陜西省渭南市潼關(guān)縣2025屆數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

陜西省渭南市潼關(guān)縣2025屆數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若隨機(jī)變量，且，則等于（）A． B． C． D．2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸出的值為時(shí)，則輸入的（）A． B． C． D．3．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)，滿足f'(x1A．（13，12）B．（32，3）C．（14．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由時(shí)的假設(shè)到證明時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是（）A． B．C． D．5．某班級(jí)要從四名男生、兩名女生中選派四人參加某次社區(qū)服務(wù)，則所選的四人中至少有一名女生的選法為（）A． B． C． D．6．已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓交雙曲線右支于、兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為()A． B． C． D．8．若過(guò)點(diǎn)可作兩條不同直線與曲線段C：相切，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．9．三世紀(jì)中期，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法.所謂割圓術(shù)，就是不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法.如圖是劉徽利用正六邊形計(jì)算圓周率時(shí)所畫(huà)的示意圖，現(xiàn)向圓中隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)在處有極值10，則等于()A．1 B．2 C．—2 D．—111．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的極大值為（）A．2 B．3 C． D．12．下列命題中,正確的命題是（）A．若，則B．若，則不成立C．，則或D．，則且二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則的最小值為_(kāi)_______.14．已知，命題：，，命題：，，若命題為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．15．已知復(fù)數(shù)z＝2＋6i，若復(fù)數(shù)mz＋m2(1＋i)為非零實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)____．16．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0≤α＜π且），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．已知直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且．（1）求α的大??；（2）過(guò)A、B分別作l的垂線與x軸交于M，N兩點(diǎn)，求|MN|．18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)于任意的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），恒成立，求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，解不等式；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A"A1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）證明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．21．（12分）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）證明：在上為增函數(shù)．（2）證明：．22．（10分）已知函數(shù)，，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且曲線與在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線相同.（1）求的最小值；（2）若時(shí)，恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性得出，由此可得出結(jié)果.【詳解】由于，則正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故選A.本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上概率的計(jì)算，解題時(shí)要確定正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性列等式計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2、B【解析】

分析：根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的特征，依次算出每個(gè)循環(huán)單元的值，同時(shí)判定是否要繼續(xù)返回循環(huán)體，即可求得S的值．詳解:因?yàn)楫?dāng)不成立時(shí)，輸出，且輸出所以所以所以選B點(diǎn)睛：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)在程序框圖中的應(yīng)用，按照要求逐步運(yùn)算即可，屬于簡(jiǎn)單題．3、C【解析】試題分析：f'(x)=3x2-2x，f(a)-f(0)a-0=a2-a，所以函數(shù)f(x)=x3-x2+a是區(qū)間[0,a]上的“雙中值函數(shù)”等價(jià)于f'考點(diǎn)：1.新定義問(wèn)題；2.函數(shù)與方程；3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.【名師點(diǎn)睛】本題考查新定義問(wèn)題、函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及學(xué)生接受鷴知識(shí)的能力與運(yùn)用新知識(shí)的能力，難題.新定義問(wèn)題是命題的新視角，在解題時(shí)首先是把新定義問(wèn)題中的新的、不了解的知識(shí)通過(guò)轉(zhuǎn)翻譯成了解的、熟悉的知識(shí)，然后再去求解、運(yùn)算.4、B【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，等式的左邊是，所以當(dāng)時(shí)，等式的左邊是，多增加了，應(yīng)選答案B．點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是搞清楚當(dāng)時(shí)，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)時(shí)，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式是，最終確定添加的項(xiàng)是什么，使得問(wèn)題獲解．5、A【解析】所選的四人中至少有一名女生的選法為本題選擇A選項(xiàng).6、A【解析】分析：利用雙曲線的對(duì)稱性以及圓的對(duì)稱性，求出A的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，然后求解雙曲線的離心率即可.詳解：、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓交雙曲線右支于、兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則，代入雙曲線方程可得：，即：，可得，即，可得，.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.7、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得，即可求得其共軛復(fù)數(shù).【詳解】由題：，所以，所以的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A此題考查求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出復(fù)數(shù)Z，需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確求解.8、D【解析】

設(shè)切點(diǎn)為，寫(xiě)出切線方程為，把代入，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，由方程根的分布知識(shí)可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，,則切線方程為，在切線上，可得，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，又，，∴如果有兩解，則.故選：D.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查方程根的分布問(wèn)題。由方程根的個(gè)數(shù)確定參數(shù)取值范圍，可采用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題。9、A【解析】設(shè)圓的半徑為，則圓的面積，正六邊形的面積，所以向圓中隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的概率，故選A.10、B【解析】，，函數(shù)

在處有極值為10，，解得．經(jīng)檢驗(yàn)知，符合題意．，．選B．點(diǎn)睛：由于導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)極值點(diǎn)的必要不充分條件，故在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后還要判斷在該零點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的值的符號(hào)是否發(fā)生變化，然后才能作出判斷．同樣在已知函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)的值時(shí)，根據(jù)求得參數(shù)的值后應(yīng)要進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷所求參數(shù)是否符合題意，最終作出取舍．11、C【解析】由題意得，，，，則，解得，則，，令，解得，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；，為減函數(shù)；，為增函數(shù)，所以函數(shù)的極大值為，故選C.點(diǎn)睛：此題主要考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和、函數(shù)極值的求解等有關(guān)方面的知識(shí)，及冪運(yùn)算等運(yùn)算能力，屬于中檔題型，也是?？伎键c(diǎn).在首先根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出參數(shù)的值，再利用導(dǎo)數(shù)方法，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，通過(guò)判斷極值點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性求出極大值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的極大值.12、C【解析】

A．根據(jù)復(fù)數(shù)虛部相同，實(shí)部不同時(shí)，舉例可判斷結(jié)論是否正確；B．根據(jù)實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)還是其本身判斷是否成立；C．根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則可知是否正確；D．考慮特殊情況：，由此判斷是否正確.【詳解】A．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)法比較大小，故錯(cuò)誤；B．當(dāng)時(shí)，，所以，所以此時(shí)成立，故錯(cuò)誤；C．根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則可知：或，故正確；D．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)且，故錯(cuò)誤.故選：C.本題考查復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合，難度一般.(1)注意實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的子集，因此實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)；(2)若，則有.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】

根據(jù)題意對(duì)進(jìn)行換元，然后利用基本不等式的推廣公式求解出目標(biāo)的最小值?！驹斀狻拷猓毫睿?，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.本題考查了基本不等式推廣公式的使用，運(yùn)用基本不等式推廣公式時(shí)，一定要注意題意是否滿足“一正、二定、三相等”的條件。14、或【解析】

根據(jù)不等式恒成立化簡(jiǎn)命題為，根據(jù)一元二次方程有解化簡(jiǎn)命題為或，再根據(jù)且命題的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】若命題：“，”為真；則，解得：，若命題：“，”為真，則，解得：或，若命題“”是真命題，則，或，故答案為或解答非命題、且命題與或命題真假有關(guān)的題型時(shí)，應(yīng)注意：（1）原命題與其非命題真假相反；（2）或命題“一真則真”；（3）且命題“一假則假”.15、-6【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由虛部為0且實(shí)部不為0列式求解．【詳解】由題意，，解得．故答案為-6.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．16、【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，在上解不等式可得的單調(diào)減區(qū)間．【詳解】，其中，令，則，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，填．一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)減函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為減函數(shù)，則．注意求單調(diào)區(qū)間前先確定函數(shù)的定義域．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）4.【解析】

（1）直接利用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出結(jié)果．（2）直接利用關(guān)系式求出結(jié)果．【詳解】（1）由已知直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)，0≤α＜π且），則：，∵，，∴O到直線l的距離為3，則，解之得．∵0＜α＜π且，∴（2）直接利用關(guān)系式，解得：．本題主要考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．18、（I）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（II）【解析】

（Ⅰ）求出，分兩種情況討論，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）對(duì)分四種情況討論，分別利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最小值的表達(dá)式，令最小值不小于零，即可篩選出符合題意的的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）的定義域?yàn)?.（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，由解得，由解得.∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，∴恒成立，符合題意.②當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（i）若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，只需，且.而當(dāng)時(shí)，且成立.∴符合題意.（ii）若時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，只需即可，此時(shí)成立，∴符合題意.（iii）若，在上單調(diào)遞增.∴對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，只需，即，∴符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題．不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求.（Ⅱ）利用絕對(duì)值三角不等式求得的最小值為，等價(jià)于，分類討論，求得a的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，不等式，等價(jià)于；當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，解集為；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，解得；綜上，不等式的解集為.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，若，則，∴；若，則，∴.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想.20、（1）見(jiàn)解析（2）.【解析】

試題分析：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進(jìn)而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長(zhǎng)，建立坐標(biāo)系，可得，，的坐標(biāo)，設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即為所求正弦值．解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB，又因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），則=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因?yàn)橹本€與法向量的余弦值的絕對(duì)值等于直線與平面的正弦值，故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：．考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．21、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線在，（1）處的切線方程，可得（1），（1），由此可求，的值，再由單調(diào)性的性質(zhì)即可得證；（2）運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可得存在，，可得，可得，即，再由單調(diào)性可得，再由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得所求結(jié)論．【詳解】（1）由，得，所以，，解得，．因此，設(shè)，，所以為增函數(shù)．（2），，故存在，使得，即，即.進(jìn)而