2024年秋九年級數(shù)學(xué)上冊第4章銳角三角函數(shù)練習題新版湘教版

PAGEPAGE1第4章銳角三角函數(shù)本章中考演練1．2024·天津cos60°的值為()A.eq\r(3)B．1C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)2．2024·懷化在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(4,5)，AC＝6cm，則BC的長為()A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm3．2024·永州下列式子錯誤的是()A．cos40°＝sin50°B．tan15°·tan75°＝1C．sin225°＋cos225°＝1D．sin60°＝2sin30°4．2024·懷化如圖4－Y－1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(3，4)，那么sinα的值是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(4,3)5．2024·長沙模擬已知sinα＝eq\f(\r(3),2)，則銳角α的度數(shù)是()A．30°B．37°C．45°D．60°圖4－Y－1圖4－Y－26．2024·益陽如圖4－Y－2，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC相互垂直，∠CAB＝α，則拉線BC的長度為(點A，D，B在同一條直線上)()A.eq\f(h,sinα)B.eq\f(h,cosα)C.eq\f(h,tanα)D．h·cosα圖4－Y－37．2024·重慶如圖4－Y－3，小王在長江邊某眺望臺D處，測得江面上的漁船A的俯角為40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡長BC＝10米，則此時AB的長約為(參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)()A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米8．2024·婁底如圖4－Y－4，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D沿BC自點B向點C運動(點D與點B，C不重合)，作BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，則BE＋CF的值()圖4－Y－4A．不變B．漸漸增大C．漸漸減小D．先變大再變小9．2024·湘潭計算：cos60°＝________．10．2024·株洲模擬在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C∶∠B＝1∶2，則sinB＝________．11．2024·祁陽二模在正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖4－Y－5放置，則cos∠AOB的值為________．圖4－Y－5圖4－Y－612．2024·邵陽如圖4－Y－6所示，運載火箭從地面L處垂直向上放射，當火箭到達點A時，在位于地面R處的雷達測得AR的距離是40km，仰角是30°.n秒后，火箭到達點B，此時仰角是45°，則火箭在這n秒中上升的高度是________km.13．2024·舟山如圖4－Y－7，把n個邊長為1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝eq\f(1,3)，tan∠BA3C＝eq\f(1,7)，tan∠BA4C＝________…，按此規(guī)律，寫出tan∠BAnC＝________(用含n的代數(shù)式表示)．圖4－Y－714．2024·衡陽衡陽市城市標記來雁塔坐落在衡陽市雁峰公園內(nèi)．如圖4－Y－8(示意圖)，為了測量來雁塔的高度，在E處用高為1.5米的測角儀AE，測得塔頂C的仰角為30°，再向塔身前進10.4米，又測得塔頂C的仰角為60°.求來雁塔的高度．(結(jié)果精確到0.1米)圖4－Y－815．2024·郴州小宇在學(xué)習了解直角三角形的學(xué)問后，萌生了測量他家對面位于同一水平面的樓房高度的想法．如圖4－Y－9，他站在自家C處測得對面樓房底端B的俯角為45°，測得對面樓房頂端A的仰角為30°，并量得兩棟樓房之間的距離為9米．請你用小宇測得的數(shù)據(jù)求出對面樓房AB的高度．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)圖4－Y－916．2024·湘潭某游樂場部分平面圖如圖4－Y－10所示，點C，E，A在同始終線上，點D，E，B在同始終線上，測得A處與E處的距離為80米，C處與D處的距離為34米，∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠BAE＝30°.(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)(1)求旋轉(zhuǎn)木馬E處到出口B處的距離；(2)求海洋球D處到出口B處的距離(結(jié)果保留整數(shù))．圖4－Y－1017．2024·福建小明在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin245°＋sin245°＝(eq\f(\r(2),2))2＋(eq\f(\r(2),2))2＝1.據(jù)此，小明猜想：對于隨意銳角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.(1)當α＝30°時，驗證sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立．(2)小明的猜想是否成立？若成立，請賜予證明；若不成立，請舉出一個反例．

詳解詳析1．D2．C[解析]在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinA＝eq\f(4,5)，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,5).設(shè)BC＝4k，AB＝5k(k＞0)，由勾股定理，得AC＝3k.又∵AC＝6cm，∴k＝2，∴BC＝8cm.3．D[解析]依據(jù)sinA＝cos(90°－∠A)知選項A正確；依據(jù)tanA·tan(90°－∠A)＝1知選項B正確；依據(jù)sin2A＋cos2A＝1知選項C正確；sin60°＝eq\f(\r(3),2)，2sin30°＝2×eq\f(1,2)＝1，所以sin60°≠2sin30°，故選項D錯誤．4．C[解析]過點A作AB⊥x軸于點B，如圖．∵點A的坐標為(3，4)，∴OB＝3，AB＝4，∴OA＝eq\r(32＋42)＝5.在Rt△AOB中，sinα＝eq\f(AB,OA)＝eq\f(4,5).故選C.5．D6．B[解析]∵CD⊥AB，AC⊥BC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD.在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝eq\f(CD,BC)，∴BC＝eq\f(CD,cos∠BCD)＝eq\f(h,cosα).故選B.7．A[解析]如圖，延長DE交AB的延長線于點P，作CQ⊥AP于點Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四邊形CEPQ為矩形，∴CE＝PQ＝2，CQ＝PE.∵i＝eq\f(CQ,BQ)＝eq\f(1,0.75)＝eq\f(4,3)，∴設(shè)CQ＝4x，BQ＝3x(x＞0)，由CQ2＋BQ2＝BC2可得(4x)2＋(3x)2＝102，解得x＝2(負值舍去)，則CQ＝PE＝8，BQ＝6，∴DP＝DE＋PE＝11.∵tanA＝eq\f(DP,AP)，∴AP＝eq\f(DP,tanA)＝eq\f(11,tan40°)≈13.1，∴AB＝AP－BQ－PQ＝13.1－6－2＝5.1(米)．故選A.8．C[解析]∵BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，∴CF∥BE，∴∠DCF＝∠DBE.設(shè)∠DCF＝∠DBE＝α，∴CF＝DC·cosα，BE＝DB·cosα，∴BE＋CF＝(DB＋DC)cosα＝BC·cosα.∵∠ABC＝90°，∴0°＜α＜90°.當點D從點B向點C運動時，α是漸漸增大的，∴cosα的值是漸漸減小的，∴BE＋CF＝BC·cosα的值是漸漸減小的．故選C.9.eq\f(1,2)10.eq\f(\r(3),2)11.eq\f(\r(2),2)[解析]如圖，C為OB邊上的格點，連接AC，依據(jù)勾股定理，得AO＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，AC＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，OC＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，所以AO2＝AC2＋OC2＝20，所以△AOC是直角三角形，且∠AOC＝90°，所以cos∠AOB＝eq\f(OC,AO)＝eq\f(\r(10),2\r(5))＝eq\f(\r(2),2).12．(20eq\r(3)－20)[解析]在Rt△ARL中，∵∠ARL＝30°，∴LR＝AR·cos30°＝40×eq\f(\r(3),2)＝20eq\r(3)(km)，AL＝AR·sin30°＝40×eq\f(1,2)＝20(km)．在Rt△BLR中，∵∠BRL＝45°，∴RL＝LB＝20eq\r(3)km，∴AB＝LB－AL＝(20eq\r(3)－20)km.故答案為(20eq\r(3)－20)．13.eq\f(1,13)eq\f(1,n2－n＋1)[解析]過點C作CH⊥BA4于點H，由勾股定理得，BA4＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17)，A4C＝eq\r(10)，△BA4C的面積＝1×4－eq\f(1,2)×1×4－eq\f(1,2)×1×3＝4－2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)×eq\r(17)×CH＝eq\f(1,2)，解得CH＝eq\f(\r(17),17)，則A4H＝eq\r(A4C2－CH2)＝eq\f(13\r(17),17)，∴tan∠BA4C＝eq\f(CH,A4H)＝eq\f(1,13).∵1＝12－1＋1，3＝22－2＋1，7＝32－3＋1，…，∴tan∠BAnC＝eq\f(1,n2－n＋1).14．解：由題意∠CAB＝30°，∠CBD＝60°.∵∠CBD＝∠CAB＋∠ACB，∴∠ACB＝∠CAB＝30°，∴AB＝BC＝10.4米．在Rt△CBD中，CD＝BC·sin60°＝10.4×eq\f(\r(3),2)≈9.01(米)，9．01＋1.5≈10.5(米)．答：來雁塔的高度約為10.5米．15．解：由題意可知CD＝9米．在Rt△ADC中，∵tan30°＝eq\f(AD,CD)，∴AD＝CD·tan30°＝9×eq\f(\r(3),3)＝3eq\r(3)(米)．在Rt△CDB中，∵tan45°＝eq\f(BD,CD)＝1，∴BD＝CD＝9米，∴AB＝AD＋BD＝3eq\r(3)＋9≈14(米)．答：樓房AB的高度約為14米．16．解：(1)∵在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，∴BE＝eq\f(1,2)AE＝eq\f(1,2)×80＝40(米)．(2)∵在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，∴∠AEB＝90°－30°＝60°，∴∠CED＝∠AEB＝60°，∴在Rt△CDE中，DE＝eq\f(CD,sin∠CED)＝eq\f(34,\f(\r(3),2))≈40(米)，則BD＝DE＋BE≈40＋40＝80(米)．1