機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論 課件 第三章-3.1節(jié)-靜力學(xué)

機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)

第3章機(jī)器人力學(xué)

3.1機(jī)器人靜力學(xué)

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）10325.1.1靜力學(xué)5.1.2靜力學(xué)的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐標(biāo)變換本節(jié)目錄靜力學(xué)的概念32025/6/1已知機(jī)器人末端負(fù)載（靜力學(xué)不考慮桿件質(zhì)量）求解機(jī)器人靜止?fàn)顟B(tài)下，各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力或力矩機(jī)器人靜力學(xué)分析方法假定關(guān)節(jié)為鎖定狀態(tài)從末端到基座逐級列出各連桿的靜力平衡方程逐級求解關(guān)節(jié)負(fù)載關(guān)節(jié)負(fù)載中包含運(yùn)動副的結(jié)構(gòu)約束力和關(guān)節(jié)驅(qū)動力關(guān)節(jié)負(fù)載的符號定義fi：連桿i-1施加在連桿i上的力ni：連桿i-1施加在連桿i上的力矩45.1.1靜力學(xué)5.1.2靜力學(xué)的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐標(biāo)變換本節(jié)目錄靜力的迭代求解52025/6/1力平衡方程單個連桿的靜力平衡方程力矩平衡方程其中：ifi為連桿i-1作用在連桿i上的力在{i}中的描述ifi+1為連桿i+1反作用于連桿i的力（或末端桿件所受外力）在{i}中的描述其中：ini為連桿i-1作用在連桿i上的力矩在{i}中的描述ini+1為連桿i+1反作用于連桿i的力矩（或末端桿件所受外力矩）在{i}中的描述iPi+1×ifi+1為ifi+1附加作用于連桿i的力矩在{i}中的描述靜力的迭代求解62025/6/1將旋轉(zhuǎn)矩陣代入，重寫靜力平衡方程靜力迭代公式上式即為靜力迭代公式，可根據(jù)末端負(fù)載逐次迭代計算各桿件之間的作用力（包含運(yùn)動副的結(jié)構(gòu)約束力和關(guān)節(jié)驅(qū)動力）問題：如何求解關(guān)節(jié)驅(qū)動力/力矩思路：連桿i-1對連桿i的作用力ifi或力矩ini矢量中，沿移動關(guān)節(jié)導(dǎo)路的力分量或繞旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)軸的力矩分量顯然由驅(qū)動器提供關(guān)節(jié)力/力矩應(yīng)為關(guān)節(jié)負(fù)載與關(guān)節(jié)軸線矢量的點積（沿關(guān)節(jié)軸線分量）移動關(guān)節(jié)驅(qū)動力轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩靜力的迭代求解72025/6/1建立各連桿坐標(biāo)系，如右圖實例：右圖所示2R平面機(jī)器人，已知末端力矢量3f3，以及當(dāng)前位形的關(guān)節(jié)角，求關(guān)節(jié)力矩

寫出從末端到基座各坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)矩陣、坐標(biāo)原點矢量、負(fù)載矢量將上述已知量從末端{(lán)3}到基座{0}，逐次代入下式，計算關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩靜力的迭代求解82025/6/1

對于關(guān)節(jié)2，已知則靜力的迭代求解92025/6/1

對于關(guān)節(jié)1，已知則靜力的迭代求解102025/6/1

最終，得到：寫成矩陣形式：思考：當(dāng)θ2=0°或180°，且fy=0時會發(fā)生什么現(xiàn)象？此時，無論fx多大，關(guān)節(jié)力矩始終為零！數(shù)學(xué)上，末端負(fù)載到關(guān)節(jié)負(fù)載的映射矩陣奇異！靜力的迭代求解112025/6/1

回顧坐標(biāo)系{3}中表達(dá)的速度雅可比矩陣：JT在末端坐標(biāo)系中，末端負(fù)載到關(guān)節(jié)負(fù)載的映射矩陣是速度雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置這不是巧合！125.1.1靜力學(xué)5.1.2靜力學(xué)的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐標(biāo)變換本節(jié)目錄力雅可比矩陣132025/6/1虛功原理當(dāng)受力物體的位移趨向無窮小時，不同廣義坐標(biāo)系下力做的功相等虛功等于廣義力與廣義微位移的點積功是標(biāo)量，可在不同廣義坐標(biāo)系下描述利用虛功原理可建立不同廣義坐標(biāo)系下的力、位移映射關(guān)系對6自由度機(jī)器人而言，其中：F為笛卡爾空間的廣義力，6×1維δX為笛卡爾空間微位移，6×1維τ為關(guān)節(jié)空間的廣義力，6×1維δΘ為關(guān)節(jié)空間的微位移，6×1維力雅可比矩陣142025/6/1根據(jù)雅可比矩陣的定義可得：虛功原理δΘ是廣義坐標(biāo)的變分，可任意取，上式成立則必然有：上式是在末端坐標(biāo)系中的結(jié)論，如果已知相對于{0}坐標(biāo)系的雅可比矩陣，則用下式：力雅可比矩陣的特性152025/6/1力雅可比矩陣建立了從笛卡爾空間的力F到關(guān)節(jié)空間的力τ之間的映射關(guān)系從末端力到關(guān)節(jié)力的映射直接基于正運(yùn)動學(xué)模型獲得，而無需求逆運(yùn)算，這一特性有利于在控制中實現(xiàn)末端力控制或補(bǔ)償末端負(fù)載力雅可比矩陣同樣存在奇異性，對應(yīng)著機(jī)器人的奇異位形在奇異位形，微小的關(guān)節(jié)力矩將對應(yīng)著極大的末端力，幾何上對應(yīng)著機(jī)構(gòu)死鎖位置（連桿間壓力角為90°）165.1.1靜力學(xué)5.1.2靜力學(xué)的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐標(biāo)變換本節(jié)目錄速度和力矢量在不同坐標(biāo)系間的變換172025/6/1假定在一個剛體上存在兩個坐標(biāo)系{A}、{B}，已知在{A}中定義的力矢量和{A}的速度矢量問題：如何獲得在坐標(biāo)系{B}中定義的力矢量和{B}的速度矢量由前述定義，可知如下表達(dá)：6×1維速度矢量6×1維力矢量思路：需要考慮由于{A}、{B}坐標(biāo)原點偏移引起的線速度變化和附加力矩可以利用連桿速度和力迭代計算的方法，區(qū)別僅在于沒有關(guān)節(jié)速度和關(guān)節(jié)力速度和力矢量在不同坐標(biāo)系間的變換182025/6/1回顧速度迭代公式：

于是，可得：寫成矩陣形式：速度矢量的變換其中，叉乘算子為：速度和力矢量在不同坐標(biāo)系間的變換192025/6/1把上式寫成緊湊形式：速度矢量的變換反之，如果已知坐標(biāo)系{B}的速度矢量，則：注意速度伴隨變換矩陣與坐標(biāo)變換矩陣的區(qū)別和聯(lián)系速度伴隨變換矩陣速度和力矢量在不同坐標(biāo)系間的變換202025/6/1回