,20)))，所以E(X)＝10×eq\f(13,20)＝eq\f(13,2)，D(X)＝10×eq\f(13,20)×eq\f(7,20)＝eq\f(91,40)。二項(xiàng)分布的期望與方差1．假如ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大削減計(jì)算量。2．有些隨機(jī)變量雖不聽從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量聽從二項(xiàng)分布，這時，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b)?！咀兪接?xùn)練】電子商務(wù)在我國發(fā)展迅猛，網(wǎng)上購物成為許多人的選擇。某購物網(wǎng)站組織了一次促銷活動，在網(wǎng)頁的界面上打出廣告：高級口香糖，10元錢三瓶，有8種口味供您選擇(其中有1種為草莓口味)。小王點(diǎn)擊進(jìn)入網(wǎng)頁一看，只見有許多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起，看不見詳細(xì)口味，由購買者隨機(jī)點(diǎn)擊進(jìn)行選擇(各種口味的高級口香糖均超過三瓶，且各種口味的瓶數(shù)相同，每點(diǎn)擊選擇一瓶后，網(wǎng)頁自動補(bǔ)充相應(yīng)的口香糖)。(1)小王花10元錢買三瓶，請問小王收到貨的組合方式共有多少種？(2)小王花10元錢買三瓶，由小王隨機(jī)點(diǎn)擊三瓶，請列出有小王喜愛的草莓味口香糖的瓶數(shù)ξ的分布列，并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望和方差。解(1)若三瓶口味均不一樣，有Ceq\o\al(3,8)＝56(種)；若其中兩瓶口味一樣，有Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(1,7)＝56(種)；若三瓶口味一樣，有8種。故小王收到貨的組合方式共有56＋56＋8＝120(種)。(2)ξ全部可能的取值為0,1,2,3。因?yàn)楦鞣N口味的高級口香糖均超過3瓶，且各種口味的瓶數(shù)相同，有8種不同口味，所以小王隨機(jī)點(diǎn)擊一次是草莓味口香糖的概率為eq\f(1,8)，即隨機(jī)變量ξ聽從二項(xiàng)分布，即ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,8)))。P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))3＝eq\f(343,512)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))2＝eq\f(147,512)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))1＝eq\f(21,512)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))0＝eq\f(1,512)。所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(343,512)eq\f(147,512)eq\f(21,512)eq\f(1,512)數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝np＝3×eq\f(1,8)＝eq\f(3,8)，方差D(ξ)＝np(1－p)＝3×eq\f(1,8)×eq\f(7,8)＝eq\f(21,64)?？键c(diǎn)三均值與方差在實(shí)際決策中的應(yīng)用【例3】(2024·廣東六校聯(lián)考)某市大力推廣純電動汽車，對購買用戶依照車輛出廠續(xù)駛里程R(單位：千米)的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，予以地方財(cái)政補(bǔ)貼，其補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：出廠續(xù)駛里程R/千米補(bǔ)貼/(萬元/輛)150≤R<2503250≤R<3504R≥3504.52024年底某部門隨機(jī)調(diào)查該市1000輛純電動汽車，統(tǒng)計(jì)其出廠續(xù)駛里程R，得到頻率分布直方圖如圖所示，用樣本估計(jì)總體，頻率估計(jì)概率，解決如下問題：(1)求該市每輛純電動汽車2024年地方財(cái)政補(bǔ)貼的均值；(2)某企業(yè)統(tǒng)計(jì)2024年其充電站100天中各天充電車輛數(shù)，得如下頻數(shù)分布表：車輛[5500,6500)[6500,7500)[7500,8500)[8500,9500]天數(shù)20304010(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)2024年2月，國家出臺政策，將純電動汽車財(cái)政補(bǔ)貼逐步轉(zhuǎn)移到充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)上來，該企業(yè)擬將轉(zhuǎn)移補(bǔ)貼資金用于添置新型充電設(shè)備。現(xiàn)有直流、溝通兩種充電樁可供購置，直流充電樁5萬元/臺，每臺每天最多可以充電30輛車，每天維護(hù)費(fèi)用500元/臺；溝通充電樁1萬元/臺，每臺每天最多可以充電4輛車，每天維護(hù)費(fèi)用80元/臺。該企業(yè)現(xiàn)有兩種購置方案：方案一，購買100臺直流充電樁和900臺溝通充電樁；方案二，購買200臺直流充電樁和400臺溝通充電樁。假設(shè)車輛充電時優(yōu)先運(yùn)用新設(shè)備，且充電一輛車產(chǎn)生25元的收入，用2024年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分別估計(jì)該企業(yè)在兩種方案下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤(日利潤＝日收入－日維護(hù)費(fèi)用)。解(1)依題意可得純電動汽車地方財(cái)政補(bǔ)貼的分布列為補(bǔ)貼/(萬元/輛)344.5概率0.20.50.3所以該市每輛純電動汽車2024年地方財(cái)政補(bǔ)貼的均值為3×0.2＋4×0.5＋4.5×0.3＝3.95(萬元)。(2)由頻數(shù)分布表得每天須要充電車輛數(shù)的分布列為輛數(shù)6000700080009000概率0.20.30.40.1若采納方案一，100臺直流充電樁和900臺溝通充電樁每天可充電車輛數(shù)為30×100＋4×900＝6600，可得實(shí)際充電車輛數(shù)的分布列為實(shí)際充電車輛數(shù)60006600概率0.20.8于是估計(jì)方案一下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤為25×(6000×0.2＋6600×0.8)－500×100－80×900＝40000(元)。若采納方案二，200臺直流充電樁和400臺溝通充電樁每天可充電車輛數(shù)為30×200＋4×400＝7600，可得實(shí)際充電車輛數(shù)的分布列為實(shí)際充電車輛數(shù)600070007600概率0.20.30.5于是估計(jì)方案二下新設(shè)備產(chǎn)生的日利潤為25×(6000×0.2＋7000×0.3＋7600×0.5)－500×200－80×400＝45500(元)。隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)。一般先比較均值，若均值相同，再用方差來確定?！咀兪接?xùn)練】某投資公司在2024年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車。據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種狀況發(fā)生的概率分別為eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；項(xiàng)目二：通信設(shè)備。據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種狀況發(fā)生的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15)。針對以上兩個投資項(xiàng)目，請你為投資公司選擇一個合理的項(xiàng)目，并說明理由。解若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，則X1的分布列為X1300－150Peq\f(7,9)eq\f(2,9)所以E(X1)＝300×eq\f(7,9)＋(－150)×eq\f(2,9)＝200(萬元)。若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利X2萬元，則X2的分布列為：X2500－3000Peq\f(3,5)eq\f(1,3)eq\f(1,15)所以E(X2)＝500×eq\f(3,5)＋(－300)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,15)＝200(萬元)。D(X1)＝(300－200)2×eq\f(7,9)＋(－150－200)2×eq\f(2,9)＝35000，D(X2)＝(500－200)2×eq\f(3,5)＋(－300－200)2×eq\f(1,3)＋(0－200)2×eq\f(1,15)＝140000。所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥。綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))1．(協(xié)作例1運(yùn)用)PM2.5是衡量空氣污染程度的一個指標(biāo)，為了了解某市空氣質(zhì)量狀況，從去年每天的PM2.5值的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取40天的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示。現(xiàn)將PM2.5的值劃分為如下等級PM2.5值[0,100)[100,150)[150,200)[200,250]等級一級二級三級四級用頻率估計(jì)概率。(1)估計(jì)該市在下一年的360天中空氣質(zhì)量為一級天氣的天數(shù)；(2)在樣本中，依據(jù)分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值的數(shù)據(jù)，再從這8個數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個，求一級、二級、三級、四級天氣都有的概率；(3)假如該市對環(huán)境進(jìn)行治理，治理后經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每天PM2.5值X近似滿意X～N(115,752)，則治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了多少？解(1)由樣本空氣質(zhì)量PM2.5的數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知，其頻率分布如下表：PM2.5值[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250]頻率0.1250.1250.3750.250.125由上表可知，假如該市維持現(xiàn)狀不變，則該市下一年的某一天空氣質(zhì)量為一級天氣的概率為0.25，因此在360天中約有360×0.25＝90天。(2)在樣本中，依據(jù)分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值數(shù)據(jù)，則這8個數(shù)據(jù)中一級、二級、三級、四級天氣的數(shù)據(jù)分別有2個、3個、2個、1個。從這8個數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個，則這四種天氣都有三種狀況：一級天氣的數(shù)據(jù)有2個，其余的均為1個；二級天氣的數(shù)據(jù)有2個，其余的均為1個；三級天氣的數(shù)據(jù)有2個，其余的均為1個。共有的狀況有：Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,1)＝24種。而從8個數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個，有Ceq\o\al(5,8)＝56種狀況。故所求概率為eq\f(24,56)＝eq\f(3,7)。(3)假如該市維持現(xiàn)狀不變，則該市的PM2.5值的均值約為E(Y)＝25×0.125＋75×0.125＋125×0.375＋175×0.25＋225×0.125＝131.25。假如該市對環(huán)境進(jìn)行治理，則該市的PM2.5值X的均值為E(X)＝115，因此該市治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了16.25。2．(協(xié)作例3運(yùn)用)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件。假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)。(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)＝6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：eq\a\vs4\al(3533855634,6347534853,8343447567)用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望。(3)在(1)，(2)的條件下，若以“性價(jià)比”為推斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由。注：①產(chǎn)品的“性價(jià)比”＝產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望/產(chǎn)品的零售價(jià)；②“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性。解(1)因?yàn)镋(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2，又0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5，所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6a＋7b＝3.2，,a＋b＝0.5，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.3，,b＝0.2。))(2)由已知，用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望等于4.8。(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價(jià)格為6元/件，所以其性價(jià)比為eq\f(6,6)＝1；因?yàn)橐覐S產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價(jià)格為4元/件，所以其性價(jià)比為eq\f(4.8,4)＝1.2。又1.2>1，所以乙廠的產(chǎn)品更具可購買性。概率統(tǒng)計(jì)綜合問題是高考應(yīng)用型問題，解決問題須要經(jīng)驗(yàn)收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、得出有用的結(jié)論幾個困難過程。假如這幾個過程書寫步驟缺失則會造成丟分；假如數(shù)據(jù)處理不當(dāng)則會陷入浩大的數(shù)據(jù)運(yùn)算中，因此解決這類問題首先須要依據(jù)題目條件提取有用數(shù)據(jù)，然后依據(jù)統(tǒng)計(jì)思想對數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)處理、運(yùn)算，并依據(jù)肯定的書寫步驟精確無誤書寫出來，做到步驟不缺失、表述精確無誤，下面就如何從概率統(tǒng)計(jì)綜合問題中快速提取數(shù)據(jù)，并作出正確處理及模型構(gòu)建供應(yīng)四類典例展示。類型一頻率分布直方圖數(shù)據(jù)的提取、處理及運(yùn)算【例1】某市某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該市空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系，如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過300)。該社團(tuán)將該市在2024年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如圖，把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率。(1)請估算2024年(以365天計(jì)算)全年該市空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計(jì)算)；(2)該市將于2024年12月25、26、27日舉辦一場國際會議，若這三天中某天出現(xiàn)5級重度污染，則該天須要凈化空氣費(fèi)用10萬元，出現(xiàn)6級嚴(yán)峻污染，則該天須要凈化空氣費(fèi)用20萬元，假設(shè)每天的空氣質(zhì)量等級相互獨(dú)立，記這三天凈化空氣總費(fèi)用為X萬元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。解(1)由直方圖可得2024年(以365天計(jì)算)全年該市空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為(0.002＋0.004)×50×365＝0.3×365＝109.5≈110。(2)由題可知，X的全部可能取值為0,10,20,30,40,50,60，則P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))3＝eq\f(64,125)，P(X＝10)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq\f(24,125)，P(X＝20)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))1＋Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq\f(108,500)＝eq\f(27,125)，P(X＝30)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))3＋Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,10)×eq\f(4,5)＝eq\f(49,1000)，P(X＝40)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\f(1,10)＋Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\f(4,5)＝eq\f(27,1000)，P(X＝50)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\f(1,10)＝eq\f(3,1000)，P(X＝60)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))3＝eq\f(1,1000)，X的分布列為X0102030405060Peq\f(64,125)eq\f(24,125)eq\f(27,125)eq\f(49,1000)eq\f(27,1000)eq\f(3,1000)eq\f(1,1000)E(X)＝0×eq\f(64,125)＋10×eq\f(24,125)＋20×eq\f(27,125)＋30×eq\f(49,1000)＋40×eq\f(27,1000)＋50×eq\f(3,1000)＋60×eq\f(1,1000)＝9(萬元)。頻率分布直方圖是考查數(shù)據(jù)收集和整理的常用依據(jù)，駕馭頻率分布直方圖中常見數(shù)據(jù)的提取方法是解決這類問題的關(guān)鍵。類型二莖葉圖數(shù)據(jù)的提取、處理及運(yùn)算【例2】(2024·武漢調(diào)研)甲、乙兩名運(yùn)動員參與“選拔測試賽”，在相同條件下，兩人6次測試的成果(單位：分)記錄如下：甲867792727884乙788288829590(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)，現(xiàn)要從中選派一名運(yùn)動員參與競賽，你認(rèn)為選派誰參賽更好？說明理由(不用計(jì)算)。(2)若將頻率視為概率，對運(yùn)動員甲在今后3次測試中的成果進(jìn)行預(yù)料，記這3次測試的成果高于85分的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)及方差D(X)。解(1)莖葉圖如圖：由圖可知乙的平均水平比甲高，故選派乙參賽更好。(2)由題意得，甲運(yùn)動員每次測試的成果高于85分的概率是eq\f(1,3)，3次測試的成果高于85分的次數(shù)X聽從二項(xiàng)分布，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))，X全部可能的取值為0,1,2,3，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0＝eq\f(1,27)，X的分布列為X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)E(X)＝3×eq\f(1,3)＝1，D(X)＝3×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)。莖葉圖供應(yīng)了詳細(xì)的數(shù)據(jù)，找準(zhǔn)各組數(shù)據(jù)共同的莖及各自的葉是處理此類問題的關(guān)鍵。假如全部數(shù)據(jù)過大，在計(jì)算平均數(shù)時，可以將全部數(shù)據(jù)同時減去一個數(shù)字再計(jì)算，減去一個數(shù)后方差不變，另外除了要駕馭各類數(shù)據(jù)的計(jì)算方法以外，還要能從供應(yīng)的數(shù)據(jù)的趨勢分析預(yù)料結(jié)果。莖葉圖數(shù)據(jù)很詳細(xì)，常聯(lián)系古典概型進(jìn)行考查。類型三表格數(shù)據(jù)的提取、處理及運(yùn)算【例3】(2024·洛陽高三統(tǒng)考)甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司，底薪80元，每單送餐員抽成4元；乙公司，無底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分送餐員每單抽成6元，超出40單的部分送餐員每單抽成7元。假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205(1)現(xiàn)從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取3天的送餐單數(shù)，求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率。(2)若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：①記乙公司送餐員日工資為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；②小王準(zhǔn)備到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，假如僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)問為小王做出選擇，并說明理由。解(1)設(shè)抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事務(wù)M，甲公司記錄的50天中，有10＋10＋5＝25天送餐單數(shù)不小于40，則P(M)＝eq\f(C\o\al(3,25),C\o\al(3,50))＝eq\f(23,196)。(2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為a，當(dāng)a＝38時，X＝38×6＝228，當(dāng)a＝39時，X＝39×6＝234，當(dāng)a＝40時，X＝40×6＝240，當(dāng)a＝41時，X＝40×6＋1×7＝247，當(dāng)a＝42時，X＝40×6＋2×7＝254，所以X的全部可能取值為228,234,240,247,254。故X的分布列為X228234240247254Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,10)所以E(X)＝228×eq\f(1,10)＋234×eq\f(1,5)＋240×eq\f(1,5)＋247×eq\f(2,5)＋254×eq\f(1,10)＝241.8。②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，所以甲公司送餐員的日平均工資為80＋4×39.7＝238.8元。由①得乙公司送餐員的日平均工資為241.8元。因?yàn)?38.8<241.8，所以舉薦小王去乙公司應(yīng)聘。處理表格數(shù)據(jù)的關(guān)鍵是搞清表格中各行、各列數(shù)的意義，特殊表格中最終一行或最終一列中的數(shù)據(jù)多為合計(jì)(或總計(jì))。類型四折線圖中數(shù)據(jù)的提取、處理及運(yùn)算【例4】(2024·廣州高三調(diào)研)某基地蔬菜大棚采納無土栽培方式種植各類蔬菜。依據(jù)過去50周的資料顯示，該地周光照量X(小時)都在30小時以上，其中不足50小時的有5周，不低于50小時且不超過70小時的有35周，超過70小時的有10周。依據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量y(千克)與運(yùn)用某種液體肥料的質(zhì)量x(千克)之間的關(guān)系為如圖所示的折線圖。(1)依據(jù)折線圖，是否可用線性回來模型擬合y與x的關(guān)系？請計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說明(精確到0.01)。(若|r|>0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回來模型擬合)(2)蔬菜大棚對光照要求較大，某光照限制儀商家為該基地供應(yīng)了部分光照限制儀，但每周光照限制儀運(yùn)行臺數(shù)受周光照量X限制，并有如下關(guān)系：周光照量X(單位：小時)30<X<5050≤X≤70X>70光照限制儀最多可運(yùn)行臺數(shù)321若某臺光照限制儀運(yùn)行，則該臺光照限制儀周利潤為3000元；若某臺光照限制儀未運(yùn)行，則該臺光照限制儀周虧損1000元。以頻率作為概率，商家欲使周總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)