2025年加拿大數(shù)學競賽（CMO）組合數(shù)學與數(shù)論進階模擬試卷：歷年真題剖析

2025年加拿大數(shù)學競賽（CMO）組合數(shù)學與數(shù)論進階模擬試卷：歷年真題剖析一、選擇題（每題5分，共25分）1.在集合A={1,2,3,4,5}中，集合B={x|x是A中偶數(shù)}，那么集合B的元素個數(shù)是多少？A.2B.3C.4D.52.已知函數(shù)f(x)=2x+1，那么函數(shù)f(x)的圖像關于哪條直線對稱？A.x軸B.y軸C.直線y=xD.直線y=-x3.在三角形ABC中，角A的度數(shù)是60°，角B的度數(shù)是45°，那么角C的度數(shù)是多少？A.60°B.75°C.90°D.105°4.已知等差數(shù)列的前三項分別是2,5,8，那么這個等差數(shù)列的公差是多少？A.1B.2C.3D.45.下列哪個數(shù)是質(zhì)數(shù)？A.49B.81C.97D.99二、填空題（每題5分，共25分）1.若一個數(shù)的平方根是3，那么這個數(shù)是______。2.在直角坐標系中，點P(2,3)關于x軸的對稱點是______。3.下列數(shù)中，既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的是______。4.已知等差數(shù)列的前三項分別是-1,2,5，那么這個等差數(shù)列的第四項是______。5.在三角形ABC中，角A的度數(shù)是30°，角B的度數(shù)是60°，那么角C的度數(shù)是______。三、解答題（每題10分，共30分）1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求函數(shù)f(x)的零點。2.在直角坐標系中，點A(1,2)，點B(4,6)，求線段AB的中點坐標。3.已知等差數(shù)列的前三項分別是3,7,11，求這個等差數(shù)列的公差和第10項。四、應用題（每題10分，共10分）4.小明有一塊長方形的地毯，長為8米，寬為4米。他計劃將地毯裁剪成若干個相同大小的正方形塊，每個正方形塊的邊長為2米。請計算小明最多能裁剪出多少個這樣的正方形塊？五、證明題（每題10分，共10分）5.證明：對于任意正整數(shù)n，都有n^3+n是3的倍數(shù)。六、綜合題（每題10分，共10分）6.已知數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列，其中a1=2，公比q=3。求這個數(shù)列的前5項和。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：集合B={x|x是A中偶數(shù)}，即B包含A中的偶數(shù)。A中的偶數(shù)有2和4，所以B的元素個數(shù)是2。2.C解析：函數(shù)f(x)=2x+1的圖像是一個斜率為2的直線，其圖像關于直線y=x對稱。3.B解析：三角形內(nèi)角和為180°，已知角A和角B，可以計算出角C的度數(shù)為180°-60°-45°=75°。4.A解析：等差數(shù)列的公差是相鄰兩項之差，所以公差為5-2=3。5.C解析：質(zhì)數(shù)是只有1和它本身兩個因數(shù)的自然數(shù)，97是質(zhì)數(shù)。二、填空題1.9解析：一個數(shù)的平方根是3，則這個數(shù)是3的平方，即9。2.(2,-3)解析：點P(2,3)關于x軸的對稱點是將點P的y坐標取相反數(shù)，得到(2,-3)。3.2解析：2既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，因為只有1和它本身兩個因數(shù)。4.8解析：等差數(shù)列的第四項是第三項加上公差，即5+3=8。5.90解析：三角形內(nèi)角和為180°，已知角A和角B，可以計算出角C的度數(shù)為180°-30°-60°=90°。三、解答題1.x=1或x=3解析：解方程x^2-4x+3=0，可以通過因式分解或者使用求根公式得到x=1或x=3。2.(3,4)解析：線段AB的中點坐標是兩點坐標的平均值，即((1+4)/2,(2+6)/2)=(3,4)。3.公差為4，第10項為41解析：等差數(shù)列的公差是相鄰兩項之差，所以公差為11-7=4。第10項是首項加上9倍的公差，即3+9*4=41。四、應用題4.16解析：地毯的面積是長乘以寬，即8米*4米=32平方米。每個正方形塊的面積是2米*2米=4平方米。所以可以裁剪出32平方米/4平方米=8個正方形塊。五、證明題5.證明：對于任意正整數(shù)n，有n^3+n=n(n^2+1)。因為n是正整數(shù)，所以n^2+1也是正整數(shù)，所以n(n^2+1)是3的倍數(shù)。因此，n^3+n也是3的倍數(shù)。六、綜合題6.2,6,18,54,162解析：等比數(shù)列的第n項公式是a1*q^(n-1)，其中a1是首項，q是公比。根據(jù)題目，a1=2，q=3，所以第