光場(chǎng)與物質(zhì)間的相互作用課件

光場(chǎng)與物質(zhì)間的相互作用經(jīng)典理論：將構(gòu)成物質(zhì)的原子系統(tǒng)和電磁場(chǎng)均做經(jīng)典處理。光場(chǎng)服從麥克斯韋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，原子服從經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的電偶極振子，該理論成功地解釋了物質(zhì)對(duì)光的吸收和色散作用，定性地說(shuō)明了物質(zhì)的自發(fā)輻射及其譜線寬，對(duì)解釋光和物質(zhì)相互作用中的某些物理現(xiàn)象有一定幫助，并對(duì)解釋光和物質(zhì)的非共振相互作用也起一定作用。光場(chǎng)與物質(zhì)間的相互作用2.半經(jīng)典理論：用麥克斯韋方程組描述光頻電磁場(chǎng)，應(yīng)用量子力學(xué)理論描述物質(zhì)原子。１９６４年，蘭姆應(yīng)用該理論建立了激光器理論，很好地揭示激光器中大部分的物理現(xiàn)象，如：強(qiáng)度特性、增益飽和效應(yīng)、多模耦合與競(jìng)爭(zhēng)效應(yīng)，激光振蕩的頻率牽引與推斥效應(yīng)等。其缺點(diǎn)是數(shù)學(xué)處理過(guò)于復(fù)雜。３.量子理論：應(yīng)用量子電動(dòng)力學(xué)的處理方法，對(duì)物質(zhì)原子系統(tǒng)和光頻電磁場(chǎng)都作量子化處理，將兩者作為統(tǒng)一的物理體系加以研究。需嚴(yán)格地確定激光的相干性和噪聲以及線寬極限。４.速率方程理論：量子理論的簡(jiǎn)化形式。出發(fā)點(diǎn)是研究光子（量子化的輻射場(chǎng)）與物質(zhì)原子的相互作用。它不涉及光與物質(zhì)相互作用的力學(xué)過(guò)程，而是基于愛(ài)因斯坦的維象理論，建立起原子在各能級(jí)上的集居數(shù)密度在與光場(chǎng)相互作用過(guò)程中的變換速率方程，以及光場(chǎng)的光子數(shù)變化速率方程，用速率方程討論激光器的特性。理論形式簡(jiǎn)單，可以給出激光的強(qiáng)度特性，并粗略地解釋模式競(jìng)爭(zhēng)、線寬極限等物理現(xiàn)象，但無(wú)法揭示光的色散以及由此引起的頻率牽引等現(xiàn)象。－－－－我們將重點(diǎn)介紹經(jīng)典理論和速率方程理論光場(chǎng)與物質(zhì)相互作用的經(jīng)典理論經(jīng)典理論：

將構(gòu)成物質(zhì)的原子系統(tǒng)和電磁場(chǎng)均做經(jīng)典處理。光場(chǎng)服從麥克斯韋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，原子服從經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的電偶極振子，該理論成功地解釋了物質(zhì)對(duì)光的吸收和色散作用，定性地說(shuō)明了物質(zhì)的自發(fā)輻射及其譜線寬，對(duì)解釋光和物質(zhì)相互作用中的某些物理現(xiàn)象有一定幫助，并對(duì)解釋光和物質(zhì)的非共振相互作用也起一定作用。光場(chǎng)與物質(zhì)相互作用的經(jīng)典理論經(jīng)典模型：1.單電子被與位移成正比的彈性恢復(fù)力束縛在平衡位置附近作一維振動(dòng)2.原子中的電子與原子核構(gòu)成了一電偶極子。在外場(chǎng)作用下，正負(fù)電荷中心不再重合而產(chǎn)生感應(yīng)電偶極距，發(fā)生共振線性極化3.忽略磁場(chǎng)對(duì)電子振子的影響。假定光電場(chǎng)的振動(dòng)方向與振子振動(dòng)方向相同的單色平面線偏振光。4.被極化了的物質(zhì)對(duì)入射光場(chǎng)產(chǎn)生反作用，它可以使光場(chǎng)的振幅、頻率和相位等發(fā)生變化，僅對(duì)線性共振極化介質(zhì)對(duì)光場(chǎng)所呈現(xiàn)的吸收（或增益）及色散做出簡(jiǎn)單討論。經(jīng)典理論中的假設(shè)：一維電子振子在外場(chǎng)E(z,t)作用下作受迫振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程：對(duì)原子的自發(fā)電偶極輻射、光場(chǎng)作用下的受激吸收和介質(zhì)的色散現(xiàn)象作經(jīng)典分析。在外場(chǎng)E(z,t)＝0時(shí)，電子振子的運(yùn)動(dòng)方程：振子在其平衡位置作阻尼簡(jiǎn)諧振動(dòng)，方程的解：在光頻范圍內(nèi)，自由阻尼振動(dòng)的解可以表示成：原子的自發(fā)電偶極輻射作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的電子和帶正電的原子核組成一個(gè)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的經(jīng)典簡(jiǎn)諧振子模型，其偶極矩為簡(jiǎn)諧偶極振子發(fā)出的電磁輻射的電場(chǎng)強(qiáng)度：在無(wú)外場(chǎng)作用于介質(zhì)原子時(shí)，原子將自發(fā)輻射振幅隨時(shí)間指數(shù)衰減的、頻率近似等于其固有振動(dòng)頻率的電磁場(chǎng)。在物質(zhì)中沿z方向傳播的單色平面波，其x方向的電場(chǎng)強(qiáng)度為將上式代入方程中：方程的形式特解：忽略自由阻尼振蕩項(xiàng)，代入方程中可得到在共振相互作用下的特解：光的受激吸收和介質(zhì)的色散一個(gè)原子的感應(yīng)電偶極矩：忽略原子間的相互作用，整個(gè)介質(zhì)的宏觀感應(yīng)電極化強(qiáng)度為n為單位體積工作物質(zhì)中的原子數(shù)，即原子密度。在線性極化下，介質(zhì)的感應(yīng)電極化強(qiáng)度也可表示成：介質(zhì)的線性電極化系數(shù)，通過(guò)比較為：令，得到電極化系數(shù)實(shí)部和虛部為：令，引入?yún)?shù)表示入射光頻率與原子固有頻率的相對(duì)偏差，得到：其中：表示當(dāng)時(shí)經(jīng)典振子線性電極化系數(shù)的大小。將上式代入頻率為的單色平面波在介質(zhì)中沿Z方向的傳播方程中當(dāng)時(shí)，得到：物質(zhì)的相對(duì)介電系數(shù)與電極化系數(shù)之間的關(guān)系：決定著光場(chǎng)振幅在介質(zhì)中傳播過(guò)程中的增大或衰減，為通常定義的介質(zhì)折射率。由光場(chǎng)的光強(qiáng)正比于振幅的平方在共振線性極化近似下，經(jīng)典理論關(guān)于受激吸收(或增益)和介質(zhì)色散(或折射率)的關(guān)系介質(zhì)增益系數(shù)與折射率之間的關(guān)系：根據(jù)介質(zhì)增益系數(shù)的定義：得到：在光場(chǎng)與物質(zhì)相互作用的共振線性極化經(jīng)典模型下，得到2.介質(zhì)的折射率在原子輻射的固有頻率附近隨入射光波的頻率發(fā)生反常的急劇變化，稱為反常色散現(xiàn)象。3.對(duì)于實(shí)際的介質(zhì)，光場(chǎng)與介質(zhì)原子的相互作用以及極化作用的情況要復(fù)雜得多，需要對(duì)極化強(qiáng)度和運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行修正。4.基質(zhì)材料的非共振線性極化強(qiáng)度需要考慮在電感應(yīng)強(qiáng)度的公式中1.物質(zhì)的吸收譜線為洛侖茲線型，為原子自發(fā)輻射的譜線寬度。頻率突變電偶極躍遷共振極化系數(shù)的量子力學(xué)修正1.將經(jīng)典振子的固有振動(dòng)頻率和波長(zhǎng)修正為原子的量子能級(jí)間的躍遷頻率和波長(zhǎng)，即；2.將經(jīng)典振子的輻射能量衰減速率與特定的原子量子能級(jí)間的自發(fā)輻射躍遷幾率Amn對(duì)應(yīng)，；3.將經(jīng)典振子數(shù)密度修正為兩相應(yīng)能級(jí)間的原子集居數(shù)密度差，即；4.光譜線線寬與特定躍遷所對(duì)應(yīng)的及其他可能存在的光譜線加寬機(jī)制有關(guān)；5.考慮到實(shí)際介質(zhì)所存在的各向異性，介質(zhì)的電極化數(shù)應(yīng)用一張量表示。若入射光場(chǎng)相對(duì)于原子沒(méi)有適當(dāng)?shù)钠窈椭赶?，則會(huì)使原子躍遷的響應(yīng)（即電極化系數(shù)）減少；電偶極躍遷共振極化系數(shù)的量子力學(xué)修正：速率方程近似相應(yīng)地，量子力學(xué)的相干極化強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)方程為：光譜線加寬光譜線加寬自發(fā)輻射分布在中心頻率附近一個(gè)很小范圍內(nèi)，這種現(xiàn)象稱為譜線加寬

自發(fā)輻射功率為頻率的函數(shù)。設(shè)總的輻射功率為I0,有：線型函數(shù)(給定了光譜線的輪廓或形狀)：可以證明線型函數(shù)滿足歸一化條件：描述光譜線加寬特性的物理量：線型函數(shù)和線寬線型函數(shù)一般關(guān)于中心頻率對(duì)稱，且在中心頻率處有最大值。一般定義線型函數(shù)的半極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率全寬度為光譜線寬度(FWHM)記作：用波數(shù)差或波長(zhǎng)差也可標(biāo)記譜線寬度:描述光譜線加寬特性的物理量：線型函數(shù)和線寬光譜線的加寬機(jī)制和類型1.均勻加寬：引起加寬的物理因素對(duì)每個(gè)發(fā)光粒子都是等同的。由于均勻加寬對(duì)每個(gè)原子的輻射的影響是相同的，因此在均勻加寬的影響下，每個(gè)原子都具有相同的輻射特性，即每個(gè)原子都以整個(gè)線型函數(shù)的形式輻射光子如：自然加寬、壽命加寬、壓力加寬、熱聲子加寬2.非均勻加寬：由于某種物理因素的影響，使得發(fā)光原子有不同的表觀中心頻率，使總的輻射譜線加寬。3.綜合加寬：均勻加寬與非均勻加寬同時(shí)存在如：多普勒加寬、晶格隨機(jī)缺陷加寬自然加寬是由處于激發(fā)態(tài)的原子具有有限的壽命而引起的由自發(fā)輻射功率與粒子數(shù)密度的關(guān)系，可得：?jiǎn)挝惑w積的介質(zhì)中，E2能級(jí)上的原子數(shù)密度衰減速率為自發(fā)輻射光場(chǎng)的振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減titeeEtE0212210)(pnt-=自然加寬(固有加寬或純輻射壽命加寬)從愛(ài)因斯坦的唯象理論出發(fā)：對(duì)上式進(jìn)行傅立葉變換的自發(fā)輻射的頻譜根據(jù)線型函數(shù)的定義和滿足的歸一化條件得到自然線寬的線型函數(shù)自然線寬：洛倫茲線型用自然線寬表示的自然加寬線型函數(shù)：由經(jīng)典電子振子模型知原子作為諧振子發(fā)出的電磁波可表示為：結(jié)論：自然加寬譜線具有洛倫茲線型譜，線寬度完全由原子在能級(jí)的自發(fā)輻射壽命決定，進(jìn)一步說(shuō)明了自然加寬是由原子具有有限的激發(fā)態(tài)壽命而引起的。將經(jīng)典阻尼系數(shù)就可以得到關(guān)于譜線自然加寬和線型函數(shù)的完全相同的結(jié)果從原子自發(fā)輻射的經(jīng)典電子振子模型出發(fā)：由能級(jí)的總平均壽命決定的光譜線加寬稱為壽命加寬。自然加寬和壽命加寬為均勻加寬處于激發(fā)態(tài)的原子的平均壽命不僅決定于純輻射壽命，還與無(wú)輻射躍遷和其他能量衰減過(guò)程有關(guān)，自發(fā)輻射譜線加寬的線寬為：其中輻射躍遷的純輻射壽命無(wú)輻射躍遷所決定的能級(jí)平均壽命能級(jí)的其他能量衰減速率壽命加寬氣體介質(zhì)中引起自發(fā)輻射譜線在自然加寬的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加寬的主要物理因素是碰撞和多譜勒效應(yīng)。碰撞加寬：由碰撞引起的光譜線加寬碰撞加寬線型函數(shù)和線寬可表示為：如果發(fā)光原子與其他原子發(fā)生碰撞的平均時(shí)間間隔為，由碰撞所決定的原子平均碰撞速率或能量衰減速率為。氣體介質(zhì)中的光譜線加寬機(jī)制ccptn21=D()cccgnnnnpnn2/112,200????è?D-+D=在氣壓不太高時(shí)，碰撞線寬與壓強(qiáng)成正比：碰撞線寬與氣體的壓強(qiáng)、溫度、原子間的碰撞截面有關(guān)。碰撞加寬又稱為壓力加寬，比例系數(shù)稱為壓力加寬系數(shù)如果氣體激光工作物質(zhì)由工作氣體與輔助氣體構(gòu)成，壓力加寬線寬為碰撞加寬和壓力加寬為均勻加寬發(fā)光原子（光源）的中心頻率，原子以相對(duì)速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，接收器測(cè)得的光波頻率為：當(dāng)與光波傳播方向相同時(shí)，當(dāng)與光波傳播方向相反時(shí)，

光學(xué)多普勒效應(yīng)示意圖cczz/1/10/0uunn-+=多普勒（Doppler）加寬當(dāng)波的發(fā)出者相對(duì)于接收者相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，接收者接受到波的振動(dòng)頻率將與靜止時(shí)不同，這種現(xiàn)象就是多普勒效應(yīng)多普勒加寬是由于作熱運(yùn)動(dòng)的發(fā)光原子（分子）所發(fā)出的輻射的多普勒頻移引起的多普勒加寬是非均勻加寬：原子體系中每個(gè)原子只對(duì)譜線內(nèi)與它的表觀中心頻率相對(duì)應(yīng)的部分有貢獻(xiàn)。也就是說(shuō)，體系中每個(gè)原子發(fā)出的光的線型函數(shù)不盡相同，每個(gè)原子有著各自的表觀頻率中心和發(fā)射特性。體系的總的輻射線型函數(shù)是這些所有原子線型函數(shù)的綜合麥克斯韋—玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，處于激光能級(jí)E2上的原子數(shù)密度為n2,則處在該能級(jí)上原子數(shù)密度按熱運(yùn)動(dòng)速度分量vz

的幾率分布函數(shù)：由于原子自E2能級(jí)躍遷自發(fā)輻射某一表觀頻率v

的光功率正比于E2能級(jí)上對(duì)該頻率有貢獻(xiàn)的原子數(shù)。由線型函數(shù)的定義可得多普勒加寬的線型函數(shù):

多普勒線寬：

用線寬度表示的線型函數(shù)為：高斯線型多普勒加寬的線型函數(shù)就是氣體原子按表觀中心頻率的分布函數(shù)，具有高斯函數(shù)的形式

M為氣體工作原子的原子量。具有相同線寬的高斯線型函數(shù)與洛倫茲線型函數(shù)的比較晶格場(chǎng)熱振動(dòng)所引起的頻率調(diào)制加寬.(晶格的高頻熱運(yùn)動(dòng))晶格隨機(jī)缺陷所引起的加寬發(fā)光離子之間的庫(kù)侖場(chǎng)相互作用所造成的偶極子加寬離子與晶格間熱馳豫過(guò)程所產(chǎn)生的無(wú)輻射躍遷造成的壽命加寬固體離子摻雜型激光介質(zhì)中的譜線加寬熱聲子加寬與晶體中離子的摻雜濃度無(wú)直接關(guān)系，強(qiáng)烈地依賴晶格溫度晶格隨機(jī)缺陷指晶體的生長(zhǎng)和制作過(guò)程中存在位錯(cuò)或空位。可以近似用高斯線型來(lái)表示離子高濃度摻雜使晶格缺陷較嚴(yán)重，在低溫情況下，聲子加寬變得較小時(shí)。在玻璃為基質(zhì)的離子摻雜型激光介質(zhì)中，發(fā)光離子雜亂無(wú)章地分布于玻璃網(wǎng)絡(luò)體內(nèi)，不同的離子受到周圍配位場(chǎng)的影響不同。其線型函數(shù)近似呈高斯線型。晶格場(chǎng)熱振動(dòng)所引起的頻率調(diào)制加寬稱熱聲子加寬?？梢越朴寐鍋銎澗€型函數(shù)描述。發(fā)光物質(zhì)溶解于液體中，發(fā)光分子之間的碰撞幾率加大，導(dǎo)致碰撞加寬增大，使自發(fā)輻射的帶狀分子光譜變成準(zhǔn)連續(xù)光譜，其線寬可達(dá)到數(shù)百埃。譜線加寬特點(diǎn)使有機(jī)燃料激光器的輸出波長(zhǎng)在數(shù)百埃連續(xù)調(diào)諧的物理基礎(chǔ)液體激光介質(zhì)中的譜線加寬機(jī)制從譜線加寬角度看：對(duì)均勻加寬，每個(gè)粒子的自發(fā)輻射具有完全相同的線型函數(shù)、線寬、中心頻率。對(duì)非均勻加寬，介質(zhì)中的發(fā)光粒子可以分類，可探測(cè)到不同的中心頻率。對(duì)均勻加寬，整個(gè)介質(zhì)的線型和線寬與單個(gè)粒子相同，對(duì)非均勻加寬，某個(gè)離子的線型和線寬不等于整個(gè)介質(zhì)的譜線加寬和線寬。對(duì)均勻加寬，不能把介質(zhì)線型函數(shù)上的某一特定頻率與介質(zhì)中某類離子建立聯(lián)系和對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)非均勻加寬，某類發(fā)光粒子僅對(duì)光譜線范圍內(nèi)某一特定頻率有貢獻(xiàn)，對(duì)其他頻率無(wú)貢獻(xiàn)。當(dāng)某一頻率的準(zhǔn)單色光與介質(zhì)相互作用，對(duì)均勻加寬，入射光場(chǎng)與所有的粒子發(fā)生完全相同的共振相互作用，所有粒子具有相同的受激躍遷幾率和極化強(qiáng)度。對(duì)非均勻加寬，只有表觀中心頻率與入射光場(chǎng)頻率相應(yīng)的某類粒子凡是相互作用，不同粒子的極化情況也不同。均勻加寬和非均勻加寬的本質(zhì)差別氣體介質(zhì)中的均勻加寬機(jī)制主要是：自然加寬、壽命加寬、碰撞加寬氣體介質(zhì)中的非均勻加寬機(jī)制主要是多普勒加寬當(dāng)同時(shí)存在兩種均勻加寬時(shí)，總的線寬和線型函數(shù)可表示：洛倫茲線型對(duì)于氣體工作物質(zhì)，若粒子系統(tǒng)同時(shí)存在均勻加寬和非均勻加寬因素，其加寬線型為綜合加寬線型。實(shí)際激光介質(zhì)的譜線加寬—?dú)怏w介質(zhì)的綜合加寬綜合加寬線型函數(shù)為均勻加寬的線型函數(shù)和非均勻加寬的線型函數(shù)的卷積：1當(dāng)時(shí)：對(duì)于于高溫、低氣壓、輕元素介質(zhì)的短波長(zhǎng)自發(fā)輻射躍遷例：氦氖激光器激光輻射中心頻率：4.74*1014[Hz].總均勻加寬：200[MHz]多譜勒線寬：1,500[MHz]

佛克脫線型近似為高斯線型強(qiáng)非均勻加寬佛克脫（Voigt）積分2

當(dāng)時(shí)：對(duì)于于高氣壓、重元素介質(zhì)的長(zhǎng)波長(zhǎng)自發(fā)輻射躍遷例：二氧化碳氦氖激光器激光輻射中心頻率：2.82*1014[Hz].總均勻加寬：5GHz多譜勒線寬：60[MHz]譜線加寬的線型函數(shù)和加寬類型隨氣壓的變換線型函數(shù)從高斯線型－－佛克脫線型－－洛侖茲線型加寬類型從強(qiáng)非均勻加寬－－綜合加寬－－強(qiáng)均勻加寬佛克脫（Voigt）線型近似為洛侖茲線型強(qiáng)均勻加寬高溫下，低離子濃度摻雜的晶體激光介質(zhì)主要呈現(xiàn)由熱聲子加寬所決定的強(qiáng)均勻加寬特性，其線型函數(shù)近似由洛侖茲函數(shù)表示。

低溫下，高濃度摻雜的晶體激光介質(zhì)主要呈現(xiàn)由晶體隨機(jī)無(wú)規(guī)則局部缺陷所決定的非均勻加寬特性，其線型函數(shù)可由高斯函數(shù)表示，其線寬一般較窄。離子摻雜玻璃基質(zhì)的光譜加寬出現(xiàn)出強(qiáng)非均勻加寬特性，其線寬通常較寬

液體介質(zhì)的譜線加寬通常呈現(xiàn)強(qiáng)均勻加寬特性固體和液體激光介質(zhì)的譜線加寬結(jié)論在均勻加寬介質(zhì)情況：用給定躍遷譜線的均勻線寬代替原子線寬在非均勻加寬介質(zhì)情況：將介質(zhì)中的原子按其表觀中心頻率分類，再對(duì)所有不同表觀中心頻率的各類原子的極化求和：介質(zhì)共振極化系數(shù)的修正（考慮到譜線加寬）自發(fā)輻射的線型函數(shù)可以被理解成自發(fā)輻射躍遷幾率按頻率的分布函數(shù)總的自發(fā)輻射躍遷中,分配在頻率處單位頻率間隔內(nèi)的自發(fā)躍遷幾率：?jiǎn)紊园l(fā)輻射愛(ài)因斯坦系數(shù):單色受激輻射愛(ài)因斯坦系數(shù):單色受激吸收愛(ài)因斯坦系數(shù):受激躍遷幾率的修正（考慮到譜線加寬）總的受激輻射躍遷幾率總的受激吸收躍遷幾率()()()nnrnnrnn0212121,gBBW==()()()nnrnnrnn0121212,gBBW==受激輻射和受激吸收幾率分配在頻率v處單位頻率間隔內(nèi)的受激輻射躍遷幾率分配在頻率v處單位頻率間隔內(nèi)的受激吸收躍遷幾率輻射場(chǎng)可以寫(xiě)為中心頻率的δ函數(shù)的形式：總輻射能量密度()rnnnrdnr=￠-￠=￠òò+￥￥-+￥￥-ddv原子和準(zhǔn)單色光輻射場(chǎng)相互作用總受激躍遷幾率和吸收幾率：受激躍遷幾率存在著由介質(zhì)譜線加寬線型函數(shù)所決定的頻率響應(yīng)特性。當(dāng)不存在譜線加寬時(shí)，只有輻射頻率v嚴(yán)格等于原子發(fā)光的中心頻率時(shí)才能產(chǎn)生受激輻射和受激吸收。由于譜線加寬的存在，在原子發(fā)光的中心頻率附近的一個(gè)頻率范圍內(nèi)的都能夠產(chǎn)生受激吸收和受激輻射，而且這種吸收和輻射原子發(fā)光的中心頻率在處最大，當(dāng)偏離原子發(fā)光的中心頻率時(shí)，躍遷幾率急劇下降。即，入射單色光的頻率并不一定要精確等于中心頻率v0，只要在v0附近一個(gè)頻率范圍內(nèi)都會(huì)發(fā)生受激躍遷。討論三能級(jí)和四能級(jí)介質(zhì)模型與單模光場(chǎng)相互作用的速率方程速率方程理論：量子理論的簡(jiǎn)化形式。出發(fā)點(diǎn)是研究光子（量子化的輻射場(chǎng)）與物質(zhì)原子的相互作用。它不涉及光與物質(zhì)相互作用的力學(xué)過(guò)程，而是基于愛(ài)因斯坦的維象理論，建立起原子在各能級(jí)上的集居數(shù)密度在與光場(chǎng)相互作用過(guò)程中的變換速率方程，以及光場(chǎng)的光子數(shù)變化速率方程，用速率方程討論激光器的特性。理論形式簡(jiǎn)單，可以給出激光的強(qiáng)度特性，并粗略地解釋模式競(jìng)爭(zhēng)、線寬極限等物理現(xiàn)象，但無(wú)法揭示光的色散以及由此引起的頻率牽引等現(xiàn)象。光場(chǎng)與物質(zhì)相互作用的速率方程描述四能級(jí)系統(tǒng)能級(jí)示意圖四能級(jí)系統(tǒng)激光工作物質(zhì)的能級(jí)結(jié)構(gòu)和躍遷具有以下特點(diǎn)：

、間的能量間隔值較熱運(yùn)動(dòng)能量大得多，因而幾乎不會(huì)有粒子從因熱運(yùn)動(dòng)躍遷到。同時(shí)，較大，保證了上的粒子迅速轉(zhuǎn)移到基態(tài)，從而形成很大的粒子數(shù)反轉(zhuǎn)。四能級(jí)系統(tǒng)能級(jí)結(jié)構(gòu)和躍遷特點(diǎn)各個(gè)能級(jí)粒子數(shù)隨時(shí)間變化的方程為：n:總的粒子密度四能級(jí)系統(tǒng)速率方程如果介質(zhì)內(nèi)單模光場(chǎng)的總光子數(shù)為，光場(chǎng)與介質(zhì)相互作用的有效模體積為，介質(zhì)躍遷譜線的均勻加寬線型函數(shù)則能級(jí)間的受激躍遷幾率可表示成：根據(jù)自發(fā)輻射系數(shù)和受激輻射系數(shù)之間的關(guān)系E4能級(jí)向激光上能級(jí)E3躍遷的量子效率激光上下能級(jí)躍遷的熒光幾率考慮自發(fā)輻射、受激輻射、受激吸收對(duì)一個(gè)模的光子數(shù)的貢獻(xiàn)，得到介質(zhì)內(nèi)總光子數(shù)