十年（2015-2024）高考數(shù)學真題分類匯編（全國）專題24圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）大題綜合（含答案或解析）

專題24圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）大題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1第二問求曲線方程（10年6考）2022·天津卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2019·天津卷2018·全國卷、2017·全國卷、2017·天津卷、2015·天津卷2015·安徽卷熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及方程的求解，通常大題第一問考查方程求解掌握軌跡方程的求解，近年該考點多次考查熟練掌握直線方程的求解，會求斜率值或范圍會弦長等距離的求解，會定值定點定直線的求解及證明，該內(nèi)容也是高考命題熱點考點2求軌跡方程（10年5考）2023·全國新Ⅰ卷、2021·全國新Ⅰ卷、2019·全國卷2017·全國卷、2015·湖北卷考點3求直線方程（10年8考）2024·全國新Ⅰ卷、2023·天津卷、2022·全國甲卷、2021·天津卷2020·天津卷、2018·江蘇卷、2017·全國卷、2017·天津卷2015·江蘇卷考點4求斜率值或范圍（10年6考）2021·全國新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·全國乙卷、2019·天津卷2018·天津卷、2018·天津卷、2017·天津卷、2017·山東卷2016·山東卷、2016·上海卷、2016·天津卷、2016·全國卷2016·上海卷、2016·天津卷、2015·天津卷、2015·北京卷考點5離心率求值或范圍綜合（10年7考）2024·北京卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2020·全國卷2019·天津卷、2019·全國卷、2016·四川卷、2016·浙江卷2015·重慶卷、2015·重慶卷考點6弦長類求值或范圍綜合（10年6考）2022·浙江卷、2020·北京卷、2019·全國卷、2017·浙江卷2016·北京卷、2016·全國卷、2015·四川卷、2015·山東卷考點7其他綜合類求值或范圍綜合（10年5考）2024·上海卷、2024·北京卷、2020·北京卷、2020·浙江卷2019·全國卷、2016·四川卷、2015·四川卷考點8定值定點定直線問題（10年7考）2023·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷、2022·全國乙卷2020·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2019·北京卷、2019·北京卷2017·全國卷、2017·北京卷、2017·全國卷、2016·北京卷2016·北京卷、2015·陜西卷、2015·全國卷考點9其他證明綜合（10年9考）2024·全國甲卷、2023·全國新Ⅰ卷、2023·北京卷、2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國新Ⅱ卷、2019·全國卷2018·北京卷、2018·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷2017·北京卷、2017·全國卷、2016·四川卷、2016·四川卷2016·江蘇卷、2016·全國卷、2016·四川卷、2015·湖南卷2015·全國卷、2015·福建卷考點10圓錐曲線與其他知識點雜糅問題（10年3考）2024·全國新Ⅱ卷、2018·全國卷、2016·四川卷考點01第二問求曲線方程1．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標原點，若，且的面積為，求橢圓的標準方程．2．（2020·全國·高考真題）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.3．（2019·全國·高考真題）已知曲線，為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為.（1）證明：直線過定點：（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求該圓的方程.4．（2019·天津·高考真題）設(shè)橢圓的左焦點為，左頂點為，上頂點為B.已知（為原點）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.5．（2018·全國·高考真題）設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．（1）求的方程；（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程．6．（2017·全國·高考真題）已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點，求直線l與圓M的方程.7．（2017·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標為，的面積為.（I）求橢圓的離心率；（II）設(shè)點在線段上，，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程.8．（2015·天津·高考真題）已知橢圓的上頂點為B,左焦點為,離心率為,（Ⅰ）求直線BF的斜率;（Ⅱ）設(shè)直線BF與橢圓交于點P（P異于點B）,過點B且垂直于BP的直線與橢圓交于點Q（Q異于點B）直線PQ與y軸交于點M,.（?。┣蟮闹?（ⅱ）若,求橢圓的方程.9．（2015·安徽·高考真題）設(shè)橢圓E的方程為，點O為坐標原點，點A的坐標為，點B的坐標為，點M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為.（Ⅰ）求E的離心率e；（Ⅱ）設(shè)點C的坐標為，N為線段AC的中點，點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標為，求E的方程.考點02求軌跡方程1．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．2．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.3．（2019·全國·高考真題）已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.4．（2017·全國·高考真題）設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.（1）求點P的軌跡方程；（2）設(shè)點在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.5．（2015·湖北·高考真題）一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子在滑槽AB內(nèi)做往復運動時，帶動繞轉(zhuǎn)動一周（不動時，也不動），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．

（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與曲線有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．考點03求直線方程1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知和為橢圓上兩點.(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．3．（2022·全國甲卷·高考真題）設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．4．（2021·天津·高考真題）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，離心率為，且．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有唯一的公共點，與軸的正半軸交于點，過與垂直的直線交軸于點．若，求直線的方程．5．（2020·天津·高考真題）已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點滿足，點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線與以為圓心的圓相切于點，且為線段的中點．求直線的方程．6．（2018·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為．（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P．①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；②直線l與橢圓C交于兩點．若的面積為，求直線l的方程．7．（2017·全國·高考真題）已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點，求直線l與圓M的方程.8．（2017·天津·高考真題）設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.9．（2015·江蘇·高考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點F到左準線l的距離為3.

（1）求橢圓的標準方程；（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.考點04求斜率值或范圍1．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.2．（2021·北京·高考真題）已知橢圓一個頂點，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與直線交交于點M，N，當|PM|+|PN|≤15時，求k的取值范圍．3．（2021·全國乙卷·高考真題）已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.4．（2019·天津·高考真題）設(shè)橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率.5．（2018·天津·高考真題）設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q.若(O為原點)，求k的值.6．（2018·天津·高考真題）設(shè)橢圓的右頂點為A，上頂點為B．已知橢圓的離心率為，．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點，與直線交于點M，且點P，M均在第四象限．若的面積是面積的2倍，求的值．7．（2017·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標為，的面積為.（I）求橢圓的離心率；（II）設(shè)點在線段上，，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程.8．（2017·山東·高考真題）在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，動直線：交橢圓于兩點，是橢圓上一點，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點，且，的半徑為，是的兩條切線，切點分別為.求的最大值，并求取得最大值時直線的斜率.9．（2016·山東·高考真題）已知橢圓的長軸長為4，焦距為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過動點的直線交軸與點，交于點(在第一象限)，且是線段的中點.過點作軸的垂線交于另一點，延長交于點.（?。┰O(shè)直線的斜率分別為，證明為定值；（ⅱ）求直線的斜率的最小值.10．（2016·上?！じ呖颊骖}）雙曲線的左、右焦點分別為，直線過且與雙曲線交于兩點.（1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率.11．（2016·天津·高考真題）設(shè)橢圓的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍.12．（2016·全國·高考真題）已知橢圓E:的焦點在軸上，A是E的左頂點，斜率為k（k>0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）當t=4，時，求△AMN的面積；（Ⅱ）當時，求k的取值范圍.13．（2016·上?！じ呖颊骖}）雙曲線的左、右焦點分別為，直線過且與雙曲線交于兩點．（1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率．14．（2016·天津·高考真題）設(shè)橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍.15．（2015·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點為,離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長為c，.（Ⅰ）求直線的斜率；（Ⅱ）求橢圓的方程；（Ⅲ）設(shè)動點在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點）的斜率的取值范圍.16．（2015·北京·高考真題）已知橢圓，過點且不過點的直線與橢圓交于，兩點，直線與直線交于點．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若垂直于軸，求直線的斜率；（Ⅲ）試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．考點05離心率求值或范圍綜合1．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．3．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標原點，若，且的面積為，求橢圓的標準方程．4．（2020·全國·高考真題）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.5．（2019·天津·高考真題）設(shè)橢圓的左焦點為，左頂點為，上頂點為B.已知（為原點）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.6．（2019·全國·高考真題）已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標原點．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.7．（2016·四川·高考真題）已知數(shù)列{}的首項為1，為數(shù)列{}的前n項和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：.8．（2016·浙江·高考真題）如圖，設(shè)橢圓（a＞1）.

（Ⅰ）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；（Ⅱ）若任意以點A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.9．（2015·重慶·高考真題）如圖，橢圓的左右焦點分別為，且過的直線交橢圓于兩點，且.(1)若，，求橢圓的標準方程.(2)若，且，試確定橢圓離心率的取值范圍.10．（2015·重慶·高考真題）如圖，橢圓的左、右焦點分別為過的直線交橢圓于兩點，且

（1）若，求橢圓的標準方程（2）若求橢圓的離心率考點06弦長類求值或范圍綜合1．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；(2)求的最小值．2．（2020·北京·高考真題）已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．3．（2019·全國·高考真題）已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．4．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知拋物線.點A，拋物線上的點P（x,y）,過點B作直線AP的垂線，垂足為Q.（I）求直線AP斜率的取值范圍；（II）求的最大值5．（2016·北京·高考真題）已知橢圓：（）的離心率為，，，，的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：為定值.6．（2016·全國·高考真題）（2016新課標全國卷Ⅰ文科）在直角坐標系中，直線l:y=t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：于點P，M關(guān)于點P的對稱點為N，連結(jié)ON并延長交C于點H.（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直線MH與C是否有其它公共點？說明理由.7．（2015·四川·高考真題）如圖，橢圓E：的離心率是，過點P（0,1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當直線平行于軸時，直線被橢圓E截得的線段長為.（1）求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.8．（2015·山東·高考真題）平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點.（i）求的值；（ⅱ）求面積的最大值.考點07其他綜合類求值或范圍綜合1．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知雙曲線左右頂點分別為，過點的直線交雙曲線于兩點.(1)若離心率時，求的值．(2)若為等腰三角形時，且點在第一象限，求點的坐標．(3)連接并延長，交雙曲線于點，若，求的取值范圍．2．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．3．（2020·北京·高考真題）已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．4．（2020·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點A是橢圓與拋物線的交點，過點A的直線l交橢圓于點B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點坐標；（Ⅱ）若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值．5．（2019·全國·高考真題）已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標原點．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.6．（2016·四川·高考真題）已知橢圓：的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線：與橢圓有且只有一個公共點T．（Ⅰ）求橢圓的方程及點的坐標；（Ⅱ）設(shè)是坐標原點，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點、，且與直線交于點，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．7．（2015·四川·高考真題）橢圓（）的離心率是，點在短軸上，且．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標原點，過點的動直線與橢圓交于兩點，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由考點08定值定點定直線問題1．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.2．（2023·全國乙卷·高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．3．（2022·全國乙卷·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．4．（2020·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．5．（2020·全國·高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.6．（2019·北京·高考真題）已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點.7．（2019·北京·高考真題）已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．8．（2017·全國·高考真題）已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.9．（2017·北京·高考真題）已知拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)．過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；(2)求證：A為線段BM的中點．10．（2017·全國·高考真題）設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.（1）求點P的軌跡方程；（2）設(shè)點在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.11．（2016·北京·高考真題）已知橢圓：（）的離心率為，，，，的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：為定值.12．（2016·北京·高考真題）已知橢圓過點兩點．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）設(shè)為第三象限內(nèi)一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積為定值．13．（2015·陜西·高考真題）如圖，橢圓經(jīng)過點，且離心率為.(I)求橢圓的方程；(II)經(jīng)過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點（均異于點），問：直線與的斜率之和是否為定值？若是，求出此定值；若否，說明理由．14．（2015·全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，點在上（1）求的方程（2）直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.考點09其他證明綜合1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．3．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.5．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．6．（2019·全國·高考真題）已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.7．（2018·北京·高考真題）已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點，，，求證：為定值．8．（2018·全國·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點，為上一點,且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．9．（2018·全國·高考真題）設(shè)拋物線，點，，過點的直線與交于，兩點．（1）當與軸垂直時，求直線的方程；（2）證明：．10．（2018·全國·高考真題）設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為.（1）當與軸垂直時，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標原點，證明：.11．（2017·北京·高考真題）已知橢圓C的兩個頂點分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）點D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過D作AM的垂線交BN于點E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5．12．（2017·全國·高考真題）設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.（1）求點P的軌跡方程；（2）設(shè)點在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.13．（2016·四川·高考真題）已知橢圓：的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線：與橢圓有且只有一個公共點T．（Ⅰ）求橢圓的方程及點的坐標；（Ⅱ）設(shè)是坐標原點，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點、，且與直線交于點，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．14．（2016·四川·高考真題）已知數(shù)列{}的首項為1，為數(shù)列{}的前n項和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：.15．（2016·江蘇·高考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：xy2=0，拋物線C：y2=2px（p＞0）.（1）若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點P和Q.①求證：線段PQ的中點坐標為；②求p的取值范圍.16．（2016·全國·高考真題）已知A是橢圓E：的左頂點，斜率為的直線交E于A，M兩點，點N在E上，.（Ⅰ）當時，求的面積（Ⅱ）當時，證明：.17．（2016·四川·高考真題）已知橢圓E：（a﹥b﹥0）的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓E上.（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）設(shè)不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.18．（2015·湖南·高考真題）已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.（1）求的方程；（2）過點的直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，且與同向（ⅰ）若，求直線的斜率（ⅱ）設(shè)在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉(zhuǎn)時，總是鈍角三角形19．（2015·全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，點在上（1）求的方程（2）直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.20．（2015·福建·高考真題）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，且．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）已知點，延長交拋物線于點，證明：以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．考點10圓錐曲線與其他知識點雜糅問題1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關(guān)于軸的對稱點，記的坐標為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.2．（2018·全國·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點，為上一點,且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．3．（2016·四川·高考真題）已知數(shù)列{}的首項為1，為數(shù)列{}的前n項和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：.

專題24圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）大題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1第二問求曲線方程（10年6考）2022·天津卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2019·天津卷2018·全國卷、2017·全國卷、2017·天津卷、2015·天津卷2015·安徽卷熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及方程的求解，通常大題第一問考查方程求解掌握軌跡方程的求解，近年該考點多次考查熟練掌握直線方程的求解，會求斜率值或范圍會弦長等距離的求解，會定值定點定直線的求解及證明，該內(nèi)容也是高考命題熱點考點2求軌跡方程（10年5考）2023·全國新Ⅰ卷、2021·全國新Ⅰ卷、2019·全國卷2017·全國卷、2015·湖北卷考點3求直線方程（10年8考）2024·全國新Ⅰ卷、2023·天津卷、2022·全國甲卷、2021·天津卷2020·天津卷、2018·江蘇卷、2017·全國卷、2017·天津卷2015·江蘇卷考點4求斜率值或范圍（10年6考）2021·全國新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·全國乙卷、2019·天津卷2018·天津卷、2018·天津卷、2017·天津卷、2017·山東卷2016·山東卷、2016·上海卷、2016·天津卷、2016·全國卷2016·上海卷、2016·天津卷、2015·天津卷、2015·北京卷考點5離心率求值或范圍綜合（10年7考）2024·北京卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2020·全國卷2019·天津卷、2019·全國卷、2016·四川卷、2016·浙江卷2015·重慶卷、2015·重慶卷考點6弦長類求值或范圍綜合（10年6考）2022·浙江卷、2020·北京卷、2019·全國卷、2017·浙江卷2016·北京卷、2016·全國卷、2015·四川卷、2015·山東卷考點7其他綜合類求值或范圍綜合（10年5考）2024·上海卷、2024·北京卷、2020·北京卷、2020·浙江卷2019·全國卷、2016·四川卷、2015·四川卷考點8定值定點定直線問題（10年7考）2023·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷、2022·全國乙卷2020·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2019·北京卷、2019·北京卷2017·全國卷、2017·北京卷、2017·全國卷、2016·北京卷2016·北京卷、2015·陜西卷、2015·全國卷考點9其他證明綜合（10年9考）2024·全國甲卷、2023·全國新Ⅰ卷、2023·北京卷、2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國新Ⅱ卷、2019·全國卷2018·北京卷、2018·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷2017·北京卷、2017·全國卷、2016·四川卷、2016·四川卷2016·江蘇卷、2016·全國卷、2016·四川卷、2015·湖南卷2015·全國卷、2015·福建卷考點10圓錐曲線與其他知識點雜糅問題（10年3考）2024·全國新Ⅱ卷、2018·全國卷、2016·四川卷考點01第二問求曲線方程1．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標原點，若，且的面積為，求橢圓的標準方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值；（2）由（1）可知橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，由可得出，求出點的坐標，利用三角形的面積公式以及已知條件可求得的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1）解：，離心率為.（2）解：由（1）可知橢圓的方程為，易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，由，①，，由可得，②由可得，③聯(lián)立①②③可得，，，故橢圓的標準方程為．2．（2020·全國·高考真題）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）求出、，利用可得出關(guān)于、的齊次等式，可解得橢圓的離心率的值；（2）[方法四]由（1）可得出的方程為，聯(lián)立曲線與的方程，求出點的坐標，利用拋物線的定義結(jié)合可求得的值，進而可得出與的標準方程.【詳解】（1），軸且與橢圓相交于、兩點，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，

拋物線的方程為，聯(lián)立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，橢圓的離心率為；（2）[方法一]：橢圓的第二定義由橢圓的第二定義知，則有，所以，即．又由，得．從而，解得．所以．故橢圓與拋物線的標準方程分別是．[方法二]：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標公式以為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．由（Ⅰ）知，又由圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標公式，得，由，得，兩式聯(lián)立解得．故的標準方程為，的標準方程為．[方法三]：參數(shù)方程由（1）知，橢圓的方程為，所以的參數(shù)方程為x=2c?cosθ,y=3將它代入拋物線的方程并化簡得，解得或（舍去），所以，即點M的坐標為．又，所以由拋物線焦半徑公式有，即，解得．故的標準方程為，的標準方程為．[方法四]【最優(yōu)解】：利用韋達定理由（1）知，，橢圓的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或（舍去），由拋物線的定義可得，解得.因此，曲線的標準方程為，曲線的標準方程為.【整體點評】(2)方法一：橢圓的第二定義是聯(lián)系準線與離心率的重要工具，涉及離心率的問題不妨考慮使用第二定義，很多時候會使得問題簡單明了.方法二：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標公式充分體現(xiàn)了圓錐曲線的統(tǒng)一特征，同時它也是解決圓錐曲線問題的一個不錯的思考方向.方法三：參數(shù)方程是一種重要的數(shù)學工具，它將圓錐曲線的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，使得原來抽象的問題更加具體化.方法四：韋達定理是最常用的處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系的方法，聯(lián)立方程之后充分利用韋達定理可以達到設(shè)而不求的效果.3．（2019·全國·高考真題）已知曲線，為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為.（1）證明：直線過定點：（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求該圓的方程.【答案】(1)見詳解；(2)或.【解析】（1）可設(shè)，，然后求出A，B兩點處的切線方程，比如：，又因為也有類似的形式，從而求出帶參數(shù)直線方程，最后求出它所過的定點.（2）由(1)得帶參數(shù)的直線方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過為線段的中點，得出的值，從而求出坐標和的值，最后求出圓的方程.【詳解】(1)證明：設(shè),,則．又因為，所以.則切線DA的斜率為，故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過點，而兩個不同的點確定一條直線，所以直線方程為.即，當時等式恒成立．所以直線恒過定點.(2)由(1)得直線方程為，和拋物線方程聯(lián)立得：化簡得.于是,設(shè)為線段的中點，則由于，而,與向量平行，所以，解得或.當時，，所求圓的方程為;當時，或，所求圓的方程為.所以圓的方程為或.【點睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點問題和第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班的求解就可以.思路較為清晰，但計算量不小.4．（2019·天津·高考真題）設(shè)橢圓的左焦點為，左頂點為，上頂點為B.已知（為原點）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.【答案】（I）；（II）.【分析】（I）根據(jù)題意得到，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，得到，化簡得出，從而求得其離心率；（II）結(jié)合（I）的結(jié)論，設(shè)出橢圓的方程，寫出直線的方程，兩個方程聯(lián)立，求得交點的坐標，利用直線與圓相切的條件，列出等量關(guān)系式，求得，從而得到橢圓的方程.【詳解】（I）解：設(shè)橢圓的半焦距為，由已知有，又由，消去得，解得，所以，橢圓的離心率為.（II）解：由（I）知，，故橢圓方程為，由題意，，則直線的方程為，點的坐標滿足，消去并化簡，得到，解得，代入到的方程，解得，因為點在軸的上方，所以，由圓心在直線上，可設(shè)，因為，且由（I）知，故，解得，因為圓與軸相切，所以圓的半徑為2，又由圓與相切，得，解得，所以橢圓的方程為：.【點睛】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.5．（2018·全國·高考真題）設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．（1）求的方程；（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）方法一：根據(jù)拋物線定義得，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理代入求出斜率，即得直線的方程；（2）方法一：先求AB中垂線方程，即得圓心坐標關(guān)系，再根據(jù)圓心到準線距離等于半徑得等量關(guān)系，解方程組可得圓心坐標以及半徑，最后寫出圓的標準方程.【詳解】（1）［方法一］：【通性通法】焦點弦的弦長公式的應用由題意得，設(shè)直線l的方程為．設(shè)，由得．，故．所以．由題設(shè)知，解得（舍去）或．因此l的方程為．［方法二］：弦長公式的應用由題意得，設(shè)直線l的方程為．設(shè)，則由得．，由，解得（舍去）或．因此直線l的方程為．［方法三］：【最優(yōu)解】焦點弦的弦長公式的應用設(shè)直線l的傾斜角為，則焦點弦，解得，即．因為斜率，所以．而拋物線焦點為，故直線l的方程為．［方法四］：直線參數(shù)方程中的弦長公式應用由題意知，可設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．代入整理得．設(shè)兩根為，則．由，解得．因為，所以，因此直線l的參數(shù)方程為故直線l的普通方程為．［方法五］：【最優(yōu)解】極坐標方程的應用以點F為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，此時拋物線的極坐標方程為．設(shè)，由題意得，解得，即．所以直線l的方程為．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】利用圓的幾何性質(zhì)求方程由（1）得AB的中點坐標為，所以AB的垂直平分線方程為，即．設(shè)所求圓的圓心坐標為，則解得或，因此所求圓的方程為或．［方法二］：硬算求解由題意可知，拋物線C的準線為，所求圓與準線相切．設(shè)圓心為，則所求圓的半徑為．由得．所以，解得或，所以，所求圓的方程為或．【整體點評】（1）方法一：根據(jù)弦過焦點，選擇焦點弦長公式運算，屬于通性通法；方法二：直接根據(jù)一般的弦長公式硬算，是解決弦長問題的一般解法；方法三：根據(jù)弦過焦點，選擇含直線傾斜角的焦點弦長公式，計算簡單，屬于最優(yōu)解；方法四：根據(jù)直線參數(shù)方程中的弦長公式，利用參數(shù)的幾何意義運算；方法五：根據(jù)拋物線的極坐標方程，利用極徑的意義求解，計算簡單，也是該題的最優(yōu)解．（2）方法一：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定圓心位置，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系算出，是求圓的方程的最優(yōu)解；方法二：直接根據(jù)圓經(jīng)過兩點，硬算，思想簡單，運算相對復雜．6．（2017·全國·高考真題）已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點，求直線l與圓M的方程.【答案】(1)證明見解析；(2)，或，.【詳解】（1）設(shè)，.由可得，則.又，故.因此的斜率與的斜率之積為，所以.故坐標原點在圓上.（2）由（1）可得.故圓心的坐標為，圓的半徑.由于圓過點，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.【名師點睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況.中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證或說明中點在曲線內(nèi)部.7．（2017·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標為，的面積為.（I）求橢圓的離心率；（II）設(shè)點在線段上，，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）（ⅰ）.（ii）.【分析】根據(jù)的面積為列出一個關(guān)于的等式，削去求出離心率；根據(jù)關(guān)系巧設(shè)直線的方程，與直線FP的方程聯(lián)立解出焦點的坐標，利用|FQ|=解出斜率，把直線FP的方程與橢圓方程聯(lián)立，解出點坐標，分別求出和的面積，利用四邊形的面積為，解出，得出橢圓的標準方程.【詳解】（Ⅰ）設(shè)橢圓的離心率為e.由已知，可得.又由，可得，即.又因為，解得.所以，橢圓的離心率為.（Ⅱ）（?。┮李}意，設(shè)直線FP的方程為，則直線FP的斜率為.由（Ⅰ）知，可得直線AE的方程為，即，與直線FP的方程聯(lián)立，可解得，即點Q的坐標為.由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直線FP的斜率為.（ii）解：由，可得，故橢圓方程可以表示為.由（i）得直線FP的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得，解得（舍去）或.因此可得點，進而可得，所以.由已知，線段的長即為與這兩條平行直線間的距離，故直線和都垂直于直線.因為，所以，所以的面積為，同理的面積等于，由四邊形的面積為，得，整理得，又由，得.所以，橢圓的方程為.【點睛】列出一個關(guān)于的等式，可以求離心率；列出一個關(guān)于的不等式，可以求離心率的取值范圍.“減元”思想是解決解析幾何問題的重要思想，巧設(shè)直線方程利用題目條件列方程求解斜率，求橢圓方程的基本方法就是待定系數(shù)法，根據(jù)已知條件列方程通過解方程求出待定系數(shù).8．（2015·天津·高考真題）已知橢圓的上頂點為B,左焦點為,離心率為,（Ⅰ）求直線BF的斜率;（Ⅱ）設(shè)直線BF與橢圓交于點P（P異于點B）,過點B且垂直于BP的直線與橢圓交于點Q（Q異于點B）直線PQ與y軸交于點M,.（?。┣蟮闹?（ⅱ）若,求橢圓的方程.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）（?。?（ⅱ）【詳解】（Ⅰ）先由及得,直線BF的斜率;（Ⅱ）先把直線BF,BQ的方程與橢圓方程聯(lián)立,求出點P,Q橫坐標,可得（Ⅱ）先由得=,由此求出c=1,故橢圓方程為試題解析:（Ⅰ）設(shè),由已知及可得,又因為,,故直線BF的斜率.（Ⅱ）設(shè)點,（Ⅰ）由（Ⅰ）可得橢圓方程為直線BF的方程為,兩方程聯(lián)立消去y得解得.因為,所以直線BQ方程為,與橢圓方程聯(lián)立消去y得,解得.又因為,及得（Ⅱ）由（Ⅰ）得,所以,即,又因為,所以=.又因為,所以,因此所以橢圓方程為考點：本題主要考查直線與橢圓等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力及用方程思想和化歸思想解決問題的能力.9．（2015·安徽·高考真題）設(shè)橢圓E的方程為，點O為坐標原點，點A的坐標為，點B的坐標為，點M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為.（Ⅰ）求E的離心率e；（Ⅱ）設(shè)點C的坐標為，N為線段AC的中點，點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標為，求E的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件，可得點的坐標為，利用，從而，進而得，算出.（Ⅱ）由題設(shè)條件和（Ⅰ）的計算結(jié)果知，直線的方程為，得出點的坐標為，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，則線段的中點的坐標為.利用點在直線上，以及，解得，所以，從而得到橢圓的方程為.試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知，點的坐標為，又，從而，進而得，故.（Ⅱ）由題設(shè)條件和（Ⅰ）的計算結(jié)果可得，直線的方程為，點的坐標為，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，則線段的中點的坐標為.又點在直線上，且,從而有解得，所以，故橢圓的方程為.考點：1.橢圓的離心率；2.橢圓的標準方程；3.點點關(guān)于直線對稱的應用.考點02求軌跡方程1．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程，化簡即可；（2）法一：設(shè)矩形的三個頂點，且，分別令，，且，利用放縮法得，設(shè)函數(shù)，利用導數(shù)求出其最小值，則得的最小值，再排除邊界值即可.法二：設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長公式和放縮法得，利用換元法和求導即可求出周長最值，再排除邊界值即可.法三：利用平移坐標系法，再設(shè)點，利用三角換元再對角度分類討論，結(jié)合基本不等式即可證明.【詳解】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡得，故.（2）法一：設(shè)矩形的三個頂點在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，

則,令，同理令，且，則，設(shè)矩形周長為,由對稱性不妨設(shè)，，則，易知則令,令，解得，當時，，此時單調(diào)遞減，當，，此時單調(diào)遞增，則，故,即.當時,,且，即時等號成立，矛盾，故,得證.法二：不妨設(shè)在上，且，

依題意可設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，則設(shè),的斜率分別為和，由對稱性，不妨設(shè)，直線的方程為，則聯(lián)立得，，則則，同理，令，則，設(shè)，則，令，解得，當時，，此時單調(diào)遞減，當，，此時單調(diào)遞增，則，，但，此處取等條件為，與最終取等時不一致，故.法三：為了計算方便,我們將拋物線向下移動個單位得拋物線,矩形變換為矩形,則問題等價于矩形的周長大于.設(shè),根據(jù)對稱性不妨設(shè).則,由于,則.由于,且介于之間,則.令,,則,從而故①當時,②當時,由于,從而,從而又,故,由此，當且僅當時等號成立，故，故矩形周長大于.

.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的第二個的關(guān)鍵是通過放縮得，同時為了簡便運算，對右邊的式子平方后再設(shè)新函數(shù)求導，最后再排除邊界值即可.2．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)利用雙曲線的定義可知軌跡是以點、為左、右焦點雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；(2)方法一：設(shè)出點的坐標和直線方程，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，結(jié)合韋達定理求得直線的斜率，最后化簡計算可得的值.【詳解】(1)因為，所以，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立如圖所示，設(shè),設(shè)直線的方程為．

聯(lián)立,化簡得，，則．故．則．設(shè)的方程為，同理．因為，所以，化簡得，所以，即．因為，所以．[方法二]：參數(shù)方程法設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，則其參數(shù)方程為，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，可得，整理得．設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得．設(shè)直線的傾斜角為，，同理可得由，得．因為，所以．由題意分析知．所以，故直線的斜率與直線的斜率之和為0．[方法三]：利用圓冪定理因為，由圓冪定理知A，B，P，Q四點共圓．設(shè),直線的方程為，直線的方程為,則二次曲線．又由，得過A，B，P，Q四點的二次曲線系方程為：，整理可得：，其中．由于A，B，P，Q四點共圓，則xy項的系數(shù)為0，即.【整體點評】(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理處理圓錐曲線問題是最經(jīng)典的方法，它體現(xiàn)了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：參數(shù)方程的使用充分利用了參數(shù)的幾何意義，要求解題過程中對參數(shù)有深刻的理解，并能夠靈活的應用到題目中.方法三：圓冪定理的應用更多的提現(xiàn)了幾何的思想，二次曲線系的應用使得計算更為簡單.3．（2019·全國·高考真題）已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【分析】（1）分別求出直線AM與BM的斜率，由已知直線AM與BM的斜率之積為?，可以得到等式，化簡可以求出曲線C的方程，注意直線AM與BM有斜率的條件；（2）（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出P，Q兩點的坐標，進而求出點的坐標，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出的坐標，再求出直線的斜率，計算的值，就可以證明出是直角三角形；（ii）由（i）可知三點坐標，是直角三角形，求出的長，利用面積公式求出的面積，利用導數(shù)求出面積的最大值.【詳解】（1）直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線C是以坐標原點為中心，焦點在軸上，不包括左右兩頂點的橢圓，其方程為；（2）（i）[方法一]【分別求得斜率的表達式利用斜率之積為即可證得題中的結(jié)論】依題意設(shè)，直線的斜率為，則，所以．又，所以，進而有，即是直角三角形．[方法二]【利用三點共線和點差法真的斜率之積為即可證得題中的結(jié)論】由題意設(shè)，則．因為Q，E，G三點共線，所以，又因為點P，G在橢圓上，所以，兩式相減得，所以，所以．（ii）[方法一]【求得面積函數(shù)，然后求導確定最值】設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立解得所以直線的方程為．聯(lián)立直線的方程和橢圓C的方程，可得，則，所以．令，即．注意到，得，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以當時，．[方法二]【利用弦長公式結(jié)合韋達定理求得面積表達式，然后求導確定最值】設(shè)的中點為N，直線的斜率為k，則其方程為．由解得．由（Ⅰ）得．直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，．又，從而，進而．以下同解法一．【整體點評】(2)(i)方法一：斜率之積為是證明垂直的核心和關(guān)鍵；方法二：利用三點共線和點差法使得問題的處理更加簡單.(ii)導數(shù)是求最值的一種重要方法，在求最值的時候幾乎所有問題都可以考慮用導數(shù)求解；4．（2017·全國·高考真題）設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.（1）求點P的軌跡方程；（2）設(shè)點在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.【答案】（1）；（2）見解析.【詳解】（1）設(shè)P（x，y），M（）,則N（），由得.因為M（）在C上，所以.因此點P的軌跡為.由題意知F（-1,0），設(shè)Q（-3，t），P（m，n），則，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.點睛:定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒成立的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).5．（2015·湖北·高考真題）一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子在滑槽AB內(nèi)做往復運動時，帶動繞轉(zhuǎn)動一周（不動時，也不動），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．

（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與曲線有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值8．【詳解】（Ⅰ）設(shè)點，，依題意，

，且，所以，且即且由于當點不動時，點也不動，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲線的方程為（Ⅱ）（1）當直線的斜率不存在時，直線為或，都有．（2）當直線的斜率存在時，設(shè)直線，由消去，可得．因為直線總與橢圓有且只有一個公共點，所以，即．①又由可得；同理可得．由原點到直線的距離為和，可得．②將①代入②得，．當時，；當時，．因，則，，所以，當且僅當時取等號．所以當時，的最小值為8．綜合（1）（2）可知，當直線與橢圓在四個頂點處相切時，的面積取得最小值8．考點：橢圓的標準方程、幾何性質(zhì),直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，最值．考點03求直線方程1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知和為橢圓上兩點.(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．【答案】(1)(2)直線的方程為或.【分析】（1）代入兩點得到關(guān)于的方程，解出即可；（2）方法一：以為底，求出三角形的高，即點到直線的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到點坐標，則得到直線的方程；方法二：同法一得到點到直線的距離，再設(shè)，根據(jù)點到直線距離和點在橢圓上得到方程組，解出即可；法三：同法一得到點到直線的距離，利用橢圓的參數(shù)方程即可求解；法四：首先驗證直線斜率不存在的情況，再設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，得到點坐標，再利用點到直線距離公式即可；法五：首先考慮直線斜率不存在的情況，再設(shè)，利用弦長公式和點到直線的距離公式即可得到答案；法六：設(shè)線法與法五一致，利用水平寬乘鉛錘高乘表達面積即可.【詳解】（1）由題意得，解得，所以.（2）法一：，則直線的方程為，即，，由（1）知，設(shè)點到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時該平行線與橢圓的交點即為點，設(shè)該平行線的方程為：，則，解得或，當時，聯(lián)立，解得或，即或，當時，此時，直線的方程為，即，當時，此時，直線的方程為，即，當時，聯(lián)立得，，此時該直線與橢圓無交點.綜上直線的方程為或.法二：同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，設(shè)，則，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，設(shè)，其中，則有，聯(lián)立，解得或，即或，以下同法一；法四：當直線的斜率不存在時，此時，，符合題意，此時，直線的方程為，即，當線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程有，則，其中，即，解得或，，，令，則，則同法一得到直線的方程為，點到直線的距離，則，解得，此時，則得到此時，直線的方程為，即，綜上直線的方程為或.法五：當?shù)男甭什淮嬖跁r，到距離，此時不滿足條件.當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)，令，，消可得，，且，即，，到直線距離，或，均滿足題意，或，即或.法六：當?shù)男甭什淮嬖跁r，到距離，此時不滿足條件.當直線斜率存在時，設(shè)，設(shè)與軸的交點為，令，則，聯(lián)立，則有，，其中，且，則，則，解的或，經(jīng)代入判別式驗證均滿足題意.則直線為或，即或.2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【答案】(1)橢圓的方程為，離心率為.(2).【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.（2）先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達定理可得，從而得到點和點坐標.由得，即可得到關(guān)于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.【詳解】（1）如圖，

由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.3．（2022·全國甲卷·高考真題）設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）法一：設(shè)點的坐標及直線，由韋達定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達定理可解.【詳解】（1）拋物線的準線為，當與x軸垂直時，點M的橫坐標為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點共線，由所以，化簡得，反之，若,可得MN過定點因此，由M、N、F三點共線，得，

由M、D、A三點共線，得，

由N、D、B三點共線，得，則，AB過定點（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，所以直線.【整體點評】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡化了聯(lián)立方程的運算，通過尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；法二：常規(guī)設(shè)直線方程點斜式，解題過程同解法一；法三：通過設(shè)點由三點共線尋找縱坐標關(guān)系，快速找到直線過定點，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡化運算的好方法．4．（2021·天津·高考真題）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，離心率為，且．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有唯一的公共點，與軸的正半軸交于點，過與垂直的直線交軸于點．若，求直線的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出的值，結(jié)合的值可得出的值，進而可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點，分析出直線的方程為，求出點的坐標，根據(jù)可得出，求出、的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）易知點、，故，因為橢圓的離心率為，故，，因此，橢圓的方程為；（2）設(shè)點為橢圓上一點，先證明直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，，因此，橢圓在點處的切線方程為.在直線的方程中，令，可得，由題意可知，即點，直線的斜率為，所以，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點，因為，則，即，整理可得，所以，，因為，，故，，所以，直線的方程為，即.【點睛】結(jié)論點睛：在利用橢圓的切線方程時，一般利用以下方法進行直線：（1）設(shè)切線方程為與橢圓方程聯(lián)立，由進行求解；（2）橢圓在其上一點的切線方程為，再應用此方程時，首先應證明直線與橢圓相切.5．（2020·天津·高考真題）已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點滿足，點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線與以為圓心的圓相切于點，且為線段的中點．求直線的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，并借助，即可求出橢圓的方程；（Ⅱ）利用直線與圓相切，得到，設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出點坐標，進而求出點坐標，再根據(jù)，求出直線的斜率，從而得解.【詳解】（Ⅰ）橢圓的一個頂點為，，由，得，又由，得，所以，橢圓的方程為；（Ⅱ）直線與以為圓心的圓相切于點，所以，根據(jù)題意可知，直線和直線的斜率均存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，，消去，可得，解得或.將代入，得，所以，點的坐標為，因為為線段的中點，點的坐標為，所以點的坐標為，由，得點的坐標為，所以，直線的斜率為，又因為，所以，整理得，解得或.所以，直線的方程為或.【點睛】本題考查了橢圓標準方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、中點坐標公式以及直線垂直關(guān)系的應用，考查學生的運算求解能力，屬于中檔題.當看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時，要想到聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程.6．（2018·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為．（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P．①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；②直線l與橢圓C交于兩點．若的面積為，求直線l的方程．【答案】（1），；（2）①；②．【分析】（1）根據(jù)條件易得圓的半徑，即得圓的標準方程，再根據(jù)點在橢圓上，解方程組可得a,b，即得橢圓方程；（2）方法一：①先根據(jù)直線與圓相切得一方程，再根據(jù)直線與橢圓相切得另一方程，解方程組可得切點坐標；②先根據(jù)三角形面積得三角形底邊邊長，再結(jié)合①中方程組，利用求根公式以及兩點間距離公式，列方程，解得切點坐標，即得直線方程.【詳解】（1）因為橢圓C的焦點為，可設(shè)橢圓C的方程為．又點在橢圓C上，所以，解得因此，橢圓C的方程為．因為圓O的直徑為，所以其方程為．（2）［方法一］：【通性通法】代數(shù)法硬算①設(shè)直線l與圓O相切于，則，所以直線l的方程為，即．由，消去y，得（*），因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，所以．因為，所以，因此，點P的坐標為．②因為三角形OAB的面積為，所以，從而．設(shè)，由（*）得，所以．因為，所以，即，解得舍去），則，因此P的坐標為．綜上，直線l的方程為．［方法二］：圓的參數(shù)方程的應用設(shè)P點坐標為．因為原點到直線的距離，所以與圓O切于點P的直線l的方程為．由消去y，得．①因為直線l與橢圓相切，所以．因為，所以，故，．所以，P點坐標為．②因為直線與圓O相切，所以中邊上的高，因為的面積為，所以．設(shè)，由①知，即，即．因為，所以，故，所以．所以直線l的方程為．［方法三］：直線參數(shù)方程與圓的參數(shù)方程的應用設(shè)P點坐標為，則與圓O切于點P的直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），即（t為參數(shù)）．代入，得關(guān)于t的一元二次方程．①因為直線l與橢圓相切，所以，，因為，所以，故，．所以，P點坐標為．②同方法二，略．【整體點評】（2）方法一：①直接利用直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系代數(shù)法硬算，即可解出點的坐標；②根據(jù)三角形面積公式，利用弦長公式可求出點的坐標，是該題的通性通法；方法二：①利用圓的參數(shù)方程設(shè)出點，進而表示出直線方程，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系解出點的坐標；②根據(jù)三角形面積公式，利用弦長公式可求出點的坐標；方法三：①利用圓的參數(shù)方程設(shè)出點，將直線的參數(shù)方程表示出來，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系解出點的坐標；②根據(jù)三角形面積公式，利用弦長公式可求出點的坐標．7．（2017·全國·高考真題）已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點，求直線l與圓M的方程.【答案】(1)證明見解析；(2)，或，.【詳解】（1）設(shè)，.由可得，則.又，故.因此的斜率與的斜率之積為，所以.故坐標原點在圓上.（2）由（1）可得.故圓心的坐標為，圓的半徑.由于圓過點，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.【名師點睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況.中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證或說明中點在曲線內(nèi)部.8．（2017·天津·高考真題）設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ），或.【詳解】試題分析：由于為拋物線焦點，到拋物線的準線的距離為，則，又橢圓的離心率為，求出，得出橢圓的標準方程和拋物線方程；則，設(shè)直線方程為