中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷2025年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷2025年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲、乙等人在南沙聚會(huì)后在天后宮沙灘排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰的排法有（）．A．種 B．種 C．種 D．種2．已知各項(xiàng)不為的等差數(shù)列，滿足，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A． B． C． D．3．如圖，和都是圓內(nèi)接正三角形，且，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用表示事件“豆子落在內(nèi)”，表示事件“豆子落在內(nèi)”，則（）A． B． C． D．4．“中國夢(mèng)”的英文翻譯為“”，其中又可以簡(jiǎn)寫為，從“”中取6個(gè)不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有（）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種5．以為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B． C． D．6．在市高二下學(xué)期期中考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，已知，則從全市理科生中任選一名學(xué)生，他的數(shù)學(xué)成績小于110分的概率為（）A．0.15 B．0.50 C．0.70 D．0.857．若是極坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)中與點(diǎn)重合的點(diǎn)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，若，都有成立，則()A． B．C． D．9．某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和，若在任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，則（）A． B． C． D．10．已知,,,則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是()A． B． C． D．11．設(shè)A、B是非空集合，定義：且.已知，，則等于（）A． B． C． D．12．設(shè)，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)每門高射炮命中飛機(jī)的概率為，且每一門高射炮是否命中飛機(jī)是獨(dú)立的，若有一敵機(jī)來犯，則需要______門高射炮射擊，才能以至少的概率命中它．14．已知變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為__________．15．在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，則線段的長度為__________.16．函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題:函數(shù)對(duì)任意均有;命題在區(qū)間上恒成立.（1）如果命題為真命題，求實(shí)數(shù)的值或取值范圍；（2）命題“”為真命題，“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）為了響應(yīng)黨的十九大所提出的教育教學(xué)改革，某校啟動(dòng)了數(shù)學(xué)教學(xué)方法的探索,學(xué)校將髙一年級(jí)部分生源情況基本相同的學(xué)生分成甲、乙兩個(gè)班，每班40人，甲班按原有傳統(tǒng)模式教學(xué)，乙班實(shí)施自主學(xué)習(xí)模式.經(jīng)過一年的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，將甲、乙兩個(gè)班學(xué)生一年來的數(shù)學(xué)成績?nèi)∑骄鶖?shù)，兩個(gè)班學(xué)生的平均成績均在[50，100]，按照區(qū)間[50，60），[60,70)，[70,80），[80，90)，[90,100]進(jìn)行分組,繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于80分(百分制）為優(yōu)秀，，(I)完成表格,并判斷是否有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”〔Ⅱ）從乙班[70,80），[80，90)，[90,100]分?jǐn)?shù)段中,按分層抽樣隨機(jī)抽取7名學(xué)生座談，從中選三位同學(xué)發(fā)言,記來自[80，90)發(fā)言的人數(shù)為隨機(jī)變量x，求x的分布列和期望.19．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求的值；（2）若函數(shù)無零點(diǎn)，求的取值范圍.20．（12分）已知向量，設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（3）求在上的最大值和最小值21．（12分）總書記在十九大報(bào)告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，某城市選用某種植物進(jìn)行綠化，設(shè)其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測(cè)得一些數(shù)據(jù)圖如下表所示：第x度y/cm0479111213作出這組數(shù)的散點(diǎn)圖如下(1)請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與中哪一個(gè)更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型?(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)第144天這株幼苗的高度(結(jié)果保留1位小數(shù)).附：，參考數(shù)據(jù)：140285628322．（10分）某校高二理科1班共有50名學(xué)生參加學(xué)業(yè)水平模擬考試，成績（單位：分，滿分100分）大于或等于90分的為優(yōu)秀，其中語文成績近似服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖.（1）這50名學(xué)生中本次考試語文、數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的大約各有多少人？（2）如果語文和數(shù)學(xué)兩科成績都優(yōu)秀的共有4人，從語文優(yōu)秀或數(shù)學(xué)優(yōu)秀的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩科都優(yōu)秀的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)（1）（2）的數(shù)據(jù)，是否有99%以上的把握認(rèn)為語文成績優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)成績也優(yōu)秀？語文優(yōu)秀語文不優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀數(shù)學(xué)不優(yōu)秀合計(jì)附：①若，則，；②；③0.10.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題意利用捆綁法求解，甲、乙兩人必須相鄰的方法數(shù)為種．選．2、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：，變?yōu)椋?，解得（舍去），所以，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，故選B.3、D【解析】如圖所示，作三條輔助線，根據(jù)已知條件，這些小三角形全等，包含個(gè)小三角形，同時(shí)又在內(nèi)的小三角形共有個(gè)，所以，故選D.4、C【解析】從其他5個(gè)字母中任取4個(gè),然后與“”進(jìn)行全排列,共有,故選B.5、A【解析】

由題意和拋物線的性質(zhì)判斷出拋物線的開口方向，并求出的值，即可寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，

所以拋物線開口向右，且=2，

則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

故選：A．本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性得出，于是可計(jì)算出，于此可得出結(jié)果．【詳解】由于，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可得，因此，，故選D.本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上的概率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性將所求概率轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間概率進(jìn)行計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

分別將各點(diǎn)化為直角坐標(biāo)即可判斷【詳解】P（2，）化直角坐標(biāo)為，即為同理化直角坐標(biāo)分別為則與點(diǎn)P重合的點(diǎn)有3個(gè)．故選：C．本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8、D【解析】分析：由題意構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：令，則：，由，都有成立，可得在區(qū)間內(nèi)恒成立，即函數(shù)是區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，據(jù)此可得：，即，則.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.9、B【解析】試題分析：記“系統(tǒng)發(fā)生故障、系統(tǒng)發(fā)生故障”分別為事件、，“任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件，則，解得，故選B．考點(diǎn)：對(duì)立事件與獨(dú)立事件的概率．10、A【解析】

容易得出30.6＞1，0＜0.63＜1，log0.63＜0，從而可得出a，b，c的大小關(guān)系．【詳解】∵30.6＞30＝1，0＜0.63＜0.60=1，log0.63＜log0.61＝0；∴a＞b＞c．故選：A．本題考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，熟記單調(diào)性是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題11、A【解析】求出集合中的函數(shù)的定義域得到：，即可化為或解得，即，則故選12、B【解析】

利用定積分的知識(shí)求解出，從而可列出展開式的通項(xiàng)，由求得，代入通項(xiàng)公式求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】展開式通項(xiàng)公式為：令，解得：，即常數(shù)項(xiàng)為：本題正確選項(xiàng)：本題考查二項(xiàng)式定理中的指定項(xiàng)系數(shù)的求解問題，涉及到簡(jiǎn)單的定積分的求解，關(guān)鍵是能夠熟練掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的形式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)需要門高射炮，由題意得出，解出的取值范圍，可得出正整數(shù)的最小值.【詳解】設(shè)需要門高射炮，則命不中的概率為，由題意得出，得，解得，而，因此，至少需要門高射炮.故答案為：.本題考查獨(dú)立事件概率乘法公式的應(yīng)用，在涉及“至少”問題時(shí)，可以利用對(duì)立事件的概率公式來進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.14、【解析】分析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義，即可求解．詳解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由，得表示，斜率為-1縱截距為z的一組平行直線，

平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最小，

由，解得，

此時(shí)．

故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用z的幾何意義是解決線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵，注意利用數(shù)形結(jié)合來解決．15、4【解析】

可將點(diǎn)P和點(diǎn)Q先化為直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)，從而利用距離公式求解.【詳解】根據(jù)，可將化為直角坐標(biāo)點(diǎn)為，將化為直角坐標(biāo)點(diǎn)為，從而.本題主要考查極坐標(biāo)點(diǎn)和直角坐標(biāo)點(diǎn)的互化，距離公式，難度不大.16、【解析】試題分析：由題意得，，因此，從而，考點(diǎn)：二次函數(shù)性質(zhì)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)為真命題先判斷出的單調(diào)性，然后利用分析的取值或取值范圍；（2）先分別求解出為真時(shí)的取值范圍，然后根據(jù)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題的真假判斷出的真假，從而求解出的取值范圍.【詳解】（1）在上單調(diào)遞增則對(duì)恒成立∴；（2）在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，命題為真命題：即，所以，由命題“”為真命題，“”為假命題知一真一假若真假，若假真，則綜上所述，.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題真假求解參數(shù)范圍，其中涉及到用分離參數(shù)法解決恒成立問題，屬于綜合型問題，難度一般.（1）注意定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)換：在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；（2）根據(jù)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題的真假求解參數(shù)范圍時(shí)，注意先判斷各命題的真假.18、(1)列聯(lián)表見解析，有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”.(2)分布列見解析，【解析】分析：（1）先根據(jù)數(shù)據(jù)填表，再代入卡方公式求，最后與參考數(shù)據(jù)作比較得結(jié)論，（2）先根據(jù)分層抽樣得抽取人數(shù)，再確定隨機(jī)變量取法，利用組合數(shù)確定對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.詳解：（1)依題意得有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”.（2）從乙班分?jǐn)?shù)段中抽人數(shù)分別為2、3、2.依題意隨機(jī)變量的所有可能取值為點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值.19、（1）a=2；（2）.【解析】

（1）求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線的方程可得，的方程，進(jìn)而得到；（2）求得的導(dǎo)數(shù)，討論，，，求得單調(diào)性和極值，最值，結(jié)合圖象可得所求范圍．【詳解】（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由在處的切線方程為，可得，，解得，；（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)，由可得，即在遞增，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，遞減，，遞增，可得處取得極大值，且為最大值，由題意可得，解得，綜上可得時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)．本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性、極值和最值，考查方程思想和分類討論思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．20、（1）；（2）；（3）最大值為1，最小值為【解析】

（1）先根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示得，再根據(jù)二倍角公式以及配角公式得，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求周期，（2）根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性得，解得結(jié)果，（3）先根據(jù)自變量范圍得，再根據(jù)得最值.【詳解】解：（1）由題意得三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．21、(1)更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型；(2)；預(yù)測(cè)第144天幼苗的高度大約為24.9cm.【解析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，可直接判斷出結(jié)果；（2）先令，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，得到與的數(shù)據(jù)對(duì)，根據(jù)新的數(shù)據(jù)對(duì)，求出，，再由最小二乘法求出，即可得出回歸方程，從而可求出預(yù)測(cè)值.【詳解】解：(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型；(2)令，則構(gòu)造新的成對(duì)數(shù)據(jù)，如下表所示：x149162536491234567y0479111213容易計(jì)算，，.通過上表計(jì)算可得：因此∵回歸直線過點(diǎn)(，)，∴，故y關(guān)于的回歸直