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文檔簡介

極限計(jì)算試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)1.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$()A.0B.1C.不存在D.∞2.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=$()A.eB.1C.0D.∞3.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$,$\lim\limits_{x\toa}g(x)=B$,則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)-g(x)]=$()A.A+BB.A-BC.ABD.$\frac{A}{B}$($B\neq0$)4.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=$()A.0B.1C.eD.∞5.$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=$()A.0B.1C.2D.不存在6.當(dāng)$x\to0$時(shí),$x^{2}$是比$x$()的無窮小。A.低階B.同階但不等價(jià)C.等價(jià)D.高階7.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}=$()A.0B.$\frac{3}{2}$C.∞D(zhuǎn).不存在8.若$\lim\limits_{x\tox_{0}}f(x)$存在,則函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_{0}$處()A.一定有定義B.一定無定義C.不一定有定義D.有定義且$f(x_{0})=\lim\limits_{x\tox_{0}}f(x)$9.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=$()A.0B.1C.eD.∞10.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}}=$()A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.∞二、多項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)1.下列極限值為1的有()A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}$B.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}$2.當(dāng)$x\to\infty$時(shí),下列函數(shù)為無窮小的有()A.$\frac{1}{x}$B.$\frac{1}{x^{2}}$C.$e^{-x}$D.$\sin\frac{1}{x}$3.極限運(yùn)算法則中,若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$,$\lim\limits_{x\toa}g(x)=B$,則()A.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]=A+B$B.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=AB$C.$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$($B\neq0$)D.$\lim\limits_{x\toa}kf(x)=kA$($k$為常數(shù))4.以下哪些函數(shù)在$x\to0$時(shí)是等價(jià)無窮?。ǎ〢.$x$與$\sinx$B.$x$與$\tanx$C.$x$與$e^{x}-1$D.$x$與$\ln(1+x)$5.計(jì)算極限$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}$($P(x)$,$Q(x)$為多項(xiàng)式)時(shí),可能出現(xiàn)的結(jié)果有()A.0B.非零常數(shù)C.∞D(zhuǎn).不存在但不為∞6.下列極限存在的有()A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}$C.$\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{1}{x}$D.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}$7.當(dāng)$x\to0$時(shí),與$x$同階的無窮小有()A.$2x$B.$x+x^{2}$C.$\sqrt{x}$D.$x\cosx$8.極限$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在的充要條件是()A.$\lim\limits_{x\toa^{+}}f(x)$存在B.$\lim\limits_{x\toa^{-}}f(x)$存在C.$\lim\limits_{x\toa^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\toa^{-}}f(x)$D.$f(x)$在點(diǎn)$a$處連續(xù)9.下列極限計(jì)算正確的有()A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3$B.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{x}=e^{2}$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^{2}}=\frac{1}{2}$D.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^{2}+1}{3x^{2}}=\frac{1}{3}$10.若$\lim\limits_{x\tox_{0}}f(x)=\infty$,$\lim\limits_{x\tox_{0}}g(x)=\infty$,則()A.$\lim\limits_{x\tox_{0}}[f(x)+g(x)]=\infty$B.$\lim\limits_{x\tox_{0}}[f(x)-g(x)]=0$C.$\lim\limits_{x\tox_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}$可能為非零常數(shù)D.$\lim\limits_{x\tox_{0}}f(x)g(x)=\infty$三、判斷題(每題2分,共10題)1.無窮小量就是很小很小的數(shù)。()2.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在,$\lim\limits_{x\toa}g(x)$不存在,則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]$一定不存在。()3.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$。()4.當(dāng)$x\to0$時(shí),$x^{3}$與$x$是等價(jià)無窮小。()5.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_{0}$處有定義是$\lim\limits_{x\tox_{0}}f(x)$存在的必要條件。()6.$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$。()7.無窮大量與無窮小量的乘積是無窮小量。()8.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$,則$f(x)=A+\alpha$,其中$\lim\limits_{x\toa}\alpha=0$。()9.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^{3}+1}{x^{2}+1}=\infty$。()10.兩個(gè)無窮小量的商一定是無窮小量。()四、簡答題(每題5分,共4題)1.簡述極限的四則運(yùn)算法則。答:若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$,$\lim\limits_{x\toa}g(x)=B$,則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)\pmg(x)]=A\pmB$,$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=AB$,$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$($B\neq0$),$\lim\limits_{x\toa}kf(x)=kA$($k$為常數(shù))。2.什么是等價(jià)無窮???并舉例說明。答:當(dāng)$x\tox_{0}$(或$x\to\infty$)時(shí),$\alpha(x)$和$\beta(x)$都是無窮小,若$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$,則稱$\alpha(x)$與$\beta(x)$是等價(jià)無窮小。例如當(dāng)$x\to0$時(shí),$x$與$\sinx$是等價(jià)無窮小。3.求極限$\lim\limits_{x\to2}\frac{x^{2}-4}{x-2}$的方法有哪些?答:可先對分子因式分解,$\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$($x\neq2$),再將$x=2$代入得極限為4。也可直接用洛必達(dá)法則,對分子分母分別求導(dǎo),得$\lim\limits_{x\to2}2x=4$。4.簡述極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則。答:一是夾逼準(zhǔn)則,若$g(x)\leqf(x)\leqh(x)$,且$\lim\limits_{x\toa}g(x)=\lim\limits_{x\toa}h(x)=A$,則$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$;二是單調(diào)有界準(zhǔn)則,單調(diào)有界數(shù)列必有極限。五、討論題(每題5分,共4題)1.討論極限在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答:極限在物理中用于計(jì)算瞬時(shí)速度、加速度等;在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域可計(jì)算邊際成本、邊際收益等;在工程上可用于分析結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性等。它能將變化過程理想化,幫助人們準(zhǔn)確分析和預(yù)測實(shí)際現(xiàn)象。2.探討等價(jià)無窮小在極限計(jì)算中的作用及使用時(shí)的注意事項(xiàng)。答:等價(jià)無窮小在極限計(jì)算中可簡化運(yùn)算,將復(fù)雜的無窮小替換為簡單形式。使用時(shí)要注意必須是在乘除運(yùn)算中,加減運(yùn)算一般不能隨意替換,且需是在自變量趨于同一值時(shí)的等價(jià)無窮小替換。3.分析極限不存在的幾種情況,并舉例說明。答:極限不存在情況有:函數(shù)趨于無窮大,如$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$;左右極限不相等,如$\lim\limits_{x\to0}\frac{|x|}{x}$;函數(shù)值振蕩無極限,如$\lim\limits_{x\to0}\sin\frac{1}{x}$。4.如何理解函數(shù)在某點(diǎn)極限存在與函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的關(guān)系?答:函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)則極限一定存在,且極限值等于該點(diǎn)函數(shù)值。但極限存在函數(shù)不一定連續(xù),連續(xù)要求極限存在且等于函數(shù)值,極限存在只關(guān)注

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