2025年中考數學總復習《反比例函數中的定值問題》專項測試卷(附答案)

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《反比例函數中的定值問題》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖1，點是反比例函數圖象上任意一點，過點作軸的垂線，垂足為，已知的面積為．(1)求的值．(2)若過點的直線與軸交于點，如圖2．①求證：．②與的平方差是不是定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．2．如圖1，直線：與反比例函數的圖象在第一、三象限交于點A，B，與x軸、y軸分別交于點C，D，過點A作軸于點E，F(xiàn)為x軸上一點，直線與直線關于直線對稱．(1)若，，點A的橫坐標為3，求反比例函數的解析式．(2)在（1）的條件下，設拋物線的頂點為點Q，在平面直角坐標系中是否存在點Q，使最大？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，過點F作軸交于點G，過點A作于點P，連接．若k為定值，求證：的面積為定值．3．如圖，一次函數的圖象與坐標軸相交于點和點，與反比例函數相交于點．(1)求出一次函數與反比例函數的表達式；(2)若點是反比例函數圖象上的一點，連接并延長，交軸正半軸于點，若時，求的面積；(3)如圖2，在（2）的條件下，為反比例函數圖象上一動點（不與點、重合），連接，分別于軸、軸交于點、、、，試探究是否是定值？如果是定值，請求出定值；如果不是，請說明理由．4．如圖1，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數交于，B兩點，與x軸交于點C．(1)求的值；(2)P為反比例函數圖象上任意一點（不與重合）①過P作交y軸于點Q，若，求P點坐標；②如圖2，直線與x軸、y軸分別交于點，直線分別與x軸y軸交于．試判斷是否為定值．若是，求出該值；若不是，請說明理由．5．已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流（單位：）與電阻（單位：）是反比例函數關系，它的圖像如圖所示．(1)這個反比例函數的解析式是______；(2)若使用時電阻，則電流是______；(3)如果以蓄電池為電源的用電器的電流不能超過，那么用電器的可變電阻至少是多少？6．如圖在平面直角坐標系中，O為原點，A、B兩點分別在y軸，x軸的正半軸上，的一條內角平分線、一條外角平分線交于點P，在反比例函數的圖象上．(1)求m(2)若，求的度數(3)如果直線的關系式為且，作反比例函數，過點作x軸的平行線與的圖象交于點M，與的圖象交于點N，過點N作y軸的平行線與的圖像交于點Q，是否存在k的值，使得的和始終是一個定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，請說明理由．7．由物理學知識知道，在力的作用下，物體會在力F的方向上發(fā)生位移，力F所做的功滿足：，當W為定值時，F(xiàn)與s之間的函數圖象．如圖所示，點為圖象上一點．(1)試確定F與s之間的函數表達式；(2)當時，s是多少？8．如圖在平面直角坐標系中，已知直線y＝﹣x+2及雙曲線y＝（k＞0，x＞0）．直線交y軸于A點，x軸于B點，C、D為雙曲線上的兩點，它們的橫坐標分別為a，a+m（m＞0）．(1)如圖①連接AC、DB、CD，當四邊形CABD為平行四邊形且a＝2時，求k的值．(2)如圖②過C、D兩點分別作軸交直線AB于C'，D'，當CDAB時，①對于確定的k值，求證：a（a+m）的值也為定值．②若k＝6，且滿足m＝a﹣4+，求d的最大值．9．已知一次函數和反比例函數（，）．

(1)如圖1，若，且函數，的圖象都經過點．①求m，k的值；②直接寫出當時，x的范圍；(2)如圖2，過點作y軸的平行線l與函數的圖象相交于點B，與反比例函數（）的圖象相交于點C．①若，直線l與函數的圖象相交點D．當點B、C、D中的一點到另外兩點的距離相等時，求的值；②過點B作x軸的平行線與函數的圖象相交于點E．當的值取不大于1的任意實數時，點B、C間的距離與點B、E間的距離之和d始終是一個定值．求此時k的值及定值d．10．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，A、B兩點分別在y軸、x軸的正半軸上，P在反比例函數的圖象上，、分別是的兩條外角平分線．(1)求點P的坐標；(2)如圖2，看，則：①的度數為________；②求出此時直線的函數關系式；(3)如果直線的關系式為，且，作反比例函數，過點作x軸的平行線與的圖象交于點M，與的圖象交于點N，過點N作y軸的平行線與的圖象交于點Q，是否存在k的值，使得的和始終是一個定值d，若存在，求出k的值及定值d﹔若不存在，請說明理由．11．如圖，平面直角坐標系中，一次函數圖像與反比例函數的圖像交于A、B兩點，其中A點的坐標為，點P為反比例函數第一象限圖像上一動點，且橫坐標小于m，直線分別與x軸交于D，C．(1)求k，m的值；(2)若A為的中點，求證：；(3)小亮說：當點P運動時，的面積是一個定值？若正確，求出這個定值；若不正確，請說明理由．12．如圖，在平面直角坐標系中，點在反比例函數的圖象上，點在反比例函數的圖象上，矩形與坐標軸的交點分別為，，，，軸，連接，，分別交坐標軸于點，，連接．（1）求證：為定值；（2）若為的中點，求．13．在矩形中，分別以所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．A點坐標為，B點坐標為，F(xiàn)是上的一個動點（不與B、C重合），過F點的反比例函數的圖象與邊交于點E，連接，作直線．(1)若，求反比例函數解新式；(2)在（1）的條件下求出的面積；(3)在點F的運動過程中，試說明是定值．14．已知一次函數和反比例函數．（1）如圖1，若，且函數的圖象都經過點①求m，k的值；②直接寫出當時x的范圍；（2）如圖2，過點作y軸的平行線l與函數為的圖象相交于點B，與反比例函數的圖象相交于點C，①若．直線l與函數的圖象相交點D．當點B、C、D中的一點到另外兩點的距離相等時，求的值：②過點B作x軸的平行線與函數的圖象相交于點E．當的值取不大于1的任意實數時，點B、C間的距離與點B、E間的距離之和d始終是一個定值．求此時k的值及定值d15．如圖1，動點在函數的圖象上，過點分別作軸和軸的平行線，交函數的圖象于點、，作直線，設直線的函數表達式為．（1）若點的坐標為．①點坐標為______，點坐標為______，直線的函數表達式為______；②點在軸上，點在軸上，且以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點、的坐標；（2）連接、．①當時，求的長度；②如圖2，試證明的面積是個定值．參考答案1．(1)(2)①證明見解析；②是定值，【分析】本題考查了反比例函數系數的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標特征，熟知反比例函數圖象上的點一定滿足反比例函數解析式是解題的關鍵．（1）設，得到即可得到；（2）①根據題意得到，求出，得到，即可得到結論；②是定值，由題得，繼而得到，即，由（1）知，得到．【詳解】（1）解：設．軸，．，，．，．（2）①證明：設．點在直線上，．．當時，，．．．．②解：是定值．設．軸，∴在中，，，，，．∴．由（1）知，．2．(1)(2)存在，(3)見解析【分析】（1）先求出，，得出，證明．得出，根據，點A的橫坐標為3，求出，得出，即可得出答案；（2）由（1）得，，，，求出拋物線的頂點Q的坐標為，得出點Q是直線上一點．證明，作點D關于直線的對稱點，連接并延長，交直線于點Q，連接，此時最大，求出點的坐標為，待定系數法求出直線的解析式為．聯(lián)立，求出點Q的坐標為．（3）求出，，得出，，證明四邊形是矩形，得出．根據，得出，即，設，則，根據點A在反比例函數的圖象上，得出，根據即可證明結論．【詳解】（1）解：當時，直線的解析式為，把代入得，把代入得，解得：，∴，，∴，∵軸，∴，又，∴．∴，∵，點A的橫坐標為3，∴，∴，將代入，得，解得：，∴反比例函數的解析式為．（2）解：存在點Q，使最大．由（1）得，，，，∵直線與直線關于直線對稱，∴，∵，∴拋物線的頂點Q的坐標為，∴點Q是直線上一點．把代入得：，解得：，∴在直線，把代入得：，∴，∴，，，∴，∴為直角三角形，，∴，作點D關于直線的對稱點，連接并延長，交直線于點Q，連接，如圖所示：根據軸對稱可知，，∴，∴此時最大，∵直線，∴點在直線上，且，∴根據中點坐標可知：點的坐標為，設直線的解析式為，將，代入，得，解得，∴直線的解析式為．聯(lián)立，解得，∴點Q的坐標為．（3）證明：把代入得：，把代入得：，解得：，∴，，∴，，∵軸，，軸，∴四邊形是矩形，又直線與直線關于直線對稱，∴．根據解析（1）可知：，∴，∴，設，則，∴，∵點A在反比例函數的圖象上，∴，∴．即若k為定值，則的面積為定值．【點睛】本題主要考查了反比例函數的性質，二次函數的性質，一次函數的綜合應用，相似三角形的判定和性質，軸對稱的性質，勾股定理的逆定理，兩點間距離公式，中點坐標公式，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握相關的性質．3．(1)一次函數為，反比例函數為；(2)；(3)是定值，其值為．【分析】（1）由題意直接運用用待定系數法即可求解；（2）證明，則，而，點坐標為，利用，即可求解；（3）設點的坐標為，分別求得直線和的解析式，再分別求得點、、、的坐標，據此求解即可．【詳解】（1）解：一次函數的圖象與坐標軸相交于點，，解得，一次函數為，一次函數的圖象經過點．，點坐標為，反比例函數經過點，，反比例函數為：；（2）解：作軸于，軸于，∴，∴，∴，∵，點坐標為，∴，，∴，∴，∴點的縱坐標為，把代入求得，∴點的坐標為，設直線的解析式為，把，代入得，解得，∴直線的解析式為，令，則，∴點的坐標為，∴，∴；（3）解：設點的坐標為，設直線的解析式為，把，代入得，解得，∴直線的解析式為，令，則，∴點的坐標為，令，則，解得，∴點的坐標為，設直線的解析式為，把，代入得，解得，∴直線的解析式為，令，則，∴點的坐標為，令，則，解得，∴點的坐標為，∴，，∴，∴是定值，其值為．【點睛】本題是反比例函數的綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，以及反比例函數與一次函數圖象的交點，利用數形結合的思想和方程的思想是解答本題的關鍵．4．(1)(2)①或，②是，【分析】（1）將點代入中，求出，再由待定系數法求解即可；（2）①證明，再由勾股定理得，求出的值，確定點的坐標即可；②設點的坐標為，且，求出直線的表達式為，同理求出直線的表達式，分別得出和，再求出的值即可．【詳解】（1）解：當時，，，即，將點代入反比例函數中，得，解得．（2）由（1）可知，反比例函數的表達式為，且直線的表達式為，當時，，即直線與軸交于點，聯(lián)立得，即，解得，點坐標為，由點的坐標可知，，直線與軸交點為，，①

過點作軸的平行線與點作軸的平行線交于點，與直線交于點，,，，，，，，即，若，則，，點的橫坐標為或，則點的坐標為或．②為定值，定值為8，設點的坐標為，且，設直線的表達式為，則有，解得，直線的表達式為，當時，，當時，，，已知點的坐標為，，設直線的表達式為，則有，解得，直線的表達式為，當時，，當時，，，則，，【點睛】本題主要考查反比例函數的綜合應用，解直角三角形，和一次函數的性質，勾股定理，分類求解和數據運算是解題的關鍵．5．(1)；(2)0.3；(3)．【分析】本題主要考查了反比例函數的實際應用，正確求出反比例函數解析式是解題的關鍵．（1）利用待定系數法求解即可；（2）把代入（1）所求解析式中求解即可；（3）先求出當A時，，再由I隨R的增大而減小，可知要使電流不能超過10A，則電阻要不低于．【詳解】（1）解：設反比例函數式，∵把代入反比例函數式，∴，∴；（2）解：當，；（3）解：將代入，得，解得．根據反比例函數的性質，，∴在第一象限內，I隨著R的增大而減?。杂秒娖鞯目勺冸娮柚辽偈牵?．(1)(2)(3)當時，的和是定值．【分析】本題主要考查了一次函數的圖象和性質，反比例函數的圖象和性質，角平分線的性質，等腰直角三角形的性質，三角形內角和等知識，作出合適的輔助線，熟練掌握數形結合思想的應用是解題的關鍵．（1）把，代入反比例函數解析式求得a的值即可；（2）由等腰直角三角形的性質求出，再由角平分線的定義求得和的度數，進而由三角形內角和求得結果；（3）由已知條件求出M、N、Q的坐標，再求得的表達式，根據是定值求出的值和的值即可．【詳解】（1）解：∵在反比例函數的圖象上．∴；（2）如圖，∵，，∴，∴，∵和分別是和的平分線，∴，，∴，（3）如圖，把代入中，得，∴，

把代入中，得，∴，把代入中，得，∴，當時，∴，當時，；當時，∴，當時，，但，故此情況舍去，綜上：當時，的和是定值．【點睛】本題主要考查了一次函數的圖象和性質，反比例函數的圖象和性質，角平分線的定義，直角三角形的性質，三角形外角的性質等知識，作出合適的輔助線，熟練掌握數形結合思想的應用是解題的關鍵．7．(1)(2)【分析】本題考查了反比例函數的實際應用，求反比例函數的解析式，關鍵是建立函數關系式，會運用函數關系式解答題目的問題．（1）根據點把代入中求W，可確定F與s之間的函數表達式；（2）把代入（1）中的公式求s．【詳解】（1）解：根據題意，把代入中，得，；（2）代入中，得．8．(1)k＝6(2)①見解析；②當a＝1時，d的最大值為14【分析】（1）先求出點，點坐標，由平行四邊形的性質列出方程組，即可求解；（2）①先證四邊形是平行四邊形，可得，列出方程可求解；②將和代入，再利用二次函數的性質可求解．【詳解】（1）解：直線交軸于點，交軸于點，點，點，、為雙曲線上的兩點，點，點，四邊形為平行四邊形，與互相平分，，，解得：，；（2）證明：∵軸，CDAB，四邊形是平行四邊形，，、為雙曲線上的兩點，點，點，∵軸，點的橫坐標為，點的橫坐標為，點，點，，，當為定值時，為定值；②解：，，，，，，當時，的最大值為14．【點睛】本題是反比例函數綜合題，考查了反比例函數的性質，平行四邊形的性質，二次函數的性質等知識，利用參數表示點的坐標是解題的關鍵．9．(1)①，；②(2)①或1或2；②，【分析】（1）①將點的坐標代入一次函數表達式即可求解，將點的坐標代入反比例函數表達式，即可求解；②由圖象可以直接看出；（2）①當時，當為中點時，則，即，當為中點時，則，即，當為中點時，因為點一定在點的下方，故這種情況不存在；當與重合時，到，的距離相等，解方程即可得到結論；②當點在點左側時，得到，的值取不大于1的任意數時，始終是一個定值，當時，此時，從而．當點在點右側時，同理得到，于是得到結論．【詳解】（1）解：①將點的坐標代入，解得：，將點的坐標代入反比例函數得：；②由圖象可以看出時，反比例函數圖像在一次函數圖像上方，∴當時，；（2）①∵，∴，又，∴，代入，得當時，點、、的坐標分別為、、，在的下方），當為中點時，則，即，則；當為中點時，則，即，故，當為中點時，因為點一定在點的下方，故這種情況不存在；當與重合時，到，的距離相等，則，即，或1或2．

②在中，令，則，∴點的橫坐標為：，當點在點左側時，，∵的值取不大于1的任意數時，始終是一個定值，當時，此時，從而．當點在點右側時，同理，當，時，（不合題意舍去）故，．【點睛】本題是反比例函數綜合題目，考查了一次函數解析式的求法、反比例函數解析式的求法、一次函數和反比例函數的圖形與性質、函數定值的求法等知識；關鍵是通過確定點的坐標，求出對應線段的長度，進而求解．10．(1)(2)①；②(3)不存在，理由見解析【分析】（1）過P作軸于C，作軸于點D，于E，根據角平分線性質得，再根據反比例函數的解析求得P點坐標；（2）①先求出，再由角平分線的定義求出，然后根據三角形內角和求解即可；②過P作軸于C，作軸于點D，，設與的交點為H，由角平分線的判定與性質得，進而求得，得出A、B兩點坐標，再用待定系數法求得的解析式；（3）根據已知條件求出M、N、Q的坐標，再求得的解析式，根據解析式的特點進行解答即可．【詳解】（1）過P作軸于C，作軸于點D，于E，如圖1，∵和分別是分別是的兩條外角平分線，∴，設，則，把代入中得，，∴，∴；（2）①∵，∴，∴，∵和分別是分別是的兩條外角平分線，∴，，故答案為：；②過P作軸于C，作軸于點D，，設與的交點為H，如圖2，由（1）知，∴平分，∵，∴，∵平分，∴，由（1）知，∴，，∴，∴，∴，設直線的解析式為：，則，解得，∴直線的解析式為：；（3）把代入中，得，∴，把代入中，得，∴．把代入中，得，∴，∴，當時，∵，∴當時，為定值，定值．（∵，不合題意，舍去）；當時，∵，∴當時，為定值，定值．（∵，不合題意，舍去）；綜上，不論k為何值時，都不能為定值．故不存在k的值，使得的和始終是一個定值d，【點睛】本題考查了反比例函數的圖象與性質，一次函數圖象與性質，角平分線的性質與判定，等腰直角三角形的性質等知識，解（1）題關鍵是掌握角平分線的性質，解（2）題關鍵是求出的長度，解（3）題關鍵是用k、n的代數式表示．11．(1)(2)見解析(3)是定值，2【分析】（1）先求出點A的坐標為，然后把代入，可得k的值，即可；（2）A為的中點，點A的坐標為，可得點P的縱坐標為2，從而得到點P的坐標為，進而得到點D的坐標為，可得到，再求出直線的解析式為，可得點C的坐標為，從而得到，即可；（3）求出直線的解析式，可得點C的坐標為，同理點D的坐標為，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解∶把代入得：，解得：，∴點A的坐標為，把代入得：；（2）解：根據題意得：點D的縱坐標為0，反比例函數的解析式為，∵A為的中點，點A的坐標為，∴點P的縱坐標為2，∵點P為反比例函數的圖像上一點，∴點P的橫坐標為，∴點P的坐標為，∴點D的坐標為，∴，∵點A，B關于原點對稱，∴點B的坐標為，設直線的解析式為，把點，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當時，，∴點C的坐標為，∴，∴；（3）解：設點P的坐標為，設直線的解析式為，把點，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當時，，∴點C的坐標為，同理點D的坐標為，∴，∴的面積是，∴當點P運動時，的面積是一個定值，為2．【點睛】本題主要考查了反比例函數與幾何的綜合題，熟練掌握反比例函數和一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．12．（1）見解析；（2）3【分析】（1）先證明為正方形，通過等量代換得出比值，證明三角形相似，對應角相等，再利用等量代換即可說明；（2）添加輔助線，證明三角形全等，利用勾股定理建立等式，根據三角函數的正切定義求出值．【詳解】（1）證明：如圖，連接，由題意可得：，，，四邊形為平行四邊形，橫縱坐標互為相反數，，四邊形為正方形，由菱形面積的計算公式可得：在矩形中，根據反比例函數中的幾何意義可得：，∴，即又，∴，．∴，，∴，為定值．（2）如圖，在的延長線上取點，使，連接，如圖：又，，，，∴，，，∴．設正方形的邊長為，則設，則，．由勾股定理得，即，得∴．【點睛】本題考查了反比例函數、矩形、三角形全等的判定與性質、相似三角形的判斷與性質、勾股定理、銳角三角函數，涉及知識點多、綜合性強、題目較難，解題的關鍵是：掌握相關知識點，靈活運用求解．13．(1)(2)(3)【分析】（1）由題意知點F的坐標，然后將F的坐標代入中求的值，進而得到反比例函數的解析式；（2）根據，求點E的坐標，由于，可根據各點坐標求出各三角形的面積，然后代值求解即可；（3）設點F坐標為，則點E坐標為，則有，，然后用含的式子分別表示的值，進而可說明是定值．【詳解】（1）解：∵四邊形AOBC是矩形，A點坐標為（0，3），B點坐標為（4，0）∴∵∴F的坐標為（4，1）將F的坐標為（4，1）代入中得解得∴反比例函數解析式為．（2）解：將代入得解得∴點E坐標為∴，∵∴∵∴△EOF的面積為．（3）解：設點F坐標為，則點E坐標為∴，∴，∴∴是定值．【點睛】本題考查了反比例函數與幾何的綜合，反比例函數解析式．解題的關鍵在于對知識的靈活運用．14．（1）①m=12，k=3；②x＞3；（2）①或6；②k=1，d=1【分析】（1）①將點的坐標代入一次函數表達式即可求解，將點的坐標代入反比例函數表達式，即可求解；②由圖象可以直接看出；（2）①，，，由或或得：，即可求解；②點的坐標為，，，即可求解．【詳解】解：（1）①將點A的坐標代入一次函數表達式并解得：k=3，將點A的坐標代入反比例函數得：m=3×4=12；②由圖象可以看出x＞3時，y1＞y2；（2）①當x=1時，點D、B、C的坐標分別為（1，3+n）、（1，m）、（1，n）（C在D的下方），當B為中點時，則BD=BC，即3+n-m=m-n，則m-n=；當D為中點時，則DB=DC，即m-（3+n）=3+n-n，故m-n=6，當C為中點時，因為點C一定在點D的下方，故這種情況不存在；當B與D重合時，C到B，D的距離相等，則m=n+3，即m-n=3，∵D不在C下方，故不符合；∴m-n=或6．②點E的橫坐標為：，當點在點左側時，，的值取不大于1的任意數時，始終是一個定值，當時，此時，從而．當點在點右側時，同理，當，時，（不合題意舍去）故，．【點睛】本題為反比例函數綜合運用題，涉及到一次函數、函數定值的求法，關鍵是通過確定點的坐標，求出對應線段的長度，進而求解．15．（1）①(1，