2026版《優(yōu)化設(shè)計大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計新高考版）第1節(jié)平面向量的概念及線性運算

第1節(jié)平面向量的概念及線性運算高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎(chǔ)?固本增分研考點?精準突破目錄索引0102領(lǐng)航備考路徑新課標核心考點20202021202220232024Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.平面向量的概念與線性運算

T3

T3

2.平面向量坐標運算

T10

T4T3

T3

3.平面向量的數(shù)量積T7

T15

T13T3T34.復(fù)數(shù)T2T2T2T1T2T2T2T1T2T1優(yōu)化備考策略考情分析:平面向量和復(fù)數(shù)在高考中每年必考,一般情況下各命制一道客觀題,復(fù)數(shù)多為選擇題,且題號比較靠前,屬于簡單的保分題,主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、四則運算.平面向量的考查則相對靈活,題型多變,難度不等.主要考點有平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用、平面向量的坐標運算及線性運算等.平面向量有時也作為工具,與平面幾何、解三角形、解析幾何等知識綜合呈現(xiàn).復(fù)習(xí)策略:1.復(fù)數(shù)部分:本部分知識不用研究過難過深,能準確地進行復(fù)數(shù)的四則運算,并熟練記憶復(fù)數(shù)的模、共軛、實部、虛部、純虛數(shù)等概念,明確復(fù)數(shù)的幾何意義,還要關(guān)注一元二次方程復(fù)數(shù)根的問題.2.平面向量部分:(1)本部分知識較為瑣碎,需要通過梳理分類,構(gòu)建完整的知識體系,記憶相關(guān)的概念、公式和結(jié)論.(2)重視向量“數(shù)”“形”兼?zhèn)涞奶攸c,解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想.(3)重視向量的工具作用,復(fù)習(xí)時要了解并體會向量與其他知識交匯命題的特點.(4)向量數(shù)量積公式及其變形是本部分知識的重點,要理清各個知識點間的聯(lián)系.掌握常用的解題技巧與規(guī)律.課標解讀1.通過力和力的分析等實例,了解向量的實際背景,理解平面向量和相等向量的含義,理解向量的幾何表示.2.通過實例,掌握向量的加、減運算,并理解其幾何意義.3.通過實例,掌握向量的數(shù)乘運算,并理解其幾何意義,以及兩個向量共線的含義.4.理解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.強基礎(chǔ)?固本增分知識梳理1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注向量零向量長度為

的向量叫做零向量

記作0單位向量長度等于

的向量,叫做單位向量

一個與之同向,另一個反向,這兩個單位向量互為相反向量大小方向長度模01個單位長度名稱定義備注平行向量(共線向量)方向

或

的非零向量叫做平行向量(共線向量)

零向量與任意向量平行相等向量長度

且方向

的向量叫做相等向量

兩向量只有相等或不相等,不能比較大小相反向量長度

且方向

的向量叫做相反向量

零向量的相反向量仍是零向量相同相反相等相同相等相反

2.向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算,叫做向量的加法

三角形法則

適用于任意兩個非零向量求和

平行四邊形法則

只能用于兩個不共線向量求和交換律:a+b=

結(jié)合律:(a+b)+c=

b+aa+(b+c)向量運算定義法則(或幾何意義)運算律減法向量a加上b的相反向量,叫做a與b的差.求兩個向量差的運算叫做向量的減法

三角形法則—數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算叫做向量的數(shù)乘|λa|=

;

當(dāng)λ>0時,λa的方向與a的方向

;當(dāng)λ<0時,λa的方向與a的方向

;當(dāng)λ=0時,λa=0

λ(μa)=

;

(λ+μ)a=

;λ(a+b)=

(λ,μ為實數(shù))

|λ||a|相同相反(λμ)aλa+μaλa+λb[教材知識深化]1.兩個向量的和仍然是一個向量.2.利用三角形法則時,兩向量要首尾相連,利用平行四邊形法則時,兩向量要有相同的起點.3.當(dāng)兩個向量共線時,三角形法則仍然適用,而平行四邊形法則不再適用.3.共線向量定理不能漏掉這一條件向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實數(shù)λ,使得

.[教材知識深化]1.只有a≠0才能保證實數(shù)λ的存在性和唯一性.2.三點共線的幾個等價關(guān)系b=λa自主診斷

√×√×2.(人教A版必修第二冊習(xí)題6.2第10(1)題改編)已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,則|a-b|的取值范圍為

.[2,6]解析

當(dāng)a與b方向相同時,|a-b|=2,當(dāng)a與b方向相反時,|a-b|=6,當(dāng)a與b不共線時,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范圍為[2,6].

C

C

研考點?精準突破考點一平面向量的基本概念例1(1)(2024·重慶期末)下列說法正確的是(

)A.若|a|=|b|,則a=b,或a=-bB.單位向量的模是1,所有單位向量是相等向量C.相反向量的長度相等D.表示共線向量的有向線段在同一條直線上C解析

對于A,由|a|=|b|只知兩向量長度相等,方向不確定,故A錯誤;對于B,因為單位向量的方向不確定,故B錯誤;對于C,根據(jù)定義,一對相反向量要方向相反,模相等,故C正確;對于D,因為平面向量是自由向量,故表示共線向量的有向線段既可以在一條直線上,也可以分別在平行直線上,故D錯誤.

C

BC

考點二平面向量的線性運算(多考向探究預(yù)測)考向1

向量加、減法的幾何意義例2若向量a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,則向量a與向量a+b的夾角是

.(用弧度制表示)

[對點訓(xùn)練2]已知|a|=