2025年春北師版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè) 第2章 2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 第3課時(shí) 形如y=a(x-h)²和y=a(x-h)²+k(a≠0)的圖象與性質(zhì)

第2章第2節(jié)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、選擇題1．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（-1，2）B．（-1，-2）C．（1，2）D．（1，-2）答案：C解析：解答：∵頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），∴拋物線y=（x-1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）．故選：C．分析：利用拋物線頂點(diǎn)式的特點(diǎn)直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．此題考查了求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法．熟記二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的形式是解題的關(guān)鍵．2．函數(shù)與（k≠0）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：由解析式可得：拋物線對(duì)稱軸x=0；A．由雙曲線的兩個(gè)分支分別位于二、四象限，可得k＜0，則-k＞0，拋物線開口方向向上、拋物線與y軸的交點(diǎn)為y軸的負(fù)半軸上；本圖象與k的取值相矛盾，故A錯(cuò)誤；B．由雙曲線的兩個(gè)分支分別位于一、三象限，可得k＞0，則-k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，本圖象符合題意，故B正確；C．由雙曲線的兩個(gè)分支分別位于一、三象限，可得k＞0，則-k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，本圖象與k的取值相矛盾，故C錯(cuò)誤；D．由雙曲線的兩個(gè)分支分別位于一、三象限，可得k＞0，則-k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，本圖象與k的取值相矛盾，故D錯(cuò)誤．故選：B．分析：此題可以先根據(jù)反比例函數(shù)的圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看一看是否一致．解決此類問題步驟一般為：（1）先根據(jù)圖象的特點(diǎn)判斷k的取值是否矛盾；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線與y軸的交點(diǎn)是否符合要求．3．在下列二次函數(shù)中，其圖象對(duì)稱軸為x=-2的是（）A．B．C．D．答案：A解析：解答：的對(duì)稱軸為x=-2，故A正確；的對(duì)稱軸為x=0，故B錯(cuò)誤；的對(duì)稱軸為x=0，故C錯(cuò)誤；的對(duì)稱軸為x=2，故D錯(cuò)誤．故選：A．分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出各個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸，依次進(jìn)行判斷，選出正確的選項(xiàng)．本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．4．如圖是二次函數(shù)的圖象，下列結(jié)論：①二次三項(xiàng)式的最大值為4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程的兩根之和為-1；④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)答案：B解析：解答：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），∴二次三項(xiàng)式的最大值為4，故①正確；∵x=2時(shí)，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②正確；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，一元二次方程的兩根之和為-2，故③錯(cuò)誤；使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0或x≤-2，故④錯(cuò)誤，故選：B．分析：此題考查的是二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)與不等式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、正確獲取圖象信息是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)確定二次三項(xiàng)式的最大值；②根據(jù)x=2時(shí)，y＜0確定4a+2b+c的符號(hào)；③根據(jù)拋物線的對(duì)稱性確定一元二次方程的兩根之和；④根據(jù)函數(shù)圖象確定使y≤3成立的x的取值范圍．5．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和y=kx+k（k≠0）的圖象大致是（）A．B．C．D．答案：D解析：解答：A．由一次函數(shù)y=kx+k的圖象可得：k＞0，此時(shí)二次函數(shù)的圖象應(yīng)該開口向上，錯(cuò)誤；B．由一次函數(shù)y=kx+k圖象可知，k＞0，此時(shí)二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)應(yīng)在y軸的負(fù)半軸，錯(cuò)誤；C．由一次函數(shù)y=kx+k可知，y隨x增大而減小時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸，錯(cuò)誤；D．正確．故選：D．分析：先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷k的符號(hào)，再判斷二次函數(shù)圖象與實(shí)際是否相符，判斷正誤．本題考查的是一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，解答此類題要熟練掌握一次函數(shù)y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)．6．如圖圖形中，陰影部分面積相等的是（）

A．甲乙B．甲丙C．乙丙D．丙丁答案：B解析：解答：甲：直線與x軸交點(diǎn)為（3，0），與y軸的交點(diǎn)為（0，4），則陰影部分的面積為×3×4=6；乙：陰影部分為斜邊為4的等腰直角三角形，其面積為×4×2=4；丙：拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（-3，0）與（3，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），則陰影部分的面積為×6×2=6；?。捍撕瘮?shù)是反比例函數(shù)，那么陰影部分的面積為×6=3；因此甲、丙的面積相等，故選：B．分析：甲、丙：根據(jù)函數(shù)解析式求出圖象與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算陰影部分的面積；乙：可判斷出陰影部分為斜邊為4的等腰直角三角形，據(jù)此計(jì)算陰影部分的面積；?。豪梅幢壤瘮?shù)系數(shù)k的幾何意義求出陰影部分的面積．此題考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及圖形面積的求法，熟練掌握各類函數(shù)的圖象特點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．7．王芳將如圖所示的三條水平直線，，的其中一條記為x軸（向右為正方向），三條豎直直線，，的其中一條記為y軸（向上為正方向），并在此坐標(biāo)平面內(nèi)畫出了拋物線，則她所選擇的x軸和y軸分別為（）A．，B．，C．，D．，答案：A解析：解答：∵拋物線的開口向上，∴a＞0，∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，∴應(yīng)選擇的y軸為直線；∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-3-9a），拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，-3），而-3-9a＜-3，∴應(yīng)選擇的x軸為直線，故選：A．分析：根據(jù)拋物線開口向上可知a＞0，將拋物線配方為，可得拋物線的對(duì)稱軸為x=3，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為-3-9a，由此結(jié)合圖象得到答案．此題考查了二次函數(shù)的圖象，理解二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．8．已知拋物線y=ax2+bx+c開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)（3，-5），那么該拋物線有（）A．最小值-5B．最大值-5C．最小值3D．最大值3答案：B解析：解答：因?yàn)閽佄锞€開口向下和其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-5），所以該拋物線有最大值-5．故選：B．分析：由拋物線的開口向下和其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-5），根據(jù)拋物線的性質(zhì)可以做出判斷．9．拋物線經(jīng)過平移得到，平移方法是（）A．向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位B．向右平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位C．向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位D．向左平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位答案：C解析：解答：∵的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），∴平移方法為：向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位．故選：C．分析：由拋物線得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），而平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化尋找平移方法．關(guān)鍵是確定平移前后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，尋找平移規(guī)律．10．若（2，5）、（4，5）是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，則它的對(duì)稱軸是（）A．B．x=1C．x=2D．x=3答案：D解析：解答：因?yàn)閽佄锞€與x軸相交于點(diǎn)（2，5）、（4，5），根據(jù)拋物線上縱坐標(biāo)相等的兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的平均數(shù)就是對(duì)稱軸，所以，對(duì)稱軸=3；故選：D．分析：因?yàn)辄c(diǎn)（2，5）、（4，5）是該拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，所以只需求出兩對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)的平均數(shù)即可．此題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性．11．若點(diǎn)A（2，），B（-3，），C（-1，）三點(diǎn)在拋物線的圖象上，則、、的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：∵二次函數(shù)中a=1＞0，∴開口向上，對(duì)稱軸為x==2，∵A（2，）中x=2，∴最小，又∵B（-3，），C（-1，）都在對(duì)稱軸的左側(cè)，而在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x得增大而減小，所以．∴．故選：C．分析：首先求出二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，然后判斷出A（2，），B（-3，），C（-1，）在拋物線上的位置，最后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解．解答此題的關(guān)鍵是（1）找到二次函數(shù)的對(duì)稱軸；（2）掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)．12．若函數(shù)的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，則c的取值范圍是（）A．c＞1B．c=1C．c＜1D．c≤1答案：A解析：解答：由題意，得△=，解得c＞1．故選：A．分析：先根據(jù)分式的意義，分母不等于0，得出，再根據(jù)二次函數(shù)（a≠0）的圖象性質(zhì)，可知當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a＞0，△＜0時(shí)，有y＞0，此時(shí)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)．要使得此題函數(shù)式子有意義，必須滿足分母不等于0．難點(diǎn)在于分母是關(guān)于自變量x的二次函數(shù)，要使自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，必須滿足△＜0．13．二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象如圖所示，當(dāng)x=a時(shí)，y＜0；那么當(dāng)x=a-1時(shí)，函數(shù)值（）A．y＜0B．0＜y＜mC．y＞mD．y=m答案：C解析：解答：當(dāng)x=a時(shí)，y＜0，則a的取值范圍是，又對(duì)稱軸是x=，所以a-1＜0，當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)值是m．因而當(dāng)x=a-1＜0時(shí)，函數(shù)值y一定大于m．故選：C．分析：根據(jù)對(duì)稱軸及函數(shù)值判斷a的取值范圍，從而得出a-1＜0，因?yàn)楫?dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x=a-1＜0時(shí)，函數(shù)值y一定大于m．此題主要考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，以及增減性．14．直角坐標(biāo)平面上將二次函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，則其頂點(diǎn)為（）A．（0，0）B．（1，-2）C．（0，-1）D．（-2，1）答案：C解析：解答：由題意得原拋物線的頂點(diǎn)為（1，-2），∵圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，∴新拋物線的頂點(diǎn)為（0，-1）．故選：C．分析：易得原拋物線頂點(diǎn)，把橫坐標(biāo)減1，縱坐標(biāo)加1即可得到新的頂點(diǎn)坐標(biāo)．此題考查二次函數(shù)的平移問題；用到的知識(shí)點(diǎn)為：二次函數(shù)圖象的平移與頂點(diǎn)的平移一致．15．便民商店經(jīng)營(yíng)一種商品，在銷售過程中，發(fā)現(xiàn)一周利潤(rùn)y（元）與每件銷售價(jià)x（元）之間的關(guān)系滿足，由于某種原因，價(jià)格只能15≤x≤22，那么一周可獲得最大利潤(rùn)是（）A．20B．1508C．1558D．1585答案：C解析：解答：∵一周利潤(rùn)y（元）與每件銷售價(jià)x（元）之間的關(guān)系滿足，且15≤x≤22，∴當(dāng)x=20時(shí)，．故選：C．分析：因?yàn)樵摱魏瘮?shù)的開口方向向下，所以當(dāng)x-20=0時(shí)，y取最大值．此題考查了二次函數(shù)的最值．此題要注意x的取值范圍，在15≤x≤22范圍內(nèi)求解．二、填空題16．已知二次函數(shù)的圖象開口向下，則m的取值范圍是答案：m＜2解析：解答：∵二次函數(shù)的圖象開口向下，∴m-2＜0，∴m＜2，故答案為：m＜2．分析：由圖象的開口方向知m-2＜0，確定m的取值范圍．考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次項(xiàng)系數(shù)決定了開口方向，大于零開口向上，小于零開口向下．17．黃岡中學(xué)是百年名校，百年校慶上的焰火晚會(huì)令很多人記憶猶新．有一種焰火升高高度為h（m）與飛行時(shí)間t（s）的關(guān)系式是，若這種焰火在點(diǎn)燃升空后到最高處引爆，則從點(diǎn)火到引爆所需時(shí)間為s．答案：4解析：解答：根據(jù)題意，得焰火引爆處為拋物線的頂點(diǎn)處，頂點(diǎn)處的橫坐標(biāo)即代表從點(diǎn)火到引爆所需時(shí)間，則t==4s，故答案為：4．分析：根據(jù)關(guān)系式可知焰火的運(yùn)行軌跡是一個(gè)開口向下的拋物線，已知焰火在升到最高時(shí)引爆，即到達(dá)拋物線的頂點(diǎn)時(shí)引爆，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)就是從點(diǎn)火到引爆所需時(shí)間．利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象與實(shí)際問題的聯(lián)系進(jìn)行解答．18．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)P（a，bc）在第象限．答案：一解析：解答：從圖象得出，二次函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，且開口向上，∴a＞0，＞0，所以b＜0，∵二次函數(shù)的圖象與y軸交于y軸的負(fù)半軸，∴c＜0，∴a＞0，bc＞0，則點(diǎn)P（a，bc）在第一象限．故答案為：一．分析：只要根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)判斷出a及bc的符號(hào)，就可得出點(diǎn)P（a，bc）所在象限．此題考查了二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、開口方向與y軸的交點(diǎn)與系數(shù)的關(guān)系．19．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列說法：①ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而增大；⑤當(dāng)y＞0時(shí)，-1＜x＜3．其中，正確的說法有（請(qǐng)寫出所有正確說法的序號(hào)）．答案：②⑤解析：解答：∵拋物線的開口向下，與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴①錯(cuò)誤；由圖象可知：，∴2a+b=0，∴②正確；當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c＞0，∴③錯(cuò)誤；由圖象可知：當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而減小，∴④錯(cuò)誤；根據(jù)圖象，當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，y＞0，∴⑤正確；正確的說法有②⑤．故答案為：②⑤分析：①由圖象開口向下和與y軸的交點(diǎn)位置，求出a＜0，c＞0判斷；②由拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)判定；③把x=1代入拋物線，根據(jù)縱坐標(biāo)y的值判斷；④根據(jù)圖象的性質(zhì)（部分圖象的延伸方向）判斷；⑤根據(jù)圖象在x軸的上方時(shí)，y＞0，即可求出．注意：根據(jù)拋物線的開口方向即可得到a的正負(fù)，根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可求出c的值，根據(jù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)得出2a和b的關(guān)系式，把x=1或（-1）代入即可求出a+b+c和a-b+c的值．20．已知拋物線（a＜0）過A（-2，0）、O（0，0）、B（-3，）、C（3，）四點(diǎn)，則與的大小關(guān)系是答案：解析：解答：∵拋物線與x軸交于A（-2，0）、O（0，0）兩點(diǎn)，∴拋物線對(duì)稱軸為x==-1，∵B（-3，）、C（3，），點(diǎn)B離對(duì)稱軸較近，且拋物線開口向下，∴．故答案為：．分析：由已知得拋物線與x軸交于A（-2，0）、O（0，0）兩點(diǎn)，開口向下，對(duì)稱軸為x==-1，可知B、C兩點(diǎn)在對(duì)稱軸的兩邊，點(diǎn)B離對(duì)稱軸較近，再根據(jù)拋物線圖象進(jìn)行判斷．此題考查了二次函數(shù)的增減性．熟練掌握：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a＞0時(shí)，在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而增大；a＜0時(shí)，在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而減小．三、解答題21．已知拋物線，（1）用配方法確定它的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸；答案：（-1，）｜直線x=-1（2）x取何值時(shí)，y隨x增大而減?。看鸢福簒＞-1（3）x取何值時(shí)，拋物線在x軸上方？答案：-4＜x＜2解析：解答：（1）∵===，∴它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，），對(duì)稱軸為直線x=-1；（2）∵拋物線對(duì)稱軸是直線x=-1，開口向下，∴當(dāng)x＞-1時(shí)，y隨x增大而減小；（3）當(dāng)y=0時(shí)，=0解得=2，=-4，而拋物線開口向下，∴當(dāng)-4＜x＜2時(shí)，拋物線在x軸上方．分析：（1）用配方法寫成頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)求頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸；（2）對(duì)稱軸是x=-1，開口向下，根據(jù)對(duì)稱軸及開口方向確定函數(shù)的增減性；（3）令y=0，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，結(jié)合開口方向判斷x的取值范圍．注意：拋物線的頂點(diǎn)式適合與確定拋物線的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸，最大（小）值，增減性等；拋物線的交點(diǎn)式適合于確定函數(shù)值y＞0，y=0，y＜0．22．用配方法把函數(shù)化成的形式，然后指出它的圖象開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)和最值．答案：向下｜x=-1｜（-1，13）｜最大值13解析：解答：∵，∴開口向下，對(duì)稱軸x=-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，13），最大值13．分析：這個(gè)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)是-3，配方法變形成的形式，配方的方法是把二次項(xiàng)，一次項(xiàng)先分為一組，提出二次項(xiàng)系數(shù)-3，加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半，就可以變形成頂點(diǎn)式的形式．二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是：（a≠0，且a，h，k是常數(shù)），它的對(duì)稱軸是x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．23．已知m，n是關(guān)于x的方程的兩實(shí)根，求的最小值．答案：8解析：解答：依題意△=≥0，即，∴a≤-2或a≥3，由m+n=2a，mn=a+6，，∴a=3時(shí)，y的最小值為8．故答案為：8．分析：根據(jù)方程有兩個(gè)根，利用根的判別式求出a的取值范圍，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出m+n與mn的值，然后把整理成m+n與mn的形式，代入進(jìn)行計(jì)算求解．此題考查了二次函數(shù)的最值問題，根的判別式，利用根的判別式求出a的取值范圍是解題的關(guān)鍵．24．把拋物線平移得到拋物線m，拋物線m經(jīng)過點(diǎn)A（-6，0）和原點(diǎn)O（0，0），它的頂點(diǎn)為P，它的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)Q．（1）求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；答案：（-3，）（2）寫出平移過程；答案：先向左平移3個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位（3）求圖中陰影部分的面積．答案：解析：解答：（1）平移的拋物線解析式為==，所以頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，）；（2）把拋物線先向左平移3個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位即可得到拋物線；（3）圖中陰影部分的面積=．分析：（1）先利用交點(diǎn)式確定平移后的拋物線解析式，然后配