重慶市江津中學(xué)、合川中學(xué)等七校2025屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題含解析

重慶市江津中學(xué)、合川中學(xué)等七校2025屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù).正實數(shù)滿足，則下述結(jié)論中正確的一項是()A． B．C． D．2．已知函數(shù)，則=（）A． B． C． D．3．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于()A． B．2i C． D．04．圓錐底面半徑為，高為，是一條母線，點是底面圓周上一點，則點到所在直線的距離的最大值是（）A． B． C． D．5．以圓：的圓心為圓心，3為半徑的圓的方程為（）A． B．C． D．6．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．7．已知，，則的最小值為（）A． B． C． D．8．下列說法中正確的是（）①相關(guān)系數(shù)用來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱，越接近于，相關(guān)性越弱；②回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心；③隨機誤差滿足，其方差的大小用來衡量預(yù)報的精確度；④相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果，越小，說明模型的擬合效果越好.A．①② B．③④ C．①④ D．②③9．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)組成一個4×100米接力隊，老師要安排他們四人的出場順序，以下是他們四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；?。喝绻也慌艿诙?，我就不跑第一棒.老師聽了他們四人的對話，安排了一種合理的出場順序，滿足了他們的所有要求，據(jù)此我們可以斷定在老師安排的出場順序中跑第三棒的人是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．4名同學(xué)分別從6所大學(xué)中選擇一所參觀，則不同選法有（）A．種 B．種 C．種 D．種11．如果函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，那么導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．12．x+1A．第5項 B．第5項或第6項 C．第6項 D．不存在二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．給出下列演繹推理：“自然數(shù)是整數(shù)，，所以是整數(shù)”，如果這是推理是正確的，則其中橫線部分應(yīng)填寫___________．14．《九章算術(shù)》卷五《商功》中有如下敘述“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈“芻甍”指的是底面為矩形的對稱型屋脊?fàn)畹膸缀误w，“下廣三丈”是指底面矩形寬三丈，“袤四丈”是指底面矩形長四丈，“上袤二丈”是指脊長二丈，“無寬”是指脊無寬度，“高一丈”是指幾何體的高為一丈．現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，下廣三丈，袤四丈，上袤三丈，無廣，高二丈，則該芻甍的外接球的表面積為_______________平方丈．15．將一根長為1米的木條鋸成兩段，分別作三角形ABC的兩邊AB，AC，且.則當(dāng)AC最短時，第三邊BC的長為________米.16．在數(shù)列中,,通過計算的值,可猜想出這個數(shù)列的通項公式為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和．假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒有影響．(1)求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；(2)求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率．18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰有兩個零點，求的取值范圍.19．（12分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)的最大值為．（1）求；（2）若，求的最大值．20．（12分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.點的直角坐標(biāo)為，直線與曲線交于兩點.（Ⅰ）寫出點的極坐標(biāo)和曲線的普通方程；（Ⅱ）當(dāng)時，求點到兩點的距離之積.21．（12分）如圖，四邊形中，，，，為邊的中點，現(xiàn)將沿折起到達的位置（折起后點記為）．（1）求證：；（2）若為中點，當(dāng)時，求二面角的余弦值．22．（10分）某單位共有員工45人，其中男員工27人，女員工18人.上級部門為了對該單位員工的工作業(yè)績進行評估，采用按性別分層抽樣的方法抽取5名員工進行考核.（1）求抽取的5人中男、女員工的人數(shù)分別是多少；（2）考核前，評估小組從抽取的5名員工中，隨機選出3人進行訪談.求選出的3人中有1位男員工的概率；（3）考核分筆試和答辯兩項.5名員工的筆試成績分別為78，85，89，92，96；結(jié)合答辯情況，他們的考核成績分別為95，88，102，106，99.這5名員工筆試成績與考核成績的方差分別記為，試比較與的大小.（只需寫出結(jié)論）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由，即，從而，令，則由得，，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，可得或，又，因此成立，故選A.【方法點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法及數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與劃歸思想.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點.以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識領(lǐng)域，進而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中.解答本題的關(guān)鍵是將方程問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求最值進而通過解不等式解答.2、C【解析】

由積分運算、微積分基本定理、積分的幾何意義分別求出，從而求得.【詳解】因為由微積分基本定理得：，由積分的幾何意義得：所以，故選C.本題考查積分的運算法則及積分的幾何意義的運用，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力.3、B【解析】

利用復(fù)數(shù)除法和加法運算求解即可【詳解】故選B本題考查復(fù)數(shù)的運算，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題4、C【解析】分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉(zhuǎn)化求解的位置，推出結(jié)果即可.詳解：圓錐底面半徑為，高為2，是一條母線，點是底面圓周上一點，在底面的射影為；，，過的軸截面如圖：，過作于，則，在底面圓周，選擇，使得，則到的距離的最大值為3，故選：C點睛：本題考查空間點線面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力，解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題．5、A【解析】

先求得圓M的圓心坐標(biāo)，再根據(jù)半徑為3即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可得圓M的圓心坐標(biāo)為，以為圓心，以3為半徑的圓的方程為．故選:A.本題考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化，圓的方程求法，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

直接求交集得到答案.【詳解】集合，集合，則.故選：.本題考查了交集的運算，屬于簡單題.7、D【解析】

首先可換元，，通過再利用基本不等式即可得到答案.【詳解】由題意，可令，，則，，于是，而，，故的最小值為，故答案為D.本題主要考查基本不等式的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度中等.8、D【解析】

運用相關(guān)系數(shù)、回歸直線方程等知識對各個選項逐一進行分析即可【詳解】①相關(guān)系數(shù)用來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱，越接近于，相關(guān)性越強，故錯誤②回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，故正確③隨機誤差滿足，其方差的大小用來衡量預(yù)報的精確度，故正確④相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果，越大，說明模型的擬合效果越好，故錯誤綜上，說法正確的是②③故選本題主要考查的是命題真假的判斷，運用相關(guān)知識來進行判斷，屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】

跑第三棒的只能是乙、丙中的一個，當(dāng)丙跑第三棒時，乙只能跑第二棒，這時丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合題意；當(dāng)乙跑第三棒時，丙只能跑第二棒，這里四和丁都不跑第一棒，不合題意．【詳解】由題意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一個，當(dāng)丙跑第三棒時，乙只能跑第二棒，這時丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合題意；當(dāng)乙跑第三棒時，丙只能跑第二棒，這里四和丁都不跑第一棒，不合題意．故跑第三棒的是丙．故選：C．本題考查推理論證，考查簡單的合情推理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、分析判斷能力，是基礎(chǔ)題．10、B【解析】

每名同學(xué)從6個大學(xué)點中選擇一個參觀，每個同學(xué)都有6種選擇，根據(jù)乘法原理，計算即可得答案．【詳解】因為每名同學(xué)都有6種選擇，相互不影響，所以有種選法．故選：B.本題考查分步計數(shù)原理的運用，注意學(xué)生選擇的景區(qū)可以重復(fù)．屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】試題分析：由原函數(shù)圖像可知函數(shù)單調(diào)性先增后減再增再減，所以導(dǎo)數(shù)值先正后負再正再負，只有A正確考點：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及函數(shù)圖像12、C【解析】

根據(jù)題意，寫出(x+1x)10展開式中的通項為Tr+1，令x【詳解】解：根據(jù)題意，(x+1x)令10-2r=0，可得r=5；則其常數(shù)項為第5+1=6項；故選：C．本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用二項式定理，寫出二項式展開式，其次注意項數(shù)值與r的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、是自然數(shù).【解析】分析：直接利用演繹推理的三段論寫出小前提即可.詳解：由演繹推理的三段論可知：“自然數(shù)是整數(shù)，是自然數(shù)，是整數(shù)”，故答案為是自然數(shù).點睛：本題考查演繹推理的三段論的應(yīng)用，考查對基本知識的掌握情況.14、【解析】

連結(jié)，交于，可得，即可確定點為芻甍的外接球的球心，利用球的表面積公式即可得到答案．【詳解】如圖，連結(jié)，，連結(jié)，交于，可得，由已知可得，所以點為芻甍的外接球的球心，該球的半徑為，所以該芻甍的外接球的表面積為．故答案為：本題主要考查多面體外接球表面積的求法，同時考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．15、【解析】

設(shè)出邊長，利用余弦定理可找出關(guān)系式，化為二次函數(shù)用配方法即可得到最小值.【詳解】設(shè)，則，設(shè)，通過余弦定理可得：，即，化簡整理得，要使AC最短，則使AB最長，故當(dāng)時，AB最長，故答案為.本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，意在考查學(xué)生的分析能力及計算能力，難度不大.16、【解析】試題分析：根據(jù)已知的遞推關(guān)系，可以構(gòu)造出我們熟悉的等差數(shù)列．再用等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解．由于在數(shù)列中,，則可知，故可知為,故答案為考點：數(shù)列的通項公式點評：構(gòu)造數(shù)列是對已知數(shù)列的遞推關(guān)系式變形后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，創(chuàng)造一個等差或等比數(shù)列，借此求原數(shù)列的通項公式，是考查的重要內(nèi)容．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

(1)記“甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1.由題意，射擊4次，相當(dāng)于作4次獨立重復(fù)試驗．故P(A1)＝所以甲連續(xù)射擊4次至少有一次未擊中目標(biāo)的概率為.(2)記“甲射擊4次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊4次，恰有3次擊中目標(biāo)”為事件B2，則P(A2)＝，P(B2)＝由于甲、乙射擊相互獨立，故P(A2B2)＝所以兩人各射擊4次，甲恰有2次擊中目標(biāo)且乙恰有3次擊中目標(biāo)的概率為.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1），討論a，求得單調(diào)性即可（2）利用（1）的分類討論，研究函數(shù)最值，確定零點個數(shù)即可求解【詳解】（1）因為，其定義域為，所以.①當(dāng)時，令，得；令，得，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時，令，得或；令，得，此時在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.③當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減.④當(dāng)時，令，得或；令，得，此時在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知：①當(dāng)時，.易證，所以.因為，，.所以恰有兩個不同的零點，只需，解得.②當(dāng)時，，不符合題意.③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不符合題意.④當(dāng)時，由于在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，又，由于，，所以，函數(shù)最多只有1個零點，與題意不符.綜上可知，，即的取值范圍為.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)零點問題，考查推理求解能力及分類討論思想，是難題19、（1）；（2）1．【解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對值的幾何意義去絕對值，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，得到，可以根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，或者畫出分段函數(shù)的圖象，可以得出函數(shù)的最大值為2；（2）由第（1）問可知，所以條件變?yōu)椋粝肭蟮淖畲笾?，可以令，則可以根據(jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為1．試題解析：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值．（2）因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時取得最大值1．考點：1．絕對值不等式；2．基本不等式．20、(1)見解析;(2).【解析】分析：⑴由極坐標(biāo)方程求出點的極坐標(biāo)，運用求得曲線的普通方程⑵將代入，求出直線的參數(shù)方程，然后計算出結(jié)果詳解：（Ⅰ）由得，又得，∴點的極坐標(biāo)為.由得，所以有，由得，所以曲線的普通方程為：.（Ⅱ）因為，點在上，∴直線的參數(shù)方程為：，將其代入并整理得，設(shè)所對應(yīng)的參數(shù)分別為，且有，所以.點睛：本題考查了極坐標(biāo)和普通方程之間的轉(zhuǎn)化，運用代入化簡即可，在求距離時可以運用參數(shù)方程來解答，計算量減少21、(1)見證明；(2)【解析】

（１）根據(jù)題意，利用線面垂