2026版《優(yōu)化設(shè)計(jì)大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計(jì)新高考版）第7節(jié)對數(shù)函數(shù)

第7節(jié)對數(shù)函數(shù)高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.通過具體實(shí)例,了解對數(shù)函數(shù)的概念.能畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).2.知道對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)(a>0,且a≠1).強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識梳理1.對數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù),其中x是自變量,定義域是

.[教材知識深化]對數(shù)函數(shù)解析式y(tǒng)=logax的三個特征:(1)底數(shù)a>0,且a≠1;(2)真數(shù)是自變量x且x>0;(3)系數(shù)為1.(0,+∞)2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)a>10<a<1圖象

圖象特征在y軸右側(cè),過定點(diǎn)(1,0)

這是因?yàn)閘oga1=0

當(dāng)x逐漸增大時(shí),圖象是上升的當(dāng)x逐漸增大時(shí),圖象是下降的性質(zhì)定義域(0,+∞)值域R單調(diào)性在(0,+∞)上單調(diào)遞增在(0,+∞)上單調(diào)遞減函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x=1時(shí),y=0當(dāng)x>1時(shí),y>0;當(dāng)0<x<1時(shí),y<0當(dāng)x>1時(shí),y<0;當(dāng)0<x<1時(shí),y>0[教材知識深化]1.對數(shù)值的符號規(guī)律:logax>0?(a-1)(x-1)>0,logax<0?(a-1)(x-1)<0(其中a>0,a≠1,x>0).2.在直線x=1的右側(cè),當(dāng)a>1時(shí),底數(shù)越大,圖象越靠近x軸;當(dāng)0<a<1時(shí),底數(shù)越小,圖象越靠近x軸.也就是說,在第一象限內(nèi),不同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.3.函數(shù)y=loga|x|與y=|logax|(a>0,a≠1)的性質(zhì)

函數(shù)y=loga|x|y=|logax|a>10<a<1a>10<a<1定義域(-∞,0)∪(0,+∞)(0,+∞)值域R[0,+∞)奇偶性偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增;在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減;在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增圖象

微思考如何確定對數(shù)型函數(shù)y=kloga(mx+n)+b(a>0,且a≠1,m≠0)圖象所過的定點(diǎn)?

3.反函數(shù)一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為

,它們的定義域與值域正好互換.[教材知識深化]1.只有在定義域上單調(diào)的函數(shù)才存在反函數(shù).2.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.反函數(shù)自主診斷

××√×

3.(人教B版必修第二冊習(xí)題4-2

B第6題改編)已知0<m<n,且m≠1,n≠1,則logm7與logn7的大小關(guān)系是

.當(dāng)1<m<n或0<m<n<1時(shí),logm7>logn7;當(dāng)0<m<1<n時(shí),logm7<logn7解析

當(dāng)n>m>1時(shí),函數(shù)y=logmx和y=lognx的圖象如圖①所示,當(dāng)x=7時(shí),數(shù)形結(jié)合可得logm7>logn7.當(dāng)0<m<n<1時(shí),函數(shù)y=logmx和y=lognx的圖象如圖②所示,當(dāng)x=7時(shí),數(shù)形結(jié)合知logm7>logn7.當(dāng)0<m<1<n時(shí),函數(shù)y=logmx與y=lognx的圖象如圖③所示,當(dāng)x=7時(shí),顯然,logn7>logm7.①②③二、連線高考4.(2024·天津,5)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,則a,b,c的大小關(guān)系為(

)A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>aB解析

∵函數(shù)y=4.2x在R上單調(diào)遞增,且-0.3<0<0.3,∴0<4.2-0.3<4.20<4.20.3,即0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0<a<1<b.∵函數(shù)y=log4.2x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且0<0.2<1,∴l(xiāng)og4.20.2<log4.21=0,即c<0.∴b>a>c.故選B.

A

研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例1(1)(2024·山東濰坊模擬)若函數(shù)f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上既是奇函數(shù),又是減函數(shù),則g(x)=loga(x+k)的圖象是(

)A

(2)(2024·北京海淀模擬)不等式2log3x-(x-1)(x-2)>0的解集為

.(1,3)

[對點(diǎn)訓(xùn)練1](1)已知函數(shù)f(x)=loga(x-b)(a>0,且a≠1,a,b為常數(shù))的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(

)A.a>0,b<-1 B.a>0,-1<b<0C.0<a<1,b<-1 D.0<a<1,-1<b<0D解析

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=loga(x-b)為減函數(shù),所以0<a<1.因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸的交點(diǎn)在正半軸,所以1+b>0,即b>-1.因?yàn)楹瘮?shù)圖象與y軸有交點(diǎn),所以b<0,所以-1<b<0.故選D.

考點(diǎn)二對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用(多考向探究預(yù)測)

D

(2)(多選題)若實(shí)數(shù)a,b,c滿足loga2<logb2<logc2,則下列關(guān)系中可能成立的是(

)A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<bBCD解析

由loga2<logb2<logc2的大小關(guān)系,可知a,b,c有如下四種可能:①1<c<b<a;②0<a<1<c<b;③0<b<a<1<c;④0<c<b<a<1.作出函數(shù)的圖象(如圖所示).

①

②

③

④由圖象可知B,C,D可能成立.規(guī)律方法比較對數(shù)值大小的方法若底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷;若底數(shù)為同一字母,則需對底數(shù)進(jìn)行分類討論若底數(shù)不同,真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后,再進(jìn)行比較若底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1,0等中間量進(jìn)行比較

AC

(2)(2024·安徽銅陵模擬)已知a=log75,b=log97,c=log119,則(

)A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.c<b<aA

考向2

求單調(diào)區(qū)間或參數(shù)取值范圍例3(1)(2024·河北唐山模擬)函數(shù)f(x)=lg(x+1)+lg(3-x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

.(-1,1)

變式探究1本例(1)中,若函數(shù)解析式不變,則函數(shù)f(x)的最大值為

.lg4解析

由于f(x)的定義域?yàn)?-1,3),又f(x)=lg(-x2+2x+3),令u=-x2+2x+3,易知,u有最大值4,因此函數(shù)f(x)的最大值為lg

4.

(-∞,-4]∪[0,+∞)

D

(2,+∞)

規(guī)律方法求解對數(shù)不等式的兩種類型及方法類型方法logax>logab借助y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況討論logax>b需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式,再借助y=logax的單調(diào)性求解

C

(2)已知函數(shù)f(x)=-x2+4x+a+16(a∈R),則關(guān)于x的不等式f(log2x)>f(1)的解集為(

)A.(2,+∞) B.(0,2)C.(2,6) D.(2,8)D解析

由題意,得f(x)=-(x-2)2+a+20,則函數(shù)f(x)的圖象是以直線x=2為對稱軸且開口向下的拋物線,所以f(1)=f(3).由f(log2x)>f(1),可得1<log2x<3,解得2<x<8,所以不等式f(log2x)>f(1)的解集為(2,8).考點(diǎn)三與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問題