高中數(shù)學(xué)-線性規(guī)劃知識(shí)復(fù)習(xí)

中學(xué)必修5線性規(guī)劃

最快的方法

簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃問題

一、學(xué)問梳理

1.目標(biāo)函數(shù)：P=2x+y是一個(gè)含有兩個(gè)變量x和y的函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù).

2.可行域:約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域.

3.整點(diǎn):坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).

4.線性規(guī)劃問題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規(guī)劃

問題.只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決.

5.整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃.

二、疑難學(xué)問導(dǎo)析

線性規(guī)劃是一門探討如何運(yùn)用最少的人力、物力和財(cái)力去最優(yōu)地完成科學(xué)探討、工業(yè)設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管

理中實(shí)際問題的特地學(xué)科.主要在以下兩類問題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、財(cái)務(wù)等資源肯定

的條件下，如何運(yùn)用它們來完成最多的任務(wù)；二是給一項(xiàng)任務(wù)，如何合理支配和規(guī)劃，能以最少的

人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù).

1.對(duì)于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線.

2.確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法，常用的一種方法是“選點(diǎn)法”：任選一個(gè)不

在直線上的點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿意所給的不等式，若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式所表

示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域.若直線不過原點(diǎn)，通常選擇原點(diǎn)

代入檢驗(yàn).

3.平移直線y=-kx+P時(shí)，直線必需經(jīng)過可行域.

4.對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個(gè)凸多邊形區(qū)域，此時(shí)變動(dòng)

直線的最佳位置一般通過這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn).

5.簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際

問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）找尋線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元

一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.

積儲(chǔ)學(xué)問：

一.1.點(diǎn)P（xo,yo）在直線Ax+By+C=0上，則點(diǎn)P坐標(biāo)適合方程，即Axo+By0+C=0

2.點(diǎn)P（xo,y0）在直線Ax+By+C=0上方（左上或右上），則當(dāng)B>0時(shí),Ax°+Byo+C>0;當(dāng)B<0時(shí)，Axo+Byo+C<O

3.點(diǎn)P（x°,y。）在直線Ax+By+C=O下方（左下或右下），當(dāng)B>0時(shí),Ax°+Byo+C〈O;當(dāng)B〈0時(shí),Axo+Byc+OO

留意：（1）在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的全部點(diǎn)，把它的坐標(biāo)（x,y）代入Ax+By+C,所得實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，

（2）在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)的兩點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入Ax+By+C,所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)相反，

即：1.點(diǎn)P（xi,y）和點(diǎn)Q（xz,y?）在直線Ax+By+C=0的同側(cè)J,貝ij有（Axi+Byi+C）（Ax2+By2+C）>0

2.點(diǎn)P（xi,y）和點(diǎn)Q（xz,yz）在直線Ax+By+C=0的兩側(cè),則有（Axi+Byi+OAxz+BG+C）<0

二.二元一次不等式表示平面區(qū)域：

①二元一次不等式Ax+By+C>0（或〈0）在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)全部點(diǎn)組成的平面區(qū)

域.不包括邊界；

②二元?一次不等式Ax+By+C》0（或W0）在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)全部點(diǎn)組成的平面

區(qū)域且包括邊界；

留意：作圖時(shí)，不包括邊界畫成虛線;包括邊界畫成實(shí)線.

三、推斷二元一次不等式表示哪一側(cè)平面區(qū)域的方法：

方法一:取特殊點(diǎn)檢驗(yàn)；“直線定界、特殊點(diǎn)定域

緣由：由于對(duì)在直線Ax+By+C=0的同一側(cè)的全部點(diǎn)（X,y）,把它的坐標(biāo)（x,y）代入Ax+By+C,所得到的實(shí)數(shù)的符

號(hào)都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)（x。,y。），從Ax°+By0+C的正負(fù)即可推斷Ax+By+C>0表示直線

哪一側(cè)的平面區(qū)域.特殊地，當(dāng)CW0時(shí)，常把原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)，當(dāng)C=0時(shí)，可用（0,1）或（1,0）當(dāng)特殊點(diǎn),

若點(diǎn)坐標(biāo)代入適合不等式則此點(diǎn)所在的區(qū)域?yàn)樾璁嫷膮^(qū)域，否則是另一側(cè)區(qū)域?yàn)樾璁媴^(qū)域。

方法二：利用規(guī)律：

1.Ax+By+OO,當(dāng)B>0時(shí)表示直線Ax+By+C=0上方（左上或右上），

當(dāng)B〈0時(shí)表示直線Ax+By+C=0下方（左下或右下）；

2.Ax+By+C<0,當(dāng)B>0時(shí)表示直線Ax+By+C=0下方（左下或右下）

當(dāng)B〈0時(shí)表示直線Ax+By+C=O上方(左上或右上)。

四、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：

①線性約束條件：②線性目標(biāo)函數(shù)：

③線性規(guī)劃問題：④可行解、可行域和最優(yōu)解：

典型例題----------畫區(qū)域

1.用不等式表示以A(l,4),B(-3,0),C(-2,-2)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部的平面區(qū)域.

分析：首先要將三點(diǎn)中的隨意兩點(diǎn)所確定的直線方程寫出，然后結(jié)合圖形考慮三角形內(nèi)部區(qū)域應(yīng)怎樣表示。

解：直線A5的斜率為：心=4-0=],其方程為y=x+3.

AB1-(-3)

可求得直線8c的方程為y=-2x-6.直線AC的方程為y=2x+2.

A43C的內(nèi)部在不等式x-y+3>0所表示平面區(qū)域內(nèi)，同時(shí)在不等式

2x+y+6>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，同時(shí)又在不等式2x—y+2<0所表

示的平面區(qū)域內(nèi)(如圖).

x-y+3>0,

所以已知三角形內(nèi)部的平面區(qū)域可由不等式組2x+y+6>0,表示?

2x-y+2<0

說明：用不等式組可以用來平面內(nèi)的肯定區(qū)域，留意三角形區(qū)域內(nèi)部不包括邊界線.

2畫出2x-3vy<3表示的區(qū)域，并求全部的正整數(shù)解(x,y).

x>0,y>0,

y>2x-3,XGz,yGz,

解：原不等式等價(jià)于而求正整數(shù)解則意味著x,y還有限制條件，即求,

y<3.y>2x-3,

”3?

依照二元一次不等式表示的平面區(qū)域，

知2x—3<yW3表示的區(qū)域如下圖：

對(duì)于2x—3<yW3的正整數(shù)解，簡(jiǎn)潔求

得，在其區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解為

(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3).

3設(shè)xNO,y>0,z>0；p=-3x+y+2z,

q=x-2y+4z,x+y+z=1,用圖表示出點(diǎn)

(p,q)的范圍.

分析：題目中的p,q與x,y,z是線性關(guān)系.

可借助于x,y?z的范圍確定(p,4)的范圍.

x=^(8+g-6p),

3x-y-2z=_p,

解:

由<_2y+4z=g,得y:((14一5什3〃),

x+y+z=\,

z=—(5+4p+3g),

6p—q—8W0,

由xNO,yNO,z2()得?3p-5g+1420,畫出不等式組所示平面

3P+4q+520,

圖所示.

說明：題目的條件隱藏，應(yīng)考慮到己有的x,y,z的取值范圍.借助于三元一次方程組分別求出x,y,z,

從而求出p,q所滿意的不等式組找出(p,q)的范圍.

4、已知x,y,a,b滿意條件：x>0,y>0,a>0,Z>>0,2x+y+a=6,x+2y+b=6

(1)試畫出(x,y)的存在的范圍；(2)求2x+3y的最大值。

典型例題二-----畫區(qū)域，求面積

y>lx+11-1

例3求不等式組《'1,,1所表示的平面區(qū)域的面積.

"W+1

分析：關(guān)鍵是能夠?qū)⒉坏仁浇M所表示的平面區(qū)域作出來，推斷其形態(tài)進(jìn)而求出其面積.而要將平面區(qū)域作出

來的關(guān)鍵又是能夠?qū)Σ坏仁浇M中的兩個(gè)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)和變形，如何變形？需對(duì)肯定值加以探討.

解：不等式y(tǒng)>卜+1|—1可化為y>x{x2-1)或y之-x-2(x<-1)；

不等式y(tǒng)4-|從+1可化為>4-工+1(》20)或'4》+1。<0).

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出四條射線：

AB：y=x(xN-l),AC：y=-x-2(x<-l)DE：y=-x+l(x>0),DF：y=x+l(x<0)

則不等式組所表示的平面區(qū)域如圖，由于A5與AC、OE與。戶相互垂直，所以平面區(qū)域是一個(gè)矩形.

依據(jù)兩條平行線之間的距離公式可得矩形的兩條邊的長(zhǎng)度分別為正和述.所以其面積為3.

22

典型例題三?求最值

一、與直線的截距有關(guān)的最值問題2=不+約，+。

1.如圖1所示，已知A3C中的三頂點(diǎn)A(2,4),8(-1,2),C(l,0),(-1,2)

點(diǎn)P(x,y)在ABC內(nèi)部及邊界運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你探究并探討以下問題：

①z=x+y在點(diǎn)A處有最大值6,在邊界BC處有最小值1；

(1,0)

②z=x-y在點(diǎn)C處有最大值1,在點(diǎn)B處有最小值-3

(圖1)

ykx-y=-3

(2,4)

x-y=\

(-1,2)x+y=6

(1,0)

(圖2)

2x+y-12W0,

2若x、y滿意條件,3工_2)，+1020,求z=x+2y的最大值和最小值.

8(-2,2?

x-4y+10<0.

-2。2x

分析：畫出可行域，平移直線找最優(yōu)解.

解：作出約束條件所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示.

作直線/:x+2y=z,即丫=一；X+；2,它表示斜率為7

縱截距為一的平行直線系,當(dāng)它在可行

2

域內(nèi)滑動(dòng)時(shí)，由圖可知，直線/過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，當(dāng)/過點(diǎn)3時(shí)，z取得最小值.

z=2+2x8=18z.=—2+2x2=2

ITldAIII111

AzAZ

注：2=4+3)，可化為》=--x+—表示與直線y=--X平行的一組平行線，其中一為截距,特殊留意:

BBBB

斜率范圍及截距符號(hào)。即留意平移直線的傾斜度和平移方向。

變式：設(shè)x,y滿意約束條件(x-4y<-3

3x+5y<25

x>\

分別求：(Dz=6x+10y,(2)z=2x-y,(3)z=2x-y,的最大值，最小值。

二、與直線的斜率有關(guān)的最值問題

Z=二k表示定點(diǎn)P(X。,y0)與可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M(x,y)連線的斜率.

x—y—2W0,,

例2設(shè)實(shí)數(shù)為y滿意x+2y-4》0,，則2=予的最大值是

2），-3W0,

解析：畫出不等式組所確定的三角形區(qū)域48C,z=2=2a表示兩點(diǎn)0(00),

P(x,y)確定的直線的斜率，耍

xx-0

求z的最大值，即求可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的最大值.

可以看出直線切的斜率最大，故尸為x+2y-4=0與2y-3=0的交點(diǎn),

即1點(diǎn).故答案為g.

3.如圖1所示，已知A6c中的三頂點(diǎn)A(2,4),8(-l,2),C(l,0),

點(diǎn)P(x,y)在ABC內(nèi)部及邊界運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你探究并探討以下問題：

(圖1)

若目標(biāo)函數(shù)是z=』匚或z=3蟲，你知道其幾何意義嗎？你能否借助其幾何

意義求得Zmm和Zmax?

XX+1

三、與距離有關(guān)的最值問題

2-

z—x()}+(yy())~=(x-x0)**+(y-y())~=x~+y~+Ax+By+C(配方)的結(jié)構(gòu)表不定點(diǎn)Q

(xo,y。)到可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)N(x,y)的距離的平方或距離。

1.已知x+y-520,x+y-10<0.求爐+產(chǎn)的最大、最小值.

分析-：令z=/+y2,目標(biāo)函數(shù)是非線性的.而z=x2+y2=Q7Ip7可看做區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平

方.問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題.

解：由，+)」520,得可行域(如圖所示)為

[x