上海市上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

上海市上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．30 B．15 C．0 D．-152．已知=（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．3．已知向量，，若與垂直，則（）A．2 B．3 C． D．4．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且側(cè)棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=3，，則球的表面積為（）A．36π B．64π C．100π D．104π5．等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則()A．8 B．10 C．12 D．146．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，則xy∈[0,2]的概率是（）．A．1-ln22B．3-2ln8．已知f'x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，將y=fA． B．C． D．9．復(fù)數(shù)，則＝（）A．0 B． C． D．10．已知直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，，點(diǎn)在上，且，則異面直線(xiàn)與所成角為（）A． B． C． D．11．若圓錐的高為，底面半徑為，則此圓錐的表面積為（）A． B． C． D．12．某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世園會(huì)的中國(guó)館服務(wù)，任務(wù)是組織游客參加“祝福祖國(guó)征集留言”、“歡樂(lè)世園共繪展板”、“傳遞祝福發(fā)放彩繩”三項(xiàng)活動(dòng)，其中1人負(fù)責(zé)“征集留言”，2人負(fù)責(zé)“共繪展板”，3人負(fù)責(zé)“發(fā)放彩繩”，則不同的分配方案共有（）A．30種 B．60種 C．120種 D．180種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)黑色小球和編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)白色小球，若選取的4個(gè)小球中既有1號(hào)球又有白色小球，則有______種不同的選法.14．若，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____。15．設(shè)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的導(dǎo)函數(shù)為，則_________.16．設(shè)，則與的大小關(guān)系是__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在處取得極值．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓與直線(xiàn)相切。求圓的方程；若圓上有兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且，求直線(xiàn)的方程；19．（12分）在中,角所對(duì)的邊分別為且.（1）求角的值；（2）若為銳角三角形,且,求的取值范圍.20．（12分）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且．將△AED，△DCF分別沿，折起，使，兩點(diǎn)重合于，連接，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）試判斷與平面的位置關(guān)系，并給出證明.21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）判斷△ABC的形狀；（2）若，求的取值范圍．22．（10分）（1）已知命題:實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，命題:實(shí)數(shù)滿(mǎn)足方程表示的焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)命題:關(guān)于的不等式的解集是；:函數(shù)的定義域?yàn)?若是真命題，是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式找出中函數(shù)含項(xiàng)的系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)做差即可．【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，故中函數(shù)含項(xiàng)的系數(shù)是和項(xiàng)的系數(shù)是所以展開(kāi)式中的系數(shù)為-=0本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，熟練掌握二項(xiàng)式定理是解本題的關(guān)鍵．2、D【解析】試題分析：由，得，故選D.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.3、B【解析】分析：先求出的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量垂直的結(jié)論列出等式求出x，再求即可.詳解：由題可得：故選B.點(diǎn)睛：考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直關(guān)系和模長(zhǎng)計(jì)算，正確求解x是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】分析：求出，由正弦定理可得可得外接圓的半徑，從而可求該三棱柱的外接球的半徑，即可求出三棱柱的外接球表面積.詳解：，，∴三角形的外接圓直徑，，平面，，∴該三棱柱的外接球的半徑，∴該三棱柱的外接球的表面積為，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查三棱柱的外接球表面積，正弦定理的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及考查直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系，意在考查綜合空間想象能力、數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.5、C【解析】試題分析：假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).6、B【解析】

首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】由題意，函數(shù)，令，所以，在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，則函數(shù)恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)在區(qū)間，則，解答，即，故選B．本題主要考查了三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．7、C【解析】試題分析：由題意所有的基本事件滿(mǎn)足0≤x≤20≤y≤2，所研究的事件滿(mǎn)足0≤y≤2x，畫(huà)出可行域如圖，總的區(qū)域面積是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，其面積為4，滿(mǎn)足0≤y≤2x的區(qū)域的面積為考點(diǎn)：幾何概型8、D【解析】

根據(jù)f'x的正負(fù)與f【詳解】因?yàn)閒'x是函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，f'x>0時(shí)，函數(shù)A中，直線(xiàn)對(duì)應(yīng)f'x，曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)B中，x軸上方曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)fx，x軸下方曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)fC中，x軸上方曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)f'x，x軸下方曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)D中，無(wú)論x軸上方曲線(xiàn)或x軸下方曲線(xiàn)，對(duì)應(yīng)f'x時(shí)，fx都應(yīng)該是單調(diào)函數(shù)，但圖中是兩個(gè)不單調(diào)的函數(shù)，顯然故選D本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系，熟記導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系即可，屬于常考題型.9、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選C本題主要考查復(fù)數(shù)的除法，以及復(fù)數(shù)的模，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解析】

根據(jù)題意將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，由，然后再過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的平行線(xiàn)，從而可得異面直線(xiàn)與所成角.【詳解】由條件將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖.由條件,設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接.則，所以（或其補(bǔ)角）為異面直線(xiàn)與所成角.在中，，所以為等邊三角形，所以故選：C本題考查異面直線(xiàn)所成角，要注意補(bǔ)形法的應(yīng)用，屬于中檔題.11、B【解析】

根據(jù)圓錐的高和底面半徑求出母線(xiàn)長(zhǎng)，分別求出圓錐側(cè)面積和底面積，加和得到結(jié)果.【詳解】由題意可得圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為：圓錐側(cè)面積為：；底面積為：圓錐表面積為：本題正確選項(xiàng)：本題考查圓錐表面積的求解，關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

從6人中選1人負(fù)責(zé)“征集留言”，從剩下的人中選2人負(fù)責(zé)“共繪展板”，再?gòu)氖Ｏ碌娜酥羞x3人負(fù)責(zé)“發(fā)放彩繩，即可得出不同的分配方案.【詳解】從6人中選1人負(fù)責(zé)“征集留言”，從剩下的人中選2人負(fù)責(zé)“共繪展板”，再?gòu)氖Ｏ碌娜酥羞x3人負(fù)責(zé)“發(fā)放彩繩，則不同的分配方案共有種故選：B本題主要考查了分組分配問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、136【解析】分析：分兩種情況：取出的4個(gè)小球中有1個(gè)是1號(hào)白色小球；取出的4個(gè)小球中沒(méi)有1號(hào)白色小球.詳解：由題，黑色小球和白色小球共10個(gè)，分兩種情況：取出的4個(gè)小球中有1個(gè)是1號(hào)白色小球的選法有種；取出的4個(gè)小球中沒(méi)有1號(hào)白色小球，則必有1號(hào)黑色小球，則滿(mǎn)足題意的選法有種，則滿(mǎn)足題意的選法共有種.即答案為136.點(diǎn)睛：本題考查分步計(jì)數(shù)原理、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意要求取出的“4個(gè)小球中既有1號(hào)球又有白色小球”．14、-1【解析】

根據(jù)定積分求出a的值，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)的值．【詳解】若，

則，即a=2，

∴展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：令6-2r=0，解得r=3；

∴展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為：

故答案為：-1．本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式與定積分的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．15、；【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把代入導(dǎo)函數(shù)中，即可求出的值.【詳解】，.本題考查了導(dǎo)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，正確掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵.16、A≥B.【解析】

利用放縮的解法，令每項(xiàng)分母均為，將A放大，即可證明出A、B關(guān)系.【詳解】由題意：，所以.本題考查放縮法，根據(jù)常見(jiàn)的放縮方式，變換分母即可證得結(jié)果.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2)．【解析】

（Ⅰ）函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，在處取得極值，可得，求得值；

（Ⅱ）由知，得令則關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為上恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，對(duì)對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，從而求出的范圍；【詳解】（Ⅰ）時(shí)，取得極值，故解得.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．（Ⅱ）由知，得令則在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于上恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，，于是上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增；依題意有.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性以及方程的實(shí)數(shù)根問(wèn)題，解題過(guò)程中用到了分類(lèi)討論的思想，分類(lèi)討論的思想也是高考的一個(gè)重要思想，要注意體會(huì)其在解題中的運(yùn)用，屬中檔題．18、（1）（2）或【解析】

（1）直接利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出半徑，即可得出答案。（2）設(shè)出直線(xiàn)，求出圓心到直線(xiàn)的距離，利用半弦長(zhǎng)直角三角形解出即可?！驹斀狻拷猓?），所以圓的方程為（2）由題意，可設(shè)直線(xiàn)的方程為則圓心到直線(xiàn)的距離則，即所以直線(xiàn)的方程為或本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。19、（1）；（2）.【解析】試題分析：(1)在三角形中處理邊角關(guān)系時(shí)，一般全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，或全部轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用余弦定理，應(yīng)用正弦、余弦定理時(shí)，注意公式變形的應(yīng)用，解決三角形問(wèn)題時(shí)，注意角的限制范圍;(2)在三角形中，注意隱含條件，（3）注意銳角三角形的各角都是銳角.（4）把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角，對(duì)于求邊的取值范圍很有幫助試題解析：（1）由，得，所以，則，由，。（2）由（1）得，即，又為銳角三角形，故從而．由，所以所以,所以因?yàn)樗约纯键c(diǎn)：余弦定理的變形及化歸思想20、(1)見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）折疊前,，折疊后，，從而即可證明；（2）連接交于，連接，在正方形中，連接交于，從而可得，從而在中，，即得，從而平面.詳解：（Ⅰ）證明：∵折疊前,∴折疊后，又∵∴平面，而平面∴．（Ⅱ）平面，證明如下：連接交于，連接，在正方形中，連接交于，則，所以，又，即，在中，，所以.平面，平面，所以平面.點(diǎn)睛：本題主要考查線(xiàn)面之間的平行與垂直關(guān)系，注意證明線(xiàn)面垂直的核心是證線(xiàn)線(xiàn)垂直，而證明線(xiàn)線(xiàn)垂直則需借助線(xiàn)面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線(xiàn)面垂直的基本思想．線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，常用來(lái)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直．21、(1)△ABC為的直角三角形．(2).【解析】

分析：（1）由已知條件結(jié)合正弦定理對(duì)已知化簡(jiǎn)可求得角的值，進(jìn)而可判斷三角形的形狀；（2）由輔助角公式對(duì)已知函數(shù)先化簡(jiǎn)，然后代入可求得，結(jié)合（1）中的角求得角的范圍，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，即，所以．因?yàn)樵凇鰽BC中，，所以又，所以，．所以△ABC為的直角三角形．（2）因?yàn)?．所以．因?yàn)椤鰽BC是的直角三角形，所以，且，所以當(dāng)時(shí)，有最小值是．所以的取值范圍是．點(diǎn)睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問(wèn)題，對(duì)于解三角形問(wèn)題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.22、（1）；（2）【解析】分析：（1）利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化簡(jiǎn)，由包含關(guān)系列不等式求解即可；（2）化簡(jiǎn)命題可得，化簡(jiǎn)命題可得，由為真命題，為假命題，可得一真一假，分兩種情況討論，對(duì)于真假以及假真分別列不等式組，分別解不等式組，然后求并集即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：（1）由得：，即命題由表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得，即命題.因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以或解得：，∴實(shí)數(shù)的