天津市大白高中2024-2025學年數(shù)學高二下期末綜合測試試題含解析

天津市大白高中2024-2025學年數(shù)學高二下期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某班級有男生人，女生人，現(xiàn)選舉名學生分別擔任班長、副班長、團支部書記和體育班委.男生當選的人數(shù)記為，則的數(shù)學期望為（）A． B． C． D．2．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)位于復平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交曲線左支于A，B兩點，△F2AB是以A為直角頂點的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若該雙曲線的離心率為e，則e2＝（）A． B． C． D．4．設全集U＝{|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，則集合?UA的子集的個數(shù)是（）A．16 B．8 C．7 D．45．已知函數(shù)，若在上有解，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知命題：，命題：，且是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．一個球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，則右邊程序框圖輸出的S表示的是（）A．小球第10次著地時向下的運動共經(jīng)過的路程B．小球第10次著地時一共經(jīng)過的路程C．小球第11次著地時向下的運動共經(jīng)過的路程D．小球第11次著地時一共經(jīng)過的路程8．若實數(shù)滿足約束條件，且最大值為1，則的最大值為（）A． B． C． D．9．已知的二項展開式的各項系數(shù)和為32，則二項展開式中的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．20 D．4010．已知隨機變量的概率分布如下表，則（）A． B． C． D．11．下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則對任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用一塊半徑為2分米的半圓形薄鐵皮制作一個無蓋的圓錐形容器，若銜接部分忽略不計，則該容器的容積為________立方分米.14．在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形的內(nèi)切圓周長為，外接圓周長為，則.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體的內(nèi)切球表面積為，外接球表面積為，則__________．15．在正四棱錐P-ABCD中，PA=2，直線PA與平面ABCD所成角為60°，E為PC的中點，則異面直線PA與BE所成角的大小為___________．16．已知復數(shù)，則復數(shù)______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在各項均為正數(shù)的數(shù)列中，且.(1)當時，求的值；(2)求證:當時，.18．（12分）設函數(shù)，.（1）當時，解不等式；（2）若，，求a的取值范圍.19．（12分）已知復數(shù)（i是虛數(shù)單位）是關于x的實系數(shù)方程根.(1)求的值；(2)復數(shù)滿足是實數(shù)，且，求復數(shù)的值.20．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，解不等式；（2）若存在滿足，求實數(shù)a的取值范圍．21．（12分）已知數(shù)列滿足（）.（1）計算，，，并寫出與的關系；（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式.22．（10分）每年的4月23日為“世界讀書日”，某調(diào)查機構對某校學生做了一個是否喜愛閱讀的抽樣調(diào)查，該調(diào)查機構從該校隨機抽查了名不同性別的學生，現(xiàn)已得知人中喜愛閱讀的學生占，統(tǒng)計情況如下表喜愛不喜愛合計男生女生合計（1）完成列聯(lián)表，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有的把握認為是否喜愛閱讀與被調(diào)查對象的性別有關?請說明理由：（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)在從所有學生中，采用隨機抽樣的方法抽取位學生進行調(diào)查，求抽取的位學生中至少有人喜愛閱讀的概率，（以下臨界值及公式僅供參考），

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：先寫出的取值，再分別求的概率，最后求的數(shù)學期望.詳解：由題得所以故答案為：C點睛：（1）本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力.(2)離散型隨機變量的數(shù)學期望2、B【解析】,對應點,位于第二象限,選B.3、D【解析】

設，根據(jù)是以為直角頂點的直角三角形，且，以及雙曲線的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理求得的關系式，即可求解.【詳解】由題意，設，如圖所示，因為是以為直角頂點的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，，在直角中，，即，整理得，所以，故選D.本題主要考查了雙曲線的定義，以及雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關于的方程，即可得的值(范圍)．.4、B【解析】因為，，所以，集合的子集的個數(shù)是，故選B.5、D【解析】

首先判斷函數(shù)單調(diào)性為增.,將函數(shù)不等式關系轉(zhuǎn)化為普通的不等式,再把不等式轉(zhuǎn)換為兩個函數(shù)的大小關系,利用圖像得到答案.【詳解】在定義域上單調(diào)遞增，，則由，得，，則當時，存在的圖象在的圖象上方.，，則需滿足.選D.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,解不等式,將不等式關系轉(zhuǎn)化為圖像關系等知識,其中當函數(shù)單調(diào)遞增時,是解題的關鍵.6、A【解析】

首先對兩個命題進行化簡，解出其解集，由是的必要不充分條件，可以得到關于的不等式，解不等式即可求出的取值范圍【詳解】由命題：解得或，則，命題：，，由是的必要不充分條件，所以故選結(jié)合“非”引導的命題考查了必要不充分條件，由小范圍推出大范圍，列出不等式即可得到結(jié)果，較為基礎。7、C【解析】結(jié)合題意閱讀流程圖可知，每次循環(huán)記錄一次向下運動經(jīng)過的路程，上下的路程相等，則表示小球第11次著地時向下的運動共經(jīng)過的路程.本題選擇C選項.8、A【解析】

首先畫出可行域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義得到，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得到的最大值.【詳解】由題知不等式組表示的可行域如下圖所示：目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，由圖易得，直線在時，軸截距最大.所以.因為，即，當且僅當，即，時，取“”.故選：A本題主要考查基本不等式求最值問題，同時考查了線性規(guī)劃，屬于中檔題.9、B【解析】

首先根據(jù)二項展開式的各項系數(shù)和，求得，再根據(jù)二項展開式的通項為，求得，再求二項展開式中的系數(shù).【詳解】因為二項展開式的各項系數(shù)和，所以，又二項展開式的通項為=，，所以二項展開式中的系數(shù)為．答案選擇B．本題考查二項式展開系數(shù)、通項等公式，屬于基礎題．10、C【解析】由分布列的性質(zhì)可得：，故選C.11、B【解析】

通過對每一個選項進行判斷得出答案.【詳解】對于選項：函數(shù)在既不是偶函數(shù)也不是減函數(shù)，故排除；對于選項：函數(shù)既是偶函數(shù)，又在是減函數(shù)；對于選項：函數(shù)在是奇函數(shù)且增函數(shù)，故排除；對于選項：函數(shù)在是偶函數(shù)且增函數(shù)，故排除；故選：B本題考查了函數(shù)的增減性以及奇偶性的判斷，屬于較易題.12、A【解析】

，可得在上是偶函數(shù).函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】解：，在上是偶函數(shù).函數(shù)，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，.故選：A.本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性，不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先由題意得到半圓形的弧長為，設制作的圓錐形容器的底面半徑為，求出底面半徑與圓錐的高，從而可求出結(jié)果.【詳解】半徑為2分米的半圓形的弧長為，設制作的圓錐形容器的底面半徑為，則，則；則圓錐形容器的高為，所以容器的容積為.故答案為：本題主要考查求圓錐的體積，熟記圓錐的體積公式即可，屬于?？碱}型.14、【解析】分析：平面圖形類比空間圖形,二維類比三維得到,類比平面幾何的結(jié)論,確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比,即可求得結(jié)論.詳解：平面幾何中，圓的周長與圓的半徑成正比，而在空間幾何中，球的表面積與半徑的平方成正比，因為正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是，，故答案為.點睛：本題主要考查類比推理，屬于中檔題.類比推理問題，常見的類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復數(shù)與實數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.15、45°【解析】

先確定直線PA與平面ABCD所成的角，然后作兩異面直線PA和BE所成的角，最后求解．【詳解】∵四棱錐P－ABCD是正四棱錐，∴就是直線PA與平面ABCD所成的角，即＝60°，∴是等邊三角形，AC＝PA＝2，設BD與AC交于點O，連接OE，則OE是的中位線，即，且，∴是異面直線PA與BE所成的角，正四棱錐P－ABCD中易證平面PAC，∴，中，，∴是等腰直角三角形，∴＝45°．∴異面直線PA與BE所成的角是45°．故答案為45°．本題考查異面直線所成的角，考查直線與平面所成的角，考查正四棱錐的性質(zhì)．要注意在求空間角時，必須作出其“平面角”并證明，然后再計算．16、【解析】

根據(jù)共軛復數(shù)的表示方法算出即可.【詳解】由,則,所以故答案為：本題主要考查共軛復數(shù)的概念,屬于基礎題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)證明見解析.【解析】

（1）推導出，解得，從而，由此能求出的值；（2）利用分析法，只需證，只需證，只需證，根據(jù)基本不等式即可得到結(jié)果．【詳解】(1)∵，∴，∴，解得，同理解得即；(2)要證時，，只需證，只需證，只需證，只需證，只需證，根據(jù)基本不等式得，所以原不等式成立．本題考查實數(shù)值的求法，考查數(shù)列的遞推公式、遞推思想等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．18、（1）；（2）.【解析】

（1）利用零點分段法去絕對值解不等式即可.（2）利用絕對值意義求出的最小值，使，解絕對值不等式即可.【詳解】（1）當時，，當時，，當時，，綜上所述：（2），本題考查了絕對值不等式的解法，考查了分類討論的思想，屬于基礎題.19、(1)(2)或.【解析】

（1）實系數(shù)方程虛根是互為共軛復數(shù)的，得出另一根為，根據(jù)韋達定理即可得解.(2)設,由是實數(shù)，得出關于的方程，又得的另一個方程，聯(lián)立即可解得的值，即得解.【詳解】（1）實系數(shù)方程虛根是互為共軛復數(shù)的，所以由共軛虛根定理另一根是，根據(jù)韋達定理可得.（2）設，得又得,所以或，因此或w=.本題考查了實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理、根與系數(shù)的關系，復數(shù)的乘法及模的運算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20、（1）或；（2）【解析】

（1）以為分界點分段討論解不等式。（2）原不等式可化為，由絕對值不等式求得的最小值小于3，解得參數(shù).【詳解】當時，，當時，不等式等價于，解得，即；當時，不等式等價于，解得，即；當時，不等式等價于，解得，即．綜上所述，原不等式的解集為或．由，即，得，又，，即，解得．所以。對于絕對值不等式的求解，我們常用分段討論的方法，也就是按絕對值的零點把數(shù)軸上的實數(shù)分成多段進行分段討論，要注意分段時不重不漏，分段結(jié)果是按先交后并做運算。21、（1），，；；（2）證明見解析，【解析】

（1）代入，和，計算得到，，，通過，得到與的關系；（2）根據(jù)（1）中所得與的關系，得到，并求出的值，從而得到是等比數(shù)列，寫出其通項，再得到的通項.【詳解】（1）由已知可得，時，，即，時，，即，時，，即.由（），得，兩式相減，得，即.（2）證明：由（1）得，且，∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，