北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列77期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)之平行四邊形二十個(gè)同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題7.7平行四邊形二十個(gè)必考點(diǎn)

【北師大版】

【考點(diǎn)1利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】.....................................................1

【考點(diǎn)2利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】.........................................................2

【考點(diǎn)3利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】.......................................................2

【考點(diǎn)4格點(diǎn)中利用無(wú)刻度直尺作平行四邊形】...................................................4

【考點(diǎn)5判斷能否構(gòu)成平行四邊形】.............................................................5

【考點(diǎn)6添加條件構(gòu)成平行四選形】.............................................................6

【考點(diǎn)7數(shù)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)】............................................................7

【考點(diǎn)8求與己知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】...............................................8

【考點(diǎn)9利用平行四邊形的判定證明平行四邊形】................................................10

【考點(diǎn)10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】..................................................11

【考點(diǎn)11利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求長(zhǎng)度】..................................................12

【考點(diǎn)12利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】..................................................13

【考點(diǎn)13利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求最值】..................................................14

【考點(diǎn)14利用動(dòng)點(diǎn)判斷平行四邊形】............................................................15

【考點(diǎn)15平行四邊形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】..................................................17

【考點(diǎn)16多邊形的對(duì)角線】.....................................................................18

【考點(diǎn)17多邊形中多（少）算一個(gè)角問(wèn)題】......................................................19

【考點(diǎn)18求截角后多邊形的邊數(shù)或內(nèi)角和1.....................................................................19

【考點(diǎn)19多邊形的內(nèi)角和與外角和的綜合運(yùn)用】..................................................20

【考點(diǎn)20三角形的中位線】.....................................................................21

》卜洋一五三

【考點(diǎn)1利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】

【例1】（2022春?浙江杭州?八年級(jí)校考期中）在平行四邊形力中，乙4的平分線把BC分成長(zhǎng)度是3,4

的兩部分，則平行四邊形/WCO的周長(zhǎng)是.

【變式1-1］（2022春?浙江杭州?八年級(jí)校考期中）平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為3和5,則其中一條

長(zhǎng)為整數(shù)的邊可以是.

【變式1-2］（2022春?浙江杭州?八年級(jí)?？计谥校┰谄?BCC中，BE,Cr分別平分〃BC,乙BCD,交4。于

點(diǎn)E,F,若4。=6,EF=2,則4B的長(zhǎng)為.

【變式1-3］（2022春?四川綿陽(yáng)?八年級(jí)?？计谥校┰诿娣e為15的平行四邊形4BCD中，過(guò)點(diǎn)4作4E垂直于

直線BC于點(diǎn)E,作4尸垂直于直線C。于點(diǎn)F,若4B=5,8C=6,則CE+CF的值為（）

A.11+魴B.11-納c.11+坨或D.11+.或1+農(nóng)

222222

【考點(diǎn)2利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】

【例2】（2022春?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)校考期中）如圖，將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線4c折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)夕

處，若41=48。，42=32。，則的度數(shù)為（）.

A.124°B.114°C.104°D.56°

【變式2-1］（2022春?江蘇南京?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，以平行四邊形力BCD的邊C。為斜邊向內(nèi)作等腰直

角4CDE,使40=DE=CE,乙DEC=90°,且點(diǎn)E在平行四邊形內(nèi)部，連接4E、BE,則乙4EB的度數(shù)是（）.

A.130°B.135°C.150°D.125°

【變式2-2］（2014春?江蘇無(wú)錫?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形為8CDO中，乙4=130、在40上取

DE=DC,則乙ECB的度數(shù)是度.

【變式2-3］（2022春?湖南永州?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，ABBC為1:2,取長(zhǎng)邊BC

的中點(diǎn)M,乙B=60°,則乙CDM=_.

【考點(diǎn)3利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】

【例3】（2022秋?遼寧葫蘆島?八年級(jí)校考期末）如圖，在即48。。中，4BAD,乙4DC的平分線AF,DE分別

與線段BC交于點(diǎn)EE,/IF與OE交于點(diǎn)G.

⑴求證：AF1DE,BF=CE.

（2）若AD=10,48=6,AF=8,求DE的長(zhǎng)度.

【變式3-1］（2022春?黑龍江雞西?九年級(jí)雞西市第四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，平行四邊形力8C0的對(duì)角線47、

8。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。與48、CO分別相交于點(diǎn)E、F,求證：OE=OF.

【變式3-2］（2022春?陜西漢中?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在見(jiàn)4BC0中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接力E并延長(zhǎng)

交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,AD=DF,連接DE.

⑴求證：AE平分心BAD；

⑵若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，48二60。，/0=4,求目的面積.

【變式3-3］（2022春?山西晉城?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平行囚邊形48co中，E、”分別是對(duì)角線上的

兩點(diǎn)，RBE=DF,連接力E、AF.CE、CF.求證：AE\\CF.

AD

【考點(diǎn)4格點(diǎn)中利用無(wú)刻度直尺作平行四邊形】

【例4】（2022春?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)校考期末）如圖，在6x6網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)AB在

格點(diǎn)上.請(qǐng)根據(jù)條件畫(huà)出符合要求的圖形.

⑴在圖甲中畫(huà)出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)且一邊長(zhǎng)為巡的平行四邊形.要求：各頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

⑵在圖乙中畫(huà)出線段的中點(diǎn)0.

要求：①僅用無(wú)刻度宜尺，且不能用直尺中的直角；②保留作圖痕跡.

【變式4-1］（2022春?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?八年級(jí)?？计谀┤鐖D,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,4、8、C、。均

在網(wǎng)格的格點(diǎn)上.

（1）2800是直角嗎？請(qǐng)證明你的判斷.

⑵找到格點(diǎn)￡，并畫(huà)出四邊形力BE。（一個(gè)即可），使得其面積與四邊形48。。面積相等.

【變式4-2］（2022春?浙江湖州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在10x10的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為

1），點(diǎn)力和點(diǎn)B都在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺，分別按以下要求作圖.

⑴圖1中，以力B為邊作一平行四邊形，要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且其面積為6；

⑵圖2中，以48為對(duì)角線作一平行四邊形，要求頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且其面積為10.

【考點(diǎn)5判斷能否構(gòu)成平行四邊形】

【例5】（2022春?山東臨沂?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABC。的對(duì)角線AC和相交于點(diǎn)。，下列

不能判定四邊形ABC。為平行四邊形的條件是（）

A.OA=OC,AB\\DCB./.ABC=Z.ADC,AD\\BC

C.Z.ABD=Z.ADB.Z.BAO=Z.DCOD.AB=DC,AD=BC

【變式5-1］（2022春?重慶潼南?八年級(jí)校聯(lián)考期中）下列命題中，真命題是（）

A.一組對(duì)邊平行，另--組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形

B.有一組對(duì)邊和一組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

C.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

D.兩條對(duì)角線G相垂直且相等的四邊形是平行四邊形

【變式5-2］（2022春?湖北武漢?八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，四邊形ABC。，AC,RD交于點(diǎn)0,請(qǐng)從給定

四個(gè)條件

①48=S

②AQII3C：

③詠。=勖8

④BO=QO中

選擇兩個(gè)，使得四邊形A8CO可判定為平行四邊形，你的選擇是（）

A.①②B.②④C.①③D.①④

【變式5-3］（2022春?北京?八年級(jí)北京市師達(dá)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，EL48co的對(duì)角線交于點(diǎn)。，點(diǎn)M,N,

P，。分別是團(tuán)力BCD四條邊上不重合的點(diǎn).下列條件：?AQ=CN,AM=CP；②MP,NQ均經(jīng)過(guò)點(diǎn)O：

③NQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,AQ=CN.能判定四邊形MNPQ是平行四邊形的有（填序號(hào)）.

【考點(diǎn)6添加條件構(gòu)成平行四邊形】

【例6】（2022春?河南信陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，E是平行四邊形A8C。的邊AO的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連

接BE交CD于點(diǎn)、F,連接CE,BD.添加下列一個(gè)條件后，仍不能判定四邊形8CED為平行四邊形的是（）

A.Z.ABD=Z.DCEB.Z.AEC=Z.CBDC.EF=BFD.Z.AEB=乙BCD

【變式6-1］（2022春?浙江湖州?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在咫A/WC中，0C=9O°,BC=8,AC=6,動(dòng)點(diǎn)

戶(hù)從點(diǎn)4開(kāi)始，沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A開(kāi)始，沿邊48向點(diǎn)8以每

秒暫個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，且恰好能始終保持連結(jié)兩動(dòng)點(diǎn)的直線燈通4C,動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始，沿邊。8向

?5

點(diǎn)8以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ.點(diǎn)尸，D,。分別從點(diǎn)A,。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端

點(diǎn)時(shí)，另兩個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒（槎0）.

（1）當(dāng)，為何值時(shí)，四邊形8QPD的面積為AABC面積的一半？

（2）是否存在/的值，使四邊形POBQ為平行四邊形？若存在，求出f的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【變式6-2］（2022春?山東棗莊?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形/WCD中，E,F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),

如果添加一個(gè)條件使四邊形8EDF是平行四邊形，則添加的條件不能是（）

AB

E

DC

A.DE=BFB.AE=FCC.AF=CED.Z1=42

【變式6-3]（2022春?北京?八年級(jí)北京八中?？计谥校┬≡茖W(xué)習(xí)了平行四邊形的判定后，想利用平行四邊

形的判定方法探究下列問(wèn)題.

圖2

⑴利用平行四邊形的判定方法作平行四邊形，作法是：如圖1，在△ABC中，分別以點(diǎn)4,C為圓心，BC,AB

為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D,連接4D,CD,四邊形4BCD就是平行四邊形.小云判定四邊形力BCD平行四邊

形的依據(jù)是___________

⑵探究：“四邊形力BCD中，若48=CO,對(duì)角線4c與80交于點(diǎn)。，且小。=C。，四邊形力8CD是平行四邊

形嗎？”

①在圖2中作出符合條件的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）：

②結(jié)合所作圖形，符合條件的四邊形力BCD（填寫(xiě)“是〃、"不是〃或”不一定是〃）平行四邊形.

（3）探究："四邊形力BCD中,若AB=CD,對(duì)角線4c與BD交于點(diǎn)。，且4。=CO,Z-AOB=45°,當(dāng)AB與4。滿(mǎn)

足什么條件時(shí)，四邊形48C0一定是平行四邊形？〃直接寫(xiě)出與4。滿(mǎn)足的條件是：.

【考點(diǎn)7數(shù)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)】

【例7】（2022春?江蘇無(wú)錫?八年級(jí)無(wú)錫市第一女子中學(xué)校考期中）如圖：在4x4的正方形（每個(gè)小正方形

的邊長(zhǎng)均為1）網(wǎng)格中，以4為頂點(diǎn)，其他三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格的交點(diǎn)）上，且面積為2的平行四邊形

共有多少個(gè)？（）

A.12B.16C.24D.25

【變式7-1］（2022春?內(nèi)蒙古通遼?八年級(jí)?？计谥校┯蓛蓚€(gè)全等三角形用各種不同的方法拼成四邊形，在

這些拼成的四邊形中是平行四邊形的個(gè)數(shù)是（）.

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【變式7-2］（2022春?河北石家莊?八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，AOJLBC于點(diǎn)點(diǎn)F為4C邊的中點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)A作A/〃BC,交。E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R連接CE

（1）如圖1，求證：四邊形4OC”是矩形；

（2）如圖2,當(dāng)48=AC時(shí)，取A6的中點(diǎn)G,連接QG、EG,在不添加任何輔助線和字母的條件下，請(qǐng)直

接寫(xiě)出圖中所有的平行四邊形（不包括矩形AOCQ.

【變式7-3］（2022春?內(nèi)蒙占巴彥淖爾?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形A4C。中，Eb^AD,GMAB,

則圖中的平行四邊形的個(gè)數(shù)共有（）個(gè).

A.12個(gè)B.9個(gè)C.5D.7

【考點(diǎn)8求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】

【例8】（2022春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正方

形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn).以格點(diǎn)為頂點(diǎn)按下列要求畫(huà)圖：

（1）請(qǐng)你在圖1中畫(huà)一個(gè)直角三角形滿(mǎn)足它是軸對(duì)稱(chēng)圖形：

（2）請(qǐng)你在圖2中畫(huà)一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，石為直角邊的直角三角形；

(3)若點(diǎn)人的坐標(biāo)為(0,1).請(qǐng)你在圖3中建立平面直角坐標(biāo)系，找出格點(diǎn)。，使以A、&C、。四個(gè)

點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則滿(mǎn)足條件的。點(diǎn)的坐標(biāo)是：.

圖1圖2

【變式8-1](2022春?新疆烏魯木齊?八年級(jí)新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)?？计谥?如圖，在8X8的正方形

圖1圖2

(1)圖1中△ABC的周長(zhǎng)為.(結(jié)果保留根號(hào))

⑵若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-1),請(qǐng)你在圖中找出一點(diǎn)。，使A、B、C.。四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,

則滿(mǎn)足條件的。點(diǎn)坐標(biāo)是.

⑶在圖2中畫(huà)出以為一邊長(zhǎng)，另外兩邊長(zhǎng)分別為和圓的格點(diǎn)△MNE.

【變式8-2](2022春?浙江衢州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)已知平面上有三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)4(2,0),8(5,2),C(3,4),以

點(diǎn)4點(diǎn)&點(diǎn)。為頂點(diǎn)畫(huà)平行四邊形，則第四個(gè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為—.

【變式8-3](2022春?山西臨汾?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,力、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

(-1,2),(4,2),(2,-1),若以?xún)築、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)。的坐標(biāo)不可能是()

A.(7,-1)B.(-3,-1)C.(1,5)D.(2,5)

【考點(diǎn)9利用平行四邊形的判定證明平行四邊形】

【例9】（2022春?浙江杭州?八年級(jí)杭州英特外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，3。是△ABC的角平分線，點(diǎn)E,

?分別在BC,上，且。￡||48,BE=AF.

BEC

⑴求證：四邊形40EF是平行四邊形

（2）若乙48C=60。，BD=2V3,求平行四邊形ADE"的面積.

【變式9-1］（2022秋?江蘇鹽城?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AC為走形/WCD的對(duì)角線，將邊/W沿折疊，使

點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿C9折疊，使點(diǎn)。落在力C上的點(diǎn)N處.

⑴求證：四邊形HECF是平行四邊形；

（2）若48=6,AC=10,求四邊形4ECF的面積.

【變式9-2］（2022春?江蘇南京?八年級(jí)校考期中）如圖，已知〃1垂直平分BD,DFLBD,4ABC=WCF.

⑴求證：四邊形。是平行四邊形.

（2）若OF=。尸=5,CD=6,求B0的長(zhǎng).

【變式9-3］（2022秋?陜西西安?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，己知在四邊形8CDE中，CD||8E,點(diǎn)尸是的

中點(diǎn)，連接C/交8E于點(diǎn)A,且點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求證：四邊形8CDE是平行四邊形.

【考點(diǎn)10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】

【例10】（2022春?重慶渝中?八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D，尸是口48。。的邊上的點(diǎn)，。是8尸中

2

點(diǎn)，連接CQ并延長(zhǎng)交力。于點(diǎn)E,連接4尸與OE相交于點(diǎn)P，若鼠在。=2cm2,SAB（?C=8cm,則陰影部分

的面積為（）cm?.

A.24B.17C.18D.10

【變式10-1]（2022秋?福建泉州,九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,△ABC中,Z-ABC=90°,Z-CAB=60°,AC=4.作

出A48c共于點(diǎn)A成中心對(duì)稱(chēng)的△力夕C',其中點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)為夕，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。，則四邊形CBC8的面積

是（）

A.128B.6473C.64D.32g

【變式10-2】（2022秋?浙江宇波八年級(jí)校考期末）如圖，分別以直角三角形的三邊向外作等邊三角形，然

后將較小的兩個(gè)等邊AAfG和△EDE■放在最大的等邊△48C內(nèi)（如圖），DE與FG交于點(diǎn)P,連結(jié)4P,FE.欲

求4GEC的面積，只需要知道下列哪個(gè)三角形的面積即可（）

A.AAPGB.AADPC.ADFPD.△FEG

【變式10-31（2022春?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在回4BCD中，過(guò)對(duì)角線8。上一點(diǎn)P作“||BC,GH||ABt

1CG=3BG,S⑦REPG=>5，則SCPH=一?

【考點(diǎn)11利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求長(zhǎng)度】

[ft11]（2022?遼寧丹東??？家荒＃┤鐖D，在團(tuán)48。。中，4840=120。，連接B。，作AE||BD交CO延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EFLBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?，且CF=1,則48的長(zhǎng)是（）

E

A.2B.1C.3D.V2

【變式11-1】（2022春?江蘇無(wú)錫?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，（M6c=45。，AB=2,BC=2四,點(diǎn)P為BC上

一動(dòng)點(diǎn)，AQ^BC,。納P,\Q、CQ交于點(diǎn)。，則四邊形APCQ的形狀是,連接。0,當(dāng)PQ取得

最小值時(shí)，四邊形APC。的周長(zhǎng)為.

【變式11-2]（2022?廣東佛山?石門(mén)中學(xué)校考一模）如圖，在a/BC中，D,E分別為8C“C上的點(diǎn)，將△CDE

沿DE折疊，得到△2￡）￡1,連接BF,CF,乙BFC=90。,若EF||48,43=4百，EF=10,則AE的長(zhǎng)為.

【變式11-3】（2022春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形/BCD中，AB\\CD,乙B=4,點(diǎn)E為8C延長(zhǎng)線

上一點(diǎn)，連接AC、AE,AE交CD于點(diǎn)、H,乙DCE的平分線交力￡千點(diǎn)G.若45=240=10,點(diǎn)H為C。的中

點(diǎn)，HE=6,則力C的長(zhǎng)為（）

C.10D.3同

【考點(diǎn)12利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】

121（2022春?湖北武漢?八年級(jí)校考期末）如圖,AB=13,點(diǎn)［為4B上一動(dòng)點(diǎn)，CD1AB于D,CD=8,

點(diǎn)E在線段CD上，CE=3,連接BE.當(dāng)BE+力。最小時(shí)，41CD的度數(shù)為（）

A.75°B.60°C.45°D,30°

【變式12-1】（2022.全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在4的RC邊的同側(cè)分別作等邊AABD.等邊△BCF

和等邊△力CE,48=3,AC=4,BC=5,求乙OFE的度數(shù).

【變式12-2】（2022秋?山東泰安?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形A8CQ中，AD//BC,對(duì)角線AC、BD

交于點(diǎn)。，且4O=OC.

（1）求證：

①04。的COb：

②四邊形ABCD為平行四邊形；

⑵過(guò)點(diǎn)。作E/皿3。，交AD于點(diǎn)、E,交BC于點(diǎn)、F,連接8E,若團(tuán)氐4。=100。，團(tuán)。3尸=32。，求團(tuán)的度

數(shù).

【變式12-3】（2022春?甘肅定西?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形力BCD中，。是對(duì)角線8。的中點(diǎn)，點(diǎn)E是

8C邊上一點(diǎn)，連接E。并延長(zhǎng)交4。邊于點(diǎn)八交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.0E=OF,AD=BC.

(1)求證：四邊形力BCO是平行四邊形.

(2)若乙4=62。，4G=40°,求48EG的度數(shù).

【考點(diǎn)13利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求最值】

【例13】(2022春?四川成都?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有4(0,3),。(5,0)兩點(diǎn).將直線

小y=%向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線L，點(diǎn)8在直線，2上，過(guò)點(diǎn)B作直線。的垂線，垂足為點(diǎn)C,連接48,

BC,CD,則折線A8CD的長(zhǎng)AB+BC+CD的最小值為.

【變式13-11(2022秋?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀等鐖D,在矩形ABC。中,48=12MD=10,

點(diǎn)P在4。上，點(diǎn)Q在m;上，且AP=CQ,連結(jié)CP、QD,則PC+QO的最小值為()

B

A.22B.24C.25D.26

【變式13-2]（2022春?河北保定?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,已知因4BCD的頂點(diǎn)A、C分別在直線%=1和％=4

上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對(duì)角線OB長(zhǎng)的最小值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式13-3】（2022秋?全國(guó)?八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，己知四邊形4MN8各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是：

4（0,-2）,B（2,2）,M（3,a）,N（3,b）,且MN=1,a<b,那么四邊形4MN8周長(zhǎng)的最小值為（）

A.6+2V5B.6+A/13C.V344-2>/5+1D.V344-V13+1

【考點(diǎn)14利用動(dòng)點(diǎn)判斷平行四邊形】

【例14】（2022春?山西晉城?八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究：直線y=%+2與》軸和y軸分別交于點(diǎn)4、B,

直線G）與48交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)。（0,8）,過(guò)點(diǎn)C作CE1x軸于點(diǎn)區(qū)點(diǎn)七的橫坐標(biāo)為3.

⑵點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（￡,0）作x軸垂線分別與直線力8、CD交于點(diǎn)M、N,求線段MN的長(zhǎng)（用t表示）；

⑶在（2）的條件下，t為何值時(shí)，以M、N、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

【變式14-11（2022春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，4（一8,0）,C（0,26）,AB||y軸且48=24,

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度/s的速度向點(diǎn)0

運(yùn)動(dòng)，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為￡秒.

Q

x

⑴當(dāng)四邊形BCQP是平行四邊形時(shí)，求t的值；

⑵當(dāng)尸Q=8。時(shí)，求t的值；

⑶當(dāng)PQ恰好垂直平分8。時(shí)，求￡的值.

【變式14-2】（2022秋?山東威海?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形48co中，AD\\BC,AD=3,BC=8,E

是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AD向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以每秒2個(gè)單位

長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)。出發(fā)，沿CO向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒

【變式14-3】（2022春?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)長(zhǎng)沙市第二H^一中學(xué)?？计谀┤鐖D,在梯形力BCO中,ADWBC,

力。=6,8c=16,E是BC的中點(diǎn).點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)

以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng).

⑴P。=，CQ=;（用含t的式子表示）

⑵當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，PQWCD,

⑶當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間￡為多少秒時(shí)，以點(diǎn)P，Q,E,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

【考點(diǎn)15平行四邊形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】

【例15】（2022春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一塊草地的中間有一條彎路,AC||BD,CE||OF.請(qǐng)給出一

種方案，把道路改直，且草地的種植面枳保持不變.

【變式15-1]（2022春?江蘇泰卅八年級(jí)靖江市靖城中學(xué)校期中）村莊A和村莊8位于一條小河的兩側(cè),

若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與4之間的距離最短？

?A

h

h

B?

【變式15-2]（2022秋?浙江溫州?八年級(jí)樂(lè)清外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┠筹L(fēng)力發(fā)電設(shè)備如圖1所示，其示意圖

如圖2,已知三個(gè)葉片。4OB,0C均勻地（N/10B=4BOC="04）分布在支點(diǎn)。上，0,垂直地面MN.當(dāng)

光線與地面的夾角為60。，葉片C0與光線平行時(shí)，測(cè)得葉片影子PQ的長(zhǎng)為12米，則葉片的長(zhǎng)為米；

當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中葉片08垂直光線（這片刻時(shí)間忽略不計(jì)，光線與地面的夾角還是60。），則葉片影子的長(zhǎng)度

是米.

圖1

【變式15-3】（2022春?江蘇?八年級(jí)期末）如圖1是某一遮陽(yáng)蓬支架從閉合到完全展開(kāi)的一個(gè)過(guò)程，當(dāng)遮陽(yáng)

蓬支架完全閉合時(shí)，支架的若干支桿可看作共線.圖2是遮陽(yáng)篷支架完全展開(kāi)時(shí)的一個(gè)示意圖，支桿MN固

定在垂直于地面的墻壁上，支桿CE與水平地面平行，且G,F,8三點(diǎn)共線，在支架展開(kāi)過(guò)程中四邊形力8co

始終是平行四邊形.

（1）若遮陽(yáng)蓬完全展開(kāi)時(shí)，S.長(zhǎng)2米，在與水平地面呈60。的太陽(yáng)光照射下，C七在地面的影子有米（影

子完全落在地面）

⑵長(zhǎng)支桿與短支桿的長(zhǎng)度比（即CE與4D的長(zhǎng)度比）是.

【考點(diǎn)16多邊形的對(duì)角線】

【例16]（2022?河南新鄉(xiāng)?七年級(jí)階段練習(xí)）若經(jīng)過(guò)九邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線可以將該n邊形分成6個(gè)

三角形，則九邊形的對(duì)角線條數(shù)為（）

A.20B.19C.18D.17

【變式16-1】（2022?山東威海?期末）一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)處可以引出10條對(duì)角線，這個(gè)多邊形的邊數(shù)

是（）

A.7B.8C.12D.13

【變式16-2】（2022?山東?泰安市泰山區(qū)大津口中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知從九邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可引

出m條對(duì)角線，這些對(duì)角線可以把這個(gè)九邊形分成九個(gè)三角形，則m-九二：十三邊形的共有

條對(duì)角線.

【變式16-3】（2022?吉林?長(zhǎng)春南湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）【教材重現(xiàn)】如圖是數(shù)學(xué)教材第135頁(yè)的部

分截圖.

在多邊形中，連接不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，所得到的線段稱(chēng)為多邊形的對(duì)角線.

【問(wèn)題思考】結(jié)合如圖思考，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以得到的對(duì)角線的數(shù)量，并填寫(xiě)表:

多邊形邊四五六..十二..n

教

從一個(gè)頂

點(diǎn)出發(fā)，

1條——......—......—

得到對(duì)角

線的數(shù)量

【問(wèn)題探究】〃邊形有〃個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)分別連接對(duì)角線后，每條對(duì)角線重復(fù)連接了一次，由此可推導(dǎo)出，

〃邊形共有對(duì)角線（用含有〃的代數(shù)式表示）.

【問(wèn)題拓展】

（1）已知平面上4個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接條線段.

（2）已知平面上共有15個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接條線段.

（3）已知平面上共有x個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接條線段（用含有x的代數(shù)

式表示，不必化簡(jiǎn)）.

【考點(diǎn)17多邊形中多（少）算一個(gè)角問(wèn)題】

【例17]（2022?湖北?廣水市楊寨鎮(zhèn)中心中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）小明在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗

心少計(jì)算了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得1345。，則未計(jì)算的內(nèi)角的大小為（）

A.80°B.85°C.95°D.100°

【變式17-1]（2022?四川達(dá)州?八年級(jí)期末）已知一個(gè)多邊形多算:了一個(gè)內(nèi)角得到內(nèi)角和是I960。，則這個(gè)

多邊形是（）

A.十一邊形B.十二邊形C.十三邊形D.十五邊形

【變式17-2】（2022?山西呂梁?八年級(jí)期中）已知一個(gè)包裝盒的底面是內(nèi)角和為720。的多邊形，它是由另一

個(gè)多邊形紙片剪掉一個(gè)角以后得到的，則原多邊形是邊形.

【變式17-3]（2022?江蘇?匯文實(shí)驗(yàn)初中七年級(jí)階段練習(xí)）小明在用計(jì)算器計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí).，得

出的結(jié)果為2005。，小芳立即判斷他的結(jié)構(gòu)是錯(cuò)誤的，小明仔細(xì)地復(fù)算了一遍，果然發(fā)現(xiàn)自己把一個(gè)角的度

數(shù)輸入了兩遍.你認(rèn)為正確的內(nèi)角卻應(yīng)該是.

【考點(diǎn)18求截角后多邊形的邊數(shù)或內(nèi)角和】

【例18】（2022?湖北十堰?八年級(jí)期中）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成16邊形，那么原來(lái)的多邊形的邊

數(shù)為（）

A.15或16或17B.15或17C.16或17D.16或17或18

【變式18-1】（2022?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是

1620%則原來(lái)多邊形的邊數(shù)是（）

A.10或11B.11或12或13C.11或12D.10或11或12

【變式18-2】（2023?河北?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條直線，把這個(gè)多邊形截掉兩個(gè)角，

它的內(nèi)角和變?yōu)?260。，則這個(gè)多邊形原來(lái)的邊數(shù)為（）

A.12B.10C.11D.10或11

【變式18-3】（2022?河南?上蔡縣第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖①，。中，BD平分匕ABC,且與

△48c的外角乙1的角平分線交于點(diǎn)。.

圖D

（1）若4ABC=75。，^ACB=45°,求匕。的度數(shù)；

（2）若把乙4截去，得到四邊形MNCB,如圖②，猜想NO、匕M、/N的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)19多邊形的內(nèi)角和與外角和的綜合運(yùn)用】

19]（2022?江蘇?無(wú)錫市查橋中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，求財(cái)+團(tuán)3+團(tuán)。短。+團(tuán)E+團(tuán)"SG+回〃的度數(shù)等于

A.180°B.360°C.540°D.720°

【變式19-1】（2022?河南信陽(yáng)?七年級(jí)期末）已知一正〃邊形的內(nèi)角和等于1440。，則這個(gè)正多邊形的每個(gè)外

角等于（）

A.36°B.45°C.60°D,72°

【變式19-2】（2022?山西臨汾?七年級(jí)期末）在五邊形ABCQE中，0B,0C,團(tuán)。，既的度數(shù)之比為3：

5：3：4：3,則由。的外角等于（)

A.60°B.75°C.90°D.120°

【變式19-3]（2022?江蘇?宿遷青華中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）利用"模型〃解決幾何綜合問(wèn)題往往會(huì)取得事半功

倍的效果.

幾何模型：如圖（1），我們稱(chēng)它為型圖案，

易證明：0EDF=0A+0B+0C；

應(yīng)用上面模型解決問(wèn)題：

（1）如圖（2）五角星”形，+/.A2+Z.A3+Z.A4+z/l5=?

分析：圖中A遇是"4”型圖，于是〃2。力5=N&++444，

所以乙41+乙42+乙43+乙心+乙4$=；

（2）如圖（3）七角星"形，+Z/l2+^A3+Z/l44-Z/l5+Z/l64-z/l7；

（3底II圖（4）八角星”形，可以求得：/??1]+乙42+乙人3++乙&+乙%+乙的+448=；

【考點(diǎn)20三角形的中位線】

【例20】（2022秋?山東淄博?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，LC=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)N

是8c邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M為A8邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。、E分別為CN,MN的中點(diǎn)，則。E的最小值是（）

24

A.2C.3D.~5

【變式20-1】（2022春?河北石家莊?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在給定的△A8C中，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)沿8C

專(zhuān)題7.7平行四邊形二十個(gè)必考點(diǎn)

【北師大版】

【考點(diǎn)1利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】....................................................23

【考點(diǎn)2利用平行四邊形的性質(zhì)求知度】........................................................26

【考點(diǎn)3利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】......................................................29

【考點(diǎn)4格點(diǎn)中利用無(wú)刻度直尺作平行四邊形】..................................................33

【考點(diǎn)5判斷能否構(gòu)成平行四邊形】............................................................38

【考點(diǎn)6添加條件構(gòu)成平行四邊形】............................................................42

【考點(diǎn)7數(shù)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)】..........................................................47

【考點(diǎn)8求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】.............................................50

【考點(diǎn)9利用平行四邊形的判定證明平行四邊形】................................................54

【考點(diǎn)10利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】..................................................59

【考點(diǎn)11利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求長(zhǎng)度】..................................................62

【考點(diǎn)12利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】..................................................6/

【考點(diǎn)13利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求最值】..................................................71

【考點(diǎn)14利用動(dòng)點(diǎn)判斷平行四邊形】............................................................76

【考點(diǎn)15平行四邊形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】..................................................81

【考點(diǎn)16多邊形的對(duì)角線】.....................................................................18

【考點(diǎn)17多邊形中多（少）算一個(gè)角問(wèn)題】......................................................19

【考點(diǎn)18求截角后多邊形的邊數(shù)或內(nèi)角和〕......................................................19

【考點(diǎn)19多邊形的內(nèi)角和與外角和的綜合運(yùn)用】..................................................20

【考點(diǎn)20三角形的中位線】.....................................................................21

”吟L/?三

【考點(diǎn)1利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】

【例1】（2022春?浙江杭州?八年級(jí)校考期中）在平行四邊形48CD中，的平分線把BC分

成長(zhǎng)度是3,4的兩部分，則平行四邊形的周長(zhǎng)是.

【答案】22或20##20或22

【分析】根據(jù)力E平分2B/D及/1DII8C可得出48=BE,BC=BE+EC,從而根據(jù)48、40的

長(zhǎng)可求出平行四邊形的周長(zhǎng).

【詳解】解：在平行四邊形力8CD中，ADWBC,^\LDAE=LAEB.

^LBAE=Z.DAE,

^LBAE=Z.BEA,

團(tuán)4B=BE,BC=BE+EC,

當(dāng)BE=3EC=4時(shí),

平行四邊形/BCO的周長(zhǎng)為：2（力8+力。）=2（3+3+4）=20.

當(dāng)BE=4,EC=3時(shí),

平行四邊形力BCD的周長(zhǎng)為：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22.

故答案為：22或20.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證

明AB=BE是解答本題的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2022春?浙江杭州?八年級(jí)?？计谥校┢叫兴倪呅蔚膬蓷l對(duì)角線長(zhǎng)分別為3和

5,則其中一條長(zhǎng)為整數(shù)的邊可以是.

【答案】2或3##3或2

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理計(jì)算判斷即可.

【詳解】設(shè)四邊形ABC。是平行四邊形，對(duì)角線交點(diǎn)為。，

團(tuán)。C=?,OD=-,

Z2

WD-OC=-2--2<CD<2OC2+0D

（31<CD<4,

回四邊形的邊長(zhǎng)為整數(shù)，

配7）=2,CD=3,

故答案為：2或3.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，熟練掌握三角形三邊關(guān)系定

理是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2022春?浙江杭州?八年級(jí)?？计谥校┰趫F(tuán)A8CD中,BE,Cr分別平分乙4BC,

乙BCD,交AD于點(diǎn)E,F,若40=6,EF=2,則48的長(zhǎng)為.

【答案】4或2##2或4

【分析】先證=同理，DC=DF,^iAE=AB=DC=DE,再分兩種情況，分別

求出A8的長(zhǎng)即可.

【詳解】解:由四邊形ABCD是平行四邊形,

^ADWBC,AB=DC,

^^.AEB=乙EBC,

(38E平分/ABC,

團(tuán)乙4BE=Z-EBC,

^Z.ABE=Z.AEB,

071E=AB,

同理，DC=DF,

^AE=AB=DC=DF,

分兩種情況：

①如圖1,

^\AE+DF=EF+AD,

即48+48=2+6,

解得：AB=4：

②如圖2,

則4E+EF+DF=4D,

即AB+2+48=6,

解得：AB=2；

綜上所述，48的長(zhǎng)為4或2,

故答案為：4或2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及分類(lèi)討論等知識(shí)，熟練

掌握平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的關(guān)健.

【變式1-3］（2022春?四川綿陽(yáng)?八年級(jí)?？计谥校┰诿娣e為15的平行四邊形4BCD中，過(guò)

點(diǎn)A作4E垂直于直線BC于點(diǎn)E,作”垂直于直線CD于點(diǎn)F,若AB=5,BC=6,則CE+CF

的值為（）

A.11+.B.11-的c.11+坨或11-弊D.11+m或

22222

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形面積求出力E和AF,有兩種情況，求出BE、DF的值，求出平￡和CF

的值，相加即可得出答案.

【詳解】解：13四邊形「BCD是平行四邊形,

048=CD=5,BC=AD=6,

①如圖：

由平行四邊形面積公式得：BCxAE=CDXAF=15,

求出4E=￡AF=3,

在和Rt△力OF中，由勾股定理得：AB2=AE2^-BE2,

把48=5,4E=|代入求出BE=3通，

同理。F=3百＞5,即「在DC的延長(zhǎng)線上（如上圖），

0CE=6-|V3,CF=3\^3-5,

即CE+CF=1+—；