廣東省廣州三校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州三校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，若要，則需，所以解得，所以所以.故選：.2.給出下列命題，其中是正確命題的是（）A.兩個(gè)函數(shù)，表示的是同一函數(shù)B.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是C.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)镈.命題“，”的否定是“，”【答案】C【解析】，，定義域不同,兩函數(shù)不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和，故B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，解得，所以函?shù)的定義域?yàn)椋蔆正確；命題“，”的否定是“，”，故D錯(cuò)誤.故選：C3.近日，我國(guó)某生命科學(xué)研究所的生物研究小組成員通過大量的實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得出睡眠中的恒溫動(dòng)物的脈搏率（單位時(shí)間內(nèi)心跳的次數(shù)）與其自身體重滿足的函數(shù)模型.已知一只恒溫動(dòng)物兔子的體重為2kg、脈搏率為205次，若經(jīng)測(cè)量一匹馬的脈搏率為41次，則這匹馬的體重為（）A.350kg B.450kg C.500kg D.250kg【答案】D【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，則，故.故選：D.4.已知，那么下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若且，則【答案】C【解析】．若，當(dāng)時(shí)，，所以不成立；．若，當(dāng)時(shí)，則，所以不成立；．若，，由，所以成立．若且，當(dāng)時(shí)，則，所以，則不成立．故選：．5.關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）.①；②關(guān)于的不等式的解集為；③；④關(guān)于的不等式的解集為.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以且和是的解，所以說法①正確；由韋達(dá)定理得，，解得，所以即為，故，所以說法②錯(cuò)誤；，所以說法③正確；不等式即為，即，解得，所以不等式的解集為，所以說法④正確.故選：C.6.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可知，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，如圖：當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，則，所以，綜上，不等式的解集為.故選：B.7.已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，所以，所以成立，構(gòu)造，所以由上述過程可得在單調(diào)遞增，(i)若，則對(duì)稱軸，解得；(ii)若，在單調(diào)遞增，滿足題意；(iii)若，則對(duì)稱軸恒成立；綜上，，故選：D8.若對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都有，則稱函數(shù)為“雙倍函數(shù)”.已知函數(shù)是定義在上的“雙2倍函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知，對(duì)，都有，設(shè)，則所以又，所以則因?yàn)楹瘮?shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，記，則方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根為，且和都有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，由圖可知，當(dāng)時(shí)，有，且，此時(shí)和都有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，滿足題意.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知實(shí)數(shù)滿足，下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)?，所以，?duì)于A選項(xiàng)，由，可得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由，又，所以，則，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因故D項(xiàng)正確.故選：BCD.10.已知，且，則下列正確的有（）A.的最大值是 B.的最小值是C.的最大值是9 D.的最小值是【答案】AB【解析】因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，B正確．，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，C錯(cuò)誤；由得，所以，D錯(cuò)；故選：AB．11.定義在上的函數(shù)滿足下列條件：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.當(dāng)時(shí)，C. D.在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由，取，得，，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由，取，因，故，即，當(dāng)時(shí)，，則，故，即，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由，取，可得，，整理得，，因，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，但因的符號(hào)不能確定，故不一定有，即不一定成立，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，任取，則，依題意，，而，則，即，即在上是增函數(shù).于是，對(duì)于，任取，因，則，即，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.__________.【答案】【解析】.故答案為：13.已知冪函數(shù)過點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)，則，解得，則，其定義域?yàn)椋以趩握{(diào)遞減.所以由，可得，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.定義區(qū)間的長(zhǎng)度均為，多個(gè)區(qū)間并集的長(zhǎng)度為各區(qū)間長(zhǎng)度之和，例如,的長(zhǎng)度.用表示不超過的最大整數(shù)，記，其中.設(shè)，，當(dāng)時(shí),不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度為，則的值為_______．【答案】7【解析】，即，當(dāng)時(shí),，上式可化為，∴；當(dāng)時(shí),，上式可化為，∴；當(dāng)時(shí),,上式可化為，∴當(dāng)時(shí),不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度為；同理可得,當(dāng)時(shí),不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度為；∵不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度為5，∴，∴.故答案為7.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合.（1）若，求；（2）若存在正實(shí)數(shù)，使得“”是“”成立的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），則.當(dāng)時(shí)，，則.故；（2）.由題，則.又“”是“”成立的充分不必要條件，則是的真子集，則，又注意到滿足條件.則實(shí)數(shù)的取值范圍是16.設(shè)．（1）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式．解：（1）由題設(shè)，即對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，不恒成立；當(dāng)時(shí)，只需，可得；綜上，.（2）當(dāng)時(shí)，，即，可得；解集為；當(dāng)時(shí)，，若，則，若，即時(shí)，可得或，解集為；若，即時(shí)，可得，解集為；若，即時(shí)，可得或，解集為；若，則，可得，解集為.17.學(xué)習(xí)機(jī)是一種電子教學(xué)類產(chǎn)品，也統(tǒng)指對(duì)學(xué)習(xí)有輔助作用的所有電子教育器材．學(xué)習(xí)機(jī)較其他移動(dòng)終端更注重學(xué)習(xí)資源和教學(xué)策略的應(yīng)用，課堂同步輔導(dǎo)?全科輔學(xué)功能?多國(guó)語言學(xué)習(xí)?標(biāo)準(zhǔn)專業(yè)詞典以及內(nèi)存自由擴(kuò)充等功能成為學(xué)習(xí)機(jī)的主流競(jìng)爭(zhēng)手段，越來越多的學(xué)習(xí)機(jī)產(chǎn)品全面兼容網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)?情境學(xué)習(xí)?隨身學(xué)習(xí)機(jī)外教?單詞聯(lián)想記憶?同步教材講解?互動(dòng)全真題庫?權(quán)威詞典?在線圖書館等多種模式，以及大內(nèi)存和SD/MMC卡內(nèi)存自由擴(kuò)充功能根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查．某學(xué)習(xí)機(jī)公司生產(chǎn)學(xué)習(xí)機(jī)的年固定成本為20萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為萬元，且．當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)8萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤(rùn)為1196萬元；當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)20萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤(rùn)為2960萬元．（1）寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，公司在該款學(xué)習(xí)機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．解：（1）因?yàn)楫?dāng)生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)8萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤(rùn)為1196萬元，所以，解得，當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)20萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤(rùn)為2960萬元，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上．（2）①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)時(shí)，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以此時(shí)的最大值為，綜合①②知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為3680萬元．18.雙曲函數(shù)是工程數(shù)學(xué)中一類重要的函數(shù)，它也是一類最重要的基本初等函數(shù)，它的性質(zhì)非常豐富，常見的兩類雙曲函數(shù)為正余弦雙曲函數(shù)，解析式如下：雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)：（1）請(qǐng)選擇下列2個(gè)結(jié)論中的一個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明：選擇______（若兩個(gè)均選擇，則按照第一個(gè)計(jì)分）①

②（2）請(qǐng)證明雙曲正弦函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）求函數(shù)在R上的值域．（1）解：若選擇①：由題意，，則若選擇②：.（2）證明：，且∵，∴，，∴，即所以在上是增函數(shù)．（3由（1）知，，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，令，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故的值域?yàn)?，即的值域?yàn)椋?9.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為大于的常?shù)，對(duì)任意，都滿足，則稱函數(shù)在上具有“性質(zhì)”．（1）試判斷函數(shù)和函數(shù)是否具有“性質(zhì)”（無需證明）；（2）若函數(shù)具有“性質(zhì)”，且，求證：對(duì)任意，都有；（3）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且具有“性質(zhì)”，試判斷下列命題的真假，并說明理由，①若在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則此函數(shù)在上也是嚴(yán)格增函數(shù)；②若在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則此函數(shù)在上也是嚴(yán)格減函數(shù)．（1）解：函數(shù)不具有“性質(zhì)”，函數(shù)具有“性質(zhì)”，理由如下：設(shè)，，對(duì)任意的，，所以，，所以，函數(shù)不具有“性質(zhì)”，對(duì)任意的，，所以，，所以，函數(shù)具有“性質(zhì)”.（2）證明：因?yàn)楹瘮?shù)具有“性質(zhì)”，對(duì)任意的，，