機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論 課件 第3章 機(jī)器人力學(xué)

機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)

第3章機(jī)器人力學(xué)

3.1機(jī)器人靜力學(xué)

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）10325.1.1靜力學(xué)5.1.2靜力學(xué)的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐標(biāo)變換本節(jié)目錄靜力學(xué)的概念32025/6/1已知機(jī)器人末端負(fù)載（靜力學(xué)不考慮桿件質(zhì)量）求解機(jī)器人靜止?fàn)顟B(tài)下，各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力或力矩機(jī)器人靜力學(xué)分析方法假定關(guān)節(jié)為鎖定狀態(tài)從末端到基座逐級(jí)列出各連桿的靜力平衡方程逐級(jí)求解關(guān)節(jié)負(fù)載關(guān)節(jié)負(fù)載中包含運(yùn)動(dòng)副的結(jié)構(gòu)約束力和關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力關(guān)節(jié)負(fù)載的符號(hào)定義fi：連桿i-1施加在連桿i上的力ni：連桿i-1施加在連桿i上的力矩45.1.1靜力學(xué)5.1.2靜力學(xué)的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐標(biāo)變換本節(jié)目錄靜力的迭代求解52025/6/1力平衡方程單個(gè)連桿的靜力平衡方程力矩平衡方程其中：ifi為連桿i-1作用在連桿i上的力在{i}中的描述ifi+1為連桿i+1反作用于連桿i的力（或末端桿件所受外力）在{i}中的描述其中：ini為連桿i-1作用在連桿i上的力矩在{i}中的描述ini+1為連桿i+1反作用于連桿i的力矩（或末端桿件所受外力矩）在{i}中的描述iPi+1×ifi+1為ifi+1附加作用于連桿i的力矩在{i}中的描述靜力的迭代求解62025/6/1將旋轉(zhuǎn)矩陣代入，重寫靜力平衡方程靜力迭代公式上式即為靜力迭代公式，可根據(jù)末端負(fù)載逐次迭代計(jì)算各桿件之間的作用力（包含運(yùn)動(dòng)副的結(jié)構(gòu)約束力和關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力）問題：如何求解關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力/力矩思路：連桿i-1對(duì)連桿i的作用力ifi或力矩ini矢量中，沿移動(dòng)關(guān)節(jié)導(dǎo)路的力分量或繞旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)軸的力矩分量顯然由驅(qū)動(dòng)器提供關(guān)節(jié)力/力矩應(yīng)為關(guān)節(jié)負(fù)載與關(guān)節(jié)軸線矢量的點(diǎn)積（沿關(guān)節(jié)軸線分量）移動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩靜力的迭代求解72025/6/1建立各連桿坐標(biāo)系，如右圖實(shí)例：右圖所示2R平面機(jī)器人，已知末端力矢量3f3，以及當(dāng)前位形的關(guān)節(jié)角，求關(guān)節(jié)力矩

寫出從末端到基座各坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)矩陣、坐標(biāo)原點(diǎn)矢量、負(fù)載矢量將上述已知量從末端{(lán)3}到基座{0}，逐次代入下式，計(jì)算關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩靜力的迭代求解82025/6/1

對(duì)于關(guān)節(jié)2，已知?jiǎng)t靜力的迭代求解92025/6/1

對(duì)于關(guān)節(jié)1，已知?jiǎng)t靜力的迭代求解102025/6/1

最終，得到：寫成矩陣形式：思考：當(dāng)θ2=0°或180°，且fy=0時(shí)會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？此時(shí)，無論fx多大，關(guān)節(jié)力矩始終為零！數(shù)學(xué)上，末端負(fù)載到關(guān)節(jié)負(fù)載的映射矩陣奇異！靜力的迭代求解112025/6/1

回顧坐標(biāo)系{3}中表達(dá)的速度雅可比矩陣：JT在末端坐標(biāo)系中，末端負(fù)載到關(guān)節(jié)負(fù)載的映射矩陣是速度雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置這不是巧合！125.1.1靜力學(xué)5.1.2靜力學(xué)的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐標(biāo)變換本節(jié)目錄力雅可比矩陣132025/6/1虛功原理當(dāng)受力物體的位移趨向無窮小時(shí)，不同廣義坐標(biāo)系下力做的功相等虛功等于廣義力與廣義微位移的點(diǎn)積功是標(biāo)量，可在不同廣義坐標(biāo)系下描述利用虛功原理可建立不同廣義坐標(biāo)系下的力、位移映射關(guān)系對(duì)6自由度機(jī)器人而言，其中：F為笛卡爾空間的廣義力，6×1維δX為笛卡爾空間微位移，6×1維τ為關(guān)節(jié)空間的廣義力，6×1維δΘ為關(guān)節(jié)空間的微位移，6×1維力雅可比矩陣142025/6/1根據(jù)雅可比矩陣的定義可得：虛功原理δΘ是廣義坐標(biāo)的變分，可任意取，上式成立則必然有：上式是在末端坐標(biāo)系中的結(jié)論，如果已知相對(duì)于{0}坐標(biāo)系的雅可比矩陣，則用下式：力雅可比矩陣的特性152025/6/1力雅可比矩陣建立了從笛卡爾空間的力F到關(guān)節(jié)空間的力τ之間的映射關(guān)系從末端力到關(guān)節(jié)力的映射直接基于正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型獲得，而無需求逆運(yùn)算，這一特性有利于在控制中實(shí)現(xiàn)末端力控制或補(bǔ)償末端負(fù)載力雅可比矩陣同樣存在奇異性，對(duì)應(yīng)著機(jī)器人的奇異位形在奇異位形，微小的關(guān)節(jié)力矩將對(duì)應(yīng)著極大的末端力，幾何上對(duì)應(yīng)著機(jī)構(gòu)死鎖位置（連桿間壓力角為90°）165.1.1靜力學(xué)5.1.2靜力學(xué)的迭代求解5.1.3力雅可比5.1.4速度和力矢量的坐標(biāo)變換本節(jié)目錄速度和力矢量在不同坐標(biāo)系間的變換172025/6/1假定在一個(gè)剛體上存在兩個(gè)坐標(biāo)系{A}、{B}，已知在{A}中定義的力矢量和{A}的速度矢量問題：如何獲得在坐標(biāo)系{B}中定義的力矢量和{B}的速度矢量由前述定義，可知如下表達(dá)：6×1維速度矢量6×1維力矢量思路：需要考慮由于{A}、{B}坐標(biāo)原點(diǎn)偏移引起的線速度變化和附加力矩可以利用連桿速度和力迭代計(jì)算的方法，區(qū)別僅在于沒有關(guān)節(jié)速度和關(guān)節(jié)力速度和力矢量在不同坐標(biāo)系間的變換182025/6/1回顧速度迭代公式：

于是，可得：寫成矩陣形式：速度矢量的變換其中，叉乘算子為：速度和力矢量在不同坐標(biāo)系間的變換192025/6/1把上式寫成緊湊形式：速度矢量的變換反之，如果已知坐標(biāo)系{B}的速度矢量，則：注意速度伴隨變換矩陣與坐標(biāo)變換矩陣的區(qū)別和聯(lián)系速度伴隨變換矩陣速度和力矢量在不同坐標(biāo)系間的變換202025/6/1回顧力迭代公式：類似的，可得同一個(gè)剛體上兩個(gè)坐標(biāo)系之間的力矢量轉(zhuǎn)換方法力矢量的變換簡寫為：注意力伴隨變換矩陣與坐標(biāo)變換矩陣的區(qū)別和聯(lián)系力伴隨變換矩陣力矢量變換實(shí)例212025/6/1

思路:

根據(jù)：得到：根據(jù)下式可得所需參數(shù)：靜力學(xué)結(jié)束機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)

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3.2慣量參數(shù)

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103剛體質(zhì)量分布242025/6/1對(duì)繞任意軸做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的剛體質(zhì)量分布的描述對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的廣義度量慣量張量（慣性張量）剛體相對(duì)于坐標(biāo)系{A}

的慣量張量其中：Ixx、Iyy、Izz稱為慣量矩慣量矩也稱為繞某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ixy、Iyz、Ixz稱為慣量積注意：慣量張量與坐標(biāo)系選取有關(guān)當(dāng)選取的坐標(biāo)系使慣量積全為零時(shí)，坐標(biāo)系主軸稱為主軸，對(duì)應(yīng)的慣量矩稱為主慣量矩25例題：

已知：如圖所示坐標(biāo)系中長方體，密度為ρ；

求：長方體的慣量張量。2025/6/1均勻密度的剛體解：首先，計(jì)算慣量矩已知體積單元，故：式中，m是剛體的總質(zhì)量。同理可得Iyy和Izz：慣量張量26然后計(jì)算Ixy：2025/6/1同理可得:因此，圖示物體的慣量張量為:慣量張量平行移軸定理272025/6/1同一個(gè)剛體在兩個(gè)坐標(biāo)系中的慣量張量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系平行移軸定理設(shè)已知定義在剛體質(zhì)心{C}處的慣量張量，則平移到任意坐標(biāo)系{A}的慣量張量為：其中：為{C}坐標(biāo)原點(diǎn)在{A}中的位置矢量平行移軸定理的矢量形式：282025/6/1慣量張量的幾個(gè)性質(zhì)慣量張量表示剛體質(zhì)量分布的特征隨坐標(biāo)系定義的不同，慣量矩永遠(yuǎn)為正三個(gè)慣量矩的和（跡）保持不變慣量積正負(fù)都有可能當(dāng)慣量積Ixy，Iyz和Izx均為0時(shí)，慣量張量變成對(duì)角型任意坐標(biāo)系中的慣量張量矩陣的特征值即為剛體主慣量矩，對(duì)應(yīng)的特征向量即為主軸慣量張量的性質(zhì)機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)

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3.3牛頓-歐拉方程

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103303.3.1動(dòng)力學(xué)概念3.3.2牛頓-歐拉平衡方程3.3.3剛體的線加速度3.3.4剛體的角加速度3.3.5牛頓-歐拉方程的遞推迭代本節(jié)目錄動(dòng)力學(xué)的概念312025/6/1在考慮機(jī)器人連桿慣量的前提下，研究力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系動(dòng)力學(xué)的核心問題分析方法基于力平衡的方法——牛頓-歐拉方程基于能量的方法——拉格朗日方程應(yīng)用分類

——逆動(dòng)力學(xué)，用于控制——正動(dòng)力學(xué)，用于仿真323.3.1動(dòng)力學(xué)概念3.3.2牛頓-歐拉平衡方程3.3.3剛體的線加速度3.3.4剛體的角加速度3.3.5牛頓-歐拉方程的遞推迭代本節(jié)目錄牛頓-歐拉力/力矩平衡方程（Newton-EulerEquation）332025/6/1針對(duì)每個(gè)桿件應(yīng)用力/力矩平衡方程，逐次遞推獲得桿件之間的作用力/力矩桿件之間的作用力/力矩在關(guān)節(jié)軸上的分量，即為關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力/力矩牛頓-歐拉方程的思想力平衡——牛頓方程

F力矩平衡——?dú)W拉方程

牛頓-歐拉力/力矩平衡方程342025/6/1求解動(dòng)力學(xué)方程的前提是：

利用牛頓-歐拉方程求解動(dòng)力學(xué)方程的主要工作是：計(jì)算各連桿角速度、角加速度、質(zhì)心線加速度計(jì)算各連桿之間的力和力矩牛頓-歐拉力/力矩平衡方程353.3.1動(dòng)力學(xué)概念3.3.2牛頓-歐拉平衡方程3.3.3剛體的線加速度和角加速度3.3.4牛頓-歐拉方程的遞推迭代本節(jié)目錄剛體的線加速度362025/6/1上式直接對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得：AVBORF≠0BVQ≠0AΩB≠0回顧：兩剛體{A}和{B}之間既有平動(dòng)，也有轉(zhuǎn)動(dòng)，且{B}中向量Q相對(duì)于{B}有運(yùn)動(dòng)的情況，其Q在{A}中的速度表達(dá)為：因?yàn)椋捍肷鲜?，得：剛體的線加速度372025/6/1整理，得：線加速度求和科氏加速度歐拉加速度向心加速度當(dāng)BQ是常量時(shí)，可簡化為：剛體的角加速度382025/6/1同樣，把上式直接對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得：運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系{B}相對(duì)于{A}的角速度為AΩB運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系{C}相對(duì)于{B}的角速度為BΩC則{C}相對(duì)于{A}的角速度為：因?yàn)椋捍肷鲜?，得：假定存在固定的參考坐?biāo)系{A}393.3.1動(dòng)力學(xué)概念3.3.2牛頓-歐拉平衡方程3.3.3剛體的線加速度和角加速度3.3.4牛頓-歐拉方程的遞推迭代本節(jié)目錄牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代402025/6/1

可得：

思路：采用與速度外推迭代類似的方法進(jìn)行求解首先回顧前一章機(jī)器人連桿間角速度遞推公式根據(jù)前述剛體間角加速度關(guān)系：上式即為機(jī)器人旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)相鄰連桿間角加速度迭代公式當(dāng)?shù)趇+1個(gè)關(guān)節(jié)是移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，上式可簡化為：412025/6/1對(duì)于通過旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接的兩連桿，根據(jù)剛體間線加速度關(guān)系公式：轉(zhuǎn)換到i+1坐標(biāo)系，得旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)相鄰連桿間的線加速度迭代公式：對(duì)于i+1關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)的情況，根據(jù)：可得：可得：上式即為移動(dòng)關(guān)節(jié)相鄰連桿間的線加速度迭代公式牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代422025/6/1對(duì)于連桿i+1，再次應(yīng)用剛體間線加速度關(guān)系公式：可得連桿i+1質(zhì)心C的線加速度迭代公式：至此，我們已經(jīng)得到了牛頓-歐拉方程所需的角速度、角加速度，以及坐標(biāo)系i的線加速度還需要求解質(zhì)心線加速度回顧牛頓-歐拉方程牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代小結(jié)—i+1為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)432025/6/1連桿i+1質(zhì)心C的線加速度迭代公式：相鄰連桿間的角加速度迭代公式：相鄰連桿間的角速度迭代公式相鄰連桿間的線加速度迭代公式：442025/6/1連桿i+1質(zhì)心C的線加速度迭代公式：相鄰連桿間的角加速度遞推公式：相鄰連桿間的線加速度迭代公式相鄰連桿間的角速度迭代公式注意，在不考慮重力時(shí)：牛頓-歐拉方程的向外遞推迭代小結(jié)—i+1為移動(dòng)關(guān)節(jié)452025/6/1根據(jù)每個(gè)連桿的角加速度和質(zhì)心線加速度，根據(jù)牛頓-歐拉公式，得：其中：Fi和Ni可理解為慣性力和力矩顯然，每個(gè)連桿的慣性力/力矩應(yīng)等于其所受外力之和由右圖可知，每個(gè)連桿質(zhì)心處的力平衡方程為：

注意：方程里沒有重力項(xiàng)牛頓-歐拉方程的向內(nèi)遞推迭代462025/6/1每個(gè)連桿質(zhì)心處力矩平衡方程為：其中：為連桿i作用在連桿i+1上的力矩的反作用力矩，在{i}坐標(biāo)系中的表達(dá)最后，可得到力矩平衡方程：后兩項(xiàng)為連桿間作用力在質(zhì)心C處耦合的力矩之和，可化簡為：牛頓-歐拉方程的向內(nèi)遞推迭代472025/6/1將前述連桿的力/力矩平衡方程整理如下：把上式寫成由末端到基座的迭代遞推形式，可得連桿i-1作用于連桿i的力/力矩：其中：

iFi和iNi為連桿i質(zhì)心處的慣性力/力矩，可根據(jù)質(zhì)心線角速度和角加速度求得把ifi和ini為向關(guān)節(jié)軸線投影，可得關(guān)節(jié)i的驅(qū)動(dòng)力/力矩：移動(dòng)關(guān)節(jié)：旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)：牛頓-歐拉方程的向內(nèi)遞推迭代482025/6/1連桿i-1作用于連桿i的力/力矩：關(guān)節(jié)i的驅(qū)動(dòng)力/力矩：移動(dòng)關(guān)節(jié)：旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)：連桿i質(zhì)心處的慣性力/力矩：

牛頓-歐拉方程的向內(nèi)遞推迭代-小結(jié)牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例492025/6/1首先確定牛頓-歐拉遞推公式中的連桿參數(shù)和初始值如右圖所示的2R平面機(jī)器人，假設(shè)每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在桿件末端，連桿參數(shù)如圖每個(gè)連桿坐標(biāo)原點(diǎn)及質(zhì)心的位置矢量：假設(shè)質(zhì)量集中于質(zhì)心，則各連桿質(zhì)心的慣量張量為零矩陣：末端執(zhí)行器不受外力，所以：機(jī)器人基座固定，所以：考慮重力因素，有：X0Y0OX1Y1X2Y2502025/6/1相鄰連桿坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣如下：用外推迭代求解兩個(gè)連桿的速度、加速度以及慣性力/力矩連桿1角速度：連桿1角加速度：X0Y0OX1Y1X2Y2牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例512025/6/1連桿1坐標(biāo)原點(diǎn)線加速度：連桿1質(zhì)心線加速度：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例522025/6/1連桿1慣性力：連桿1慣性力矩：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例532025/6/1連桿2角速度：連桿2角加速度：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例542025/6/1連桿2坐標(biāo)原點(diǎn)線加速度：連桿2質(zhì)心線加速度：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例552025/6/1連桿2慣性力：連桿2慣性力矩：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例562025/6/1用內(nèi)推迭代求解連桿間的力/力矩連桿2受連桿1作用力：連桿2末端受環(huán)境作用力牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例572025/6/1用內(nèi)推迭代求解連桿間的力/力矩連桿2受連桿1作用力矩：連桿2關(guān)節(jié)力矩：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例582025/6/1用內(nèi)推迭代求解連桿間的力/力矩連桿1受連桿0作用力：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例592025/6/1用內(nèi)推迭代求解連桿間的力/力矩連桿1受連桿0作用力矩：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例602025/6/1用內(nèi)推迭代求解連桿間的力/力矩連桿1關(guān)節(jié)力矩：牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程——實(shí)例機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)

第3章機(jī)器人力學(xué)

3.4拉格朗日法

第1-15周，星期二，16:40-18:15，（五）103623.4.1一般質(zhì)點(diǎn)系的拉格朗日方程3.4.2兩自由度平面機(jī)械系統(tǒng)的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本節(jié)目錄拉氏函數(shù)L=K-U自由度廣義坐標(biāo)廣義力廣義速度一般質(zhì)點(diǎn)系的拉格朗日方程以能量觀點(diǎn)來研究機(jī)械系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)規(guī)律；屬于分析力學(xué)范疇；區(qū)別于牛頓矢量力學(xué)；求解步驟規(guī)范、統(tǒng)一（確定廣義坐標(biāo)，列出動(dòng)能、勢(shì)能和廣義力的表達(dá)式，代入上式即可）。有關(guān)拉氏方程的推導(dǎo)步驟，可以選修研究生階段的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)643.4.1一般質(zhì)點(diǎn)系的拉格朗日方程3.4.2兩自由度平面機(jī)械系統(tǒng)的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本節(jié)目錄兩自由度機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析若機(jī)械臂在垂直平面上，考慮重力若機(jī)械臂在垂直平面上，無重力X0Y0系統(tǒng)動(dòng)能是各個(gè)連桿動(dòng)能之和式中，第j個(gè)連桿的動(dòng)能Kj可表示為

事實(shí)上，操作臂的動(dòng)能可以寫成一般形式是操作臂慣性矩陣，

n╳n維，二次型，正定的，動(dòng)能永遠(yuǎn)為正（1）系統(tǒng)的動(dòng)能兩自由度機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析（2）系統(tǒng)的勢(shì)能系統(tǒng)勢(shì)能是各個(gè)連桿勢(shì)能之和

第j個(gè)連桿的勢(shì)能Pj可表示為式中，

注意：需要為系統(tǒng)定義一個(gè)重力勢(shì)能參考平面，而不要為每個(gè)廣義坐標(biāo)定義一個(gè)重力勢(shì)能參考平面。兩自由度機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析例：平面2R機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)建模選取2個(gè)轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。將兩個(gè)桿均看作是位于在各桿末端的集中質(zhì)量（即各桿的質(zhì)心在其末端）。桿1質(zhì)心的位置和速度：桿2質(zhì)心的位置和速度：還有其它廣義坐標(biāo)的選擇嗎？兩自由度機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析例：平面2R機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)建模兩桿的動(dòng)能項(xiàng)兩桿的勢(shì)能項(xiàng)兩自由度機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析例：平面2R機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)建模

兩自由度機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析713.4.1一般質(zhì)點(diǎn)系的拉格朗日方程3.4.2兩自由度平面機(jī)械系統(tǒng)的拉格朗日方程3.4.3操作臂的拉格朗日方程本節(jié)目錄操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程（LagrangianDynamics）722025/6/1關(guān)于機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的拉格朗日函數(shù)其中：

基于拉格朗日函數(shù)的動(dòng)力學(xué)方程其中：τ

d為僅考慮慣量和重力的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矢量732025/6/1機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)能其中：

構(gòu)件i

質(zhì)心線速度動(dòng)能構(gòu)件i

角速度動(dòng)能操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程742025/6/1對(duì)于構(gòu)件i的線速度和角速度項(xiàng)，根據(jù)速度雅可比矩陣可知：其中：

代入構(gòu)件動(dòng)能方程，得：Mi(Θ)為構(gòu)件i的廣義質(zhì)量矩陣，是Θ的函數(shù)操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程752025/6/1于是，機(jī)器人系統(tǒng)的總動(dòng)能可表達(dá)為：其中：M(Θ)為系統(tǒng)在關(guān)節(jié)空間中的廣義質(zhì)量矩陣，n×n維，是Θ的函數(shù)我們知道，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能表達(dá)式為：可見，機(jī)器人等多剛體機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式，在形式上與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能表達(dá)式類似操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程762025/6/1機(jī)器人系統(tǒng)勢(shì)能

構(gòu)件i重力勢(shì)能的構(gòu)造定義一個(gè)零勢(shì)能參考坐標(biāo)系{ref}勢(shì)能增量是重力做功的負(fù)值：其中：0gT=[0,0,-g]T為重力矢量

操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程772025/6/1機(jī)器人系統(tǒng)勢(shì)能

由于：于是，得：使參考面勢(shì)能為零的項(xiàng)urefi其中：

操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程782025/6/1完整的機(jī)器人拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程系統(tǒng)動(dòng)能：系統(tǒng)勢(shì)能：

操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程792025/6/1例：右圖所示兩自由度及機(jī)器人，關(guān)節(jié)1為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)2為移動(dòng)關(guān)節(jié)，l連桿1質(zhì)心與關(guān)節(jié)1軸線距離為l1，連桿2質(zhì)心與關(guān)節(jié)1軸線的距離為變量d2。兩連桿各自的慣性張量為：連桿1動(dòng)能：連桿2動(dòng)能：系統(tǒng)總動(dòng)能：X0Y0X1Y1操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程X0Y0X1Y1802025/6/1連桿1勢(shì)能：勢(shì)能參考點(diǎn)在θ1=－90°位置連桿2勢(shì)能：勢(shì)能參考點(diǎn)在θ1=－90°、d2=d2max（最大值）位置系統(tǒng)總勢(shì)能：根據(jù)拉格朗日方程：得：操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程812025/6/1系統(tǒng)總勢(shì)能：根據(jù)拉格朗日方程：首先，對(duì)θ1項(xiàng)求偏微分：系統(tǒng)總動(dòng)能：得到τ1的表達(dá)式：慣性力科氏力重力操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程822025/6/1系統(tǒng)總勢(shì)能：根據(jù)拉格朗日方程：系統(tǒng)總動(dòng)能：然后，對(duì)d2項(xiàng)求偏微分：得到τ2的表達(dá)式：慣性力向心力重力操作臂的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程832025/6/1把系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程