2025年中考數(shù)學總復習《有關矩形的最值問題》專項測試卷(附答案)

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學總復習《有關矩形的最值問題》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形ABCO是矩形，點A，C的坐標分別是A（0，2）和C（2，0），點D是對角線AC上一動點（不與A，C重合），連結BD，作DE⊥DB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF．（1）填空：點B的坐標為．（2）是否存在這樣的點D，使得△DEC是等腰三角形？若存在請求出AD的長度；若不存在，請說明理由：（3）①求證：；②設AD＝x，矩形BDEF的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式并求出當點D運動到何處時，y有最小值？2．已知：等腰中，線段在上，分別過作的垂線，交于將線段在上平移，記五邊形的面積為周長為(1)當時；①求的最大值；②小明同學在探究此圖性質的過程中發(fā)現(xiàn)如下結論：“在平移的過程中，的值保持不變”，請你幫他說明理由；(2)若，小明的結論還成立嗎？請說明理由．3．問題提出：

（1）如圖①，已知線段AB及AB外點C，試在線段AB上確定一點D，使得CD最短．問題探究：（2）如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sin∠ABC=，D為AB中點，點E為AC邊上的一個動點，請求出△BDE周長的最小值．問題解決：（3）如圖③，有一個矩形花壇ABCD．AB=10m，AD=24m，根據(jù)設計造型要求，在AB上任取一動點E、連ED，過點A作AF⊥ED，交DE于點F，在FD上截取FP=AF，連接PB、PC；現(xiàn)需在△PBC的區(qū)內種植一種黃色花卉，在矩形內的其它區(qū)域種植一種紅色花卉，已知種植這種黃色花卉每平方米需200元，種植這種紅色花卉每平方米需180元，完成這兩種花卉的種植至少需花費多少元？（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）4．如圖1，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，已知OA=3，OC=2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．

（1）直接寫出點E、F的坐標；（2）如圖2，若點P是線段DA上的一個動點，過P作PH⊥DB于H點，設OP的長為x，△DPH的面積為S，試用關于x的代數(shù)式表示S；（3）如圖3，在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最?。咳绻嬖?，求出周長的最小值．（直接寫出結果即可）5．如圖①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分別以OC、OA所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的坐標系，連接OB，反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖象經過線段OB的中點D，并與矩形的兩邊交于點E和點F，直線l：y=kx+b經過點E和點F．（1）寫出中點D的坐標，并求出反比例函數(shù)的解析式；（2）連接OE、OF，求△OEF的面積；（3）如圖②，將線段OB繞點O順時針旋轉一定角度，使得點B的對應點H恰好落在x軸的正半軸上，連接BH，作OM⊥BH，點N為線段OM上的一個動點，求HN+ON的最小值．

6．如圖1，四邊形中，，為的中點，為邊上一動點，連接并延長至點，使得，連接．(1)四邊形一定是___________（填特殊四邊形的名稱）；(2)若當運動到的中點時，四邊形是矩形．設，試求的值；(3)若，，，是否存在這樣的點，使得四邊形為矩形，若存在，請求出的最大值；若不存在，請說明理由．7．如圖，在平面直角坐標系中，，，，連接，，平移至(點與點對應，點與點對應），連接．(1)①直接寫出點的坐標為______．②判斷四邊形的形狀，并證明你的結論；(2)如圖1，點為邊上一點，連接，平分交于，連接．若，求的長；(3)如圖2，為邊的中點．若，連接，則的最小值為______，最大值為______．8．如圖①，點D為上方一動點，且．(1)在左側構造，連接，請證明；(2)如圖②，在左側構造，在右側構造，連接求證：四邊形是平行四邊形；(3)如圖③，當滿足，，．運用（2）中的構造圖形的方法畫出四邊形；（Ⅰ）求證：四邊形是矩形；（Ⅱ）直接寫出在點D運動過程中線段的最大值．9．如圖①，在中，，，點在上（且不與點、重合）．在的外部作等腰，使，連接，過點作平行且相等于，連接、．(1)此時四邊形為__________形；、的數(shù)量關系為___________．(2)將繞點逆時針旋轉，當點在線段上時，如圖②，連接．①此時四邊形為__________形；②、的數(shù)量關系為__________，證明你的結論．(3)在繞點逆時針旋轉一周的過程中，若，，線段長度的最大值為__________．10．在矩形中，，，E是邊上的一個動點，F(xiàn)是邊上的一個動點，連接，將矩形沿折疊．(1)如圖1，若．時，將矩形沿折疊后，點C恰好落在上的點C'處，點B落在點處，交于點M．①求折痕的長；②連接交于點N，求的值；(2)如圖2，，將矩形沿折疊后，點A、D的對應點分別是點、，連接，，直接寫出面積的最大值為，與面積的最小值為．11．如圖1，矩形的兩條邊分別在軸和軸上，已知點、點．(1)若把矩形沿直線折疊，使點落在點處，直線與、、的交點分別為，求折痕的長；(2)在（1）的條件下，若點在軸上，在平面內存在點，使以為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點的坐標；(3)如圖2，若為邊上的一動點，在上取一點，將矩形繞點順時針旋轉一周，在旋轉的過程中，的對應點為，請直接寫出的最大值和最小值．12．綜合與實踐問題提出如圖1，在矩形中，已知，，點P沿折線運動（運動到C點停止），過點P作，當點P在上運動時，交于點M；當點P在上運動時，交于點M．設點P運動的路程為x，在運動過程中的面積為y．初步感悟（1）當點P在上運動時，①若，則_______；②y關于x的函數(shù)關系式為_________；（2）如圖2，當點P由點D運動到點C時，經探究發(fā)現(xiàn)y是關于x的二次函數(shù)關系，求y關于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．延伸探究（3）設點P沿運動過程中y取得最大值，則當點P在上運動的過程中，是否也存在y值為？如果存在，求此時的長；如果不存在，則說明理由．13．如圖1．四邊形、都是矩形，點G在上，且，，，小李將矩形繞點C順時針轉，如圖2所示：(1)①他發(fā)現(xiàn)的值始終不變，請你幫他計算出的值______．②在旋轉過程中，當點B、E、F在同一條直線上時，求出AG的長度是多少?(2)如圖3，中，，，，G為的中點，點D為平面內的一個動點．且，將線段BD繞點D逆時針旋轉α°，得到，則四邊形的面積的最大值為______．14．如圖，在矩形中，，，點是邊上的動點，將矩形沿折疊，點落在點處，連接、．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若點恰好落在上，求的值；(3)點在邊上運動的過程中，的度數(shù)是否存在最大值，若存在，求出此時線段的長；若不存在，請說明理由．15．在矩形中，，，以點為旋轉中心，逆時針旋轉矩形，旋轉角為，得到矩形，點的對應點分別為點．

(1)如圖①，當點落在邊上時，線段的長度為___________；(2)如圖②，當點落在線段上時，與相交于點，連接．①求證：；②求線段的長度．(3)如圖③設點為邊的中點，連接，，在矩形旋轉過程中，的面積是否存在最大值？若存在請直接寫出這個最大值；若不存在請說明理由．參考答案1．(1);（2）存在；滿足條件的AD的值為2或2;(3)①見解析，②，當點D運動到距A點的距離為3時，y有最小值．【分析】（1）求出AB、BC的長即可得出結果；（2）先推出∠ACO＝30°，∠ACD＝60°由△DEC是等腰三角形，分兩種情況：①當E在線段CO上時，觀察圖象可知，只有ED＝EC，∠DCE＝∠EDC＝30°，推出∠DBC＝∠BCD＝60°，可得△DBC是等邊三角形，推出DC＝BC＝2，即可得出結果；②當E在OC的延長線上時，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，得出∠ABD＝∠ADB＝75°即可得出結果；（3）①先表示出DN，BM，證出△BMD∽△DNE，即可得出結論；②作DH⊥AB于H，用x表示BD、DE的長，構建二次函數(shù)即可解決問題【詳解】解：（1）∵四邊形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，∴B（2，2）；故答案為（2，2）；（2）存在；理由如下：∵OA＝2，OC＝2，∵tan∠ACO＝∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°，分兩種情況：①當E在線段CO上時，△DEC是等腰三角形，觀察圖像可知，只有ED＝EC，如圖1所示：∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等邊三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2，∴當AD＝2時，△DEC是等腰三角形；②當E在OC的延長線上時，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，如圖2所示：∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，綜上所述，滿足條件的AD的值為2或2；（3）①證明：過點D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，如圖3所示：∵A（0，2）和C（2，0），∴直線AC的解析式為y＝﹣x+2，設D（a，﹣a+2），∴DN＝﹣a+2，BM＝2﹣a，∵∠BDE＝90°，∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，∴△BMD∽△DNE，∴＝＝；②作DH⊥AB于H，如圖4所示：在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，∴DH＝AD＝x，∴BH＝2﹣x，在Rt△BDH中，BD＝∴∴矩形BDEF的面積為∴∵＞0，∴x＝3時，y有最小值，即當點D運動到距A點的距離為3時，y有最小值．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質、等邊三角形的判定和性質、銳角三角函數(shù)、分類討論、相似三角形的判定和性質、勾股定理、二次函數(shù)的性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，學會構建二次函數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．2．(1)①；②見解析(2)小明的結論還成立，理由見解析【分析】（1）①設，則，求出，進而利用勾股定理得到，則；分別證明都是等腰直角三角形，得到，則，，則，據(jù)此可得答案；②如圖所示，過點C作于H，過點F、G分別作的垂線，垂足分別為M、N，則四邊形、四邊形都是矩形，可得，設，則，由三線合一定理得到，則；解得到，解得到；再證明，解得到，解得到，則，由，可得，則在平移的過程中，的值保持不變；（2）同（1）②求解即可．【詳解】（1）解：①設，則，∵，∴，∴，∴，∴；∵，∴都是等腰直角三角形，∴，∴，，∴，∵，∴當時，S的值最大，最大為；②理由如下：如圖所示，過點C作于H，過點F、G分別作的垂線，垂足分別為M、N，則四邊形、四邊形都是矩形，∴，設，則，∵，∴，∴；在中，，在中，，由矩形的性質可得，∴，在中，，在中，，∴，∵，∴，∴在平移的過程中，的值保持不變；（2）解：小明的結論還成立，理由如下：如圖所示，過點C作于H，過點F、G分別作的垂線，垂足分別為M、N，則四邊形、四邊形都是矩形，∴，設，則，∵，∴，∴；在中，，在中，，由矩形的性質可得，∴，在中，，在中，，∴，∴在平移的過程中，保持不變，∴的值保持不變．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質與判定，矩形的性質與判定，解直角三角形，勾股定理等等，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．3．（1）詳見解析；（2）5+；（3）44736元【分析】（1）根據(jù)垂線段最短解決問題即可．（2）如圖②中，作點D關于AC的對稱點D′，連接DD′交AC于J，連接ED′，BD′，過點D′作D′H⊥BC交BC的延長線于H．周長DE+EB的最小值即可解決問題．（3）如圖③中，作△APD的外接圓⊙J，在⊙J上取一點T，連接TA，TD，JA，JD，過點J作JQ⊥BC于Q，過點P作PH⊥BC于H．證得△ADJ是等邊三角形，求出PH的最小值即可解決問題．【詳解】（1）如圖①中，線段CD即為所求．

（2）如圖②中，作點D關于AC的對稱點D′，連接DD′交AC于J，連接ED′，BD′，過點D′作D′H⊥BC交BC的延長線于H．

在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AB=10，∴sin∠ABC，∴AC=8，BC=，∵∠DJA=∠ACB=90°，∴DJ∥BC，∵AD=DB，∴AJ=JC=4，∴DJ=JD′=BC=3，∵∠D′HC=∠HCJ=∠CJD′=90°，∴四邊形CHD′J是矩形，∴JD′=CH=3，D′H=JC=4，∴BH=BC+CH=6+3=9，∴BD′=，∵DE+BE=BE+ED′≥BD′，∴DE+BE≥，∴DE+BE的最小值為，∴△BDE的周長的最小值為；（3）如圖③中，作△APD的外接圓⊙J，在⊙J上取一點T，連接TA，TD，JA，JD，過點J作JQ⊥BC于Q，交AD于G，過點P作PH⊥BC于H．

在Rt△AFP中，∵tan∠APF=，∴∠APF=30°，∴∠APD=150°，∵A，T，D，P四點共圓，∴∠T+∠APD=180°，∴∠T=30°，∵∠AJD=2∠T，∴∠AJD=60°，∵JA=JD，∴△ADJ是等邊三角形，∵∠ABQ=∠BAD=∠GQB=90°，∴四邊形ABQG是矩形，∵AB=10m，AD=AJ=JD=24m，∴JG=JA，GQ=AB=10m，∴JQ=GQ+JG=（）（m），∵PJ+PH≥JQ，∴PH的最小值=（）﹣24=（﹣14）（m），∵完成這兩種花卉的種植的費用=200××24PH+180×（10×24﹣×24PH）=240PH+4320044736（元），∴PH=﹣14時，費用最小，最小值為44736（元）．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了垂線段最短，圓內接四邊形，等邊三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，軸對稱最短問題，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．4．（1）E(3，1)，F(xiàn)(1，2)；（2）；（3）在x軸、y軸上分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最小，最小為．【分析】（1）根據(jù)折疊的特點和矩形的性質，可得AE=1，BF=BA=2，故而寫出E、F的坐標；（2）根據(jù)折疊的特點，可判斷四邊形DABF是正方形，從而得出∠HDP=45°，則可用x表示出DP的長，進而得出DH和HP的長，從而得出△DHP的面積；（3）四邊形NMEF的周長=FN+NM+ME+EF，其中EF是定值，只需要FN+NM+ME最短即可，過點F作y軸的對稱點F′，過點E關于x軸的對稱點E′，則連接E′、F′與y軸的交點即為點N，與x軸的交點為點M，從而求得最小值．【詳解】（1）由題意可求，AE=1，BF=BA=2∴CF=1，故：E(3，1)，F(xiàn)(1，2)；（2）如圖2∵將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，∴BF=AB=2，∴OD=CF=3﹣2=1，若設OP的長為x，則，PD=x﹣1，在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，∴∠ADB=45°，在Rt△PDH中，，∴；（3）如圖3，作點F關于y軸的對稱點F′，點E關于x軸的對稱點E′，連接E′F′交y軸于點N，交x軸于點M，此時四邊形MNFE的周長最小，點F(1，2)關于y軸的對稱點F′(﹣1，2)，點E(3，1)關于x軸的對稱點E′(3，﹣1)，待定系數(shù)法可求得：直線E′F′的解析式為：，當x=0時，，當y=0時，，∴，，此時，四邊形MNFE的周長；∴在x軸、y軸上分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最小，最小為：．【點睛】本題考查對折問題和求最值問題，在求解最值問題中，利用對稱進行邊長轉化是常見的方法之一．5．（1）D(，2)，y=；（2）；（3）4．【分析】（1）首先確定點B坐標，再根據(jù)中點坐標公式求出點D的坐標即可解決問題．（2）求出點E，F(xiàn)的坐標，再根據(jù)S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB計算即可．（3）如圖②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先證明：sin∠JOD＝，推出NJ＝ON?sin∠NOD＝ON，推出NH＋ON＝NH＋NJ，根據(jù)垂線段最短可知，當J，N，H共線，且與HK重合時，HN＋ON的值最小，最小值＝HK的長，由此即可解決問題．【詳解】（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，∴B(3，4)．∵OD=DB，∴D(，2)．∵y=經過D(，2)，∴k=3，∴反比例函數(shù)的解析式為y=．（2）如圖①中，連接OE，OF．

由題意E(，4)，F(xiàn)(3，1)，∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×(3﹣)=．（3）如圖②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．

由題意OB=OH=5，∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，∴BH==2，∴sin∠CBH==．∵OM⊥BH，∴∠OMH=∠BCH=90°．∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，∴∠MOH=∠CBH．∵OB=OH，OM⊥BH，∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，∴sin∠JOD=，∴NJ=ON?sin∠NOD=ON，∴NH+ON=NH+NJ，根據(jù)垂線段最短可知，當J，N，H共線，且與HK重合時，HN+ON的值最小，最小值=HK的長．∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，∴HK=BC=4，∴HN+ON是最小值為4．【點睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質，矩形的性質，解直角三角形，三角形的面積，最短問題等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．6．(1)平行四邊形(2)4(3)存在，的最大值為【分析】（1）①利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷；（2）證明，利用相似三角形的性質可得，然后結合即可求解；（3）設，證明，利用相似三角形的性質可求出，利用二次函數(shù)的性質可求出m的最大值為，過點D作，可求，利用勾股定理求出，利用矩形的性質可求出，即可求解．【詳解】（1）解：∵E為邊的中點，∴，又，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵F是的中點，四邊形是矩形，∴，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴k為定值4；（3）解：存在點F，使得四邊形為矩形．理由如下：如圖，∵四邊形是平行四邊形，∴當時，四邊形是矩形，∴．∵，∴，∵，∴，∴，設，∴，∴，∵m與x滿足二次函數(shù)關系，且，∴當時，m有最大值為，如圖，過點D作，垂足為M．則四邊形是矩形，∴，∴，由勾股定理得，∴當m取最大值時，，∴．∵四邊形是矩形，∴，∴的最大值為．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，二次函數(shù)的性質等知識，明確題意，證明是解題的關鍵．7．(1)①；②四邊形為矩形，理由見解析(2)(3)，【分析】（1）①根據(jù)平移的性質可得從點平移至點的距離和方向與點平移至點的距離和方向相同，即可求解；②根據(jù)勾股定理逆定理可得，再根據(jù)平移的性質可得且，可證得四邊形為平行四邊形，即可求解；（2）在線段上取一點，使，可證得，從而得到，，再證明，可得，，設，由勾股定理得，用x表示相關線段可得到關于x的方程，即可求解；（3）連接，取的中點連接，，根據(jù)三角形中位線定理和直角三角形的性質可得，，再由三角形的三邊關系，即可求解．【詳解】（1）解∶①∵平移至（點與點對應，點與點對應），∴從點平移至點的距離和方向與點平移至點的距離和方向相同，∵，，∴點先向左平移個單位，再向上平移得到點，∵，∴點；故答案為：；②四邊形為矩形，理由如下：連接，∵，，，∴，∴，同理：，，∴，∴為直角三角形，即，∵平移至，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形；（2）∵點，，∴，∵平分，∴，如圖，在線段上取一點，使，∵，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，，設則，∴，∴，∵，∴，解得：，即；（3）解：如圖，連接，取的中點，連接，，∵點，，，∴，，∵為的中點，為邊的中點，∴，，∵，∴的取值范圍為．的最小值為，最大值為．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形和矩形的性質、三角形全等、勾股定理的運用，直角三角形的性質，三角形中位線定理等，綜合性強，難度較大，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．8．(1)見解析(2)見解析(3)（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【分析】（1）根據(jù)題意得，，進而可得，即可求證；（2）分別證、，即可求證；（3）（Ⅰ）由（1）（2）可得，即可推出，即可求證；（Ⅱ）作的外接圓，圓心為O，可得，據(jù)此即可求解；【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，∴，（2）證明：由（1）∵，∴，，∴，由（1）同理可得∴∵∴∴∴，∴四邊形是平行四邊形；（3）解：（Ⅰ）由（1）（2）可得∴∵四邊形是平行四邊形∴四邊形是矩形（Ⅱ），理由如下：由（Ⅰ）得作的外接圓，圓心為O∵∴∴圓心O為定點，且半徑∴求得∴∴，∴，∴∴∴∴【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形以及矩形的判定、三角形與圓的綜合問題，綜合性較強，需要學生具備扎實的幾何基礎．9．(1)平行四邊；(2)①矩；②，證明見解析(3)【分析】（1）由且可得四邊形是平行四邊形，于是可得，進而可推出，由等腰直角三角形的性質可得，，利用等式的性質可推出，由于，于是利用勾股定理即可得出、的數(shù)量關系；（2）①由且可得四邊形是平行四邊形，由進而可得四邊形是矩形；②連接，設交于點，利用可證得，于是可得，進而可證得是等腰直角三角形，于是利用勾股定理即可得出、的數(shù)量關系；（3）將沿向下翻折至，連接，記交于點，可證明，則，則點在以為圓心，為半徑的圓上運動，由，得當點三點共線，且點為射線與的交點，此時取得最大值，由勾股定理得，則，故的最大值為．【詳解】（1）解：且，四邊形是平行四邊形，，又，，是等腰直角三角形，，，，即：，，是等腰直角三角形，，故答案為：平行四邊，；（2）解：①矩形，理由如下：且，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，故答案為：矩；②，證明如下：如圖，連接，設交于點，，，，是等腰直角三角形，，，，且，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，即：，，，，，在和中，，，，，，是等腰直角三角形，，故答案為：；（3）解：將沿向下翻折至，連接，記交于點，由上得四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∵均為等腰直角三角形，∴，∴，∴，由翻折得，∴，∴，∵為等腰直角三角形，，同上可得，∴，∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動，∵，∴當點三點共線，且點為射線與的交點，此時取得最大值，如圖：∵，∴在等腰中，同上由勾股定理得，∴，∴的最大值為．【點睛】本題主要考查了圓的定義，平行四邊形的判定與性質，等式的性質，勾股定理，矩形的判定，等邊對等角，三角形的內角和定理，兩直線平行同位角相等，利用鄰補角互補求角度，等角對等邊，三角形外角的性質，全等三角形的判定與性質（），10．(1)①；②(2)18，【分析】（1）①根據(jù)證明，得出，設，，，在中，根據(jù)勾股定理得出，，求出，則，，可證四邊形是矩形，得出，，，最后根據(jù)勾股定理求解即可；②延長，交于點G，先證明，求出，，再證明，即可解答；（2）當中邊上的高最大時，的面積最大，即當F，C，三點共線時，的面積最大，根據(jù)三角形的面積公式即可解答；當中邊上的高最小時，的面積最小，即當E，C，三點共線時，的面積最小，根據(jù)三角形的面積公式即可解答．【詳解】（1）解：①如圖，過作于H，∵四邊形是矩形，，，∴，，，由折疊得：，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，設，，，在中，，∴，∴，∴，，∵，，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴；②如圖，延長，交于點G，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：由折疊得：，，，，如圖，∴當中邊上的高最大時，的面積最大，即當F，C，三點共線時，的面積最大，由（1）同理可求，∴，∴，∴的面積為，即面積的最大值為18．如圖，∴當中邊上的高最小時，的面積最小，即當E，C，三點共線時，的面積最小，∵，，，∴，∵，∴，∴的面積，即面積的最小值為．故答案為：18，．【點睛】本題是相似形的綜合題，主要考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，全等和相似三角形的判定與性質等知識，熟練掌握相似三角形的性質和判定是解題的關鍵．11．(1)(2)，，，(3)5，【分析】（1）連接，利用矩形的性質、折疊的性質以及勾股定理得出，再證明，即可得解；（2）分兩種情況：為菱形的邊時；為菱形的對角線時，分別利用菱形的性質求解即可得出答案；（3）畫出運動軌跡，利用圖象法即可解答．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵四邊形是矩形，點、點，∴，，，，∴，由折疊的性質可得：垂直平分，∴，，設，則，由勾股定理得，∴，解得：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴折痕的長為；（2）解：由（1）可得：，則，∴，，如圖，當為菱形的邊時，，可得，，即，，當為菱形的對角線時，與重合，與重合，，當點在第四象限時，與關于軸對稱，，綜上所述，滿足條件的點坐標為，，，；（3）解：如圖，作，∵，∴，畫出點的運動軌跡如圖，觀察圖形可得，的最小值，的最大值，∴【點睛】本題考查了矩形的性質、菱形的性質、勾股定理、三角形全等的判定與性質、軸對稱的性質、三角形面積公式等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用分類討論以及數(shù)形結合的思想是解此題的關鍵．12．（1）①；②；（2）；（3）存在，【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，二次函數(shù)的性質，相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是：（1）①證明，求出，，則可求y關于x的函數(shù)關系式，然后把求解即可；②由①直接得出結論即可；（2）證明，可求出，利用求解即可；（3）先求出（2）中函數(shù)的最大值，然后把代入（1）中函數(shù)解析式求出x即可．【詳解】解：（1）如圖，∵在矩形中，已知，，∴，，，∴，∵，∴，，∴，即，∴，，∴，又點P在上，∴，∴，當時，，故答案為：；②由①得，故答案為：；（2）當點P在上時，，即，∵，∴，，∴，即，∴，∴，∴（3），∴當時，有最大值，最大值，把代入，得，解得，（舍去），∴存在，此時．13．(1)①；②或．(2)【分析】（1）①解直角三角形求出，，，可得結論．②分兩種情形：如圖中，當點在線段上時，如圖中，當點在的延長線上時，分別求出，，可得結論．（2）如圖3中，連接，，過點作于點．解直角三角形求出，證明，推出，由題意，推出點的運動軌跡是以為圓心，為半徑的圓，當點在的延長線上時，的面積最大，最大值，由此可