2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《與對(duì)稱(chēng)有關(guān)的最值模型》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)

第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《與對(duì)稱(chēng)有關(guān)的最值模型》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．已知在中，底邊與對(duì)應(yīng)的高的長(zhǎng)度之和為30．(1)設(shè)邊長(zhǎng)為x，直接寫(xiě)出的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，其中x的取值范圍是；(2)當(dāng)時(shí)，的面積達(dá)到最大，最大值是；(3)當(dāng)?shù)走吪c高的比值為2：1時(shí)（如圖），其周長(zhǎng)是否有最小值？如果有，請(qǐng)求出；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)P在y軸正半軸上，，點(diǎn)C坐標(biāo)為，點(diǎn)D在上，，以線段，為鄰邊作矩形．(1)連接，，，設(shè)，①當(dāng)時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為；②當(dāng)與相似時(shí)，求a的值；(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖2，點(diǎn)E在線段上，且，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q，滿(mǎn)足，連接，．①請(qǐng)直接寫(xiě)出的最大值；②請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．3．如圖，中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒5個(gè)單位的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)、，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．(1)線段的長(zhǎng)是______．(2)連結(jié)，則線段的最小值是______，最大值是______(3)當(dāng)點(diǎn)落在的內(nèi)部時(shí)，求的取值范圍．(4)當(dāng)直線與的一邊垂直時(shí)，求出的值．4．問(wèn)題提出：

(1)如圖1，有公共端點(diǎn)的兩條線段，，且，則最大值為_(kāi)_____；最小值為_(kāi)_____．(2)問(wèn)題探究：如圖2，已知，其內(nèi)部有一點(diǎn)，，在的兩邊分別有，兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)）.使的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫(huà)出草圖，并求出周長(zhǎng)的最小值：(3)問(wèn)題解決：開(kāi)發(fā)商準(zhǔn)備對(duì)一塊正方形土地進(jìn)行綠化，要求綠化帶從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)到對(duì)角線上一點(diǎn)，再到兩邊上一點(diǎn)，最后回到出發(fā)點(diǎn)，如圖3，正方形的邊長(zhǎng)為400米，在對(duì)角線上有一固定點(diǎn)，且，在，上取兩點(diǎn)，，準(zhǔn)備從到到到再到修一條綠化帶（綠化帶寬忽略不計(jì)），能否設(shè)計(jì)出最短綠化帶，若能請(qǐng)計(jì)算出綠化帶最短長(zhǎng)度，若不能說(shuō)明理由．5．已知，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AB邊上的一點(diǎn)，連接CD，以CD為斜邊向右側(cè)作直角△CDE，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)∠CDE＝30°，AD＝1，BD＝3時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)CE＝DE時(shí)，求證：點(diǎn)E為線段AF的中點(diǎn)；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，AB＝4時(shí)，過(guò)E作EG⊥BA交直線BA于點(diǎn)G，EH⊥BC交直線BC于點(diǎn)H，連接GH，求GH長(zhǎng)度的最大值．6．問(wèn)題探究：（1）如圖1，∠AOB＝45°，在∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，分別作點(diǎn)P關(guān)于邊OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，P2順次連接O，P1，P2，則△OP1P2的形狀是三角形．（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝2+，求：△ABC的面積．問(wèn)題解決：（3）如圖3，在四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到頂點(diǎn)B的距離為10，∠ABC＝60°，點(diǎn)M、N分別是AB、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，順次連接P、M、N，使△PMN在周長(zhǎng)最小的情況下，面積最大，問(wèn)：是否存在使△PMN在周長(zhǎng)最小的條件下，面積最大這種情況？若存在，請(qǐng)求出△PMN的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，菱形中，，，，垂足為，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)菱形的面積是______；(2)的最小值是______．8．【問(wèn)題探究】（1）如圖1，在四邊形中，，，分別延長(zhǎng)、，交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，若，，求的最小值；【問(wèn)題解決】（3）隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能（AI）已經(jīng)成為驅(qū)動(dòng)全球經(jīng)濟(jì)和科技創(chuàng)新的重要力量．某科技公司有一個(gè)形狀為四邊形的研發(fā)基地（如圖3），測(cè)得，，，，現(xiàn)計(jì)劃在、、、邊上分別取點(diǎn)、、、，且，沿四邊形修建一個(gè)人工智能研究中心，為確保安全和保密，需要在該研究中心四周修建圍墻，圍墻必須使用某種特殊材料，為節(jié)省成本，要求圍墻的總長(zhǎng)度（四邊形的周長(zhǎng)）盡可能的短．問(wèn)圍墻總長(zhǎng)度是否存在最小值？若存在，求出圍墻總長(zhǎng)度的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．如圖，已知等邊的邊長(zhǎng)為16，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線，把沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)恰好在邊上，則的長(zhǎng)度為_(kāi)________；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，若直線，則的長(zhǎng)度為_(kāi)______；（3）如圖3，點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若直線l始終垂直于，的面積是否變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變化，求出面積；（4）當(dāng)時(shí)，在直線l變化過(guò)程中，求面積的最大值．10．已知點(diǎn)D在外，，，射線與的邊交于點(diǎn)H，，垂足為E，．

(1)如圖1，若，，求；(2)如圖2，求證：；(3)如圖3，若，，點(diǎn)F在線段BC上，且，點(diǎn)M，N分別是射線、上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷式子的值是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在，寫(xiě)出你的理由．11．已知點(diǎn)D在外，，，射線與的邊交于點(diǎn)H，，垂足為E，.(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖1，求證：；(3)如圖2，在（1）的條件下，，點(diǎn)F在線段BC，且，點(diǎn)，分別是射線、上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷式子的值是否存在最小值，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)最小值：若不存在，寫(xiě)出你的理由.12．如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，為的中點(diǎn)．

(1)求的長(zhǎng)；(2)連接，請(qǐng)猜想與的數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，，求的最小值．13．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：學(xué)習(xí)三角形全等的知識(shí)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)重合兩個(gè)等腰直角三角形的頂點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生一對(duì)新的全等三角形．如圖1，中，，，點(diǎn)在邊上，連接，以為邊作，使，，請(qǐng)連接圖中標(biāo)有字母的點(diǎn)，補(bǔ)全圖形，直接寫(xiě)出一對(duì)全等三角形和的度數(shù)．問(wèn)題探究：小明想，如果將上圖中的等腰直角三角形換成等邊三角形，那么這組全等三角形是否還存在？如圖2，和是等邊三角形，點(diǎn)，，在同一直線．（1）證明：．（2）探索線段，，三者間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論并說(shuō)明理由．問(wèn)題拓展：經(jīng)過(guò)上面的探究，小明聯(lián)想到幾天前一道不會(huì)的題，請(qǐng)你幫小明再想一想，是否有新的發(fā)現(xiàn)．如圖3，邊長(zhǎng)為的等邊中，D是中點(diǎn)，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在右側(cè)作等邊，連接，求周長(zhǎng)的最小值（用含，的代數(shù)式表示），并直接寫(xiě)出取最小值時(shí)的度數(shù)．

14．在和中，，連接，恰好平分．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖2，在射線上存在一點(diǎn)，使，連接．當(dāng)，時(shí)，試說(shuō)明與的位置關(guān)系；(3)如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，連接并延長(zhǎng)，分別交，于點(diǎn)，，若，，，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出周長(zhǎng)的最小值．15．如圖1，在四邊形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，連接，，可知，此時(shí)是等腰直角三角形；(1)【問(wèn)題提出】如圖2，在長(zhǎng)方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，在邊、上分別作出點(diǎn)，使得點(diǎn)是一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，；要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法；(2)【問(wèn)題探究】如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，若是等腰直角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)【問(wèn)題解決】如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．[注：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，，，則]．參考答案1．(1)，(2)15，(3)的最小值為【分析】（1）由，，得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)底邊與對(duì)應(yīng)的高的長(zhǎng)度之和為30，底邊與高的比值為，可得，，設(shè)，則，可得，，如圖，設(shè)，，，，則求的最小值，即求圖形的距離和最小，作點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合時(shí)，的距離和最小，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于H，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，（2）解：，∵，∴時(shí)，S的最大值為，即當(dāng)時(shí)，的面積達(dá)到最大，最大值是．（3）解：其周長(zhǎng)有最小值，理由：∵底邊與對(duì)應(yīng)的高的長(zhǎng)度之和為30，底邊與高的比值為，∴，，設(shè)，則，∴，，∵一定，∴的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，只有最小，∴，如圖，設(shè)，，，，則求的最小值，即求圖形的距離和最小，作點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合時(shí)，的距離和最小，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于H，∴，∴，∴，∴的最小值為，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了三角形的面積，軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題是解題的關(guān)鍵．2．(1)①；②a的值為或(2)①最大值為4；②最小值為6【分析】（1）①由矩形的性質(zhì)可得，，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，有，故，即可求點(diǎn)D坐標(biāo)；②由，，，得，，，要使與相似，只需或，可得或，即可求解；（2）①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，連接，可得，，，由，知的最大值為4；②設(shè)，利用勾股定理求得，，知，，故Q在以E為圓心，為半徑的圓上，過(guò)Q作切于Q，作O關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K，當(dāng)K、Q、B三點(diǎn)共線時(shí)，最小，設(shè)交以E為圓心為半徑的圓于S，連接，過(guò)E作于R，由，可求得，，而，可得是的角平分線，由角的對(duì)稱(chēng)性和圓的對(duì)稱(chēng)性可知，是的垂直平分線，有，，由垂徑定理知，，故，在中，，，可得，即可求解．【詳解】（1）解：①∵四邊形是矩形，∴，，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴D是中點(diǎn)，∵點(diǎn)C坐標(biāo)為，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為，故答案為：；②∵，，，∴，，，∵點(diǎn)C坐標(biāo)為，∴，，∵，∴要使與相似，只需或，∴或，解得或；∴a的值為或；（2）解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，連接，∵四邊形是矩形，，點(diǎn)C坐標(biāo)為，∴，，∴，在中，，∴當(dāng)Q，O，B共線（不能構(gòu)成三角形）時(shí)，最大為的長(zhǎng)度，∴的最大值為4；②設(shè)，則，∵，∴，解得，∴，；∴，，∵，∴Q在以為圓心，為半徑的圓上，如圖，過(guò)Q作切于Q，作O關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K，當(dāng)K、Q、B三點(diǎn)共線時(shí)，最小，設(shè)交以E為圓心為半徑的圓于S，連接，過(guò)E作于R，∵，∴，∴所對(duì)的圓周角為，∴，∴，∵O，K關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，，∴，∵（切線性質(zhì)），∴，∴，，∴，即是的角平分線，由角的對(duì)稱(chēng)性和圓的對(duì)稱(chēng)性可知，是的垂直平分線，∴，，∵，∴，，∴，在中，，，即，∴，∴，∴，即的最小值為6．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形綜合應(yīng)用，切線的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理，最短路徑問(wèn)題，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，找到使最小的Q的位置．3．(1)5(2)1，5(3)(4)滿(mǎn)足條件的t的值為或或【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）根據(jù)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，長(zhǎng)為半徑的半圓判斷即可；（3）分別求出點(diǎn)P落在，落在上的時(shí)間，可得結(jié)論；（4）分三種情形：當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)R．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H．分別求解即可．【詳解】（1）在中，，故答案為：5；（2）∵作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴，∴D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，長(zhǎng)為半徑的半圓，∴當(dāng)D在線段上時(shí)，的最小，此時(shí)；當(dāng)P與B重合時(shí)，的最大，此時(shí)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，；故答案為：1，5；（3）由題意得，當(dāng)點(diǎn)D落在上時(shí)，．∵，∴，∴，∴，∴如圖1-2中，當(dāng)點(diǎn)D落在上時(shí)，．過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)T．則，∵，∴，∴∴∴∴，解得，觀察圖象可知，滿(mǎn)足條件的t的值為：；（4）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)R．則，，∵∴∴，∵，∴，∴．解得，如圖3-2中，當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，此時(shí)，，如圖3-3中，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H．∵，∴∵∴，∴∵，∴，∴，∴，解得．綜上所述，滿(mǎn)足條件的t的值為或或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了翻折變換，角平分線的性質(zhì)定理，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．4．(1)9；1(2)圖見(jiàn)解析，周長(zhǎng)的最小值為6(3)米【分析】（1）設(shè)的兩端點(diǎn)固定，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出圖形，即可得到結(jié)論；（2）分別作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，連接，交、于、，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（3）分別作正方形關(guān)于和對(duì)稱(chēng)的正方形和，連接，，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，即此時(shí)綠化帶長(zhǎng)度最短，作于點(diǎn)，作交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)的兩端點(diǎn)固定，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動(dòng)，

的最大值為，最小值為，故答案為：9，1；（2）解：如圖，分別作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，連接，交、于、，則的周長(zhǎng)最小，連接、，

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，，，，，，為等邊三角形，，的周長(zhǎng)；（3）解：如圖，分別作正方形關(guān)于和對(duì)稱(chēng)的正方形和，連接，，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在上，且，

則，，，，是定點(diǎn)，的長(zhǎng)度不變，當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，即此時(shí)綠化帶長(zhǎng)度最短，作于點(diǎn)，，，正方形的邊長(zhǎng)為400，，，，在，，作交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，，，，，在中，，四邊形的周長(zhǎng)的最小值為，即綠化帶的最短長(zhǎng)度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)-最短路徑問(wèn)題，共端點(diǎn)兩條線段為定長(zhǎng)問(wèn)題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）GH長(zhǎng)度的最大值為．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得出CG=2，DG=1，運(yùn)用勾股定理可得出CD=，再運(yùn)用三角函數(shù)定義即可求出答案；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CD交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接AM，在CG上截取GN=DG，連接DN，先證明△DGN是等腰直角三角形，再證明△CDN≌△DMA，即可證得結(jié)論；（3）延長(zhǎng)EH至點(diǎn)E′，使HE′=EH，延長(zhǎng)EG至點(diǎn)E″，使GE″=EG，連接E′E″，取AC中點(diǎn)Q，連接EQ，BQ，利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)和三角形中位線定理可求得E′E″=BE，要使GH最大，必須BE最大，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離及三角形三邊關(guān)系可得BE的最大值為，即可求得答案．【詳解】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，∵AD=1，BD=3，∴AB=4，∵AC=BC，∠ACB=90°，CG⊥AB，∴CG=AG=AB=2，∴DG=1，∴CD=，∵∠CDE=30°，∠CED=90°，∴DE=CD?cos∠CDE=；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CD交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接AM，在CG上截取GN=DG，連接DN，∵CG⊥AB，GN=DG，∴△DGN是等腰直角三角形，∴∠DNG=45°，∴∠CND=135°，∵DM⊥CD，∴∠CDM=∠AGC=∠ACB=90°，∴∠DCG+∠CDG=∠CDG+∠ADM=90°，∴∠DCG=∠ADM，∵AC=BC，∠ACB=90°，CG⊥AB，∴AG=CG，∴AG-DG=CG-GN，即DA=CN，∵∠CED=∠CDM=∠DEM=90°，CE=DE，∴∠DCE=∠CDE=∠EDM=∠DME=45°，∴CE=DE=EM，∴CD=DM=DE，∴△CDN≌△DMA（SAS），∴∠CND=∠DAM=135°，∴∠CAM=∠DAM-∠BAC=135°-45°=90°，∴∠CAM=∠ACB，∴AM∥BC，∴∠AME=∠FCE，∵∠AEM=∠FEC，CE=EM，∴△AEM≌△FEC（ASA），∴AE=EF，∴點(diǎn)E為線段AF的中點(diǎn)；（3）如圖3，延長(zhǎng)EH至點(diǎn)E′，使HE′=EH，延長(zhǎng)EG至點(diǎn)E″，使GE″=EG，連接E′E″，取AC中點(diǎn)Q，連接EQ，BQ，∵AB=4，∠ACB=90°，AC=BC，∴AC=BC=2，∵點(diǎn)Q是AC中點(diǎn)，∴CQ=，∴BQ=，∵∠AEC=90°，點(diǎn)Q是AC中點(diǎn)，∴EQ=AC=，∵BEBQ+EQ，∴BE的最大值為，∵HE′=EH，GE″=EG，∴HG=E′E″，∵EH⊥BC，EG⊥AB，∴E、E′關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，E、E″關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，∴∠E′BH=∠EBH，∠E″BG=∠EBG，BE′=BE″=BE，∴∠E′BE″=2∠ABC=90°，∴E′E″=BE，∴HG=BE，∵要使GH最大，必須BE最大，BE的最大值為，∴GH長(zhǎng)度的最大值為×()=．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)定義，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，三角形中位線定理等，屬于中考?jí)狠S題，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)學(xué)生要求很高；解題關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，合理添加輔助線構(gòu)造全等三角形，通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)解決線段的最值問(wèn)題．6．（1）等腰直角三角形；（2）2+；（3）存在，【分析】（1）如圖，△OP1P2是等腰直角三角形．證明OP1＝OP2，∠P1OP2＝90°即可．（2）如圖2中，在AD上取一點(diǎn)E，使得AE＝EC，連接EC．證明∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝30°，設(shè)CD＝BD＝x，則EC＝EA＝2x，DE＝x，構(gòu)建方程求出x即可解決問(wèn)題．（3）存在．如圖，作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，作點(diǎn)P關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，連接GH，交AB，BC于點(diǎn)M，N，此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小，易知S△BGH＝GH×BO＝25，由S四邊形BMPN＝S△BGM+S△BNH＝S△BGH﹣S△BMN，推出S△BMN的值最小時(shí)，S四邊形BMPN的值最大，此時(shí)S△PMN的面積最大．【詳解】解：（1）如圖1中，△OP1P2是等腰直角三角形．理由：∵點(diǎn)P關(guān)于邊OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為P1，P2，∴OP＝OP1＝OP2，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2（∠AOP+∠BOP）＝90°，∴△OP1P2是等腰直角三角形．故答案為：等腰直角．（2）如圖2中，在AD上取一點(diǎn)E，使得AE＝EC，連接EC．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠EAC＝∠BAC＝15°，∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA＝15°，∴∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝30°，設(shè)CD＝BD＝x，則EC＝EA＝2x，DE＝x，∵AD＝2+，∴2x+x＝2+，∴x＝1，∴BC＝2CD＝2，∴S△ABC＝?BC?AD＝×2×（2+）＝2+．（3）如圖3中，存在．理由：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，作點(diǎn)P關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，連接GH，交AB，BC于點(diǎn)M，N，此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小．∴BP＝BG＝BH＝10，∠GBM＝∠PBM，∠HBN＝∠PBN，∵∠PBM+∠PBN＝60°，∴∠GBH＝120°，且BG＝BH，∴∠BGH＝∠BHG＝30°，過(guò)點(diǎn)B作BO⊥GH于O，∴BO＝5，HO＝GO＝5，∴GH＝10，∴S△BGH＝GH×BO＝25，∵S四邊形BMPN＝S△BGM+S△BNH＝S△BGH﹣S△BMN，S△BGH面積為定值，∴S△BMN的值最小時(shí)，S四邊形BMPN的值最大，此時(shí)S△PMN的面積最大，觀察圖象可知：∵OB是△BMN的高，是定值，∴MN最小時(shí)，△BMN的面積最小，當(dāng)△BMN是等邊三角形時(shí)，MN定值最小，此時(shí)S△BMN最小，此時(shí)GM＝MN＝NH＝，∴△PMN的最大值＝S△BGH﹣2S△BMN＝．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了軸對(duì)稱(chēng)，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．7．(1)(2)【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．（1）由菱形的面積公式可得出答案；（2）連接，則，當(dāng)、、在同一條直線上時(shí)，的最小值等于的長(zhǎng)，依據(jù)勾股定理及三角形面積即可得到的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：菱形中，，，菱形的面積是，故答案為：；（2）解：如圖所示，連接，則，，當(dāng)、、在同一條直線上時(shí)，的最小值等于的長(zhǎng)，菱形中，，，，，，，菱形的面積是，，，，的最小值是，故答案為：．8．（1）；（2）；（3）圍墻總長(zhǎng)度存在最小值，最小值為【分析】（1）根據(jù)解直角三角形的計(jì)算得到，，由即可求解；（2）如圖2，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、，則，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小，最小值為的長(zhǎng)，作的中位線，則，，，，由此即可求解；（3）如圖3，延長(zhǎng)和，兩線交于點(diǎn)，根據(jù)解直角三角形得到，，，，分別作點(diǎn)關(guān)于，所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，連接，作點(diǎn)關(guān)于所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，，，所以,當(dāng)點(diǎn)，，，，共線時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，該最小值等于線段的長(zhǎng)，，，，在中，，由此即可求解．【詳解】解：（1）在中，，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴；（2）如圖2，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、，則，，∴，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小，最小值為的長(zhǎng)，取的中點(diǎn)，即，又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，即的最小值為；（3）如圖3，延長(zhǎng)和，兩線交于點(diǎn)，∵，，∴，∵，，，，∴，，∴，∴，，，分別作點(diǎn)關(guān)于，所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，連接，作點(diǎn)關(guān)于所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，，，∴，，，四邊形關(guān)于所在直線對(duì)稱(chēng)，∴，∴,∴當(dāng)點(diǎn)，，，，共線時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，該最小值等于線段的長(zhǎng)，根據(jù)題意可得，，，∴，，，，根據(jù)題意，四邊形是矩形，則，，∴，，∴，∴，在中，，當(dāng)點(diǎn)，，，，共線時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)取得最小值，最小值為，故圍墻總長(zhǎng)度存在最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，軸對(duì)稱(chēng)最短路徑的計(jì)算，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，掌握解直角三角形的計(jì)算，軸對(duì)稱(chēng)最短路徑的計(jì)算，合理作出輔助線是關(guān)鍵．9．（1）8或0；（2）；（3）面積不變，；（4）最大為．【分析】（1）證明△APB′是等邊三角形即可解決問(wèn)題．（2）如圖2中，設(shè)直線l交BC于點(diǎn)E．連接BB′交PE于O．證明△PEB是等邊三角形，求出OB即可解決問(wèn)題．（3）如圖3中，結(jié)論：面積不變．證明BB′∥AC即可．（4）如圖4中，當(dāng)B′P⊥AC時(shí)，△ACB′的面積最大，設(shè)直線PB′交AC于E，求出B′E即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）如圖1中，∵是等邊三角形，∴，，∵，∵，∵，∴是等邊三角形，∴．當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)C時(shí)，點(diǎn)與A重合，此時(shí)，故答案為8或0．（2）如圖2中，設(shè)直線l交于點(diǎn)E．連接交于O．∵，∴，，∴是等邊三角形，∵，且由于折疊，∴B，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，，∴OP=PB=5，∴，∴．故答案為．（3）如圖3中，結(jié)論：面積不變．連接BB′，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為F，∵B，關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，∴直線l，∵直線，∴，∴，∵BC=AB=AC=16，∴BF=8，∴AF=，∴．（4）如圖4中，∵點(diǎn)B和B′關(guān)于經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線對(duì)稱(chēng)，∴B′到點(diǎn)P的距離與點(diǎn)B到點(diǎn)P的距離相等，當(dāng)時(shí)，的面積最大，設(shè)直線交于E，在中，∵，，∴AE=2，∴，∵BP=B′P=12，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱(chēng)變換，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．10．(1)(2)見(jiàn)詳解(3)【分析】（1）由正切函數(shù)得，再由直角三角形的特征得，即可求解；（2）過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，由矩形的性質(zhì)及直角三角形的特征得，由可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，即可求證；（3）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于，交于，連接、，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得，，由等腰三角形的性質(zhì)得，當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值為，此時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，，；（2）證明：如圖，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，

四邊形是矩形，，，，，，，，，，，在和中，()，，；（3）解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于，交于，連接、，

，，，，，，，，當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值為，此時(shí)，是等邊三角形，，，，取得最小值為，取得最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，能利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找出取得最小值的條件是解題的關(guān)鍵．11．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)存在，最小值為4【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等即可證明；（2）在上取，連接，．由題意易證，即得出．再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可得出，從而可得出結(jié)論；（3）作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)F關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．連接，交BD于點(diǎn)，BC于點(diǎn)，連接．根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可知，即存在最小值，取最小值時(shí)N與重合，M與重合，最小值為的長(zhǎng)．根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)結(jié)合題意可求出，，即證明為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，即可求出，從而即得出答案．本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴（2）證明：如圖，在上取，連接，．∵在和中，，∴，∴．又∵，∴為中點(diǎn)，即，∴，∴；（3）解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．連接，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接．由作圖可知，，．∴，∵，即存在最小值，即取最小值時(shí)N與重合，M與重合，最小值為的長(zhǎng)．∵，，∴，∵，∴，∴．∵，，∴，∴為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴，∴的最小值為4．12．(1)(2)，，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)勾股定理，即可求解；（2）連接，，先證明三點(diǎn)共線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，進(jìn)而證明四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理，即可得出；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得出點(diǎn)的軌跡，得出，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，此時(shí)取的最小值，進(jìn)而勾股定理，即可求解．【詳解】（1）解：∵在等腰直角三角形中，，∴，（2）結(jié)論：，證明：如圖所示，連接，，

∵將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴是等腰直角三角形，∴又∵∴三點(diǎn)共線，∵為的中點(diǎn)．∴，∴∵∴四點(diǎn)共圓，∵，∴，（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∴∴四點(diǎn)共圓，∴∴，∴點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，∵∴作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，此時(shí)取的最小值，∵是等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，∴，，∴在中，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，直角所對(duì)的弦是直徑，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求線段和的最值問(wèn)題，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：，；問(wèn)題探究：（1）證明見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；問(wèn)題拓展：周長(zhǎng)的最小值為，此時(shí)．【分析】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：由，，得到，可證明，推出，由中，，，可得，得到，即可求解；問(wèn)題探究：（1）由和是等邊三角形，得到，，，推出，即可證明；（2）由可得，推出；問(wèn)題拓展：證明，得到，由于是定值，所以為定值，在一條固定的線段上運(yùn)動(dòng)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，推出點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，以直線為對(duì)稱(chēng)軸，作點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，得到，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，令與交于點(diǎn)，則有，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)推出，得到，可求出周長(zhǎng)的最小值；延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由可求出此時(shí)的度數(shù)．【詳解】解：?jiǎn)栴}發(fā)現(xiàn)：，，，即，在和中，，，，中，，，，，；問(wèn)題探究：（1）和是等邊三角形，，，，，即，在和中，，；（2），理由如下：，，，；問(wèn)題拓展：連接，和是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，由于是定值，所以為定值，在一條固定的線段上運(yùn)動(dòng)，如圖3，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，以直線為對(duì)稱(chēng)軸，作點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，，，令與交于點(diǎn)，則有，，，，，，，，，，為等邊三角形，，，，又，，；，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，為等邊三角形，，，又，，，綜上所述，周長(zhǎng)的最小值為，此時(shí)．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)