初中數(shù)學(xué)競賽專題選講+初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

初中數(shù)學(xué)競賽專題選講十初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

初中數(shù)學(xué)競賽專題選講

一元二次方程的根

一、內(nèi)容提要

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(aK0)的實(shí)數(shù)根，是由它的系數(shù)a,b,c的值確定的.根公式是:

-b±^b~-4ac

(b2-4ac^0)

2a

2.根的判別式

①實(shí)系數(shù)方程ax2+bx+c=0(aW0)有實(shí)數(shù)根的充分必要條件是:

b2—4ac^0.

②有理系數(shù)方程ax2+bx+c=O(aW0)有有理數(shù)根的判定是:

b^-4ac是完全半方式Q方程有有理數(shù)根.

2

③整系數(shù)方程x+px+q=O有兩個整數(shù)根=p2-4q是整數(shù)的平方數(shù).

3.設(shè)Xi,X2是ax2+bx+c=0的兩個實(shí)數(shù)根，那么

2222

①axi+bxi+c=O(aNO,b—4ac>0),ax2+bx2+c=O(aWO,b—4ac^0)；

—b-\~ylb2-4ac-b-yjb2-4ac,r、

X2=----------------(aWO,b2—4ac>0)；

2a

hr

③韋達(dá)定理：Xi+X2=——,xiX2=—(aHO,b2—4ac^0).

aa

4,方程整數(shù)根的其他條件

2

整系數(shù)方程ax+bx4-c=O(a#0)有一個整數(shù)根Xi的必要條件是：刈是c的因數(shù).

特殊的例子有：

C=0<=>xi=0,a+b+c=O<z>xi=l,a-b+c=OOXi=-1.

二、例題

例1.已知：a,b,c是實(shí)數(shù)，且a=b+c+L

求證：兩個方程x2+x+b=O與x2+ax+c=0中，至少有一個方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

證明(用反證法)

設(shè)兩個方程都沒有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

那么△1W0和△zWO.

1-4/?<0①

即</_4。工0②

Q=Z?+C+1③

由①得bb+1力工代入③，得

44

a-c=b+l^—,4cW4a—5④

4

②+④：a2-4a+5^0,

即(a-2)2+1WO,這是不能成立的.

既然AiWO和△zWO不能成立的，那么必有一個是大于0.

???方程x2+x+b=0與x2+ax+c=0中，至少有一個方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

本題也可用直接證法：當(dāng)△i+Z\2>0時，則和中至少有一個是正數(shù).

例2.已知首項(xiàng)系數(shù)不相等的兩個方程：

(a-1)X?—(a?+2)x+(a2+2a)=0和(b~l)x2—(b2+2)x+(b2+2b)=0(Maa,b為正整數(shù))

有一個公共根.求a,b的值.

解：用因式分解法求得：

方程①的兩個根是a和0土2；方程②兩根是b和—.

67-10-\

由已知a>l,b>l且aWb.

:.公共根是a="2或b="2.

b-\a-1

兩個等式去分母后的結(jié)果是一樣的.

即ab~a=b+2zab—a—b+l=3,(a—l)(b—1)=3.

a—1=1,、a~\=3

Va,b都是正整數(shù),；或〈

b-\=3b-\=\

a=2a=4

解機(jī)或,

b=4b=2

又解：設(shè)公共根為Xo那么

(a-\)x"-(a2+2)x+(a2+2a)=0①出、瀉土一如后

()、先消去一次項(xiàng)：

222

(Z7-l)x0-0+2)x+(b+2b)=0②

①義(b-1)—②X(a-1)得

[一(a2+2)(b—l)+(b2+2)(a-1)]Xo+(a2+2a)(b-1)—(b2+2b)(a—1)=0.

整理得(a—b)(ab—a—b—2)(xo—1)=0.

??％Wb

Ax0=l;或(ab—a—b—2)=0.

當(dāng)x0=l時，由方程①得a=l,

.*.a—1=0,

???方程①不是二次方程.

???xo不是公共根.

當(dāng)(ab—a—b—2)=0時,得(a—l)(b—l)=3.......解法同上.

例3.己知：m,n是不相等的實(shí)數(shù)，方程x2+mx+n=0的兩根差與方程y2+ny+m=0的兩根差相等.

求：m+n的值.

解：方程①兩根差是

222

禺一々|={5-x2)=個(々+x2)-4x^2=4m-4n

同理方程②兩根差是

E-y2|=J1-4/z?

依題意，得dm2-4〃=J/?一.

兩邊平方得：m2—4n=n2—4m.

(m—n)(m+n+4)=0

,/mWn,

m+n+4=0,m+n=-4.

例4.若a,b,c都是奇數(shù)，則二次方程ax2+bx+c=0(aW0)沒有有理數(shù)根.

ni

證明：設(shè)方程有一個有理數(shù)根匕(m,n是互質(zhì)的整數(shù)).

n

那么a(—)2+b(—)+c=0,即an2+bmn+cm2=0.

nn

把m,n按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論，

???m,n互質(zhì)，，不可能同為偶數(shù).

①當(dāng)m,n同為奇數(shù)時，則aM+bmn+cm?是奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)￥0：

②當(dāng)m為奇數(shù)，n為偶數(shù)時，ad+bmn+cm?是偶數(shù)+偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)X0；

③當(dāng)m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時，aM+bmn+cm?是奇數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)W0.

綜上所述

不論m,n取什么整數(shù)，方程a('產(chǎn)+b(竺)+c=0都不成立.

nn

即假設(shè)方程有一個有理數(shù)根是不成立的.

???當(dāng)a,b,c都是奇數(shù)時，方程ax2+bx+c=0(aW0)沒有有理數(shù)根.

例5.求證：對于任意一個矩形A,總存在一個矩形B,使得矩形B與矩形A的周長比和面積比都等于k(kel).

證明：設(shè)矩形A的長為a,寬為b,矩形B的長為c,寬為d.

根據(jù)題意，得￡1&="=攵.

a+bab

.*.c+d=(a+b)k,cd=abk.

由韋達(dá)定理的逆定理，得

c,d是方程z?—(a+b)kz+abk=O的兩個根.

△=[―(a+b)k]2—4abk

=(a2+2ab+b2)k2—4abk

=k[(a2+2ab+b2)k—4ab]

22

Vk^l,a+b>2abz

/.a2+2ab+b2>4ab,(a2+2ab+b2)k^4ab.

，一定有c,d值滿足題設(shè)的條件.

即總存在一個矩形B,使得矩形B與矩形A的周長比和面積比都等于k(k21).

例6.k取什么整數(shù)值時，下列方程有兩個整數(shù)解？

①(k2-l)x2-6(3k-l)x+72=0；(2)kx2+(kz-2)x-(k+2)=0.

解：①用因式分解法求得兩個根是：x1=—,x2=—.

k+1k~\

由Xi是整數(shù)，得k+l=±l,±2,±3,±4,±6,±12.

莊X2是整數(shù)，得k-l=±l,±2,±3,±6.

它們的公共解是：得k=0,2,-2,3,-5.

答：當(dāng)k=0,2,—2,3,—5時，方程①有兩個整數(shù)解.

②根據(jù)韋達(dá)定理

k2-2,2

'+”-丁—+%

k+2,2

12kk

???X],X2,k都是整數(shù)，

??.k=±l,±2.(這只是整數(shù)解的必要條件，而不是充分條件，故要進(jìn)行檢驗(yàn).)

把2,-2,分別代入原方程檢驗(yàn)，只有當(dāng)k=2和k=-2時適合.

答：當(dāng)k取2和一2時，方程②有兩個整數(shù)解.

三、練習(xí)

1.寫出下列方程的整數(shù)解：

①5x2—6x=0的一個整數(shù)根是_x=0.

②3x2+(V2-3)x一行=0的一個整數(shù)根是_x=l

③x2+(V5+l)x+V5=0的一個整數(shù)根是x=-l_.

2.方程(1-m)x2—x-l=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，那么整數(shù)m的最大值是—職—.

3.已知方程x2-(2m-l)x-4m+2=0的兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于5,則m=_l.

4.若xWy,且滿足等式x?+2x—5=0和y?+2y—5=0.

那么_L+_L=1_.(提示：x,y是方程z2+5z—5=0的兩個根.)

5.如果方程x2+px+q=0的一個實(shí)數(shù)艱是另一個實(shí)數(shù)根的2倍，那么p,q應(yīng)滿足的關(guān)系是：9q=2p2

6.若方程ax2+bx+c=0中a>0,b>0,c<0.那么兩實(shí)數(shù)根的符號必是——正一負(fù).

7.如果方程mx2—2(m+2)x+m+5=0沒有實(shí)數(shù)根，那么方程(m—5)x?-2mx+m=0實(shí)數(shù)根的個數(shù)是(A).

(A)2(B)1(C)0(D)不能確定

8.當(dāng)z,b為何值時，方程x2+2(l+a：x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有實(shí)數(shù)根？a=lb=-l/2

9.兩個方程x2+kx—l=0和x2—x—k=0有一個相同的實(shí)數(shù)根，則這個根是(C)

(A)2(B)-2(C)1<：D)-1

10.已知：方程x2+ax+b=0與x2+bx+a=0僅有一個公共根，那么a,b應(yīng)滿足的關(guān)系是：

a不等于b.

11.已知：方程x2+bx+l=0與x2—x—b=0有一個公共根為m,求：m,b的值.

M=-lb=2

12.已知：方程x2+ax+b=0的兩個實(shí)數(shù)根各加上1,就是方程X?—a?x+ab=0的兩個實(shí)數(shù)根.試求a,b的值或取值范

圍.

13.己知：方程ax2+bx+c=0(a#0)的詼根和等于si，兩根的平方和等「S2,兩根的立方和等于S3.求證：as3+bs2+csi=0.

14.求證：方程x2—2(m+l)x+2(m—l)=0的兩個實(shí)數(shù)根，不能同時為負(fù).(可用反證法)

15.已知：a,b是方程x2+mx+p=0的兩個實(shí)數(shù)根；c,d是方程x2+nx+q=0

的兩個實(shí)數(shù)根.求證：(a—c)(b—c)(a—d)(b—d)=(p—q)2.

16.如果一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于5,兩實(shí)數(shù)根的積是2,那么這個方程是：

17.如果方程(x—l)(x2—2x+m)=0的三個根，可作為一個三角形的三邊長，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

33q

(A)OWmWl(B)m2—(C)-<m^l(D)二WmWl

444

18.方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0(k是整數(shù))的兩個實(shí)數(shù)根為a,B且OVaVl,

1cBV2,那么k的取值范圍是()

(A)3<k<4(B)-2<k<-l|C)3<k<4或(D)無解

參考答案

2

1.①0,②1,③一12.C3.1(舍去一2)4.-

5

5.9q=2p26.一正一負(fù)7.D8.a=l,b=-0.59.C

a=-2,

10.a+b+l=O,a^b11.m=-1,b=212JI1

b<—：b=-1.

4

13.左邊=a(X/+X23)+b(Xi2+X22)+C(Xi+X2)=

14.用反證法，設(shè)X]<0,X2<0,由韋達(dá)定理推出矛盾(m<—1,m>l)

15.由韋達(dá)定理，把左邊化為p,q

16.x2±3x+2=O17.C18.C

1997年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

第一試

一、選擇題(本題滿分42分，每小題7分)

1.下述四個命題

(1)一個數(shù)的倒數(shù)等于自身，那么這個數(shù)是1

(2)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

（3）a2的平方根是±Ia

⑷大r直角的角一定是鈍角

其中錯誤的命題有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.已知，則滿足上述條件的整數(shù)x的個數(shù)是（

A.4.B.5C.6D.7

3.若實(shí)數(shù)a,b,c滿足1十苗十/二9,代數(shù)式（a—b）2+（b-c）2+（c-a）」的最大值是（）

A.27B.18C.15I）.12

4.給定平面上n個點(diǎn)，己知1,2,4,8,16,32都是其中兩點(diǎn)之間的距離，那么點(diǎn)數(shù)n的最小可能值是（）

A.4.B.5.C.6D.7

5.在梯形ABCD中，AD〃BC,NB=30°,NC=60°,E,M,F,N分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，已如BC=7,MN

=3,則EF之值為（）

IA/

A.4B.4-C.51）.6.-

6.如圖:已知NA=NB,AA?PP?BBI均垂直于A3,

AA尸17,PP,=16,BB尸20,A,Bi=12,則AP+PB等于（）3——p]--------B1

A.12B.13C.14D.15

二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）

1.從等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)向三邊作垂線，已知這三條垂線的長分別為1，3,5,則這個等邊三角形的面積是

2.當(dāng)a取遍0到5的所有實(shí)數(shù)值時，滿足3b=a（3a—8）的整數(shù)b的個數(shù)是.

3.若a,b滿足+5網(wǎng)=7,,則s=—3網(wǎng)的取值范圍是.

4.若正整數(shù)x,y滿足方程（+丫2=1997,則x+y等于____.

第二試

一、（本題滿分20分）

設(shè)P為等腰直角三角形ACB斜邊AB二任意一點(diǎn)，PE垂直AC于點(diǎn)E,叩垂直BC于點(diǎn)F,PG垂直EF于點(diǎn)G,延長GP并

在其延長線上取一點(diǎn)D,使得PD=PC.

試證：BC1BD,且BC=BD.

二、(本題滿分25分)

已知a,b為整數(shù)，且a>b,方程3x2+3(a+b)x+4ab=()的兩個根a,B滿足關(guān)系式a(a+1)+8(B+

1)=(a+1)(B+l),試求所有的整數(shù)點(diǎn)對(a,b).

三、(本題滿分25分)

已知定理：“若三個大于3的質(zhì)數(shù)a,b,c滿足關(guān)系式2a+5b=c,則a+b+c是整數(shù)n的倍數(shù)”.試問：上述

定理中的整數(shù)n的最大可能值是多少？并證明你的結(jié)論.

1997年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案

第一試

一、選擇題

1.C.2.C

4.D.5.A

二、填空題

第二試

證：VZEPG=ZEFP=ZCPF,

???ZDPB=ZAPG=45°+NEPG=ZBPF+ZCPF=ZBPC.

又?.?PD=PC,PB公用，

/.△PDB^APCB.

又???NPBD=NCBP=45°，

AZCBD=90°,

.\BC±BD.

、

解：據(jù)題意，可得

a+B=-(a+b),a?B=￡b①

由關(guān)系式a(a+1)4-P(3+1)=(a4-1)(B+l)得(a+B)2—3aB=l②

把①代入②，得(a+b)2-4ab=l③

即(a-b)2=I

又。北〉，/.a--b=1④

又由判別式△》()得

3(a+b)2216ab⑤

將①代入⑤得

(a+b)2^4⑥

由④、③可知，滿足條件的整數(shù)點(diǎn)對(a,b)只能是(1,0),(0,-1)

解：n的最大可能值是9

先證：3整除a+b+c

???a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b)

.*.3Ia+b+c

設(shè)a、b被3除余數(shù)分別為ra、rb,則因a、b是大于3的質(zhì)數(shù)，故raKO,rbHO

若raWrb,則ra=l、rb=2或ra=2,rb=l,這時，2a+5b必是3的倍數(shù)，即c是合數(shù)了，矛盾

故ra=rb即ra=rb=l或ra=rb=2,此時，a+2b是3的倍數(shù)，從而9Ia+b+c

再證9是最大的

???2X11+5X5=47中，11+5+47=63,

又2X13+5X7=61中,134-74-61=81,

而(63,81)=9,故9是最大可能的值.

初中數(shù)學(xué)競賽專題培訓(xùn)第十三講梯形

與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位，本講就來

研究它們的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用.

例1如圖2?43所示.在H角三角形ABC中，E是斜邊AB上的中點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，DF〃EC交3c延

長線于F.求證：四邊形EBFD是等腰梯形.

分析因?yàn)镋,D是三角形ABC邊AB,AC的中點(diǎn),所以ED〃BF.此外,還要證明(1)EB=DF；(2)EB不平

行于DF.

證因?yàn)镋,D是△ABC的邊AB,AC的中點(diǎn),所以

ED/7BF.

又已知DF〃EC,所以ECm是平行四邊形，所以

EC=DF.①

乂E是RlAABC斜邊AB上的中點(diǎn)，所以

EC=EB.②

由①，②

EB=DF.

下面證明EB與DF不平行.

若EB〃DF,由于EC〃DF,所以有EC〃EB,這與EC與EB交于E矛箔，所以EB液DF.

根據(jù)定義，RBFD是等腰梯形.

例2如圖2-44所示.ABCD是梯形，AD〃BC,ADVBC,AB=ACH.AB_LAC,BD=BC,AC,BD交于0.求

/BCD的度數(shù).

FI

圖2—44

分析由于410是等腰三角形，若能確定頂點(diǎn)/CBD的度數(shù)，則底角/BCD可求.由等腰RtAABCnJ

求知斜邊BC（即BD）的K.乂相形的高，即RtZXABC斜邊上的中線也可求出.通過添輔助線可構(gòu)造直角三角

形，求出NBCD的度數(shù).

解過D作DEJ_EC于E,則DE的長度即為等腰RtZXABC斜邊上的高AF.設(shè)AB=a,由于AABF也是等腰

宜角三角形，由勾股定理知

AF2+BF2=AB2,

即

,2

2AF2=a2（AT=BF）,AF3=—,

所以

又

BC2=AB2+AC2=2AB::=2a2,

由于BC=DB,所以，在RtaBED中,

a2

DE2_DE2_J1

DB7"BC7"2?"4,

所以評;

從而/EBD=30°（直角三角形中30°角的對邊等于斜邊一半定理的逆定理）.在aCBD中,

ZBCD=r(1800-ZEBD)=7'.

例3如圖2/5所示.直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=90",ZADC=135°,CD的垂直平分線交BC于

N,交AB延長線于F,垂足為M.求證：AD=BF.

分析MF是DC的垂直平分線，所以ND=NC.由AD〃BC及NADC=135°知，NC=45°,從而NNDC=45°,

ZDNC=90°,所以ABND是矩形，進(jìn)而推知△BFN是等腰直角三角形，從而AD=BN=BF.

證連接DN.因?yàn)镹是線段DC的垂直平分線MF上的一點(diǎn)，所以ND=NC.由已知，AD〃BC及NADC=135°

知

ZC=45",

從而

ZNDC=45°.

在△NDC中，

ZDNC=90a(=ZDNB),

所以AB'D是矩形，所以

AF〃ND,NF=NDNM=45°.

△BNF是一個含有銳角45°的面角三角形，所以BN=BF.又

AD=BN,

所以AD=BF.

例4如圖2-46所示.直角梯形ABCD中，NC=90°,AD〃BC,AD+BC=AB,E是CD的中點(diǎn).若AD=2,BC=8,

求AABE的面積.

分析由于AB=AD+BC,即一腰AB的長等于兩底長之和，它啟發(fā)我們利用梯形的中位線性質(zhì)(這個性質(zhì)

在教材中是梯形的重要性質(zhì)，我們將在下一講中深入研究它，這里只引用它的結(jié)論).取腰AB的中點(diǎn)F,

連接EF.由梯形中位線性質(zhì)知；EF=1(AD+EC)=5,且EF“AD

2(或BC).過A

引AG_LBC于G交EF于H,則AH,GH分別是△AEF與△BEF的宸，所以

AG2=AB<BG2=(8+2)2-(8-2尸=100-36=64,

所以AG=8.這樣S&AW(=Si,WF+SzSM：r)可求.

解取AB中點(diǎn)F,連接EF.由梯形中位線性質(zhì)知

EF〃AD(或BC),

EF=1(AD+BC)=〈(2+8)=5.

乙乙

過A作AG_LBC于G,交A于H.由平行線等分線段定理知，AH=GH且AH,GH均垂直于EF.在RlZXABG

中，由勾股定理知

AG^AB--BG2

=(AD+BC)2-(BC-AD)2

=10<62=8\

所以AG=8,

從而AH=GH=4,

所以

SGAMSAAEF+SGWF

=《EF?AH+：EF?GH

22

=(EF?(AH+GH)

=：EF?AG=gx5X8=20.

例5如圖2-47所示.四邊形ABCF中，AB〃DF,NI=N2,AC=DF,FCVAD.

(1)求證：ADCF是等腰梯形：

(2)若△ADC的周長為16里米(cm),AF=3厘米，AC?FC=3厘米，求四邊形ADCF的周長.

分析欲證ADCF是等腰梯形.歸結(jié)為證明AD〃CF,AF=DC,不要忘了還需證明AF不平行丁DC.利用已

知相等的要素，應(yīng)從全等三角形下手.計(jì)算等腰梯形的周長，顯然要注意利用AC-FC=3厘米的條件，才能

將△ADC的周長過渡到梯形的周長.

解（1）因?yàn)锳B〃DF,所以N1=N3.結(jié)合已知N1=N2,所以/2=/3,所以

EA=ED.

又AODF,

所以EC=EF.

所以△EAD及AECF均是等腰三角形，且頂角為對頂角，由三角形內(nèi)角和定理知/3=/4,從而AD〃CF.不

難證明

△ACD^ADFA(SAS),

所以AF=DC.

若AF〃DC,則ADCF是平疔四邊形，則AD=CF與FCVAD矛盾，所以AF不平行于DC.

綜上所述，ADCF是等腰梯形.

（2）四邊形ADCF的周長=AD+DC+CF+AF.①

由于

△ADC的周K=AD+DC+AC=：6（厘米），②

AF=3（厘米），③

FC=AC-3,④

將②，③，④代人①

四邊形ADCF的周K=AD+DC+（AC-3）+AF

=(AD+DC+AC)-3+3

=16（厘米）.

例6如圖2-48所示.等腰梯形ABCD中，AB〃CD,對角線AC,BD所成的角NA0B=60°,P,Q,R分別

是OA,BC,0D的中點(diǎn).求證：△PQR是等邊三角形.

B

圖2—48

分析首先從P，R分別是OA,0D中點(diǎn)知，欲證等邊三角形PQR的邊長應(yīng)等于等腰梯形腰長之半?，為此,

只需證明QR,QP等于腰長之半即可.注意到△OAB與aOCD均是等邊三角形，P,R分別是它們邊上的中點(diǎn)，

因此，BP1OA,CR1OD.在RtZ^BPC與Rt^CRB中,PQ,RQ分別是它們斜邊BC(即等腰梯形的腰)的中線,

因此，?=1^=腰次；之半.問題獲解.

證因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，由等腰梯形的性質(zhì)知，它的同一底上的兩個角及對角線均相筆.進(jìn)

而推知，/OAB=/OBA及/OCI>/ODC.又已知，AC與BD成60°角，所以，ZSODC與AOAB均為正三角形.連

接BP,CR,則BPJ_OA,CR±OD.在RtABPC與RtACRB中，PQ,RQ分別是它們的斜邊BC上的中線,所以

PQ=RQ=1BC.①

又RP是△OAD的中位線，所以

RP=^AD.②

因?yàn)锳D=BC,③

由①，②，③得

PQ=QR=RP,

即APOR是正三角形.

說明本題證明引人注目之處有二：

(1)充分利用特殊圖形中將殊點(diǎn)所帶來的性質(zhì)，如正三角形OAB邊OR上的中點(diǎn)P,可帶來BP_LOA的性

質(zhì)，進(jìn)而又引出直角三角形斜邊中線PQ等于斜邊BC之半的性質(zhì).

(2)等腰梯形的“等腰”就如一座橋梁“接通”了“兩岸”的髀

22'從而使APQR的三邊相等.

練習(xí)十三

1.如圖2-49所示.梯形ABCD中，AD/7BC,AB=AD=DC,BDXCD.求NA的度數(shù).

C

圖2—49

2.如圖2-50所示.梯形ABCD中，AD〃BC,AE〃DC交BC于E,△ABE的周長=13厘米，AD=4厘米.求

梯形的局長.

3.如圖2?51所示.梯形ABCD中，AB〃CD,NA+NB=90°,AB=p,CD=q,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn).求

EF.

4.如圖2-52所示.梯形ABCD中，AD〃BC,M是腰DC的中點(diǎn),MN_LAB于N,且MN=b,AB=a.求梯形

ABCD的面積.

圖2-52

5.已知：梯形ABCD中，DC〃AB,NA=36°,NB=54°,M,N分別是DC,AB的中點(diǎn).求證:

(AB-CD).

2015年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn).第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和。分兩檔：第二試各題，

請按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在

評卷時請參照本評分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù).

第一試（A）

一、選擇顧：（本顧滿分42分,每小潁7分）

1.設(shè)實(shí)數(shù)。,力/滿足：a+/）+c=3,/+加+。2=4,則豈+任《+立《=（）

2-c2-a2-b

A.0B.3C.6D.9

【答】D.

Va+b+c=3,a2+/>2+c2=4,

工三

..3+*+3=K=(2+c)+(2+a)+(2+〃)

2—c2-a2-b2-c2-a2-b

=6+(a+6+c)=9.

2.若拋物線》=/+以+c與x軸只有?個公共點(diǎn)，且過點(diǎn)/(皿〃)，8(〃?8,〃)，則〃=()

A.8.B.12.C.16.D.24.

【答】C.

依題意，TTn=m2+bm+c=(//,-8)2+/>(/w-8)+c.于是可得b=8-2，〃.

?.?拋物線)，=/+版+。與x軸只有一個公共點(diǎn)，??"2-4C=0,??.。=1〃=(4一；?)2

4

因此n=m2+bnt+c—m2+(8-2m)m+(4—m)2=16.

3.矩形力88中，AD=5.AB=\O,E、尸分別為矩形外的兩點(diǎn)，BE=DF=4,AF=CE=3,

則￡/=()

A.4j\5.B.15.C.01T.D.10>/2.。.

［答］C./I-----\

易)知/AFD=/BEC=90°,△BEC0△DFA.：,Z.DAF=NBCE.______4

延長E4,￡8交于點(diǎn)G.”、、、、/

'：/GAB=90°-Z.DAF=ZADF,Z.GBA=90°-Z.CBE=ZSCE=Z.DAF,、、/

:.ABGASAAFD,且4G8=90。，，力G=8,BG=6,

：.GF=\\,GE=10,/.EF=>JGE2+GF2=>/22\.

4.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，位于第一象限的點(diǎn)力在反比例函數(shù)j；=1(x>0)的圖象匕位于第二象限的

x

4

點(diǎn)8在反比例函數(shù)y=一-(x<0)的圖象上，且。1_LO8,則tan43O的值為()

x

2015年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第1頁（共8頁）

【答】A.

過點(diǎn)/、4分別作4c_Lx軸，?軸，喉足為C、0.由。4,08得408=90。，『是可

得△4OCS4O8。,所以tan450=巖

5.己知實(shí)數(shù)x,y滿足關(guān)系式v-.Y-y=l,則戈2+_/的最小值為

A.3-26B.6-442.C.I.D.6+4萬

【答】B.

設(shè)x+y=，,則由胭設(shè)條件可知孫=x+y+l=/+1,所以x,y是關(guān)f，〃的一元二次方程

/―〃〃+/+1=0的兩個實(shí)數(shù)根，于是有：△=/一4（，+1）20,解得壯2+2力或Y2-20\

又因?yàn)槎?/=（丫+y）2-2*＞；=--2“+1）=（/-1）2-3,所以，當(dāng)，=2-2應(yīng)（即戈=?=1—①）

時，/+/取得最小值，最小值為（2-20'-1）2-3=6-40.

6.設(shè)〃是小于100的正整數(shù)且使5/+3〃-5是15的倍數(shù)，則符合條件的所有正整數(shù)〃的和是（）

A.285.B.35O.C.540.D.635.

【答】D.

???5〃2+3"-5是15的倍數(shù)，???5|（5〃2+3〃-5）,，5|3%，5|〃，設(shè)〃=5〃？（m是正整數(shù)3

則5n2+3n-5=\25m2+15勿—5=120m2+15m+5（〃J-1）.

???5M+3〃-5是15的倍數(shù)，,〃P-1是3的倍數(shù)，，相=3A+1或，〃=34+2,其中A是非負(fù)整數(shù).

.?.〃=5（3%+1）=154+5或〃=5（弘+2）=154+10.其中A是非負(fù)整數(shù).

，符合條件的所有正至數(shù)〃的和是（5+20+35+50+65+30+95）+（10+25+40+55+70+55）

二、填空題?（本題滿分28分，每小題7分）

【答】II.

力是一元二次方程V—x—1=0的兩根，。力=-1,a+b=1.a2=a+\,b1=b+\,

3a+劭+W=3a3+4/>+2h:=3a(a+1)+4/>+2(h+1)=3a2+3a+6力+2

a'

=3(a+1)+紜+66+2=6(a+/>)+5=11.

2015年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第2頁（共8頁）

2.從三邊長均為整數(shù)且周長為24的三角形中任取一個，它是直角三角形的概率為_____.

恪】5

設(shè)三角形的三邊長為〃也。(?>/>><-),則3a2a+〃+c=24,2a<a+(/>+c)=24,所以

8<a<12,故a的可能取值為8,9,10或II,滿足題意的數(shù)組(a,b,c)可以為:

(8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(10,10,4),(10,9,5),(10,8,6),

(10,7,7),(11,11,2),(11,10,3),(II,9,4),(11,8,5),(11.7,6),

共12組，其中，只有一組是直角三角形的三邊長，所以，所求慨率為1.

12

3.已知銳角△48C的外心為O,AO文BC于D,E、尸分別為△48。、△/1CN>的外心，若

AB>AC,EF=BC,則NC-N8=____________.

【答】60°.

作￡W_L8C于點(diǎn)M,FN1BC干EN."_L￡W于點(diǎn)尸.

???￡、F分別為△460、△ACO的外心，.?.〃、N分別為83、CD的中

點(diǎn).又EF=BC,；.PF=MN=LBC=LEF.；."EF=300.

22

又EFJ.4D.EMA.BC,工乙4DC=NPEF=30。.

又Z/1DC=N8+N8/IQ=N8+；(180°—2NC)=90°+N8-NC,

，NC-N8=90°-ZADC=60°.

4.將數(shù)字1,2,3,……,34,35,36填在6X6的方格中，每個方格填一個數(shù)字，要求每行數(shù)字從

左到右是從小到大的順序，則第三列所填6個數(shù)字的和的最小值為

【答】63.

設(shè)第三列所填6個數(shù)字按從小到大的順序排列后依次為4,8,C,D,E,F.

因?yàn)榱λ谛星懊嫘枰顑蓚€比力小的數(shù)字，所以力不小于3：因?yàn)?所在行前面需要填兩個比8小

的數(shù)字，且力及力所在行前面兩個數(shù)字都比6小，所以8不小于6.

同理可知：C不小于9,D不小于12,E不小于15,F不小于18.

因此，第三列所填6個數(shù)字之和/+8+C+O+E+/>3+6+9+12+15+18=63.

如圖即為使得第三列所填6個數(shù)字之和取得最小值的?種填法(后三列的數(shù)字填法不唯-).

123192021

456252729

789222324

101112262830

131415313435

161718323336

第一試⑻

一、選擇題：(本題滿分42分，每小題7分)

2?2>2222

1.設(shè)實(shí)數(shù)a,Ac滿足：a+b+c=3,/+從+/=4,則占吆1+土工+匕==()

2-c2-a2-b

A.12.B.9.C.6.D.3.

【答】B.解答與(A)卷第1題相同.

2015年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第3頁(共8頁)

2.題目和解答與(A)卷第2題相同.

3.題目和解答與(A)卷第3題相同.

4.已知實(shí)數(shù)xj滿足關(guān)系式./+母+/=3,則(工-/2的最大值為()

A.3.B.6,C,9.D.12.

【答】D.

設(shè)x-y=f,則*可+，代入題設(shè)等式得(y+l)2+(y+l)y+)J=3,整理得3/+3少+/-3=0.

由判別式A=(3/)2-12(/-3)20得一2JJWY26，故(x-y)2=/G2.

5.題目和解答與(A)卷第4題相同.

6.設(shè)〃是小于100的正整數(shù)且使2/-3〃-2是6的倍數(shù)，則符合條件的所有正整數(shù)〃的和是()

A.784.B.850.C.1536.D.1634.

【答】D.