2025年春人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)教案 27.2.1 第2課時(shí) 三邊成比例或兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似

第2課時(shí)三邊成比例或兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似教師備課素材示例●類比導(dǎo)入定義判定方法全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形邊邊邊(SSS)邊角邊(SAS)角邊角(ASA)角角邊(AAS)斜邊與直角邊(HL)相似三角形三個(gè)角分別相等，三條邊成比例的兩個(gè)三角形相似能否類比兩個(gè)三角形全等的條件尋找判定兩個(gè)三角形相似的條件？這節(jié)課我們來(lái)探索三角形相似的條件．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)對(duì)三角形全等的判定方法的回顧，讓學(xué)生類比全等三角形的判定方法嘗試去判定三角形相似．建議：復(fù)習(xí)三角形全等的判定方法時(shí)，讓學(xué)生自主歸納，強(qiáng)調(diào)三個(gè)條件，有利于相似三角形判定條件的確定．●懸念激趣如圖，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗(兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等，OC＝OD)測(cè)量某工具的內(nèi)孔直徑AB.若OC∶OA＝1∶2，如果測(cè)得CD＝8，那么AB＝2×8＝16.你知道這是為什么嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：用生活中的實(shí)例吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的渴求．建議：讓學(xué)生寫(xiě)出證明過(guò)程再小組討論，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感性認(rèn)識(shí)．*命題角度1由三邊關(guān)系判定兩個(gè)三角形相似判斷三邊是否成比例，先將三邊按大小順序排列，再分別計(jì)算出比值，最后由比值是否相等確定兩個(gè)三角形是否相似．【例1】已知△ABC三邊長(zhǎng)是eq\r(2)，eq\r(6)，2，與△ABC相似的三角形三邊長(zhǎng)可能是(A)A．1，eq\r(2)，eq\r(3)B．1，eq\r(3)，eq\f(\r(2),2)C．1，eq\r(3)，eq\f(\r(6),2)D．1，eq\r(3)，eq\f(\r(3),3)【例2】三角形三邊之比為3∶5∶7，與它相似的三角形最長(zhǎng)邊是21cm，則最短邊為_(kāi)_9__cm.*命題角度2判定網(wǎng)格圖中的三角形相似判定網(wǎng)格圖中的兩個(gè)三角形相似，一般要把網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)看作1，再利用勾股定理計(jì)算出三角形的邊長(zhǎng)，最后利用三邊成比例進(jìn)行判定．【例3】如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是(B)【例4】在方格紙中，每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)連線為邊的圖形叫做格點(diǎn)圖形．如圖，方格紙中的小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，試判斷格點(diǎn)圖形△ABC與△DEF是否相似，并說(shuō)明你的理由．解：△ABC與△DEF相似．理由如下：小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，根據(jù)勾股定理易求得DE＝eq\r(2)，DF＝2，EF＝eq\r(10)，AB＝eq\r(5)，AC＝eq\r(10)，BC＝5，∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(DF,AC)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(\r(10),5).∴△ABC∽△DEF.

*命題角度3利用“相似三角形的三邊成比例”解決三角形的邊、角問(wèn)題已知兩個(gè)三角形相似，那么可以利用對(duì)應(yīng)邊成比例求邊長(zhǎng)，利用對(duì)應(yīng)角相等求角度．【例5】如圖，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，連接BD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，連接AD，AE，若∠BAD＝20°，eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)＝eq\f(AC,AE)，則∠EAC＝__20°__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例5題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例6題圖）))【例6】如圖，要使△ABC∽△DEF，則x的值是__40__，△ABC與△DEF的相似比是__3∶5__．*命題角度4利用“兩邊成比例且?jiàn)A角相等”判定兩個(gè)三角形相似當(dāng)條件中有兩邊時(shí)，通常用兩邊成比例且?jiàn)A角相等來(lái)判定三角形相似．【例7】如圖，在△ABC中，連接點(diǎn)A與BC上一點(diǎn)M，點(diǎn)N在AM上，已知CM＝CN，eq\f(AM,AN)＝eq\f(BM,CM)，下列結(jié)論正確的是(B)A．△ABM∽△ACBB．△ANC∽△AMBC．△ANC∽△ACMD．△CMN∽△BCA【例8】如圖，四邊形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形．(1)△ACF與△ACG相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由；(2)求∠1＋∠2的度數(shù)．解：(1)相似．理由：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則AC＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，∵eq\f(AC,CF)＝eq\f(\r(2)a,a)＝eq\r(2)，eq\f(CG,AC)＝eq\f(2a,\r(2)a)＝eq\r(2)，∴eq\f(AC,CF)＝eq\f(CG,AC).又∵∠ACF＝∠GCA，∴△ACF∽△GCA；(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF.∵∠CAF＋∠2＝45°，∴∠1＋∠2＝45°.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．掌握相似三角形的判定定理1，2.2．會(huì)用判定定理判定兩個(gè)三角形相似．▲重點(diǎn)相似三角形的判定定理1，2的運(yùn)用．▲難點(diǎn)相似三角形判定定理的證明．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入1．如圖，AB∥CD，AE＝3，DE＝2，則eq\f(BC,CE)＝__eq\f(5,2)__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))2．如圖，已知AB∥CD∥EF，則下列結(jié)論不正確的是(C)A．eq\f(AC,CE)＝eq\f(BD,DF)B．eq\f(AC,AE)＝eq\f(BD,BF)C．eq\f(BD,CE)＝eq\f(AC,DF)D．eq\f(AE,CE)＝eq\f(BF,DF)3．判定兩個(gè)三角形全等我們有SSS，SAS，ASA，AAS等方法，類似地，判定兩個(gè)三角形相似是否也有類似的簡(jiǎn)單方法呢？◆活動(dòng)2探究新知1．教材P32探究．提出問(wèn)題：(1)改變?nèi)我饨腔騥值的大小，再試一試，是否有同樣的結(jié)論？(2)體會(huì)證明過(guò)程中△A′DE的作用．學(xué)生完成并交流展示．2．教材P33.提出問(wèn)題：(1)嘗試證明“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”；(2)若把圖27.2－8中的條件“∠A＝∠A′”換成“∠B＝∠B′”，那么兩個(gè)三角形一定相似嗎？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．三邊__成比例__的兩個(gè)三角形相似．2．兩邊成比例且?jiàn)A角__相等__的兩個(gè)三角形相似．◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1教材P33例1.例2在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC與△DFE相似，需添加的一個(gè)條件是__BC＝2EF(或∠A＝∠D)__．(寫(xiě)出一種情況即可)例3如圖，在梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，如果邊AB上的點(diǎn)P使得以P，A，D為頂點(diǎn)的三角形和以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似，求AP的長(zhǎng)．解：設(shè)AP＝x，則BP＝7－x.(1)當(dāng)△APD∽△BCP時(shí)，則eq\f(AP,BC)＝eq\f(AD,BP)，即eq\f(x,3)＝eq\f(2,7－x)，解得x＝1或x＝6，符合條件；(2)當(dāng)△APD∽△BPC時(shí)，則eq\f(AP,BP)＝eq\f(AD,BC)，即eq\f(x,7－x)＝eq\f(2,3)，解得x＝eq\f(14,5)，符合條件．綜上所述，AP的長(zhǎng)是1或6或eq\f(14,5).練習(xí)1．教材P34練習(xí)第1，2，3題．2．如圖，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中點(diǎn)，在AB上取一點(diǎn)F，使△CBF與△CDE相似，則BF的長(zhǎng)是(D)A．5B．8.2C．6.4D．1.8eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))3．如圖，在正方形網(wǎng)格上畫(huà)出梯形ABCD，連接BD，則∠BDC的度數(shù)是__135°__．4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AD·AB＝AE·AC，那么ED與AB垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：ED與AB垂直．理由如下：由AD·AB＝AE·