高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)示例

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

加法原理和乘法原理

教學(xué)目標(biāo)

正確理解和掌握加法原理和乘法原理，并能準(zhǔn)確

地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問題，從而發(fā)展學(xué)

生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：加法原理和乘法原理.

難點(diǎn)：加法原理和乘法原理的準(zhǔn)確應(yīng)用.

教學(xué)用具

投影儀.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）引入新課

從本節(jié)課開始，我們將要學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容中一

個(gè)獨(dú)特的部分——排列、組合、二項(xiàng)式定理.它們研

究對(duì)象獨(dú)特，研究問題的方法不同一般.雖然份量不

多，但是與舊知識(shí)的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后

學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)，統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及生物的選種

等都與它直接有關(guān).至于在日常的工作、生活上，只

要涉及安排調(diào)配的問題，就離不開它.

今天我們先學(xué)習(xí)兩個(gè)基本原理.

（二）講授新課

1.介紹兩個(gè)基本原理

先考慮下面的問題：

問題1:從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘

汽車，還可以乘輪船.一天中，火車有4個(gè)班次，汽

車有

個(gè)班次，輪船有3個(gè)班次.那么一天中乘坐這些交通

工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？

因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走

法，乘輪船有3種走法，每種走法都可以完成由甲地

到乙地這件事情.所以，一天中乘坐這些交通工具從

甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的走法.

這個(gè)問題可以總結(jié)為下面的一個(gè)基本原理（打出

片子——加法原理）：

加法原理：做一件事，完成它可以有幾類辦法，

在第一類辦法中有mi種不同的方法，在第二類辦法中

有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有m0種

不同的方法.那么，完成這件事共有N=mi+m2+…+H1

n種不同的方法.

請(qǐng)大家再來考慮下面的問題（打出片子—問題

2）：

問題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去

C村的道路有2條（見下圖），從A村經(jīng)B村去C村，

共有多少種不同的走法？

這里，從A村到B村，有3種不同的走法，按這

3種走法中的每一種走法到達(dá)B村后，再從B村到C

村又各有2種不同的走法，因此，從A村經(jīng)B村去C

村共有3X2=6種不同的走法.

一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原

理）：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟,

做第一步有mi種不同的方法，做第二步有m2種不同

的方法，做第n步有兩種不同的方法.那么，

完成這件事共有N=mixm2X3Xmn種不同的方法.

2.淺釋兩個(gè)基本原理

兩個(gè)基本原理的用途是計(jì)算做一件事完成它的所

有不同的方法種數(shù).

比較兩個(gè)基本原理，想一想，它們有什么區(qū)別？

兩個(gè)基本原理的區(qū)別在于：一個(gè)與分類有關(guān)，一

個(gè)與分步有關(guān).

看下面的分析是否正確（打出片子----題1，題2）：

題1：找1?10這10個(gè)數(shù)中的所有合數(shù).第一類

辦法是找含因數(shù)2的合數(shù)，共有4個(gè)；第二類辦法是

找含因數(shù)3的合數(shù)，共有2個(gè)；第三類辦法是找含因

數(shù)5的合數(shù)，共有1個(gè).

1?10中一共有N=4+2+l=7個(gè)合數(shù).

題2：在前面的問題2中，步行從A村到B村的

北路需要8時(shí)，中路需要4時(shí)，南路需要6時(shí)，B村

到C村的北路需要5時(shí)，南路需要3時(shí)，要求步行從

A村到C村的總時(shí)數(shù)不超過12時(shí)，共有多少種不同

的走法？

第一步從A村到B村有3種走法，第二步從B

村到C村有2種走法，共有N=3x2=6種不同走法.

題2中的合數(shù)是4，6，8，9，10這五個(gè)，其中6

既含有因數(shù)2,也含有因數(shù)3;10既含有因數(shù)2,也含

有因數(shù)5.題中的分析是錯(cuò)誤的.

從A村到C村總時(shí)數(shù)不超過12時(shí)的走法共有5

種.題2中從A村走北路到B村后再到C村，只有南

路這一種走法.

（此時(shí)給出題1和題2的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生找

出應(yīng)用兩個(gè)基本原理的注意事項(xiàng)，這樣安排，不但可

以使學(xué)生對(duì)兩個(gè)基本原理的理解更深刻，而且還可以

培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力）

進(jìn)行分類時(shí)，要求各類辦法彼此之間是相互排斥

的，不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨(dú)完成

這件事.只有滿足這個(gè)條件，才能直接用加法原理，

否則不可以.

如果完成一件事需要分成幾個(gè)步驟，各步驟都不

可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而

各步要求相互獨(dú)立，即相對(duì)于前一步的每一種方法，

下一步都有m種不同的方法，那么計(jì)算完成這件事的

方法數(shù)時(shí)，就可以直接應(yīng)用乘法原理?

也就是說：類類互斥，步步獨(dú)立.

(在學(xué)生對(duì)問題的分析不是很清楚時(shí)，教師及時(shí)地歸納小結(jié)，能使學(xué)生在應(yīng)用兩個(gè)基本原理

時(shí)，思路進(jìn)一步清晰和明確，不再簡(jiǎn)單地認(rèn)為什么樣的分類都可以直接用加法，只要分步而不管是否

相互聯(lián)系就用乘法.從而深入理解兩個(gè)基本原理中分類、分步的真正含義和實(shí)質(zhì))

(三)應(yīng)用舉例

現(xiàn)在我們已經(jīng)有了兩個(gè)基本原理.，我們可以用它們來解決一些簡(jiǎn)單問題了.

例1書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書.

(1)若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

(2)若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

(讓學(xué)生思考，要求依據(jù)兩個(gè)基本原理寫出這3個(gè)問題的答案及理由，教師巡視指導(dǎo)，并適

時(shí)口述解法)

(1)從書架上任取一本書，可以有3類辦法：第一類辦法是從3本不同數(shù)學(xué)書中任取1本，

有3種方法；第二類辦法是從5本不同的語文書中任取1本，有5種方法；第三類辦法是從6

本不同的英語書中任取一本，有6種方法.根據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是

N=mi+m2+m3=3+5+6=14.故從書架上任取一本書的不同取法有14種.

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1本，需要分成三個(gè)步驟完成，第一步取1

本數(shù)學(xué)書，有3種方法；第二步取1本語文書，有5種方法；第三步取1本英語書，有6種方法.根據(jù)

乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是N=m.xm2xm3=3x5x6=90.故，從書架上取數(shù)學(xué)書、語文書、英語

書各1本，有90種不同的方法.

(3)從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類辦法：第一類辦法是數(shù)學(xué)書、語文書各

取1本，需要分兩個(gè)步驟，有3,5種方法；第二類辦法是數(shù)學(xué)書、英語書各取1本，需要分兩

個(gè)步驟，有3*6種方法；第三類辦法是語文書、英語書各取1本，有5x6種方法.一共得到不

同的取法種數(shù)是N=3x5+3x6+5x6=63.即，從書架任取不同科目的書兩本的不同取法有63種.

例2由數(shù)字0，1,2,3.4可以組成多少個(gè)三位整數(shù)(各位上的數(shù)字允許重復(fù))？

解：要組成一個(gè)三位數(shù)，需要分成三個(gè)步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從1?4這4個(gè)數(shù)

字中任選一個(gè)數(shù)字，有4種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，共有5種選法；

第三步確定個(gè)位上的數(shù)字，仍有5種選法.根據(jù)乘法原理，得到可以組成的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)是N

=4x5x5=100-

答：可以組成100個(gè)三位整數(shù).

教師的連續(xù)發(fā)問、啟發(fā)、引導(dǎo)，幫助學(xué)生找到正確的解題思路和計(jì)算方法，使學(xué)生的分析問

題能力有所提高.教師在第二個(gè)例題中給出板書示范，能幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)兩個(gè)基本原理實(shí)

質(zhì)的理解，周密的考慮，準(zhǔn)確的表達(dá)、規(guī)范的書寫，對(duì)于學(xué)生周密思考、準(zhǔn)確表達(dá)、規(guī)范書寫良

好習(xí)慣的形成有著積極的促進(jìn)作用，也可以為學(xué)生后面應(yīng)用兩個(gè)基本原理解排列、組合綜合題打

下基礎(chǔ).

（四）歸納小結(jié)

歸納什么時(shí)候用加法原理、什么時(shí)候用乘法原理：

分類時(shí)用加法原理，分步時(shí)用乘法原理.

應(yīng)用兩個(gè)基本原理時(shí)需要注意分類時(shí)要求各類辦法彼此之間相互排斥；分步時(shí)要求各步是相

互獨(dú)立的.

（五）課堂練習(xí)

P222：練習(xí)1?4.

（對(duì)于題4,教師有必要對(duì)三個(gè)多項(xiàng)式乘積展開后各項(xiàng)的構(gòu)成給以提示）

（六）布置作業(yè)

P222：練習(xí)5>6>7-

補(bǔ)充題：

1.在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有多少個(gè)？

（提示：按十位上數(shù)字的大小可以分為9類，共有9+8+7+…+2+1=45個(gè)個(gè)位數(shù)字小于

十位數(shù)字的兩位數(shù)）

2.某學(xué)生填報(bào)高考志愿，有m個(gè)不同的志愿可供選擇，若只能按第一、二、三志愿依次填寫

3個(gè)不同的志愿，求該生填寫志愿的方式的種數(shù).

（提示：需要按三個(gè)志愿分成三步，共有m（m-1）（m-2）種填寫方式）

3,在所有的三位數(shù)中，有且只有兩個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)共有多少個(gè)？

（提示：可以用下面方法來求解：（1）△△口,（2）（3）（1）,（2）,

（3）類中每類都是9x9種，共有9x9+9x9+9x9=3x9x9=243個(gè)只有兩個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)）

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