2024年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第1章三角形的證明2直角三角形教案新版北師大版

PAGEPAGE12直角三角形第1課時(shí)直角三角形的性質(zhì)與判定教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．駕馭勾股定理及其逆定理，并能應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題．2．結(jié)合詳細(xì)例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，明確原命題成立，其逆命題不肯定成立．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】駕馭直角三角形的性質(zhì)定理(勾股定理)及判定定理的證明方法．【教學(xué)難點(diǎn)】運(yùn)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P14～P16的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】(一)直角三角形的性質(zhì)與判定1．直角三角形的兩個(gè)銳角互余．反之，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．2．勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．3．假如三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．4．下列四組線段中，能組成直角三角形的是(D)A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4C．a(chǎn)＝2，b＝4，c＝5D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝55．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若b＝5，c＝13，則a＝12；若a＝8，b＝6，則c＝10.(二)命題與逆命題1．在兩個(gè)命題中，假如一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．2．假如有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ恚h(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組探討(師生互學(xué))【例1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于點(diǎn)D.求：(1)AC的長(zhǎng)；(2)△ABC的面積；(3)CD的長(zhǎng)．【互動(dòng)探究】(引發(fā)學(xué)生思索)視察圖形與已知條件，利用勾股定理求AC的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式計(jì)算△ABC的面積，利用等面積法求CD的長(zhǎng)．【解答】(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝12cm.(2)S△ABC＝eq\f(1,2)CB·AC＝30cm2.(3)∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)CD·AB，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(60,13)cm.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))解此類題時(shí)，一般是先利用勾股定理求出第三邊，利用兩種方法表示出同一個(gè)直角三角形的面積，然后依據(jù)面積相等得出一個(gè)方程，再解這個(gè)方程即可．【例2】寫出下列各命題的逆命題，并推斷其逆命題是真命題還是假命題．(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；(2)垂直于同一條直線的兩直線平行；(3)相等的角是內(nèi)錯(cuò)角；(4)有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形．【互動(dòng)探究】(引發(fā)學(xué)生思索)什么是逆命題？逆命題肯定是真命題嗎？【解答】(1)逆命題：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．該逆命題是真命題．(2)逆命題：假如兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線(在同一平面內(nèi))．該逆命題是真命題．(3)逆命題：內(nèi)錯(cuò)角相等．該逆命題是假命題．(4)逆命題：等邊三角形有一個(gè)角是60°.該逆命題是真命題．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))逆命題的條件是原命題的結(jié)論，逆命題的結(jié)論是原命題的條件．【例3】如圖，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝eq\f(1,4)AD，求證：CE⊥EF.【互動(dòng)探究】(引發(fā)學(xué)生思索)視察圖形，要證CE⊥EF，考慮證△CFE是直角三角形．結(jié)合已知條件，可考慮利用勾股定理的逆定理進(jìn)行證明．【證明】如題圖，連結(jié)CF，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4.∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，AF＝eq\f(1,4)AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3，∴由勾股定理，得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，F(xiàn)C2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即EF⊥CE.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))利用勾股定理的逆定理可以推斷一個(gè)三角形是否為直角三角形，所以此定理也是判定垂直關(guān)系的一個(gè)主要方法．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是(D)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A－∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝∠B＝3∠C2．如圖，正方形網(wǎng)格中有△ABC，若小方格邊長(zhǎng)為1，則△ABC的形態(tài)為(A)A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．以上答案都不對(duì)3．命題“全等三角形的周長(zhǎng)相等”的逆命題是周長(zhǎng)相等的三角形是全等三角形．4．如圖所示，以Rt△ABC的三條邊為邊長(zhǎng)分別向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，且S1＝4，S2＝8，則S3＝12.5．如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高．(1)求證：∠ACD＝∠B；(2)若AC＝3，BC＝4，AB＝5，則求CD的長(zhǎng)．(1)證明：∵CD是Rt△ABC斜邊上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B.(2)解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)AC·BC，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5).活動(dòng)3拓展延長(zhǎng)(學(xué)生對(duì)學(xué))【例4】如圖所示，在等腰直角三角形OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以O(shè)A1為直角邊作等腰直角三角形OA1A2，以O(shè)A2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，…，則OAn的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．【互動(dòng)探究】∵△OAA1為等腰直角三角形，OA＝1，∴OA1＝eq\r(2)OA＝eq\r(2).∵△OA1A2為等腰直角三角形，∴OA2＝eq\r(2)OA1＝2＝(eq\r(2))2.∵△OA2A3為等腰直角三角形，∴OA3＝eq\r(2)OA2＝2eq\r(2)＝(eq\r(2))3.∵△OA3A4為等腰直角三角形，∴OA4＝eq\r(2)OA3＝4＝(eq\r(2))4，…，∴OAn＝eq\r(2)OAn－1＝(eq\r(2))n.【答案】(eq\r(2))n【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，嫻熟應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))1．直角三角形的性質(zhì)：(1)直角三角形的兩個(gè)銳角互余；(2)直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理)．2．直角三角形的判定eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形,假如三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，,那么這個(gè)三角形是直角三角形))3．逆命題：在兩個(gè)命題中，假如一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．4．假如有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ恚毩?xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！第2課時(shí)直角三角形全等的推斷教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)1．能夠證明直角三角形全等的“HL”定理，并能利用“HL”定理解決實(shí)際問(wèn)題．2．進(jìn)一步駕馭推理證明的方法，提升演繹推理實(shí)力和思維實(shí)力．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】直角三角形全等的判定方法．【教學(xué)難點(diǎn)】直角三角形全等的判定的應(yīng)用．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【5min閱讀】閱讀教材P18～P20的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．證明三角形全等的方法有：AAS、ASA、SAS、SSS.2．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．這肯定理可以簡(jiǎn)述為“斜邊、直角邊”或“HL”．3．如圖，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以證明△BAD≌△BCD的理由是(A)A．HL B．ASAC．SAS D．AAS4．下列條件中能判定兩個(gè)直角三角形全等的有(D)①有兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等；②有兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等；③有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等；④有一條直角邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等；⑤有斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等；⑥有兩條邊相等．A．6個(gè) B．5個(gè)C．4個(gè) D．3個(gè)環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)1小組探討(師生互學(xué))【例1】如圖，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點(diǎn)O，且AB＝CD，BE＝CF.求證：Rt△ABF≌Rt△DCE.【互動(dòng)探究】(引發(fā)學(xué)生思索)證明三角形全等的方法有哪些？已知兩邊對(duì)應(yīng)相等可以找尋哪些條件證明三角形全等？【證明】∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF與△DCE都為直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BF＝CE，,AB＝CD，))∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))利用“HL”判定三角形全等，首先要判定這兩個(gè)三角形是直角三角形，然后找出對(duì)應(yīng)的斜邊和直角邊相等即可．【例2】如圖，已知AD、AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，若AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.【互動(dòng)探究】(引發(fā)學(xué)生思索)從圖中可以知道，要證BC＝BE，可以從三角形全等入手．視察圖形推斷Rt△ADC和Rt△AFE全等嗎？Rt△ABD和Rt△ABF呢？【證明】∵AD、AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，∴∠D＝∠F＝90°.在Rt△ADC和Rt△AFE中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AC＝AE，,AD＝AF，))∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴CD＝EF.在Rt△ABD和Rt△ABF中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AB，,AD＝AF，))∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴BD＝BF，∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))證明線段相等可通過(guò)證明三角形全等解決．直角三角形的判定方法最多，運(yùn)用時(shí)應(yīng)當(dāng)抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．下列條件中能說(shuō)明兩個(gè)直角三角形全等的是(D)A．銳角分別相等B．一條直角邊分別相等C．斜邊分別相等D．兩直角邊分別相等2．如圖所示，AB∥EF∥DC，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么圖中共有全等三角形(C)A．5對(duì) B．4對(duì)C．3對(duì) D．2對(duì)3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，再補(bǔ)充一個(gè)條件BC＝EF(答案不唯一)，便可得Rt△ABC≌Rt△DEF.4．如圖，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF過(guò)點(diǎn)C，BE⊥EF于點(diǎn)E，DF⊥EF于點(diǎn)F，BE＝DF.求證：Rt△BCE≌Rt△DCF.證明：連結(jié)BD.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC.∵BE⊥EF，DF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°.在Rt△BCE和Rt△DCF中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝DC，,BE＝DF，))∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)．活動(dòng)3拓展延長(zhǎng)(學(xué)生對(duì)學(xué))【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.點(diǎn)P、Q分別在線段AC和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合，那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，才能使△ABC與△APQ全等？【互動(dòng)探究】本題要分狀況探討：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此時(shí)AP＝BC＝10，可據(jù)此求出點(diǎn)P的位置；(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此時(shí)AP＝AC，P、C重合，不合題意．【解答】分狀況探討：(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AP＝BC時(shí)，在Rt△ABC和Rt△QPA中，∠C＝∠QAP＝90°，BC＝AP，AB＝PQ