高中數(shù)學(xué)講義微專題25 定積分

微專題25定積分

一、基礎(chǔ)知識

1、相關(guān)術(shù)語：對于定積分J：/(x)公

(1)。力:稱為積分上下限，其中a2b

(2)/(x)：稱為被積函數(shù)

(3)dx：稱為微分符號，當(dāng)被積函數(shù)含參數(shù)時，微分符號可以體現(xiàn)函數(shù)的自變量是哪個，例

如：『(爐+及)&中的被積函數(shù)為八%)=%2+%，而「卜2+tx^dt的被積函數(shù)為

y(/)=x/+x2

2、定積分J/(x)公的幾何意義：表示函數(shù)/(x)與x軸，x=a,x=b圍成的面積(x軸上

方部分為正，x軸下方部分為負(fù))和，所以只有當(dāng)/(x)圖像在［a,0完全位于x軸上方時.，

j/(x)公才表示面積。J公可表示數(shù)/(尤)與x軸，x=a,x=b圍成的面積的總和,

但是在求定積分時，需要拆掉絕對值分段求解

3、定積分的求法：高中階段求定積分的方法通常有2種：

(1)微積分基本定理：如果/(x)是區(qū)間［a,以上的連續(xù)函數(shù)，并且尸(x)=/(x),那么

f/(x)tZx=Rx)|：=F(b)-F(a)

使用微積分基本定理，關(guān)鍵是能夠找到以/(X)為導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)E(x)。所以常見的初等函

數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式要熟記于心：

/(x)=C/W=0/(x)=6fXa-1

/(%)=sinxf(x)=cosx/(x)=cosxf(x)=-sinx

f(x)=axf(%)=優(yōu)Ina/(X)="f\x)=ex

/(x)=―1—

y(x)=iogax/(x)=lnx

x\naJi

①尋找原函數(shù)通?？梢浴跋炔略僬{(diào)”，先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的形式猜出原函數(shù)的類型，再調(diào)整系數(shù),

例如：/(尤)=/，則判斷屬于幕函數(shù)類型，原函數(shù)應(yīng)含但?)=4/,而〃尢)=丁,

所以原函數(shù)為F(x)=[/+c(。為常數(shù))

②如果只是求原函數(shù)，則要在表達(dá)式后面加上常數(shù)C,例如/(x)=2x,則/(x)=f+C,

但在使用微積分基本定理時，會發(fā)現(xiàn)E伍)-/(。)計(jì)算時會消去C,所以求定積分時，E(x)

不需加上常數(shù)。

(2)利用定積分的幾何含義：若被積函數(shù)找不到原函數(shù)，但定積分所對應(yīng)的曲邊梯形面積易

于求解，則可通過求曲邊梯形的面積求定積分。但要注意曲邊梯形若位于x軸的下方，則面積

與所求定積分互為相反數(shù)。

4、定積分的運(yùn)算性質(zhì)：假設(shè)工/(x)公J：g(x)dx存在

⑴Jkf^x)dx=k^/(x)tZx

作用：求定積分時可將一(X)的系數(shù)放在定積分外面，不參與定積分的求解，從而簡化/(X)

的復(fù)雜程度

⑵f[/(x)±g(x)]公=f〃x)dx±fg(x)dx

作用：可將被積函數(shù)拆成一個個初等函數(shù)的和，從而便于尋找原函數(shù)并求出定積分，例如

[卜2+%+],=1X?公+jxdx+^\dx

(3)j/(x)公=J公+[其中a<c<b

作用：當(dāng)被積函數(shù)含絕對值，或者是分段函數(shù)時，可利用此公式將所求定積分按區(qū)間進(jìn)行拆

分，分別求解。

5、若/(x)具備奇偶性，且積分限關(guān)于原點(diǎn)對稱，則可利用奇偶性簡化定積分的計(jì)算

(1)若/(x)為奇函數(shù)，則/“/(%)?=0(">0)

(2)若"X)為偶函數(shù)，則J：〃xMx=J：/(x)"c(a>0)

6、利用定積分求曲面梯形面積的步驟：

(1)通過作圖確定所求面積的區(qū)域

(2)確定圍成區(qū)域中上，下曲線對應(yīng)的函數(shù)/(x),g(x)

⑶若時，始終有/(x)2g(x),則該處面積為J,[/(x)-g(x)px

7、有的曲面梯形面積需用多個定積分的和進(jìn)行表示。需分段通常有兩種情況

(1)構(gòu)成曲面梯形的函數(shù)發(fā)生變化

(2)構(gòu)成曲面梯形的函數(shù)上下位置發(fā)生變化，若要面積與定積分的值一致，則被積函數(shù)要寫

成“上方曲線的函數(shù)-下方曲線函數(shù)”的形式。所以即使構(gòu)成曲面梯形的函數(shù)不變，但上下位

置發(fā)生過變化，則也需將兩部分分開來寫。

二、典型例題:

(x+1)'1<x<0

例1：己知函數(shù)〃無)=，則公=()

Jl-j2,0<x<1

3乃一83乃+44+萬3萬一4

A.------B.------C.-----D.------

1212412

思路：/(X)在[—1,0],(0,1]的解析式不同，所以求定積分時要“依不同而分段”：

/(x)t￡r=j()(x+l)2tZr+j'Vl-x2iZr,而+公=^(*+17q=g,對于

JJl-Vt/x無法找到原函數(shù),從而考慮其幾何意義：y=J]f+V=](y>0),

17

所

為單位圓面積的I，即=?以4+3乃

3-4-

12

答案：B

小煉有話說：(1)若被積函數(shù)在不同區(qū)間解析式不同時，則要考慮將定積分按不同區(qū)間進(jìn)行

拆分

(2)若被積函數(shù)具備“、廠”特征，在無法直接找到原函數(shù)時，可考慮其圖像的幾何意義，

運(yùn)用面積求得定積分，但是要注意判定與定積分符號是否與面積相同

,,￡cos2x,

例2：[4-----------dx-()

cosx+sinx

A.2(夜-1)B.&+1C.>/2—1D.2—V2

思路：被積函數(shù)無法直接找到原函數(shù)，但是可以進(jìn)行化簡。

cos2x_cos2x-sin2x

/(%)=cosx-sinx所以：

cosx+sinxcosx+sinx

7tn

JJ(cosx-sinx)dr=(sinx+cosx)口=0-1

答案：C

例3：設(shè)/(x)=2叫則「/(%)公=

思路：本題可以通過對X的符號進(jìn)行分類討論，將/（X）寫成分段函數(shù)，再將定積分拆分為兩

段分別求解，但若觀察到了（X）為偶函數(shù)，則可利用對稱性得:

42"I

“X）公=2jr022x=2.菽30

lii2

例4：已知+Z）dr=16,貝!]%=（）

A.1B.2C.3D.4

思路：先按部就班求解定積分，再解出關(guān)于人的方程即可：

23

解：j（'（3x+k）dx=（x+kx）\l=S+2k

.?.8+2攵=16解得攵=4

答案：D

例5：由曲線I'—（，為參數(shù)）和y=x+2圍成的封閉圖形的面積等于___________

[y=r

思路：所給曲線為參數(shù)方程，考慮化為普通方程為y=/,作出

兩個曲線圖像，可得兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=—l,x=2,結(jié)合圖

象可得：

S-J：（x+2-/膿=+2%匕=￡

9

答案：一

2

X2,XG[0,1]

例6：設(shè)1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則y=/（x）的圖像與x=0,x=e

lx

以及x軸所圍成的圖形的面積為

思路：作出圖像可得/（X）恒在X軸的上方，則面積可用定積分表示，但由于兩個區(qū)間的函數(shù)

23

不同，所以要拆成兩個定積分：S=J（'xt/x+￡-<ir=^|o+lnx|；=1+l=|

4

答案：-

3

2

例7：曲線y=*與直線y=x—l,x=4所圍成的封閉圖形的面積為()

x

A.21n2B.2-ln2C.4-ln2D.4-21n2

思路：作出圖像觀察可得：所圍成的區(qū)域上方曲線為y=x—l,

2

下方為y=—,自變量的取值范圍為￡尸，其中

X

'_2

[nx=2,尸(4,0),所以所求面積為

y=x-1

=4-21n2

答案：D

例8：如圖所示，正弦曲線丁=?11%，余弦曲線曠=?^^與兩直線x=0,x=7所圍成的陰

影部分的面積為()

A.1B.V2

C.2D.2及

思路：觀察到兩部分陰影區(qū)域，函數(shù)的上下位置不同，所以考慮面積用兩段定積分表示，在

7T

[0,乃]中，y=sinx與y=cosx的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=?,所以[o,時，余弦函數(shù)位于上方,

Sj=JJ(cosx-sinx)6Zr,在處，正弦函數(shù)位于上方,S2=J”(sinx-cosx)公

4

所以S=S+S2=|J(cosx-sinx)<i￥+(sinx-cosx)6iv=272

“4

答案：D

小煉有話說：(1)在求曲線圍成的面積時，可遵循被積函數(shù)始終"上一下'’的原則，如果函

數(shù)發(fā)生變化或上下位置改變時，則可以將面積分割為若干段，分別求定積分即可

(2)本題還可以采用“填補(bǔ)法”，觀察到左邊較小陰影部分與尤=)右側(cè)部分中心對稱，所以

面積相同，從而可將較小陰影部分填補(bǔ)至x二左右側(cè)。新的陰影部分始終y=sinx位于上方，

可求得陰影部分位于一,一,所以S=(sinx-cosx)公=2后

.44

例9：已知a<b,若函數(shù)/(x),g(x)滿足J必:=Jg(x)dx,則稱〃x),g(x)為區(qū)

間可上的一組“等積分”函數(shù)，給出四組函數(shù)：

①/(x)=2|x|,^(x)=x+l②/(x)=sinx,g(x)=cosx

③/(x)=Vl-X2,g(x)=^7TX2

④函數(shù)〃x),g(x)分別是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)且積分值存在

其中為區(qū)間上的“等積分”函數(shù)的組數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

思路：按照“等積分”的定義，只需計(jì)算出兩個函數(shù)在處的積分，再判斷是否相等即可。

￡/(x)dr=￡2|x|dr=4￡.11

解：①=4xdx=4--x2o=2

2

2

J：g(x)dx=J：(x+l)Jx=^x+x1—9

-1一/

必:=J：g(x)公所以①為“等積分”

②/(%)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)

;JJ(x)公=0jg^x^dx=Jcosxdx-2￡cosxiir=2sinx|j)=2sinl

③由幾何含義可得：f{x}dx=^x2dx=^7r

J：g(xW=J1—x2dx

1-1

442

公=J：g(x)公

所以③為一組“等積分”函數(shù)

④因?yàn)?(x),g(x)為奇函數(shù)，所以.?.『J(x)公=公=0

④為一組“等積分”函數(shù)

綜上所述，①③④為“等積分”函數(shù)

答案：C

例10：已知函數(shù)y（x）=e'—1,直線4:x=l,/2：y=d—l（f為常數(shù)，且OMY1）,直線

44與函數(shù)/（x）的圖像圍成的封閉圖形如圖中陰影所示，當(dāng)f變化時陰影部分的面積的最小