四川大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析_第1頁(yè)
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四川大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是()A. B. C. D.2.下面由火柴棒拼出的一列圖形中,第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成.通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)第10個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是()A.30 B.31 C.32 D.343.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),對(duì)任意的都有,當(dāng)時(shí),則()A. B. C. D.4.某小區(qū)的6個(gè)停車位連成一排,現(xiàn)有3輛車隨機(jī)停放在車位上,則任何兩輛車都不相鄰的停放方式有()種.A.24 B.72 C.120 D.1445.關(guān)于x的不等式的解集中,恰有3個(gè)整數(shù),則a的取值范圍是()A. B. C. D.(4,5)6.已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù),若f(1)<1,f(5)=,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(-1,4) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(-1,2)7.假設(shè)如圖所示的三角形數(shù)表的第行的第二個(gè)數(shù)為,則()A.2046 B.2416 C.2347 D.24868.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),則實(shí)數(shù)a的值為A.5 B.3 C.53 D.9.給定空間中的直線及平面,條件“直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等”是“直線與平面平行”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件10.某單位為了落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”理念,制定節(jié)能減排的目標(biāo),先調(diào)查了用電量y(單位:千瓦·時(shí))與氣溫x(單位:oC)之間的關(guān)系,隨機(jī)選取了4天的用電量與當(dāng)天氣溫,x(單位:oC171410-1y(單位:千瓦?時(shí))24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程:y=-2x+a,則由此估計(jì):當(dāng)某天氣溫為12oC時(shí),A.56千瓦?時(shí) B.36千瓦?時(shí) C.34千瓦?時(shí) D.38千瓦?時(shí)11.2019年5月31日晚,大連市某重點(diǎn)高中舉行一年一度的畢業(yè)季燈光表演.學(xué)生會(huì)共安排6名高一學(xué)生到學(xué)校會(huì)議室遮擋4個(gè)窗戶,要求兩端兩個(gè)窗戶各安排1名學(xué)生,中間兩個(gè)窗戶各安排兩名學(xué)生,不同的安排方案共有()A.720 B.360 C.270 D.18012.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出S的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則__________.14.正四面體的所有棱長(zhǎng)都為2,則它的體積為________.15.如圖所示,在三棱錐中,若,,是的中點(diǎn),則下列命題中正確的是_______(填序號(hào)).①平面平面;②平面平面;③平面平面,且平面平面;④平面平面,且平面平面.16.設(shè)為的展開式中含項(xiàng)的系數(shù),為的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和,則能使成立的的最大值是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某公司為了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用,并將各地的銷售收益(單位:萬(wàn)元)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從開始計(jì)數(shù)的.廣告投入/萬(wàn)元12345銷售收益/萬(wàn)元23257(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度;(Ⅱ)該公司按照類似的研究方法,測(cè)得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到上表:表中的數(shù)據(jù)顯示與之間存在線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的回歸方程;(Ⅲ)若廣告投入萬(wàn)元時(shí),實(shí)際銷售收益為萬(wàn)元,求殘差.附:,18.(12分)已知函數(shù)().(Ⅰ)若在處的切線過(guò)點(diǎn),求的值;(Ⅱ)若恰有兩個(gè)極值點(diǎn),().(ⅰ)求的取值范圍;(ⅱ)求證:.19.(12分)大型水果超市每天以元/千克的價(jià)格從水果基地購(gòu)進(jìn)若干水果,然后以元/千克的價(jià)格出售,若有剩余,則將剩余的水果以元/千克的價(jià)格退回水果基地,為了確定進(jìn)貨數(shù)量,該超市記錄了水果最近天的日需求量(單位:千克),整理得下表:日需求量頻數(shù)以天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率.(1)求該超市水果日需求量(單位:千克)的分布列;(2)若該超市一天購(gòu)進(jìn)水果千克,記超市當(dāng)天水果獲得的利潤(rùn)為(單位:元),求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.20.(12分)如圖,是通過(guò)某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道,連結(jié)M,N兩地之間的鐵路線是圓心在上的一段圓弧,若點(diǎn)M在點(diǎn)O正北方向3公里;點(diǎn)N到的距離分別為4公里和5公里.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求鐵路線所在圓弧的方程;(2)若該城市的某中學(xué)擬在點(diǎn)O的正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問(wèn)題,要求校址到點(diǎn)O的距離大于4公里,并且鐵路上任意一點(diǎn)到校址的距離不能小于公里,求該校址距點(diǎn)O的最短距離(注:校址視為一個(gè)點(diǎn))21.(12分)某大型工廠有臺(tái)大型機(jī)器,在個(gè)月中,臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)次故障,且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的,出現(xiàn)故障時(shí)需名工人進(jìn)行維修.每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為.已知名工人每月只有維修臺(tái)機(jī)器的能力,每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)有工人維修,就能使該廠獲得萬(wàn)元的利潤(rùn),否則將虧損萬(wàn)元.該工廠每月需支付給每名維修工人萬(wàn)元的工資.(1)若每臺(tái)機(jī)器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)有工人進(jìn)行維修,則稱工廠能正常運(yùn)行.若該廠只有名維修工人,求工廠每月能正常運(yùn)行的概率;(2)已知該廠現(xiàn)有名維修工人.(?。┯浽搹S每月獲利為萬(wàn)元,求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(ⅱ)以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),試問(wèn)該廠是否應(yīng)再招聘名維修工人?22.(10分)已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位.(1)若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,求的共軛復(fù)數(shù).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

對(duì)函數(shù)在每個(gè)選項(xiàng)的區(qū)間上的單調(diào)性進(jìn)行逐一驗(yàn)證,可得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào);對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.故選:B.本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間單調(diào)性的判斷,一般利用驗(yàn)證法進(jìn)行判斷,即求出對(duì)象角的取值范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷,考查推理能力,屬于中等題.2、B【解析】每個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,首項(xiàng)為4,公差為3.其數(shù)列依次為4,7,10,13,…,所以第10個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)為.3、C【解析】

根據(jù)得出周期,通過(guò)周期和奇函數(shù)把化在上,再通過(guò)周期和奇函數(shù)得.【詳解】由,所以函數(shù)的周期因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),所以所以因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以所以.選擇C本題主要考查了函數(shù)的奇偶性質(zhì)以及周期.若為奇函數(shù),則滿足:1、,2、定義域包含0一定有.若函數(shù)滿足,則函數(shù)周期為.屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】分析:根據(jù)題意,首先排好三輛車,在三輛車中間插入兩個(gè)空位使三輛車任何兩輛車都不相鄰,最后一個(gè)空車位利用插空法即可.詳解:根據(jù)題意,首先排好三輛車,共種,在三輛車中間插入兩個(gè)空位使三輛車任何兩輛車都不相鄰,最后把剩下的空車位插入空位中,則有種,由分步計(jì)數(shù)原理,可得共有種不同的停車方法.點(diǎn)睛:本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用,注意空位是相同的.5、A【解析】

不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為,當(dāng)時(shí),得,當(dāng)時(shí),得,由此根據(jù)解集中恰有3個(gè)整數(shù)解,能求出的取值范圍?!驹斀狻筷P(guān)于的不等式,不等式可變形為,當(dāng)時(shí),得,此時(shí)解集中的整數(shù)為2,3,4,則;當(dāng)時(shí),得,,此時(shí)解集中的整數(shù)為-2,-1,0,則故a的取值范圍是,選:A。本題難點(diǎn)在于分類討論解含參的二次不等式,由于二次不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的根大小不確定,所以要對(duì)和1的大小進(jìn)行分類討論。其次在觀察的范圍的時(shí)候要注意范圍的端點(diǎn)能否取到,防止選擇錯(cuò)誤的B選項(xiàng)。6、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用不等式的解法即可得到結(jié)論.【詳解】∵f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù),∴f(5)=f(5﹣6)=f(﹣1)=f(1),∴由f(1)<1,f(5)=,得f(5)=<1,即﹣1<0,<0,即(a﹣4)(a+1)<0,解得:﹣1<a<4,故選:A.本題主要考查不等式的解法,利用函數(shù)的奇偶性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.7、B【解析】

由三角形數(shù)表特點(diǎn)可得,利用累加法可求得,進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由三角形數(shù)表可知:,,,…,,,整理得:,則.故選:.本題考查數(shù)列中的項(xiàng)的求解問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠采用累加法準(zhǔn)確求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.8、D【解析】

根據(jù)正態(tài)分布的特征,可得2a-3+a+2=6,求解即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N3,4,P根據(jù)正態(tài)分布的特征,可得2a-3+a+2=6,解得a=7故選D本題主要考查正態(tài)分布的特征,熟記正態(tài)分布的特征即可,屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解析】分析:利用直線與平面平行的定義判斷即可.詳解:直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等,如果兩點(diǎn)在平面同側(cè),則;如果兩點(diǎn)在平面異側(cè),則與相交:反之,直線與平面平行,則直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等.故條件“直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等”是“直線與平面平行”的必要非充分條件.故選B.點(diǎn)睛:明確:則是的充分條件,,則是的必要條件.準(zhǔn)確理解線面平行的定義和判定定理的含義,才能準(zhǔn)確答題.10、B【解析】

計(jì)算出x和y的值,將點(diǎn)x,y的坐標(biāo)代入回歸直線方程,得出a的值,再將x=12代入可得出【詳解】由題意可得x=17+14+10-14由于回歸直線過(guò)樣本的中心點(diǎn)x,y,則-2×10+a回歸直線方程為y=-2x+60,當(dāng)x=12時(shí),y=-2×12+60=36(千瓦·本題考查回歸直線方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵在于利用回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)x,11、D【解析】

由題意分兩步進(jìn)行,第一步為在6名學(xué)生中任選2名安排在兩端兩個(gè)窗戶,可得方案數(shù)量,第二步為將剩余的6名學(xué)生平均分成2組,全排列后安排到剩下的2個(gè)窗戶,兩者方案數(shù)相乘可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,分兩步進(jìn)行:①在6名學(xué)生中任選2名安排在兩端兩個(gè)窗戶,有中情況;②將剩余的6名學(xué)生平均分成2組,全排列后安排到剩下的2個(gè)窗戶,有種情況,則一共有種不同的安排方案,故選:D.本題主要考查排列、組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題,相對(duì)不難,注意運(yùn)算準(zhǔn)確.12、C【解析】

首先確定流程圖的功能為計(jì)數(shù)的值,然后利用裂項(xiàng)求和的方法即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意結(jié)合流程圖可知流程圖輸出結(jié)果為,,.本題選擇C選項(xiàng).識(shí)別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路:(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu).(2)要識(shí)別、運(yùn)行程序框圖,理解框圖所解決的實(shí)際問(wèn)題.(3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】分析:對(duì)函數(shù)的解析式求導(dǎo),得到其導(dǎo)函數(shù),把代入導(dǎo)函數(shù)中,列出關(guān)于的方程,進(jìn)而得到的值.詳解:因?yàn)椋裕?,得到,解得,故答案?點(diǎn)睛:本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,運(yùn)用求導(dǎo)法則得出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度,屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】試題分析:過(guò)作,則是的中心,連接,則,,在中,,所以.考點(diǎn):多面體的體積.15、③【解析】

由AB=BC,AD=CD,說(shuō)明對(duì)棱垂直,推出平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE,即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)锳B=CB,且E是AC的中點(diǎn),所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi),所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,故答案為:③.本題考查了平面與平面垂直的判定,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.16、4【解析】

由題意可得,An==,,若使得An≥Bn,即n(n+1)≥2n,可求.【詳解】∵(1+x)n+1的展開式的通項(xiàng)為Tr+1,由題意可得,An==,又∵為的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和,∴,∵An≥Bn,∴,即n(n+1)≥2n當(dāng)n=1時(shí),1×2≥2,滿足題意;當(dāng)n=2時(shí),2×3≥22,滿足題意;當(dāng)n=3時(shí),3×4≥23,滿足題意;當(dāng)n=4時(shí),4×5≥24,滿足題意;當(dāng)n=5時(shí),5×6<25,不滿足題意,且由于指數(shù)函數(shù)比二次函數(shù)增加的快,故當(dāng)n≥5時(shí),n(n+1)<2n,∴=4.故答案為4本題主要考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的性質(zhì)應(yīng)用及不等式、指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的增加速度的快慢的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1).(2).(3).【解析】分析:(Ⅰ)設(shè)各小長(zhǎng)方形的寬度為,由頻率直方圖各小長(zhǎng)方形的面積總和為,可得,從而可得結(jié)果;(Ⅱ)利用平均數(shù)公式求出平均數(shù)、利用樣本中心的性質(zhì)結(jié)合公司可求得回歸系數(shù),從而可寫出線性回歸方程;(Ⅲ)計(jì)算當(dāng)時(shí),銷售收益預(yù)測(cè)值,再求殘差值.詳解:(Ⅰ)設(shè)各小長(zhǎng)方形的寬度為,由頻率直方圖各小長(zhǎng)方形的面積總和為,可知,故.(Ⅱ)由題意,可知,,,,根據(jù)公式,可求得,,所以關(guān)于的回歸方程為.(Ⅲ)當(dāng)時(shí),銷售收益預(yù)測(cè)值(萬(wàn)元),又實(shí)際銷售收益為萬(wàn)元,所以殘差點(diǎn)睛:求回歸直線方程的步驟:①確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系;②計(jì)算的值;③計(jì)算回歸系數(shù);④寫出回歸直線方程為;回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì),利用線性回歸方程可以估計(jì)總體,幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).18、(Ⅰ)(Ⅱ)(ⅰ)(ⅱ)見(jiàn)證明【解析】

(Ⅰ)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),然后求出在處的切線的斜率,求出切線方程,把點(diǎn)代入切線方程中,求出的值;(Ⅱ)(ⅰ),,,分類討論函數(shù)的單調(diào)性;當(dāng)時(shí),可以判斷函數(shù)沒(méi)有極值,不符合題意;當(dāng)時(shí),可以證明出函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,故可以求出的取值范圍;由(ⅰ)知在上單調(diào)遞減,,且,由得,,又,.法一:先證明()成立,應(yīng)用這個(gè)不等式,利用放縮法可以證明出成立;法二:令(),求導(dǎo),利用單調(diào)性也可以證明出成立.【詳解】解:(Ⅰ),又在處的切線方程為,即切線過(guò)點(diǎn),(Ⅱ)(ⅰ),,,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,無(wú)極值,不合題意,舍去當(dāng)時(shí),令,得,(),或;,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,恰有個(gè)極值點(diǎn),,符合題意,故的取值范圍是(ⅱ)由(ⅰ)知在上單調(diào)遞減,,且,由得,,又,法一:下面證明(),令(),,在上單調(diào)遞增,,即(),,綜上法二:令(),則,在上單調(diào)遞增,,即,綜上本題考查了曲線切線方程的求法,考查了函數(shù)有極值時(shí)求參數(shù)取值范圍問(wèn)題,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).19、(1)分布列見(jiàn)解析.(2)分布列見(jiàn)解析;元.【解析】分析:(1)根據(jù)表格得到該超市水果日需求量(單位:千克)的分布列;(2)若A水果日需求量為140千克,則X=140×(15﹣10)﹣(150﹣140)×(10﹣8)=680元,則P(X=680)==0.1.若A水果日需求量不小于150千克,則X=150×(15﹣10)=750元,且P(X=750)=1﹣0.1=0.2.由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).詳解:(1)的分布列為(2)若水果日需求量為千克,則元,且.若水果日需求量不小于千克,則元,且.故的分布列為元.點(diǎn)睛:求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為:第一步是“判斷取值”,即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值,以及取每個(gè)值所表示的意義;第二步是:“探求概率”,即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見(jiàn)的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式,以及對(duì)立事件的概率公式等),求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率;第三步是“寫分布列”,即按規(guī)范形式寫出分布列,并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或事件的概率是否正確;第四步是“求期望值”,一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值,對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量,如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布(如二項(xiàng)分布X~B(n,p)),則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.20、(1)(;(2).【解析】

(1)以垂直的直線為軸建立平面直角

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