2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《與對稱有關(guān)的最值模型》專項(xiàng)測試卷(含答案)

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《與對稱有關(guān)的最值模型》專項(xiàng)測試卷(含答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分別是AB和BC上的點(diǎn)．把△ABC沿著直線DE折疊，頂點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′（1）如圖1，點(diǎn)B′恰好落在線段AC的中點(diǎn)處，求CE的長；（2）如圖2，點(diǎn)B′落在線段AC上，當(dāng)BD=BE時，求B′C的長；（3）如圖3，E是BC的中點(diǎn)，直接寫出AB′的最小值．2．請用圖形變換（對稱、平移或旋轉(zhuǎn)）解決下列各題：（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12，若P是邊AD上的任意一點(diǎn)，則△BPC周長的最小值為．（2）如圖2，已知M（0，1）、P（2+，3）、E（a，0）、F（a+1，0），問a為何值時，四邊形PMEF的周長最??？（3）如圖3，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PB＝2，PC＝3，∠BPC＝150°，M、N為邊AB、AC上的動點(diǎn)，且AM＝AN，請直接寫出PM+PN的最小值．3．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于F，連接CF．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）若∠BAC=90°，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）在（2）的情況下，點(diǎn)M在AC線段上移動，請直接回答，當(dāng)點(diǎn)M移動到什么位置時，MB+MD有最小值．4．如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，線段的延長線交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)及；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是軸上一個動點(diǎn)，求的最小值．

5．綜合與探究如圖，已知拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．其頂點(diǎn)為D，對稱軸是直線l，且與x軸交于點(diǎn)H．（1）求點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是該拋物線對稱軸l上的﹣個動點(diǎn)，求△PBC周長的最小值；（3）若點(diǎn)E是線段AC上的一個動點(diǎn)（E與A．C不重合），過點(diǎn)E作x軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)F，與x軸交于點(diǎn)G．則在點(diǎn)E運(yùn)動的過程中，是否存在EF＝2EG？若存在，求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線是第一、三象限的角平分線.

（1）由圖觀察易知A（0，2）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，0），請?jiān)趫D中分別標(biāo)明B（5，3）、C（-2，5）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′、C′的位置，并寫出他們的坐標(biāo)：___________、___________；（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)關(guān)于第一、三象限的角平分線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為___________（不必證明）；（3）已知兩點(diǎn)、，試在直線L上畫出點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，求QD+QE的最小值．7．如圖1所示，正方形ABCD的面積為S，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，AC是對角線，點(diǎn)P是AC上任意一點(diǎn)，連接PD、PE．試在圖2中通過作圖標(biāo)使PD+PE最小的點(diǎn)P的位置（保留作圖痕跡），并求出PD+PE最小值為多少？

8．如圖1，平行四邊形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的兩個根，點(diǎn)D在y軸上其中．（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）若P是第一象限位于直線BD上方的一點(diǎn)，過P作于E，過E作軸于H點(diǎn)，作PF∥y軸交直線BD于F，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，其中△PEF的周長是；若M為線段AD上一動點(diǎn)，N為直線BD上一動點(diǎn)，連接HN，NM，求的最小值，此時y軸上有一個動點(diǎn)G，當(dāng)最大時，求G點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在（2）的情況下，將△AOD繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到如圖2，將線段沿著x軸平移，記平移過程中的線段為，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)S，使得以點(diǎn)，，E，S為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請求出點(diǎn)S的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．9．問題探究（1）如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AB＝3，則BC的長為；（2）如圖②，四邊形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是邊AB上的動點(diǎn)，求PC+PD的最小值；問題解決（3）某山莊有一營地，如圖③，營地是由等邊△ABC和弦AB與其所對的劣弧圍成的弓形組成的，其中AC＝600m，所對的圓心角為120°，點(diǎn)D是AB上的一個取水點(diǎn)，AD＝200m，連接CD交于點(diǎn)E．管理員計劃在上建一個入口P，在PC、PB上分別建取水點(diǎn)M、N．由于取水點(diǎn)之間需按D→M→N→D的路徑鋪設(shè)水管，因此，為了節(jié)約成本要使得線段DM、MN、ND之和最短，試求DM+MN+ND的最小值．10．熱愛學(xué)習(xí)的小明同學(xué)在網(wǎng)上搜索到下面的文字材料：在x軸上有兩個點(diǎn)它們的坐標(biāo)分別為（a，0）和（c，0）．則這兩個點(diǎn)所成的線段的長為|a﹣c|；同樣，若在y軸上的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，b）和（0，d），則這兩個點(diǎn)所成的線段的長為|b﹣d|．如圖1，在直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)P1，P2，其坐標(biāo)分別為（a，b）和（c，d），分別過這兩個點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，構(gòu)成一個直角三角形，其中直角邊P1Q=|a﹣c|，P2Q=|b﹣d|，利用勾股定理可得：線段P1P2的長為．根據(jù)上面材料，回答下面的問題：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（6，﹣1），B（6，5），則線段AB的長為；（2）若點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣3，0），且CD=6，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是；（3）如圖2，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個動點(diǎn)，且A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，求△ABC周長的最小值．11．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)E，∠DAB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝45°，∠DCA＝30°，AB＝．（1）求AE的長．（2）求△ADC的面積．（3）若Q是AB的中點(diǎn)，P是DB邊上的點(diǎn)，連接AP和PQ得到△APQ，試探究△APQ的周長是否存在最小值？若存在，請求出△APQ周長的最小值；若不存在，請說明理由．12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中有長方形OABC，點(diǎn)，將長方形OABC沿AC折疊，使得點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，CD邊交x軸于點(diǎn)E，．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖2，在直線AC以及y軸上是否分別存在點(diǎn)M，N，使得△EMN的周長最小？如果存在，求出△EMN周長的最小值；如果不存在，請說明理由；（3）點(diǎn)P為y軸上一動點(diǎn)，作直線AP交直線CD于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P使得△CPQ為等腰三角形？如果存在，請求出∠OAP的度數(shù)；如果不存在，請說明理由．13．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)是直線位于軸右側(cè)部分圖象上一點(diǎn)，連接，已知．（1）求直線的解析式；（2）如圖2，沿著直線平移得，平移后的點(diǎn)與點(diǎn)重合．點(diǎn)為直線上的一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r，請求出的最小值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖3，將沿直線是翻折得點(diǎn)為平面內(nèi)任意一動點(diǎn)，在直線上是否存在一點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形；若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．14．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（m，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，n），且m，n滿足：（m＋n）2＋|n－6|＝0．

（1）求：①m，n的值；②S△ABE的值；（2）D為OA延長線上一動點(diǎn)，以BD為直角邊作等腰直角△BDE，連接EA，求直線EA與y軸交點(diǎn)F的坐標(biāo)．（3）如圖2，點(diǎn)E為y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點(diǎn)M是射線AF上一動點(diǎn)，點(diǎn)N是線段OA上一動點(diǎn)，試求OM＋MN的最小值（圖1與圖2中點(diǎn)A的坐標(biāo)相同）．15．如圖，在中，，，，是的外接圓，是延長線上一點(diǎn)，且，連接，點(diǎn)是射線上的動點(diǎn)

（1）求證：是的切線；（2）的長度為多少時，的度數(shù)最大，最大度數(shù)是多少？請說明理由；（3）點(diǎn)運(yùn)動的過程中，的值能否達(dá)到最小，若能，求出這個最小值；若不能，請說明理由．參考答案1．（1）；（2）3；（3）【分析】（1）設(shè)CE=x，則BE=6-x；在Rt△B'CE中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可解決問題．（2）如圖2中，作B′H⊥AB于H．連接BB′．首先證明B′C=B′H，設(shè)B′C=B′H=x，構(gòu)建方程即可解決問題．（3）如圖3中，連接AE，EB′，AB′．在△AB′E中，利用三角形長三邊關(guān)系即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，∵點(diǎn)B′落在AC的中點(diǎn)，∴CB′=AC=4，設(shè)CE=x，則BE=6-x，由折疊得：B'E=BE=8-x，在Rt△B'CE中，由勾股定理得x2+42=(6-x)2解得：x=，即CE的長為．（2）如圖2中，作B′H⊥AB于H．連接BB′．∵EB=EB′，DB=DB′，BE=BD，∴BE=EB′=B′D=DB，∴四邊形BEB′D是菱形，∴∠B′BD=∠B′BE，∵B′C⊥BC，B′H⊥AB，∴B′C=B′H，設(shè)B′C=B′H=x．在Rt△ABC中，∵BC=6，AC=8，∴AB==10，∵S△ABC=S△BCB′+S△ABB′，∴?AC?BC=?BC?x+×AB×x，∴x=3，∴CB′=3．（3）如圖3中，連接AE，EB′，AB′．在Rt△ACE中，∵AC=8，EC=3，∴AE==，∵EB=EC=EB′=3，∴AB′≥AE-BE′，∴AB′≥-3，∴AB′的最小值為-3．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了勾股定理，菱形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，以及翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)，找出圖形中隱含的等量關(guān)系，借助勾股定理列方程進(jìn)行解答．2．（1）；（2）a＝時，四邊形PMEF周長最??；（3）PM+PN的最小值為．【分析】（1）如圖1（見解析），先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短得出周長最小時，點(diǎn)P的位置，再根據(jù)矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)求出CD的長，從而可得的長，然后利用勾股定理可得的長，由此即可得出答案；（2）如圖2（見解析），要使四邊形PMEF的周長最小，只需最??；先利用平移、軸對稱的性質(zhì)得出，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出最小時，點(diǎn)F的位置，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而可得a的值；（3）如圖（見解析），先將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理求出PA的長，再將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短確認(rèn)最小時，點(diǎn)N的位置，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）如圖1，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)，連接交AD于，則由軸對稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時周長最小，最小值為作于H∴四邊形ADCH是矩形在中，則周長的最小值為故答案為：；（2）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，則只要最小，四邊形PMEF的周長將取得最小值如圖2，將點(diǎn)M向右平移1個單位長度（EF的長度），連接則，四邊形是平行四邊形作點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接則，由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)共線時，最小，最小值為設(shè)直線的解析式為將點(diǎn)代入得解得則直線的解析式為將點(diǎn)代入得解得故當(dāng)時，四邊形PMEF周長最??；（3）如圖3﹣1中，將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接PE由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：是等邊三角形如圖3﹣2中，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接PF，交AC于點(diǎn)D由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：是等邊三角形，由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時，最小，最小值為PF故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是一道較難的綜合題，考查了圖形變換（對稱、平移、旋轉(zhuǎn)）、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握理解并靈活運(yùn)用圖形變換是解題關(guān)鍵．3．（1）見解析；（2）四邊形ADCF是菱形，理由見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFE=∠DBE，利用AAS定理證明△AEF≌△DEB；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=DC，得到四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AD=DC，證明四邊形ADCF是菱形；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于直線AC對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．【詳解】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB；（2）四邊形ADCF是菱形，理由如下：∵△AEF≌△DEB，∴AF=BD，∵BD=DC，∴AF=DC，又AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，∴AD=DC，∴四邊形ADCF是菱形；（3）連接BF交AC于M，則點(diǎn)M即為所求，∵四邊形ADCF是菱形，∴點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于直線AC對稱，∴MD=MF，∴MB+MD=MB+MF=BF，即MB+MD有最小值．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定以及軸對稱-最短路徑問題，掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形、全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（1）；（2），；（3）【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)代入y=ax2+bx+1，解方程組即可得到結(jié)論；（2）由條件可得BE?DE=OE?EM，設(shè)D(a，-x2?x+1)，則可表示BE、DE、OE、EM的長，得到關(guān)于a的方程，解方程可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，求出AE、DE長，則sin∠DAE的值可求；（3）作D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，交軸于點(diǎn)P，則∠DAE=∠HFD，DP+AP=FP+HP，此時FH最小，求出最小值即可．【詳解】解：（1）把點(diǎn)，點(diǎn)代入得，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）∵二次函數(shù)的表達(dá)式為，令，得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．∵軸，∴，．∵，∴．設(shè)，則，∴，，，，∴，解得，（舍去），（舍去），∴，∴，，∴，∴；（3）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，則，∵，∴，∴，∴，由垂線段最短可知此時長度最小，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為．

【點(diǎn)睛】主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，垂線段最短，軸對稱的性質(zhì)，以及解直角三角形的知識，要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問題．5．（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣1，0）．點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3）．點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）△PBC周長的最小值為；（3）存在點(diǎn)E（﹣2，1），使得EF＝2EG．【分析】（1）當(dāng)y=0時，-x2-2x+3=0，求得：點(diǎn)A坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，0）；令x=0，求得C坐標(biāo)為（0，3）；化為頂點(diǎn)式即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）△PBC的周長為PB+PC+BC，BC為定值，當(dāng)PB+PC最小時，△PBC的周長最?。纯汕蠼?；（3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，x+3），點(diǎn)F（x，-x2-2x+3），則EF=（-x2-2x+3）-（x+3）=-x2-3x，EG=x+3，即可求解．【詳解】（1）當(dāng)y＝0時，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣1，0）．當(dāng)x＝0時，y＝3，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3）．∵y＝﹣（x+1）2+4∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）△PBC的周長為PB+PC+BC，∵BC為定值，∴當(dāng)PB+PC最小時，△PBC的周長最?。唿c(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸l對稱，∴連接AC，交l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)．∵AP＝BP，∴PB+PC+BC＝AC+BC．∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），C（0，3），∴AC＝，BC＝，∴△PBC周長的最小值為；（3）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，得．解得k＝1，b＝3．∴直線AC的解析式為y＝x+3．設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，x+3），點(diǎn)F（x，﹣x2﹣2x+3），則EF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，EG＝x+3．當(dāng)EF＝2EG時，有﹣x2﹣3x＝2（x+3）．解得x1＝﹣2，x2＝﹣3（舍去）當(dāng)x＝﹣2時，點(diǎn)E坐標(biāo)為（﹣2，1）．∴存在點(diǎn)E（﹣2，1），使得EF＝2EG．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，軸對稱最短的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．6．（1）,.（2）（3）【分析】（1）根據(jù)對稱軸為第一、三象限的角平分線，結(jié)合圖形得出B′、C′兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由（1）的結(jié)論，并與B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行比較，得出一般規(guī)律；（3）由軸對稱性作出滿足條件的Q點(diǎn)，結(jié)合勾股定理，得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖，由點(diǎn)關(guān)于直線y=x軸對稱可知：B'（3，5），C'（5，-2）．故答案為（3，5），（5，-2）；

（2）由（1）的結(jié)果可知，坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（b，a）．故答案為（b，a）；（3）由（2）得，D（1，-3）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（-3，1），連接D'E交直線l于點(diǎn)Q，此時點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，D'E==，∴QD+QE的最小值為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路徑問題和軸對稱的性質(zhì)，利用軸對稱解決最短路徑問題是解答此題的關(guān)鍵．7．作圖見解析；最小值為【分析】連接BE，交AC于點(diǎn)P，連接DP，PD+PE=PB+PE=BE最小，求出BE長即可.【詳解】解：連接BE，交AC于點(diǎn)P，連接DP，

∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對稱，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小，∵正方形ABCD的面積為S，∴AB=，又∵△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=，故所求最小值為.【點(diǎn)睛】本題是對正方形知識的考查，熟練掌握正方形的性質(zhì)，得出PD+PE=PB+PE=BE最小，是解決本題的關(guān)鍵.8．（1）S平行四邊形ABCD=48；（2）G（0，），見解析；（3）滿足條件的點(diǎn)S的坐標(biāo)為或或，見解析.【分析】（1）解方程求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，在Rt△AOD中，求出OD即可解決問題．（2）首先證明△EHB也是等腰直角三角形，以HE，HB為邊構(gòu)造正方形EHBJ，連接JN，延長JE交OD于Q，作MT⊥OD于T，連接JT．在Rt△DMT中，易知MT=DM，根據(jù)對稱性可知：NH=NJ，推出HN+MM-DM=NJ+MN-MT≤JT，推出當(dāng)JT最小時，HN+MM-DM的值最?。鐖D2中當(dāng)點(diǎn)M在JQ的延長線上時，HN+MM-DM的值最小，此時M（-，5），作點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱點(diǎn)M′，連接CM′，延長CM′交y軸于點(diǎn)G，此時|CG-MG|最大，求出直線CM′的解析式即可解決問題．（3）分五種情形分別畫出圖形，利用菱形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識一一求解即可．【詳解】解：（1）由得到x=-2或6；∴A（-2，0），B（6，0）；在Rt△ADO中，∵∠AOD=90°，AD=2，OA=2；，∵OB=6，∴OD=OB=6，∴△BOD是等腰直角三角形，∴S平行四邊形ABCD=AB?OD=8×6=48；（2）如圖1中，∵EH⊥OB，∴∠EHB=90°，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠EBH=45°，∴△EHB也是等腰直角三角形，以HE，HB為邊構(gòu)造正方形EHBJ，連接JN，延長JE交OD于Q，作MT⊥OD于T，連接JT，在Rt△DMT中，易知MT=DM，∵四邊形EHBJ是正方形，根據(jù)對稱性可知：NH=NJ，∴HN+MM-DM=NJ+MN-MT≤JT，∴當(dāng)JT最小時，HN+MM-DM的值最小，∵JT≤JQ，∴JT≤OB=6，∴HN+MM-DM的最小值為6．如圖2中，∵PF∥y軸，∴∠PFE=∠ODB=45°，∴△PEF是等腰直角三角形，設(shè)PE=EF=a，則PF=a，由題意2a+a=4+4，∴a=2，∵FB=FD，∴F（3，3），∴E（1，5），∴當(dāng)點(diǎn)M在JQ的延長線上時，HN+MM-DM的值最小，此時M（-，5），作點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱點(diǎn)M′，連接CM′，延長CM′交y軸于點(diǎn)G，此時|CG-MG|最大，∵C（8，6），M′（，5），∴直線CM′的解析式為，∴G（0，）；（3）存在．設(shè)菱形的對角線的交點(diǎn)為J．①如圖3-1中，當(dāng)O′D″是對角線時，設(shè)ES交x軸于T．∵四邊形EO′SD″是菱形，∴ES⊥O′D″，∴直線ES的解析式為，∴T，在Rt△JTO′中，易知O′J=3，∠TO′J=30°，∴O′T=2，，∵JE=JS，∴可得S，②如圖3-2中，當(dāng)EO′=O′D″=6時，可得四邊形SEO′D″是菱形，設(shè)O′（m，0）．則有：（m-1）2+52=36，∴m=1+或1-，∴O′（1+，0）或（1-，0）（如圖3-3中），∴D″（1+-3，3），∴；∵JS=JO′，，③如圖3-3中，當(dāng)EO′=O′D″時，由②可知O′（1-，0）．同法可得④如圖3-4中，當(dāng)ED″=D″O′=6時，可得四邊形ESO′D″是菱形．設(shè)D″（m，3），則（m-1）2+22=36，∴m=1+4（圖5中情形），或m=1-4，，,∵JD″=JS，∴可得S（1+3，2），⑤如圖3-5中，當(dāng)D″E=D″O時，由④可知D″（1+4，3），，，∵JD″=JS，∴可得S（1+3，2），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)S的坐標(biāo)為或或.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，軸對稱最短問題，解直角三角形，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用軸對稱解決最值問題，屬于中考壓軸題．9．（1）；（2）；（3）m【分析】（1）過點(diǎn)A作，利用三角函數(shù)解直角三角形求，再根據(jù)等腰三角形的三線合一得到，即可得到答案．（2）作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn),連接交AB于點(diǎn)P,延長DA到點(diǎn)E，使得,連接，此時，的值最小．在，利用勾股定理求即可．（3）做輔助線，補(bǔ)全外接圓，連接延長交于連接，延長交于，作點(diǎn)D關(guān)于CP對稱點(diǎn)，作點(diǎn)D關(guān)于PB對稱點(diǎn)，連接，交PC于點(diǎn)M，交PB于點(diǎn)N．連接,，,,．過作于當(dāng)最小，、、、在同一條直線上時，DM+MN+ND取得最小值，即最小值為，從而可得答案．【詳解】證明:（1）過點(diǎn)A作∵AB＝AC，∠B＝30°，AB＝3∴∵AB＝AC，∴故答案．（2）作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn),連接交AB于點(diǎn)P,延長DA到點(diǎn)E，使得,連接，此時，的值最?。唿c(diǎn)C與點(diǎn)關(guān)于AB的對稱,BC＝2∴,∴，∴∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴∴四邊形是矩形，∴,∴在中，利用勾股定理：此時，的值最小，即．（3）補(bǔ)全外接圓，連接延長交于連接，延長交于，作點(diǎn)D關(guān)于CP對稱點(diǎn)，作點(diǎn)D關(guān)于PB對稱點(diǎn)，連接，交PC于點(diǎn)M，交PB于點(diǎn)N．連接,，,,，過作于∵點(diǎn)D關(guān)于CP對稱點(diǎn)，作點(diǎn)D關(guān)于PB對稱點(diǎn)∴，，∵△ABC是等邊三角形∴(同弧所對圓周角相等)∵,（根據(jù)對稱性）∴，∵點(diǎn)D關(guān)于CP對稱點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于PB對稱點(diǎn)∴,∴∴當(dāng)最小且、、、在同一條直線上時，DM+MN+ND的最小，即，為等邊△ABC的外心，為等邊△ABC的重心，的最小值是【點(diǎn)睛】本題主要利用對稱性求“最短”問題，綜合了軸對稱的基本性質(zhì)、三角函數(shù)解直角三角形、勾股定理、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵，利用軸對稱的性質(zhì)，找到合適的點(diǎn)，是解答此題的關(guān)鍵．10．（1）6；（2）或；（3）．【分析】（1）根據(jù)線段長度計算方法計算即可；（2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），根據(jù)線段長度計算方法計算即可；（3）找到點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A'（﹣1，4），連接A'B交y軸于點(diǎn)C，此時△ABC周長的最小，然后根據(jù)線段長度計算方法即可求解．【詳解】解：（1）∵A（6，﹣1），B（6，5），∴．故答案為：6；（2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b），則在Rt△OCD中，CD2=OC2+OD2，即（﹣3﹣0）2+（0﹣b）2=62，解得．所以C的坐標(biāo)為或．故答案為：或；（3）如圖，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為A'，則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（﹣1，4），A'C=AC，∵△ABC的周長=AB+AC+CB=AB+A'C+CB，其中線段AB的長為定值，∴當(dāng)C點(diǎn)為A'B與y軸的交點(diǎn)時，此時A'B即為A'C+CB的最小值，△ABC的周長最小，此時△ABC的周長=AB+A'C+CB=AB+A'B．∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），∴AB2．．所以△ABC的周長的最小值為．【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題，考查了勾股定理，兩點(diǎn)的距離公式，軸對稱的最短路徑問題，解決此題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)之間的距離公式．11．（1）2；（2）；（3）存在，；【分析】（1）過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，在Rt△AFB中，求出AF＝BF，在Rt△AEF中，求出AE即可；（2）首先在△ABD中求出DB，DE的長度，從而求出CD的長度，通過S△ACD＝S△ADE＋S△CDE求解即可；（3）第一步：確定點(diǎn)P的位置，即作點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)F，連接QF交BD于點(diǎn)P，則△APQ的周長最小值是FQ＋QA的值；第二步：根據(jù)勾股定理得到FQ，即可求解．【詳解】（1）如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，則∠AFB＝90°．∵∠CDB＝90°，∠1＝30°，∴∠2＝∠3＝60°．在Rt△AFB中，∠4＝45°，AB＝，∴AF＝BF＝．在Rt△AEF中，∠3＝60°，AF＝，∴EF＝1，AE＝2；（2）∵在△ABD中，∠DAB＝90°，∠ABD＝45°，AB＝，∴DB＝2，∴DE＝DB－BF－EF＝－1，∴CD＝DE＝3－，∴S△ACD＝S△ADE＋S△CDE＝DE·AF＋CD·DE＝×(－1)×＋×(3－)×(－1)＝．（3）存在．如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)F，連接QF交BD于點(diǎn)P，則此時△APQ的周長最小，其最小值是FQ＋QA的值，連接BF．∵△ABD是等腰直角三角形，且BD垂直平分AF，∴∠ABF＝90°，BF＝AB＝．∵BQ＝QA＝AB＝，∴，∴△APQ周長的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，以及最短路徑問題等，熟練掌握并靈活運(yùn)用基本性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．12．（1）點(diǎn)D坐標(biāo)；（2）存在，△EMN的周長最小值為8；（3）存在，或【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)和得到AO=4，∠CAB＝60°，再由折疊的性質(zhì)AD=4，∠DAO＝30°，過點(diǎn)D作DF⊥AO于F，可求得DF、AF，進(jìn)而可求得點(diǎn)D坐標(biāo)；（2）如圖，利用“將軍飲馬”模型，分別作E關(guān)于y軸、AC的對稱點(diǎn)Q、H，連接QH，則QH就是周長的最小值，進(jìn)一步求出點(diǎn)E、點(diǎn)Q、點(diǎn)H坐標(biāo)，即可解得QH的長，即周長的最小值；（3）要使得△CPQ為等腰三角形，需分三種情況討論求解：①若CP=CQ；②若PQ=CQ;③若CP=PQ，進(jìn)一步推導(dǎo)求解即可．【詳解】解：（1）∵四邊形AOCB是矩形，∴OC＝AB＝4，∵∠OAC＝30°∴AC＝2CO＝8，AO＝CO＝4，∠CAB＝60°，∵長方形OABC沿AC折疊，使得點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，∴AD＝AB＝4，∠CAD＝60°，∴∠DAO＝30°，如圖1，過點(diǎn)D作DF⊥AO于F，∵DF⊥AO，∠DAO＝30°，∴DF＝AD＝2，AF＝DF＝2，∴OF＝AO﹣AF＝2，∴點(diǎn)D坐標(biāo)（2，﹣2）；（2）如圖2，過點(diǎn)E作y軸的對稱點(diǎn)G，過點(diǎn)E作AC的對稱點(diǎn)H，連接GH交y軸于點(diǎn)N，與AC交于M，即△EMN的周長最小值為GH，∵∠OAD＝30°，AD＝4，∠ADC＝90°∴AE＝，∴OE＝，∵點(diǎn)G，點(diǎn)E關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)E，點(diǎn)H關(guān)于AC對稱，∴點(diǎn)G（﹣，0），點(diǎn)H（，4）∴GH＝，∴△EMN的周長最小值為8；（3）存在點(diǎn)P使得△CPQ為等腰三角形，∵∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠OCE＝30°，①若CP＝CQ，如圖3，∵CP＝CQ，∠OCE＝30°，∴∠CPQ＝75°，∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝15°，②若PQ＝CQ時，如圖4，∵CQ＝PQ，∴∠QPC＝∠PCQ＝30°，∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝60°；③若CP＝PQ，如圖5，∴∠PCQ＝∠PQC＝30°，∴∠OPA＝60°，且∠OCA＝60°，∴不存在這樣的點(diǎn)P，綜上，滿足條件的點(diǎn)P存在，并且∠OAP=15o或60o．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、含30o直角三角形性質(zhì)、對稱性求最值、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式等知識，屬于綜合題型，有一定難度，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真分析圖形，尋找相關(guān)聯(lián)的信息，借助添加輔助線或數(shù)學(xué)模型確定解題思路，進(jìn)而推導(dǎo)、計算．13．（1）；（2）點(diǎn)，，最小值；（3）點(diǎn)，或，．【分析】（1）點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）過點(diǎn)作直線軸，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，即此時，最小，最小值為，即可求解；（3）點(diǎn)、均在直線上，而與不垂直，故點(diǎn)不可能是矩形的邊，只能是矩形的對角線，即可求解．【詳解】解：（1）點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：，解得：，故直線的表達(dá)式為：；（2）過點(diǎn)作直線軸，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，，故，，，，則，即此時，最小，最小值為，，則，故點(diǎn)，，，則點(diǎn)，，則點(diǎn)，，點(diǎn)，，最小值；（3）存在，理由：①當(dāng)時，如圖，，，則，故點(diǎn)，；、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)位置如下圖所