2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第四節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案理含解析新人教A版

PAGEPAGE5第四節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)2024考綱考題考情1．冪函數(shù)(1)定義：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，α是常數(shù)。(2)冪函數(shù)的圖象比較：2．二次函數(shù)(1)解析式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)。頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)。兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。(2)圖象與性質(zhì)：與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立的條件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0；))(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,b2－4ac<0；))(3)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min。一、走進(jìn)教材1．(必修1P79習(xí)題T1改編)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則k＋α＝()A．eq\f(1,2)B．1C．eq\f(3,2)D．2解析因?yàn)閒(x)＝k·xα是冪函數(shù)，所以k＝1。又f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(\r(2),2)，所以α＝eq\f(1,2)，所以k＋α＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)。故選C。答案C2．(必修1P38B組T1改編)函數(shù)y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，則y的最小值為_(kāi)_______。解析函數(shù)y＝2x2－6x＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(3,2)的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(3,2)>1，所以函數(shù)y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以ymin＝2－6＋3＝－1。答案－1二、走近高考3．(2024·浙江高考)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m()A．與a有關(guān)，且與b有關(guān)B．與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)C．與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)D．與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)解析設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)，則m＝xeq\o\al(2,1)＋ax1＋b，M＝xeq\o\al(2,2)＋ax2＋b。所以M－m＝xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1)＋a(x2－x1)，明顯此值與a有關(guān)，與b無(wú)關(guān)。故選B。答案B三、走出誤區(qū)微提示：①二次函數(shù)解析式形式選擇不恰當(dāng)，致使運(yùn)算量偏大；②冪函數(shù)定義不清楚，導(dǎo)致出錯(cuò)；③二次函數(shù)在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題忽視給定區(qū)間的作用致誤。4．已知某二次函數(shù)的圖象與函數(shù)y＝2x2的圖象的形態(tài)一樣，開(kāi)口方向相反，且其頂點(diǎn)為(－1,3)，則此函數(shù)的解析式為()A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3解析設(shè)所求函數(shù)的解析式為y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由題意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3。故選D。答案D5．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，則此函數(shù)的解析式為_(kāi)_______；在區(qū)間________上遞減。解析設(shè)y＝f(x)＝xα，因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，代入解析式得α＝－eq\f(1,2)，則y＝x－eq\f(1,2)，由性質(zhì)可知函數(shù)y＝x－eq\f(1,2)在(0，＋∞)上遞減。答案y＝x－eq\f(1,2)(0，＋∞)6．已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________。解析f(x)>2x＋m等價(jià)于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可。因?yàn)間(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調(diào)遞減，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1。由－m－1>0，得m<－1。因此滿意條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)。答案(－∞，－1)考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)【例1】(1)已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為()A．－3 B．1C．2 D．1或2解析(1)由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)只有n＝1符合題意。故選B。答案(1)B(2)D1．對(duì)于冪函數(shù)圖象的駕馭只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x分區(qū)域。依據(jù)α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性確定。2．在比較冪值的大小時(shí)，必需結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較。【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－3是冪函數(shù)，且x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則m的值為()A．－1 B．2C．－1或2 D．3解析由題意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－1＝1，,m2＋m－3>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1或m＝2，,m2＋m－3>0，))所以m＝2，故選B。答案B考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式【例2】(1)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，則f(x)＝________。(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，并且對(duì)隨意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)＝________。解析(1)設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，b＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1。(2)因?yàn)閒(2－x)＝f(2＋x)對(duì)隨意x∈R恒成立，所以f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2。又因?yàn)閒(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2，所以f(x)＝0的兩根為1和3。設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,3)，所以3a＝3，即a＝1，所以f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3。答案(1)x2＋2x＋1(2)x2－4x＋3求二次函數(shù)解析式的三個(gè)策略：(1)已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，宜選用一般式；(2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點(diǎn)式；(3)已知圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用兩根式。【變式訓(xùn)練】(1)已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，則f(x)＝________。(2)若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?－∞，4]，則該函數(shù)的解析式為f(x)＝________。解析(1)設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由eq\f(4a×0－4a2,4a)＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x。解析：由二次函數(shù)f(x)與x軸交于(0,0)，(－2,0)，知f(x)的圖象關(guān)于x＝－1對(duì)稱。設(shè)f(x)＝a(x＋1)2－1(a>0)，又f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x。(2)由f(x)是偶函數(shù)知f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以－a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2a,b)))，即b＝－2，所以f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域?yàn)?－∞，4]，所以2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4。答案(1)x2＋2x(2)－2x2＋4考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)微點(diǎn)小專題方向1：二次函數(shù)的圖象【例3】對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)與二次函數(shù)y＝(a－1)x2－x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是()ABCD解析當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝logax為減函數(shù)，y＝(a－1)x2－x的圖象開(kāi)口向下，其對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(1,2a－1)<0，解除C，D；當(dāng)a>1時(shí)，y＝logax為增函數(shù)，y＝(a－1)x2－x的圖象開(kāi)口向上，其對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(1,2a－1)>0，解除B。故選A。答案A確定二次函數(shù)的圖象從三方面入手1．開(kāi)口方向；2.對(duì)稱軸；3.特別點(diǎn)。方向2：二次函數(shù)的單調(diào)性【例4】函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3,0) B．(－∞，－3]C．[－2,0] D．[－3,0]解析當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x＋1，在[－1，＋∞)上遞減，滿意題意。當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(3－a,2a)，由f(x)在[－1，＋∞)上遞減知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a<0。綜上，a的取值范圍為[－3,0]。答案D【互動(dòng)探究】若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的單調(diào)減區(qū)間是[－1，＋∞)，則a的取值為_(kāi)_______。解析由題意知，f(x)必為二次函數(shù)且a<0，又eq\f(3－a,2a)＝－1，所以a＝－3。答案－31．對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是看圖象的開(kāi)口方向與對(duì)稱軸的位置，若開(kāi)口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則須要分類探討求解。2．利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，肯定要將待比較的兩數(shù)通過(guò)二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較。方向3：二次函數(shù)的最值【例5】已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x(a>0)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值。解因?yàn)閍>0，所以f(x)＝ax2－2x的圖象的開(kāi)口方向向上，且對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(1,a)。①當(dāng)eq\f(1,a)<2，即a>eq\f(1,2)時(shí)，eq\f(1,a)∈(0,2)，所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，2))上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\f(1,a)－eq\f(2,a)＝－eq\f(1,a)。②當(dāng)eq\f(1,a)≥2，即0<a≤eq\f(1,2)時(shí)，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，所以f(x)min＝f(2)＝4a－4。綜上所述，f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a－4，0<a≤\f(1,2)，,－\f(1,a)，a>\f(1,2)。))1．二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)。不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類探討。2．二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分類探討求解。【題點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】1．(方向1)如圖，若a<0，b>0，則函數(shù)y＝ax2＋bx的大致圖象是________(填序號(hào))。①②③④解析函數(shù)圖象的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸方程為x＝－eq\f(b,2a)>0，且過(guò)原點(diǎn)，故大致圖象是③。答案③2．(方向2)若函數(shù)y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是________。解析當(dāng)m＝0時(shí)，函數(shù)在給定區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)，圖象對(duì)稱軸為x＝－eq\f(1,2m)≤－2，得m≤eq\f(1,4)，又m>0，因此0<m≤eq\f(1,4)。綜上，0≤m≤eq\f(1,4)。答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))3．(方向3)設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，且f(m)≤f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]解析依題意a≠0，二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c圖象的對(duì)稱軸是直線x＝1，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，所以a>0，即函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，所以f(0)＝f(2)，則當(dāng)f(m)≤f(0)時(shí)，有0≤m≤2。故選D。答案Deq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))1．(協(xié)作例2運(yùn)用)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c滿意條件：①f(3－x)＝f(x)；②f(1)＝0；③對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，f(x)≥eq\f(1,4a)－eq\f(1,2)恒成立，則其解析式為f(x)＝________。解析依題意可設(shè)f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋k，由f(1)＝eq\f(1,4)a＋k＝0，得k＝－eq\f(1,4)a，從而f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(a,4)≥eq\f(1,4a)－eq\f(1,2)恒成立，則－eq\f(a,4)≥eq\f(1,4a)－eq\f(1,2)，且a>0，即eq\f(1,4a)＋eq\f(a,4)－eq\f(1,2)≤0，即eq\f(a2－2a＋1,4a)≤0，且a>0，所以a＝1。從而f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(