極限計(jì)算試題及答案

極限計(jì)算試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.∞2.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=$（）A.eB.1C.0D.∞3.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\toa}g(x)=B$，則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)-g(x)]=$（）A.A+BB.A-BC.ABD.$\frac{A}{B}$（$B\neq0$）4.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=$（）A.0B.1C.eD.∞5.$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=$（）A.0B.1C.2D.不存在6.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x^{2}$是比$x$（）的無窮小。A.低階B.同階但不等價(jià)C.等價(jià)D.高階7.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}=$（）A.0B.$\frac{3}{2}$C.∞D(zhuǎn).不存在8.若$\lim\limits_{x\tox_{0}}f(x)$存在，則函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_{0}$處（）A.一定有定義B.一定無定義C.不一定有定義D.有定義且$f(x_{0})=\lim\limits_{x\tox_{0}}f(x)$9.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=$（）A.0B.1C.eD.∞10.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}}=$（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.∞二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列極限值為1的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}$B.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}$2.當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，下列函數(shù)為無窮小的有（）A.$\frac{1}{x}$B.$\frac{1}{x^{2}}$C.$e^{-x}$D.$\sin\frac{1}{x}$3.極限運(yùn)算法則中，若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\toa}g(x)=B$，則（）A.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]=A+B$B.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=AB$C.$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$（$B\neq0$）D.$\lim\limits_{x\toa}kf(x)=kA$（$k$為常數(shù)）4.以下哪些函數(shù)在$x\to0$時(shí)是等價(jià)無窮?。ǎ〢.$x$與$\sinx$B.$x$與$\tanx$C.$x$與$e^{x}-1$D.$x$與$\ln(1+x)$5.計(jì)算極限$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}$（$P(x)$，$Q(x)$為多項(xiàng)式）時(shí)，可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）A.0B.非零常數(shù)C.∞D(zhuǎn).不存在但不為∞6.下列極限存在的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}$C.$\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{1}{x}$D.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}$7.當(dāng)$x\to0$時(shí)，與$x$同階的無窮小有（）A.$2x$B.$x+x^{2}$C.$\sqrt{x}$D.$x\cosx$8.極限$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在的充要條件是（）A.$\lim\limits_{x\toa^{+}}f(x)$存在B.$\lim\limits_{x\toa^{-}}f(x)$存在C.$\lim\limits_{x\toa^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\toa^{-}}f(x)$D.$f(x)$在點(diǎn)$a$處連續(xù)9.下列極限計(jì)算正確的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3$B.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{x}=e^{2}$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^{2}}=\frac{1}{2}$D.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^{2}+1}{3x^{2}}=\frac{1}{3}$10.若$\lim\limits_{x\tox_{0}}f(x)=\infty$，$\lim\limits_{x\tox_{0}}g(x)=\infty$，則（）A.$\lim\limits_{x\tox_{0}}[f(x)+g(x)]=\infty$B.$\lim\limits_{x\tox_{0}}[f(x)-g(x)]=0$C.$\lim\limits_{x\tox_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}$可能為非零常數(shù)D.$\lim\limits_{x\tox_{0}}f(x)g(x)=\infty$三、判斷題（每題2分，共10題）1.無窮小量就是很小很小的數(shù)。（）2.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在，$\lim\limits_{x\toa}g(x)$不存在，則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]$一定不存在。（）3.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$。（）4.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x^{3}$與$x$是等價(jià)無窮小。（）5.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_{0}$處有定義是$\lim\limits_{x\tox_{0}}f(x)$存在的必要條件。（）6.$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$。（）7.無窮大量與無窮小量的乘積是無窮小量。（）8.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$，則$f(x)=A+\alpha$，其中$\lim\limits_{x\toa}\alpha=0$。（）9.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^{3}+1}{x^{2}+1}=\infty$。（）10.兩個(gè)無窮小量的商一定是無窮小量。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述極限的四則運(yùn)算法則。答：若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\toa}g(x)=B$，則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)\pmg(x)]=A\pmB$，$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=AB$，$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$（$B\neq0$），$\lim\limits_{x\toa}kf(x)=kA$（$k$為常數(shù)）。2.什么是等價(jià)無窮??？并舉例說明。答：當(dāng)$x\tox_{0}$（或$x\to\infty$）時(shí)，$\alpha(x)$和$\beta(x)$都是無窮小，若$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$，則稱$\alpha(x)$與$\beta(x)$是等價(jià)無窮小。例如當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x$與$\sinx$是等價(jià)無窮小。3.求極限$\lim\limits_{x\to2}\frac{x^{2}-4}{x-2}$的方法有哪些？答：可先對分子因式分解，$\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$（$x\neq2$），再將$x=2$代入得極限為4。也可直接用洛必達(dá)法則，對分子分母分別求導(dǎo)，得$\lim\limits_{x\to2}2x=4$。4.簡述極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則。答：一是夾逼準(zhǔn)則，若$g(x)\leqf(x)\leqh(x)$，且$\lim\limits_{x\toa}g(x)=\lim\limits_{x\toa}h(x)=A$，則$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$；二是單調(diào)有界準(zhǔn)則，單調(diào)有界數(shù)列必有極限。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論極限在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答：極限在物理中用于計(jì)算瞬時(shí)速度、加速度等；在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域可計(jì)算邊際成本、邊際收益等；在工程上可用于分析結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性等。它能將變化過程理想化，幫助人們準(zhǔn)確分析和預(yù)測實(shí)際現(xiàn)象。2.探討等價(jià)無窮小在極限計(jì)算中的作用及使用時(shí)的注意事項(xiàng)。答：等價(jià)無窮小在極限計(jì)算中可簡化運(yùn)算，將復(fù)雜的無窮小替換為簡單形式。使用時(shí)要注意必須是在乘除運(yùn)算中，加減運(yùn)算一般不能隨意替換，且需是在自變量趨于同一值時(shí)的等價(jià)無窮小替換。3.分析極限不存在的幾種情況，并舉例說明。答：極限不存在情況有：函數(shù)趨于無窮大，如$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$；左右極限不相等，如$\lim\limits_{x\to0}\frac{|x|}{x}$；函數(shù)值振蕩無極限，如$\lim\limits_{x\to0}\sin\frac{1}{x}$。4.如何理解函數(shù)在某點(diǎn)極限存在與函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的關(guān)系？答：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)則極限一定存在，且極限值等于該點(diǎn)函數(shù)值。但極限存在函數(shù)不一定連續(xù)，連續(xù)要求極限存在且等于函數(shù)值，極限存在只關(guān)注