浙教版七年級數(shù)學(xué)下冊同步講義專題37整式的除法(學(xué)生版+解析)

專題3.7整式的除法

曹目標(biāo)導(dǎo)航

1、掌握單項式除以單項式的除法運算：

2、掌握多項式除以單項式的除法運算：

須:知識精講

知識點01計算單項式除以單項式

【知識點】

1,單項式除以單項式：把系數(shù)、同底數(shù)寨分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有

的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.

【典型例題】

例1.(2022秋?河北保定?八年級校考期末)已知，尸)、(一),-]=6,則x',2的值為()

A.6B.36C.12D.3

例2.(2023春?八年級課時練習(xí))計算120%+(-4cJ)的結(jié)果是.

例3.(2023春?七年級課時練習(xí))計算

(1)(-a2)2b2+4〃。/；

(2)|x+2)2+(x+2)(x-2)-.

【即學(xué)即練】

1.（2023春?七年級課時練習(xí)）若3〃6,O=6a2/,則括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是（）

A.2ciB.abC.labD.3ab

2.（2023秋?福建福州?七年級福建省福州延安中學(xué)校考期末）如果三角形的面積為2,而，且其中一邊的長為

加，則這條邊上的高為（）

bb,

A.—B.—C.bD.2h

42

3.（2022秋?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計算：（3入力2.2孫+6心）=.

4.（2022秋?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期中）湖北省科技館位于武漢市光谷，其中"數(shù)理世界”展廳的W/7的密碼

被設(shè)計成如圖數(shù)學(xué)問題.小東在參觀時認真思索，輸入密碼后順利地連接到網(wǎng)絡(luò)，則他輸入的密碼是.

賬號：shulishijie

[x19y?z8]=1988

令

[x2yzx3y\=521

[（x5）5y4z3+x5y2z]=密圖

5.（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）數(shù)學(xué)老師給學(xué)生出了一道題：當(dāng)x=2021,），=22022時，求

[2力（fy一孫2）+個（2與，―/）]+/y的值.題目出完后，小明說：“老師給出的條件y=2022是多余的.”小

亮說：“不是多余的.”你同意誰的說法？為什么？請給出推理過程.

知識點（）2計算多項式除以單項式

【知識點】

1\多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.

【典型例題】

例L（2022秋?吉林長春?八年級?？茧A段練習(xí)）已知-4。與一個多項式的積是_|8/+12/+4?,則這個多

項式是（）

A.4』+3〃B.4a2-3aC.4?2-3a-］D.-4（r4-3?-1

例2.（2022秋?河南南陽?八年級統(tǒng)考期中）已知多項式2丁-4V-10除以一個多項式A,得商式為2x,余

式為x-10,求這個多項式A是.

例3.（2020秋?河南新鄉(xiāng)?八年級?？计谥校┯嬎?/p>

（l）（3x-2）（2x+3）-（x-l）2

（2）［x+2y）（x-2y）-2y（x-2y）+2xy^

⑶先化簡，再求值：［（x+y）2-（A-3y）（x+3.v）］^5y,其中x=-5,y=l.

【即學(xué)即練】

1.（2022秋?黑龍江哈爾濱?八年級?？计谥校┘褐L方形的面積為4/_6用+加，如果它的一邊長為2%

則它的另一邊長為（）

A.2a—3bB.8a—6Z?C.2a—3b+\D.&i—6b+2

2.（2023秋?湖南衡陽?八年級?？计谀┬∶髯鳂I(yè)本發(fā)下來時，不小心被同學(xué)沾了墨水：

（24//B+6x2y2）（-6x2y）=+3^-y,你幫小明還原一下被墨水污染的地方應(yīng)該是1）

A.—18工3）,2B.+18工3），C.—Lx>yi,D.H—廣

2

3.（2022秋?吉林白山?八年級校考期末）多項式A與單項式2a%的積為38/〃3-22“73則多項式A為

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.（2022秋?廣西南寧?九年級?？茧A段練習(xí)）下列計算正確的是（）

A.3X2+2X2=5X4B.丁./=2/

C.（./）'=/D.10加+（-5必）二一叼

2.（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）計算一（.一。）'+2（〃一4）2的結(jié)果是（）

A.一3（〃一。）B.2（a-b）C.-2（a-b）D.^（a-b）

3.（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）8//"（）=4a2從，則括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式（）

A.2a'b'cB.2。%2cC.24462cD.—a4b2c

2

4.（2022秋?河南洛陽?八年級統(tǒng)考期中）已知-4a與一個多項式的積是16/+12/+4〃，則這個多項式是（）

A.-4a2+3aB.4a2-3aC.4?2-3?+ID.-4?2-3?-l

5.（2023秋?山東臨沂?八年級統(tǒng)考期末）計算：（3f+2x）+gx=.

6.（2021秋?陜西漢中?八年級統(tǒng)考期中）一個長方形的面積為⑵加+3〃）平方米，長為〃米，則它的寬為

米.

7.（2023春?七年級課時練習(xí)）用籬笆圍一個面積為6/_2a的長方形花圃，其中一條邊長為北，則與這條

邊相鄰的邊長為.（用含。的代數(shù)式表示）

8.（2021秋?福建廈門?八年級廈門市第九中學(xué)校考期中）計算：：孫）』.（-諄）3=.2a?（-

3b）=.（a?！?）4■/=.

9.（2023秋?廣東廣州?八年級統(tǒng)考期末）（1）計算：（-6/+3a）+3a；

（2）計算：（l+a）（l-a）+a（l+a）.

10.（2022秋?河南南陽?八年級校聯(lián)考期末）先化簡，再求值：［（2》-），）（工+2），）-（4+），）：：+3?。?九其中4=1,

題組B能力提升練

1.（2。23秋?福建龍巖?八年級統(tǒng)考期東）下列計算正確的是（）

A.a2-aB.(*，/

C.（3/丫=9/D.

2.（2023秋?湖南衡陽?八年級?？计谀┬∶髯鳂I(yè)本發(fā)下來時，不小心被同學(xué)沾了墨水：

（24X4/B+6x2y2）4-（-6x2y）=-4^y2+3.vy-y?你幫小明還原一下被墨水污染的地方應(yīng)該是（）

A.一18/）,2B.+18X3J2C.-2x3y2D.

3.（2022秋?四川遂寧?八年級?？计谥校┤舳囗検?與單項式的乘積為-4。b+3/從一日，則用為（）

、31

A.-8a'/?3+6ab-1B.2a'l>--ab+—

3]

C.-2a'b"+—ab+—D.Sa2b2-6ab+1

4.（2023春?七年級課時練習(xí)）若多項式N與-；，山的積為-4//+3〃%-則汽=（）

3

A.-Sab2+66/2+1B.Sab2-6tz2+1C.Sab-6a2D.2ab2--a2-]

5.（2023春?七年級課時練習(xí)）計算（6/6+&/〃3c-2勿/）+（-24y）=.

6.（2023秋?遼寧大連?八年級統(tǒng)考期中）與單項式3〃的積是12/-6/+3。的多項式是.

7.（2022春?四川達州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，從邊長為W+2）的正方形紙片中剪去一個邊長為2的正方形,

剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖所示的長方形（不重疊，無縫隙），則拼成的長方形的一條邊長是出另

一條邊長是

2T

8.（2023春?七年級課時練習(xí)）已知A=2x,B是多項式，在計算3+A時，小馬虎同學(xué)把4+A看成了3+A；

結(jié)果得爐+x,則4+A=.

9.（2021春?重慶南岸?七年級重慶市第十一中學(xué)校校考期中）先化簡再求值：求代數(shù)式

[（34+?-3（3x-），）（x+），）卜;），的值，其中x=1,y=-3.

10.（2022春?七年級?？计谥校┯嬎?/p>

⑴填空：

?x2-x3+x4x=;

②(3/?+(-9心，)=.

⑵先化簡，再求值：(2x+l)(x-2)-(x+l)(x-l),其中x=2.

題組C培優(yōu)拔尖練

1.（2022秋?八年級課時練習(xí)）已知給出四個代數(shù)式，其中有一個代數(shù)式與其余代數(shù)式的化簡結(jié)果不

相等，則這個代數(shù)式是（）

*+,（2/丫，/.2a,4/+2a2

*1??

A.①B.②C.③D.（4）

，[acl[inH!

2.（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）若定義表示（3型『，I.表示-則運算3的結(jié)果

為（）

A.-72/zB.72〃C.D.

3.（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，從邊長為（。+2）的正方形紙片中剪去一個邊長為2的正方形，剩

余部分沿虛線又剪拼成一個如圖所示的長方形（不重疊，無縫隙），則拼成的長方形的一條邊長是小另一

條邊長是（）

A.a+4B.2a+4C.a-4

4.（2022春?福建廈門?七年級廈門雙十中學(xué)?？计谥校⒁徽叫伟慈鐖D方式分成〃個完全相同的長方形,

上、下各橫排三個，中間兩行各豎排若干個，則〃的值為（）

5.（2019秋?安徽蕪湖?八年級統(tǒng)考期末）如圖，有一種長方形紙片，長為a,寬為b（a>b）,現(xiàn)將這紙片挖出

一定的方式拼成長方形ABCD,其中兩塊陰影部分沒有被紙片覆蓋，設(shè)這兩塊陰影部分的面積為S.若當(dāng)BC

的長改變時，保持S不變，則￡=.

6.（2020秋?七年級單元測試）小明外祖母家的住房裝修三年后，地磚出現(xiàn)破損，破損部分的圖形如圖：現(xiàn)

有A、B、C三種地磚可供選擇，請問需要A磚塊，“磚塊，C磚塊.

4a+b

A展B宿C5t

破損部分草圖形

7.（2020春?山東煙臺?六年級統(tǒng)考期中）如圖，從邊長為（〃+4）的正方形紙片中剪去一個邊長為4的正方

形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖所示的長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的一邊為。，另一

邊長是.

。+4

8.（2022?四川成都?統(tǒng)考二模）如圖1中的瓶子盛滿了水，如果將這個瓶子中的水全部倒入圖2的杯子中,

那么一共需要個這樣的杯子（瓶子和杯子的厚度忽略不計）.

圖2

9.（2022秋?吉林白城?八年級?？计谥校┤鐖D，在長為4〃-1,寬為助+2的長方形鐵片上，挖去長為紜-2,

寬為2〃的小長方形鐵片.

⑴計算剩余部分（即陰影部分）的面積.

⑵求出當(dāng)。=4,b=3時的陰影面積.

10.（2022秋?全國?八年級專題練習(xí)）我們知道整數(shù)。除以整數(shù)。（其中可以用豎式計算，例如

計算68?13可以用整式除法如圖：

5

13兩

65

-3

所以68?13=5…3.

類比此方法，多項式除以多項式一般也可以用豎式計算，步驟如下：

①把被除式，除式按某個字母作降哥排列，并把所缺的項用零補齊；

②用被除式的第一項除以除式第一項，得到商式的第一項；

③用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類對齊），消去相等項；

④把減得的差當(dāng)作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)

時為止，被除式=除式X商式十余式，若余式為零，說明這個多項式能被另一個多項式整除.

例如:計算(6八7d-Y一D+Qt+D.

可用整式除法如圖：

3X3-5X*2+2X-1

2^+“6/一7/-/+0?，-1

64+3寸__________

-lOx^x2

_______-IO%，

4X2+0?x

________4-+2x_______

-2x-\

-2x-\

所以6/-7/一--1除以2x+1商式為3/-5/+2x-1,余式為0

根據(jù)閱讀材料，請回答下列問題：

(1)(丁_2/—2x-3)+(x—3)=.

(2)(6x3+14x2+23)(3x2-2x+4),商式為,余式為.

⑶若關(guān)于x的多項式2丁+以2+b-3能被三項式/-4+3整除，且小力均為整數(shù)，求滿足以上條件的m〃

的信及商式.

專題3.7整式的除法

粵目標(biāo)導(dǎo)航

1、掌握單項式除以單項式的除法運算；

2、掌握多項式除以單項式的除法運算；

須：知識精講

知識點01計算單項式除以單項式

【知識點】

1、單項式除以單項式：把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式，對于只在

被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.

【典型例題】

例1.（2022秋?河北保定?八年級?？计谀┮阎ǘ。S2）2+（_孫,-3,=6,則心，2的值為（）

A.6B.36C.12D.3

【答案】A

【分析】根據(jù)積的乘方，單項式與單項式的除法法則把左邊化簡后可得答案.

【詳解】:（。-2—（_獷3）2=6,

???仁尸）+6尸）=6,

/.xAy2=6,

故選：A.

【點睛】本題考查了積的乘方，以及單項式與單項式的除法法則，熟練掌握運算法則是解答

本題的關(guān)鍵.

例2.（2023春?八年級課時練習(xí)）計算12a%+（-4/）的結(jié)果是.

【答案】3ab

【分析】利用單項式除以單項式的法則，進行計算即可.

【詳解】解：12。%+（-4/）=_3他；

故答案為：—3ab.

【點睛】本題考查單項式除以單項式.熟練掌握單項式除以單項式的法則，是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023春?七年級課時練習(xí)）計算

⑴（一/『/+4//；

⑵（工+2『+（1+2）（工-2）-2/.

【答案】⑴。

4

⑵4x

【分析】（1）先計算積的乘方，再計算單項式除以單項式即可；

（2）先根據(jù)完全平方公式和平方差公式去括號，然后合并同類項即可.

【詳解】（1）解：原式=/從+4/從

=-1?

4,

（2）解：原式="2+4工+4+工2-4-2/

=4%.

【點睛】本題主要考查了積的乘方，單項式除以單項式，完全平方公式，平方差公式，合并

同類項，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練】

1.（2023春?七年級課時練習(xí)）若3〃〃.o=6///,則括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是（）

A.2aB.ahC.2abD.3ab

【答案】C

【分析】直接利用單項式除以單項式運算法則求解即可.

【詳解】解：???3加.（）=6〃討，

?6//>3-3加=2〃>.

「?括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式是：2ab.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了單項式的乘除運算，正確理解整式乘除的運算法則是解題關(guān)鍵.

2.（2023秋?福建福州?七年級福建省福州延安中學(xué)?？计谀┤绻切蔚拿娣e為2,疝，且

其中一邊的長為加，則這條邊上的面為（）

bb,

A.-B.-C.bD.2h

42

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形面積公式進行計算即可求解.

【詳解】?「三角形的面積為2他，且其中一邊的長為為.

「?這條邊上的高為烏羋二?，

2a

故選：D.

【點睛】本題考查了單項式除以單項式，掌握三角形的面枳公式是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計算：

（3Ay*7?2xy+.

【答案】3y2

【分析】先算積的乘方，再算乘法，最后算除法即可.

【詳解】解：原式=9工2.2孫++6/）,3=3）?

故答案為:3y2.

【點睛】本題考查整式混合運算，掌握運算順序和運算法則是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期中）湖北省科技館位于武漢市光谷，其中“數(shù)理世界〃展

廳的WR的密碼被設(shè)計成如圖數(shù)學(xué)問題.小東在參觀時認真思索，輸入密碼后順利地連接

到網(wǎng)絡(luò)，則他輸入的密碼是.

賬號：shulishijie

[x19y?z8]=1988

令

[x2yzx3y\=521

[（X5）5y4Z3+%5y2z]=密碼

【答案】2022

【分析】根據(jù)塞的乘方，單項式的乘除法計算即可解答

【詳解】:卜-4=1988,卜2萬?凸，]=[。句=521

5

...[（/）//+??*]=[x?y?z3+/丫2習(xí)=^2oy222j=2022

故答案為：2022

【點睛】本題考查了塞的乘方，單項式的乘除法，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵

5.（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）數(shù)學(xué)老師給學(xué)生出了一道題：當(dāng)x=2021,y=22022時，

求[2].（凸,一沖2）+冷，僅9-瑪卜V），的值.題目出完后，小明說:〃老師給出的條件y=2022

是多余的.”小亮說："不是多余的.〃你同意誰的說法？為什么？請給出推理過程.

【答案】同意小亮的說法，理由見解析

【分析】先根據(jù)單項式乘以多項式、合并同類項計算括號內(nèi)的，然后根據(jù)單項式除以單項式

進行計算即可求解.

【詳解】解：同意小亮的說法，理由如下，

〔2工?[x2y-xy2）+xy（2xy-x2）]^-x2y

=（2/）,-2/）,2+2x2y2-+x2y

=x3y-i-x2y

結(jié)果與）'無關(guān)，條件y=2022是多余的

當(dāng)x=2021時，原式二2021,

.,?小亮的說法正確.

【點睛】本題考查了單項式乘以多項式，單項式除以單項式，整式的加減，正確的計算是解

題的關(guān)鍵.

知識點02計算多項式除以單項式

【知識點】

1、多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的

商相加.

【典型例題】

例1.（2022秋?吉林長春?八年級?？茧A段練習(xí)）已知Ta與一個多項式的積是

-16/+12/+4。，則這個多項式是（）

A.-4a2+3aB.4a2-3aC.4?2-3a-1D.-4a2+3a-\

【答案】C

【分析】根據(jù)題意列式，應(yīng)用多項式除以單項式運算法則進行計算即可.

【詳解】解：（一164+12/+4o）+（-4a）

=-1命+（Ta）+124+（-4a）+4?+（-4a）

=4a2-3。-1?

故選：C.

【點睛】本題主要考查了整式除法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項式除以單項式運算法則，準(zhǔn)

確計算.

例2.（2022秋?河南南陽?八年級統(tǒng)考期中）已知多項式2./-4/-10除以一個多項式A,得

商式為2x,余式為x-10.求這個多項式A是_____.

【答案】X2-2x-^

【分析】根據(jù)整式的加減運算及乘除運算法則即可求出答案.

【詳解】由題意可知：

A=[2/-4X2-10-（K））]+2X

(2?-4X2-10-X+10)-2.V

2

故答案為：X2-2X-1

【點睛】本題考查整式的除法，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的乘除運算以及加減運算.

例3.（2020秋?河南新鄉(xiāng)?八年級?？计谥校┯嬎?/p>

（l）（3x-2）（2x+3）-（x-l）2

（2）（x+2），）（x-2），）-2y（x-2y）+2個

⑶先化簡，再求值：［（叱），）2-（1-3），）（工+3），）卜5），，其中x=-5,y=l.

【答案】⑴5S+7,-7

⑵/

2

［3}-x+2y,0

【分析】（1）根據(jù)多項式乘以多項式，完全平方公式進行化簡；

（2）根據(jù)平方差公式與單項式乘以多項式進行計算即可求解.

（3）根據(jù)平方差公式與完全平方公式進行化簡，然后根據(jù)多項式除以單項式進行計算，最

后將字母的值代入求值即可求解.

【詳解】（1）原式=6/+9/—4%一6—42+2］一1

=5X2+7X-7;

（2）原式=x2-4y2-2xy4-4y2+2x）J

=x2;

（3）原式=［d+2不,+y2-（X2-9y2）］+5y

=（2J9，+10）3）+5.V

2

=^x+2y,

J

2

當(dāng)x=-5,y=l時，原式_gK（_5）+2>d_0.

【點睛】本題考查了整式的混合運算以及化簡求值，掌握乘法公式以及整式的混合運算的運

算法則是解題的關(guān)犍.

【即學(xué)即練】

1.（2022秋?黑龍江哈爾濱?八年級?？计谥校┮阎L方形的面積為4〃2_6碗+%，如果它的

一邊長為2〃，則它的另一邊長為（）

A.2,（i—3bB.8a—6bC.2cl—3b+1D.&，-6Z?+2

【答案】C

【分析】根據(jù)多項式除以單項式的法則運算即可求得.

【詳解】解：:氏方形的面積為4/-6他+為，如果它的一邊長為2a,

4a2-6ab+2a2a(2a-3b+\)_,

/.--------------------=---------------------=2a-3b+\；

2a2a

「?它的另一邊長為：2a-3b+l；

故選C.

【點睛】本題考查的是多項式除以單項式，熟記對應(yīng)法則是解題的關(guān)鍵.

2.(2023秋?湖南衡陽?八年級?？计谀?小明作業(yè)本發(fā)下來時，不小心被同學(xué)沾了墨水：

(24X4/B+6x2y2)^(-6x2y)=-4x2y2+3^-y,你幫小明還原一下被墨水污染的地方應(yīng)該

是()

A.—18x3y2B.+18工3),2C.—2x3y2D.+—x3y2

【答案】A

【分析】利用多項式乘單項式的運算法則計算即可求解.

【詳解】解：(-4x2y2+3.^-y)-(-6x2y)=24x4y3-1y2+6x2y2,

/.?=-18/廣

故選：A.

【點睛】本題考查了整式的除法和乘法，熟練掌握法則是解本題的關(guān)鍵.

3.(2022秋?吉林白山?八年級?？计谀?多項式A與單項式2“%的積為38a7'-22a7〃，則

多項式A為.

【答案】19a2"7

【分析】直接利用多項式除以單項式運算法則計算得出答案.

【詳解】解：.??多項式A與單項式2/匕的積為38/護-224%2,

多項式A為:(38a物-22/吁(2。%)

=38。485+2a2b-22a7b2+2a2b

=\9crbA-Wcr'b.

故答案為：

【點睛】本題主要考杳了整式的除法，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

4.(2023春?七年級課時練習(xí))老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌捂住

了一個多項式，形式如下：(/^>X2X=4X2-6^+2X,則所指的多項式為.

【答案】2x—3)，+l

【分析】直接利用多項式除以單項式的運算法則計算得出答案.

【詳解】由題意可得，所梧多項式是：（4--6冷，+2x）+2%

=4x2+2x-6xy+2x+2x4-2x

=2x-3y+1

故答案為：2x-3y+l.

【點睛】本題主要考查了多項式除以單項式，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

5.（2022秋?四川宜賓?八年級統(tǒng)考期中）如圖1,在一張長方形紙板的四角各切去一個大小

相同的正方形，然后將四周折起，制成一個高為“cm的長方體無蓋紙盒（如圖2）.已知紙

盒的體積為（2。5+而2）cm）底面長方形的寬為比m.

⑴求原來長方形紙板的長;

⑵現(xiàn)要給這個長方體無蓋紙盒的外表面貼一層包裝紙，一共需要多少平方厘米的包裝紙?

【答案】⑴（4。+份厘米

(2)(從+4/+6ab)平方厘米

【分析】（1）根據(jù)長方體的體積公式進行計算即可：

（2）根據(jù)長方體的表面積公式進行計算即可.

【詳解】（1）解：由題意得：

（2（rb+ah'）+〃+/?=（2a+〃）厘米，

2a+b+a+a=（4a+〃）厘米，

答：這張長方形紙板的長為（4。+與厘米：

（2）解：b（2a+h）+2ah+2a（2a+h）

=lab+b2+lab+4a2+lab

=產(chǎn)+靖+&山（平方厘米），

答：一個這樣的紙盒需要用+4/+8加平方厘米的紅色包裝紙.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，認識立體圖形，熟練掌握長方體的體積公式和表面積

公式是解題的關(guān)鍵.

di分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.（2022秋?廣西南寧?九年級?？茧A段練習(xí)）下列計算E確的是（）

A.3X2+2X2=5X4B./丁=2/

C.（/）'=7D.10函+（—5必）=—為

【答案】D

【分析】根據(jù)整式的加法，乘法，除法運算法則，進行計算逐一判斷即可解答.

【詳解】解：A、3/+2/=5/，故A不符合題意；

B、故B不符合題意；

C、（X4）3=X12,故C不符合題意；

D、10cq'+（-5而）=-給2,故D符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）計算-（。-匕）；2（/?4）’的結(jié)果是（）

A.-^（a-b）B.2（a-b）C.-2（a-b）D.^（a-b）

【答案】A

【分析】將e-3看成整體，利用單項式除以單項式的法則運算即可.

【詳解】解：-（a-b^2（b-a^

=—（a-b^/?）"

T（j）.

故選：A.

【點睛】本題主要考查單項式除以單項式，掌握單項式除以單項式的法則是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）8a6吐+（）=4a?〃，則括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式（）

A.2z?VcB.2a%2cC.2a4b2cD.^-a4b2c

【答案】C

【分析】根據(jù)單項式除以單項式法則計算，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式為

8a6b4c子4a26=2a%2c

故選：C

【點睛】本題主要考查了單項式除以單項式，熟練掌握單項式除以單項式法則是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?河南洛陽?八年級統(tǒng)考期中）已知-4。與一個多項式的積是16/+12/+4〃，則

這個多項式是（）

A.-4a2+3aB.4a2-3aC.4a2-3c+ID.-4a2-3a-1

【答案】D

【分析】根據(jù)-4a與一個多項式的枳是16/+12"+4a得出這個多項式為

（164+12/+4a）+（-4a）,計算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得這個多項式為：

（164+12〃2+4a）+（-4a）=T/—3a—l,故D正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了多項式除以單項式，熟練掌握多項式除以單項式的運算法則，是解

題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?山東臨沂?八年級統(tǒng)考期末）計算：（3/+2.1）+；戶.

［答案］6.v+4##4+6.v

【分析】根據(jù)多項式除以單項式的法則化簡計算即可.

【詳解】解：（3x2+2x）^1x

2

=（3x2+2x）x—

x

「2r2

=3x~x—+2xx—

XX

=6x+4.

【點睛】本題考查的是多項式除以單項式的法則，熟記對應(yīng)法則是解題的關(guān)鍵.

6.（2021秋?陜西漢中?八年級統(tǒng)考期中）一個長方形的面積為⑵加+3〃）平方米，長為〃米,

則它的寬為米.

【答案】（26+3）##（3+2，〃）

【分析】根據(jù)長方形的面積等于長與寬的乘枳即可求出它的寬.

【詳解】解：.「長方形的面積為（2"〃?+3”）平方米，長為〃米，

它的寬為(2"?〃+3n)+〃=(2,〃+3)米,

故答案為：(2/?+3)

【點睛】此題考查了多項式除以單項式的應(yīng)用，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

7.(2023春?七年級課時練習(xí))用籬笆鬧一個面積為6/-2。的長方形花圃，其中一條加長

為加,則與這條邊相鄰的邊長為.(用含〃的代數(shù)式表示)

【答案】3tz-l##-l+3a

【分析】由長力形的面積求法可知由一邊乘以另?邊而存，則本題由面枳除以邊長可求得另

一邊.

【詳解】解：另一邊長為：(6/-24)+24=6/+2a—2a+2a=3a-l.

故答案為：3a-1

【點睛】本題考查了整式的除法，依據(jù)長方形面積公式，邊長乘以邊長，而求邊長即為面枳

除以其中一個邊長而得.

8.(2021秋?福建南門?八年級廈門市第九中學(xué)校考期中)計算：(“)2=.(-m2)3

=.2a*(-3b)=.(a6-2a3')+/=.

【答案】xiy2-m6-Gaba3-2##—2+a3

【分析】根據(jù)單項式的乘法，積的乘方、暴的乘方的性質(zhì)，多項式除以單項式分別計算求解

即可.

【詳解】解：(》)2=?優(yōu)

(-m2)3=-m6t

2a?(-3b)=-6ab；

(a6-2/)+。3=心+/-勿a3-2.

故答案為：X2)，；-"化-6ga3-2.

【點睛】本題考查了單項式的乘法，積的乘方、幕的乘方，多項式除以單項式，熟練掌握運

算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)灌.

9.(2023秋?廣東廣州?八年級統(tǒng)考期末)(1)計算：(-6/+3a)+3a；

(2)計算：(1+〃)(1-〃)+〃(1+4).

L答案】(1)—2a+1；(2)1+6f

【分析】(1)根據(jù)多項式除以單項式的運算法則計算即可；

(2)根據(jù)平方差公式，多項式乘以單項式計算即可.

【詳解】(1)解：(-6/+3a)+3a

=-6a2+3a+3a+3a

=—2a+1；

(2)解；(14-a)(l-a)+?(l+?)

=\-a~+a+M

=l+a.

【點睛】本題考查多項式除以單項式，平方差公式，多項式乘以單項式，正確計算是解題的

關(guān)鍵.

10.（2022秋?河南南陽?八年級校聯(lián)考期末）先化簡，再求值：

[（2x-y）（x+2），）-（K+y）-+3y2]f,其中x=l,y=-1.

J

【答案】x+y,|

【分析】根據(jù)多項式乘以多項式，完全平方公式，多項式除以單項式的運算法則進行化簡，

再把x=l,y=代入計算即可.

【詳解】解：原式=（2/+4切=個-2y2-f-2芍，-）,2+39）子彳

=（x2+沖）+工

=X+），，

當(dāng)x=l,y=時，

原式3f信1卜>針2

【點睛】本題考查多項式乘以多項式，完全平方公式，多項式除以單項式，正確化簡是解題

的關(guān)鍵.

題組B能力提升練

1.（2023秋?福建龍巖?八年級統(tǒng)考期末）下列計算正確的是（）

A.a2o,=a5B.⑷）、/

C.（3a）D.3a2-e-4?2=^a

【答案】A

【分析】根據(jù)幕的運算法則和整式的除法法則對各選項進行計算，即可作出判斷.

【詳解】解：A、/./=，，故本選項正確；

B、故本選項錯誤；

C、（3/丫=27/,故本選項錯誤;

D、3/?4/==，故本選項錯誤；

故選:A.

【點睛】本題主要考查了同底數(shù)哥的乘法，哥的乘方，積的乘方，整式的除法，正確掌握相

關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

2.(2023秋?湖南衡陽?八年級校考期末)小明作業(yè)本發(fā)下來時，不小心被同學(xué)沾了墨水：

(24x4y3H+6x2y2)-)=-4x2y2+3xy-y,你幫小明還原一下被墨水污染的地方應(yīng)該

是()

A.一18%3y2B.+18/)JC.一2*3)3D.+^y2

【答案】A

【分析】利用多項式乘單項式的運算法則計算即可求解.

【詳解】解：(-4x2),2+3D」)1(-6x2y)=24f),3—]8xV2+6x2y2,

/.■=-18x3y2.

故選：A.

【點睛】本題考查了整式的除法和乘法，熟練掌握法則是解本題的關(guān)鍵.

3.(2022秋?四川遂寧?八年級?？计谥?若多項式加與單項式-竽的乘積為

-4ab+3a2h2--,則M為()

2

)31

A.Sayby+6ab-1B.2a'b'~—ab+—

24

,31

C.—2a"b^+—ab+—D.Sa2b2-6ab+1

24

【答案】D

【分析】先根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)整式的除法法則進行計算，即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意,可得Mx(-當(dāng)=-4//+3/人學(xué)，

22

則M=(-4?V+3a2b2-)

22

-2>a~b--6cib+\.

故選：D.

【點睛】此題主要考查了整式的除法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)整式的除法

法則進行計算.

4.(2023春?七年級課時練習(xí))若多項式N與―而的積為-44/3+3/0-1曲，則N=()

22

3

A.-8?y+6r?+lB.8R/—6/+1C.Sab-6a2D.lair--a1

【答案】B

（1A/i

【分析】根據(jù)乘除是互逆運算，得出N=-4a%3+3/。一山子b,然后根據(jù)多項式

\乙）、乙）

除以單項式法則計算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，得

N=力）+方）

=（-4?2/?3）+（-：〃8）+3a'b+（-g?；睿?g40+1-gab^

=8加-6/+1，

故選：B.

【點睛】本題考杳多項式除以單項式法，熟練掌握多項式除以單項式法法則是解題的關(guān)鍵.

5.（2023春?七年級課時練習(xí)）計算（6。%2+8/力％-2〃//）+（-2'心2）=.

【答案】-3a2-4abc+b2

【分析】用多項式的每一項分別去除以多項式，注意不要忘記每一項的符號；再根據(jù)單項式

除以單項式的運算法則進行計算，最后把所得的商相加即可.

【詳解】解：（6。方+8/先-2用片（-2加）

=6a%2^^-2ab2）+Sa2h3c^-2ab2）-2ab4^-2ab2）

=-3a2-4abc+b2.

故答案為：-3a2-4abc+b2.

【點睛】此題考查多項式除單項式，掌握其運算法則是解決此題的關(guān)鍵.

6.（2023秋?遼寧大連?八年級統(tǒng)考期中）與單項式3a的枳是12/一64+3。的多項式是

【答案】4a2-2a+\

【分析】根據(jù)題意求（12",-6/+3〃）+3〃即可得出答案.

【詳解】（12/一6/+3。）+3a

=12a'+%-&『+%+%+3a

—4a2—2a+\

故答案為：4a2—2a+\-

【點睛】本題考查整式的除法，掌握除法法則是解題的關(guān)鍵.

7.（2022春叫川達州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，從邊長為（。+2）的正方形紙片中剪去一個邊

長為2的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成?個如圖所示的長方形（不重疊，無縫隙），則

拼成的長方形的一條邊長是m另一條邊長是.

H-Q+2fl

【答案】a+4##4+a

【分析】先求出剩余部分的面積為：（〃+2）2-4="+4“，再由面積相等，即可求解.

【詳解】???邊長為Q+2）的正方形的面積為（々+2）2,邊長為2的正方形的面積為4,

減去正方形后剩余部分的面積為：（。+2）2-4=6+4”,

長方形的寬為。，

「?長方形的長為：5+4〃）+a=a+4,

故答案為：a+4.

【點睛】本題考查完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，多項式除以單項式.能夠通過所給正

方形和長方形的面積關(guān)系進行求解是解題的關(guān)鍵.

8.（2023春?七年級課時練習(xí)）已知A=2x,8是多項式，在計算3+A時，小馬虎同學(xué)把B+4

看成了4+A；結(jié)果得V+x，則4+A=.

【答案】2^+2X2+2X

【分析】根據(jù)題意可得8+4=f+x，從而求出B,然后再計算4+A,即可解答.

【詳解】解：由題意得：B+4=/+x，

/.B=2.r（x2+x）=2x3+2x2,

B+A=2x^+2x2+2x,

故答案為：2/+2丁+2相

【點睛】本題考查了整式的加減，整式的除法，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)犍.

9.（2021春?重慶南岸?七年級重慶市第十一中學(xué)校校考期中）先化簡再求值：求代數(shù)式

[(3x+y)2_3(3x_y)(x+y)]+gy的值，其中x=Ly=-3.

【答案】8＞；-24

【分析】根據(jù)完全平方公式，多項式乘以多項式計算括號內(nèi)的，然后計算單項式除以單項式,

最后將字母的值代入進行計算即可求解.

【詳解】解：[(3x+y)2-3(3A-y)(x+y)]+gy

=[(9x2+6xy+y2)-3(3x2+3xy-xy-j,2)]4-yy

=(9x2+6x)'+j2-9x2-+3y2))，

=4y2-S--y

2

=8，

當(dāng))，=-3時，原式=8x(-3)=—24.

【點睛】本題考查了整式的混合運算與化簡求值，正確的計算是解題的關(guān)鍵.

10.(2022春?七年級?？计谥?計算

⑴填空：

?x2-x3+x4-x=;

②(3x2y)2+(-9凸,)=.

(2)先化簡,再求值:(2x-l)(x-2)—(x+l)(x—l),其中％=2.

【答案】⑴2A-5

⑵工2一31一1,-3

【分析】(1)①先算同底數(shù)的鼎相乘，再合并同類項；

②先算積的乘方和事的乘方，再算單項式的除法；

(2)先展開，再合并同類項，化簡后將m2代入即可.

(1)

解：0x2-X3+x4-x=x54-X5=2^；

②(3/),)2+(-9/y)=9x4y2+(-9/)，)=一)，；

故答案為：①2??；②-y；

(2)

解：(2x+l)(x-2)-(x+l)(x-1)

=2x2-4x+x-2-(x2

=2x2-Ax+x-2-x2+\

=x2-3x-l,

當(dāng)x=2時，

原式=2、3x2-l

=4-6-1

=-3.

【點睛】本題考查整式的運算，解題的關(guān)鍵是掌握整式運算的相關(guān)法則.

題組C培優(yōu)拔尖練

1.（2022秋?八年級課時練習(xí)）已知。工（），給出四個代數(shù)式，其中有一個代數(shù)式與其余代數(shù)

式的化簡結(jié)果不相等，則這個代數(shù)式是（）

*+d,（2叫二小2〃,4/+2a2

?|I*

A.①B.②C.③D.④

【答案】B

【分析】根據(jù)合并同類項的法則，積的乘方的法則，單項式乘單項式的法則，單項式除單項

式的法則進行計算.

【詳解】解:①。6+。6=攵6,

②（2,）2=4一,

③a5.2a=2a，

④4。，2/=2。6,

故化簡結(jié)果與其余代數(shù)式不一樣的是②.

故選：B.

【點睛】本題考查了合并同類項的法則，積的乘方的法則，單項式乘單項式的法則，單項式

除單項式的法則，解題關(guān)鍵是熟記法則并靈活運用.

2.（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）若定義表示（3x）2）',表示-3。支力，則運算

[inn]

,23的結(jié)果為（）

A.-72/:B.72〃C.D.一切”

【答案】A

【分析】先根據(jù)定義列出代數(shù)式，然后再利用積的乘方、單項式除法解答即可.

【詳解】解：由題意可得：

（3/?w-2）34-（-3w'/r）=216加'/-3〃#/）=_72/?.

故選A.

【點睛】本題主要考查了整單項式除法運算，根據(jù)新定義列出整式是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，從邊長為（。+2）的正方形紙片中剪去一個邊長為

2的正方形，剩余部分沿虛線乂剪拼成一個如圖所示的長方形（不重疊，無縫隙），則拼成

的長方形的一條邊長是。，另一條邊長是（）

口

A.a+4B.2a+4C.(i-4

【答案】A

【分析】先求出剩余部分的面積為：（a+2）2-4=4+4a,再由面積相等，即可求解.

【詳解】解：,??邊長為（。+2）的正方形的面積為Q+2）2,邊長為2的正方形的面積為4，

減去正方形后剩余部分的面積為：（a+2）2—4=cJ+4〃，

長方形的寬為。，

.二長方形的長為：（/+4〃）+a=a+4.

故選:A.

【點睛】本題考查完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，多項式除以單項式.能夠通過所給正

方形和長方形的面積關(guān)系進行求解是解題的關(guān)鍵.

4.（2022春?福建廈門?七年級廈門雙十中學(xué)?？计谥校⒁徽叫伟慈鐖D方式分成〃個完全

相同的長方形，上、下各橫排三個，中間兩行各豎排若干個，則〃的值為（）

【答案】C

【分析】設(shè)長方形的長為小寬為/，，根據(jù)大正方形的四條邊都相等列出方程得到。、〃的關(guān)

系，然后求出中間豎排的長方形的個數(shù)，再加上、下橫排的長方形即可.

【詳解】解：設(shè)長方形的長為。，寬為解

根據(jù)題意得，2a+2b=3a,

整理得,a=2b,

「?豎排的一行的長方形的個數(shù)為3〃%=（3x2b）+b=6,

/.71=3x2+6x2=6+12=18.

故選：C.

【點睛】本題是對圖形變化規(guī)律的考查，根據(jù)正方形的邊長列式求出長方形的長與寬的關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

5.（2019秋?安徽蕪湖?八年級統(tǒng)考期末）如圖，有一種長方形紙片，長為a,寬為b（a>b）,

現(xiàn)將這紙片挖出一定的方式拼成長方形ABCD,其中兩塊陰影部分沒有被紙片覆蓋，設(shè)這兩

塊陰影部分的面積為S.若當(dāng)BC的長改變時，保持S不變，則￡=.

【答案】3

【分析】表示出左上角與右下角部分的面積，求出之差，根據(jù)差與BC無關(guān)即可求出a與b

的關(guān)系式.

卸n?

左上角陰影部分的長為AE,寬為AF=3b,右下角陰影部分的長為PC,寬為a,

,/AD=BC,即AE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,

/.AE+a=4b+PC,即AE-PC=4b-a,

二.陰影部分面積之差S=AE?AF-PC?CG=3bAE-aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=(3b-a)PC+12b2-3ab,

則3b-a=0,即a=3b.

故答案為3.

【點睛】此題考查了整式的混合運算的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

6.（2020秋?七年級單元測試）小明外祖母家的住房裝修三年后，地磚出現(xiàn)破損，破損部分

的圖形如圖：現(xiàn)有44、C三種地磚可供選擇，請問需要A磚塊，B磚塊,

“口

a