【壓軸專練】專題08 二次函數(shù)實際應(yīng)用中的利潤問題（解析版）-2021-2022學(xué)年九上壓軸題攻略

專題08二次函數(shù)實際應(yīng)用中的利潤問題經(jīng)典例題例1.某電商銷售某種商品一段時間后，發(fā)現(xiàn)該商品每天的銷售量y（單位：千克）和每千克的售價x（單位：元）滿足一次函數(shù)關(guān)系（如圖所示），其中，（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）若該種商品的成本為每千克40元，該電商如何定價才能使每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；（2）該電商定價為70元時才能使每天獲得的利潤最大，最大利潤是1800元．【解析】（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，則由圖象可得和，代入得：，解得：，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；（2）設(shè)該電商每天所獲利潤為w元，由（1）及題意得：，∴-2＜0，開口向下，對稱軸為，∵，∴當(dāng)時，w有最大值，即為；答：該電商定價為70元時才能使每天獲得的利潤最大，最大利潤是1800元．例2.合肥百貨大樓以進價120元購進某種新商品，在5月份試銷階段發(fā)現(xiàn)，在售價不低于130元的情況下每件售價（元）與商品的日銷量（件）始終存在下表中的數(shù)量關(guān)系：每件銷售價格/元130135140…180…日銷售量/件706560…a…（1）請你觀察上面表格中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，填寫表中的a值為（2）若百貨大樓該商品柜組想日盈利達(dá)到1600元，應(yīng)將售價定為多少元？（3）柜組售貨員小李發(fā)現(xiàn)銷售該種商品m件與n件的利潤相同，且，請直接寫出m與n所滿足的關(guān)系式．【答案】（1）20；（2）160元；（3）m+n=80【解析】（1）∵130+70=200，135+65=200，140+60=200，∴每件的售價與產(chǎn)品的日銷量之和為200，∴a=200-180=20，故答案為：20；（2）由（1）知：當(dāng)每件產(chǎn)品每漲價1元時，日銷售量減少1件，設(shè)每件產(chǎn)品定價為x元（x＞120），則產(chǎn)品的日銷量為（200-x）元，依題意得：（x-120）（200-x）=1600，整理得：x2-320x+25600=0，解得：x1=x2=160．答：每件產(chǎn)品定價為160元時，每日盈利可達(dá)到1600元；（3）由（1）知：當(dāng)每件產(chǎn)品每漲價1元時，日銷售量減少1件，∴當(dāng)銷售該種商品m件時，定價為：（200-m）元，銷售該種商品n件時，定價為：（200-n）元，由題意得：（200-m-120）m=（200-n-120）n，整理得：（m-n）（m+n-80）=0，∵m≠n，∴m+n-80=0，即m+n=80．故答案為：（1）20；（2）160元；（3）m+n=80例3.某網(wǎng)店銷售一款市場上暢銷的蒸蛋器，進價為每個40元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，這款蒸蛋器銷售單價為60元時，每星期賣出100個．如果調(diào)整銷售單價，每漲價1元，每星期少賣出2個，現(xiàn)網(wǎng)店決定提價銷售，設(shè)銷售單價為x元，每星期銷售量為y個．（1）請直接寫出y（個）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價是多少元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤是2400元？（3）當(dāng)銷售單價是多少元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）y=-2x+220；（2）當(dāng)銷售單價是70元或80元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤是2400元；（3）當(dāng)銷售單價是75元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元．【解析】（1）由題意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；（2）由題意可得，（-2x+220）（x-40）=2400，解得，，，∴當(dāng)銷售單價是70元或80元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤是2400元．答：當(dāng)銷售單價是70元或80元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤是2400元．（3）設(shè)該網(wǎng)店每星期的銷售利潤為w元，由題意可得w=（-2x+220）（x-40）=，當(dāng)時，w有最大值，最大值為2450，∴當(dāng)銷售單價是75元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元．答：當(dāng)銷售單價是75元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤最大，最大利潤是2450元．【變式訓(xùn)練1】天府新區(qū)某商場開業(yè)后要經(jīng)營一種新上市的文具進價為10元/件．試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價是13元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件，設(shè)該商場銷售這種文具每天的銷售量為y件，銷售單價為x元/件．（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)商場每天的銷售利潤為w（元），若每天銷售量不少于150件，求商場每天的最大利潤．【答案】（1）；（2）1950元【解析】（1）當(dāng)銷售單價是13元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件，銷售量件，銷售單價元件之間的關(guān)系為：；（2）每天銷售量不少于150件，，即，解得，商場每天的銷售利潤，關(guān)于的拋物線對稱軸為，而，開口向下，當(dāng)時，圖象在對稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，時，最大，且最大值為1950，若每天銷售量不少于150件，則商場每天的最大利潤是1950元．【變式訓(xùn)練2】某地區(qū)在2020年開展脫貧攻堅的工作中大力種植有機蔬菜．某種蔬菜的銷售單價與銷售月份之間的關(guān)系如圖（1）所示，每千克成本與銷售月份之間的關(guān)系如圖（2）所示（其中圖（1）的圖象是直線，圖（2）的圖象是拋物線）．（1）求每千克蔬菜銷售單價與銷售月份之間的關(guān)系式；（2）判斷哪個月份銷售每千克蔬菜的收益最大？并求出最大收益；（3）求出一年中銷售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？【答案】（1）y=x+7；（2）5月出售每千克收益最大，最大為元；（3）一年中銷售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三個月．【解析】（1）設(shè)，將和代入得，，解得．；（2）設(shè)每千克成本與銷售月份之間的關(guān)系式為：y=a（x-6）2+1，把代入得，4=a（3-6）2+1，解得．，即．收益，，當(dāng)時，．故5月出售每千克收益最大，最大為元；（3）一年中銷售每千克蔬菜的收益：，當(dāng)時，，解得：x1=7，x2=3，，為正整數(shù)，∴一年中銷售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三個月．故答案為：（1）y=x+7；（2）5月出售每千克收益最大，最大為元；（3）一年中銷售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三個月．【變式訓(xùn)練3】紅星公司銷售一種成本為40元/件的產(chǎn)品，若月銷售單價不高于50元/件．一個月可售出5萬件；月銷售單價每漲價1元，月銷售量就減少萬件．其中月銷售單價不低于成本．設(shè)月銷售單價為x（單位：元/件），月銷售量為y（單位：萬件）．（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)月銷售單價是多少元/件時，月銷售利潤最大，最大利潤是多少萬元？（3）為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”政策，該公司決定在某月每銷售1件產(chǎn)品便向大別山區(qū)捐款a元．已知該公司捐款當(dāng)月的月銷售單價不高于70元/件，月銷售最大利潤是78萬元，求a的值．【答案】（1）；（2）當(dāng)月銷售單價是70元/件時，月銷售利潤最大，最大利潤是90萬元；（3）4．【解析】（1）由題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，解得，綜上，；（2）設(shè)該產(chǎn)品的月銷售利潤為萬元，①當(dāng)時，，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在內(nèi)，隨的增大而增大，則當(dāng)時，取得最大值，最大值為；②當(dāng)時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，取得最大值，最大值為90，因為，所以當(dāng)月銷售單價是70元/件時，月銷售利潤最大，最大利潤是90萬元；（3）捐款當(dāng)月的月銷售單價不高于70元/件，月銷售最大利潤是78萬元（大于50萬元），，設(shè)該產(chǎn)品捐款當(dāng)月的月銷售利潤為萬元，由題意得：，整理得：，，在內(nèi)，隨的增大而增大，則當(dāng)時，取得最大值，最大值為，因此有，解得．【變式訓(xùn)練4】某企業(yè)研發(fā)了一種新產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本為30元/件，且年銷售量（萬件）與售價（元/件）的函數(shù)關(guān)系式為（1）當(dāng)售價為60元/件時，年銷售量為________萬件；（2）當(dāng)售價為多少時，銷售該產(chǎn)品的年利潤最大？最大利潤是多少？（3）若銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）20；（2）當(dāng)售價為50元/件時，年銷售利潤最大，最大為800萬元；（3）【解析】（1）．（2）設(shè)銷售該產(chǎn)品的年利潤為萬元，當(dāng)時，．∵，∴當(dāng)時，當(dāng)時，∵，，∴當(dāng)時，∵，∴當(dāng)時，∴當(dāng)售價為50元/件時，年銷售利潤最大，最大為800萬元．（3）理由如下：由題意得故答案為：（1）20；（2）當(dāng)售價為50元/件時，年銷售利潤最大，最大為800萬元；（3）課后訓(xùn)練1．某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價為100元時，每月的銷售量為50件，而銷售單價每降低2元，則每月可多售出10件，且要求銷售單價不得低于成本．（1）求該商品每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不需要求自變量取值范圍）（2）若使該商品每月的銷售利潤為4000元，并使顧客獲得更多的實惠，銷售單價應(yīng)定為多少元？（3）超市的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該商品每月銷售量超過某一數(shù)量時，會出現(xiàn)所獲利潤反而減小的情況，為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應(yīng)定為多少元？【答案】（1）；（2）70元；（3）80元．【解析】（1）∵依題意得，∴與的函數(shù)關(guān)系式為；（2）∵依題意得，即，解得：，，∵∴當(dāng)該商品每月銷售利潤為，為使顧客獲得更多實惠，銷售單價應(yīng)定為元；（3）設(shè)每月總利潤為，依題意得

∵，此圖象開口向下∴當(dāng)時，有最大值為：（元），∴當(dāng)銷售單價為元時利潤最大，最大利潤為元，故為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應(yīng)定為元．2．紅星工廠研發(fā)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，成本為3萬元/噸，每天最多能生產(chǎn)15噸．工廠為持續(xù)發(fā)展，嘗試與博飛銷售公司建立產(chǎn)銷合作關(guān)系，雙方約定：合作第一個月，工廠產(chǎn)品僅由博飛銷售公司訂購代銷，并每天按博飛銷售公司當(dāng)日訂購產(chǎn)品數(shù)量生產(chǎn)，當(dāng)日出廠價格y（萬元/噸）與當(dāng)日訂購產(chǎn)品數(shù)量x（噸）之間的關(guān)系如圖所示：（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）紅星工廠按產(chǎn)銷合作模式生產(chǎn)這種產(chǎn)品，設(shè)第一個y（萬元/噸）月單日所獲利潤為w（萬元），①求w（萬元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式；②為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”政策，紅星工廠決定，將合作第一個月中單日所獲最大利潤捐贈給附近村委會．試問：工廠這次為“鄉(xiāng)村振興”最多捐贈多少萬元？【答案】（1）；（2）①w=；②工廠這次為“鄉(xiāng)村振興”最多捐贈15萬元．【解析】（1）當(dāng)0≤x≤5時，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，把（0，9），（5，4）代入上式，得，解得：，∴y=-x+9，當(dāng)5＜x≤15時，y=4，綜上所述：；（2）①由題意得：w=(y-3)x=，∴w=；②當(dāng)時，w=，此時x=3，w最大值=9，當(dāng)時，w=x，此時，x=15，w最大值=15，綜上所述：工廠這次為“鄉(xiāng)村振興”最多捐贈15萬元．3．一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進價為每件3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)銷售量y（件）與售價（元/件）（為正整數(shù)）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系：（元/件）456（件）1000095009000（1）求與的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量的取值范圍）；（2）在銷售過程中要求銷售單價不低于成本價，且不高于15元/件．若某一周該商品的銷售量不少于6000件，求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤及此時的銷售單價分別為多少元？【答案】（1）；（2）一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元，銷售單價分別為12元【解析】（1）設(shè)和的函數(shù)表達(dá)式為，則，解得，故和的函數(shù)表達(dá)式為；．（2）設(shè)這一周該商場銷售這種商品的利潤為元，由題意得：，解得，這一周該商場銷售這種商品獲得利潤：，∴，∵，故時，有最大值為54000，答：一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元，銷售單價為12元．4．夏天到了，寧波人最惦記的水果——楊梅進入成熟期，一水果店老板進行楊梅銷售，已知楊梅進價為元/千克．如果售價為元/千克，那么每天可售出千克：如果售價為元/千克，那么每天可售出千克．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每天銷售盤(千克）與售價(元/千克)之間存在一次函數(shù)關(guān)系．（1）求出關(guān)于的一次函數(shù)關(guān)系式；（2）若楊梅售價不得高于元/千克，該店主銷售楊梅每天要獲得元的毛利潤，則銷售單價應(yīng)定為多少元/千克?（毛利潤=銷售額-進貨成本〉（3）設(shè)楊梅每天銷售的毛利潤為元，當(dāng)楊梅的售價定為多少元/千克時，每天銷售獲得的毛利潤最大?最大毛利潤是多少元?【答案】（1）y=-10x+450；（2）33元/千克；（3）售價定為35元/千克時，每天銷售獲得的毛利潤最大，最大毛利潤是1000元．【解析】（1）∵每天銷售量y（千克）與售價x（元/千克）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，∴設(shè)y=kx+b，∵x=30時，y=150，x=32時，y=130，則，解得：，∴y關(guān)于x的一次函數(shù)關(guān)系式：y=-10x+450；（2）設(shè)銷售單價應(yīng)定為x元/千克，由題意得：（x-25）（-10x+450）=960，解得：x=37或x=33，∵楊梅售價不得高于36元/千克，∴x=37不合題意，∴x=33，答：銷售單價應(yīng)定為33元/千克；（3）設(shè)楊梅的售價定為m元/千克時，每天銷售獲得的毛利潤最大，則W=（m-25）（-10m+450）=-10m2+700m-11250=-10（m-35）2+1000，∵-10＜0，∴當(dāng)m=35時，W有最大值，最大值1000元，答：楊梅的售價定為35元/千克時，每天銷售獲得的毛利潤最大，最大毛利潤是1000元．5．某商店從廠家以每件2元的價格購進一批商品，在市場試銷中發(fā)現(xiàn)，此商品的月銷售量（單位：萬件）與銷售單價（單位：元）之間有如下表所示關(guān)系：…4.05.05.56.57.5……8.06.05.03.01.0…（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在圖中描出實數(shù)對所對應(yīng)的點，并畫出關(guān)于的函數(shù)圖