大學(xué)數(shù)學(xué)競賽a類試題及答案解析

大學(xué)數(shù)學(xué)競賽a類試題及答案解析

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的駐點(diǎn)是（）A.\(0\)和\(\pm1\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(0\)2.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.不存在D.\(\infty\)3.設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，則\(\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)是（）A.\(f^\prime(a)\)B.\(f^\prime(x)\)C.\(f(a)\)D.\(0\)4.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(0\)5.不定積分\(\intx^2dx\)等于（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(\frac{1}{4}x^4+C\)6.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\vertA\vert=0\)，則（）A.\(A\)的列向量組線性無關(guān)B.\(A\)的行向量組線性無關(guān)C.\(A\)不可逆D.\(A\)是零矩陣7.二元函數(shù)\(z=xy\)的全微分\(dz\)是（）A.\(xdy+ydx\)B.\(dy+dx\)C.\(xy(dx+dy)\)D.\(xdy-ydx\)8.無窮級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是（）A.發(fā)散的B.收斂的C.條件收斂D.無法判斷9.設(shè)\(\vec{a}=(1,-2,3)\)，\(\vec=(2,1,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)的值為（）A.\(-1\)B.\(3\)C.\(6\)D.\(0\)10.方程\(x^2+y^2+z^2=1\)表示的曲面是（）A.拋物面B.圓錐面C.球面D.柱面二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=e^x\)2.下列導(dǎo)數(shù)公式正確的是（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=-\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.以下哪些是定積分的性質(zhì)（）A.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（\(a\ltc\ltb\)）4.關(guān)于矩陣\(A\)和\(B\)，以下說法正確的是（）A.\((AB)^\top=B^\topA^\top\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（\(AB=BA\)時(shí)）C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.若\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)5.下面哪些是函數(shù)\(f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處取得極值的必要條件（）A.\(f_x(x_0,y_0)=0\)B.\(f_y(x_0,y_0)=0\)C.\(f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-[f_{xy}(x_0,y_0)]^2\gt0\)D.\(f(x_0,y_0)\)在該點(diǎn)有定義6.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)7.向量\(\vec{a}=(1,1,-1)\)與下列向量垂直的有（）A.\(\vec=(1,-1,0)\)B.\(\vec{c}=(1,1,2)\)C.\(\vectir6qe6=(-1,1,0)\)D.\(\vec{e}=(0,1,1)\)8.平面方程\(Ax+By+Cz+D=0\)中，若\(A=0\)，則該平面（）A.平行于\(x\)軸B.垂直于\(x\)軸C.與\(x\)軸相交D.方程可寫成\(By+Cz+D=0\)9.下列屬于多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的有（）A.求函數(shù)的極值B.求曲線的切線C.求曲面的切平面D.計(jì)算二重積分10.關(guān)于極限的性質(zhì)，下列正確的是（）A.極限的唯一性B.收斂數(shù)列的有界性C.若\(\lim_{n\to\infty}a_n=A\)且\(A\gt0\)，則存在\(N\)，當(dāng)\(n\gtN\)時(shí)，\(a_n\gt0\)D.有限個(gè)無窮小的代數(shù)和是無窮小三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)處極限不存在。（）2.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.定積分的值與積分變量的選取無關(guān)。（）4.若矩陣\(A\)可逆，則\(A\)的行列式不為零。（）5.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處的偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x_0,y_0)\)就是\(z\)關(guān)于\(x\)的導(dǎo)數(shù)，把\(y\)看作常數(shù)。（）6.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}1\)是收斂的。（）7.兩個(gè)向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)的數(shù)量積\(\vec{a}\cdot\vec\)若為零，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)垂直。（）8.曲面\(z=x^2+y^2\)是旋轉(zhuǎn)拋物面。（）9.若函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）10.若矩陣\(A\)和\(B\)相似，則\(A\)和\(B\)有相同的特征值。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\lnx+x^2\)的導(dǎo)數(shù)。答案：\(y^\prime=(\lnx)^\prime+(x^2)^\prime=\frac{1}{x}+2x\)。2.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)。答案：由\(\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)，根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，\(\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\)。3.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣。答案：\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)，伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，所以\(A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。4.簡述判斷級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂的比較判別法。答案：設(shè)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)和\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在正整數(shù)\(N\)，當(dāng)\(n\gtN\)時(shí)，\(a_n\leqb_n\)，且\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)收斂，則\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂；若當(dāng)\(n\gtN\)時(shí)，\(a_n\geqb_n\)，且\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)發(fā)散，則\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)發(fā)散。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處的連續(xù)性。答案：\(f(x)\)在\(x=1\)處無定義，而\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2\)，函數(shù)在該點(diǎn)極限存在但函數(shù)值不存在，所以\(f(x)\)在\(x=1\)處不連續(xù)。2.討論矩陣可逆的判定方法有哪些。答案：矩陣\(A\)可逆的判定方法：行列式\(\vertA\vert\neq0\)；存在矩陣\(B\)使\(AB=BA=E\)；矩陣\(A\)滿秩；\(A\)的特征值都不為零等。3.討論多元函數(shù)極值判定的充分條件。答案：設(shè)函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又\(f_x(x_0,y_0)=0\)，\(f_y(x_0,y_0)=0\)。令\(A=f_{xx}(x_0,y_0)\)，\(B=f_{xy}(x_0,y_0)\)，\(C=f_{yy}(x_0,y_0)\)，當(dāng)\(AC-B^2\gt0\)且\(A\lt0\)時(shí)，\(f(x_0,y_0)\)是極大值；當(dāng)\(AC-B^2\gt0\)且\(A\gt0\)時(shí)，\(f(x_0,y_0)\)是極小值；當(dāng)\(AC-B^2\lt0\)時(shí)，\((x_0,y_0)\)不是極值點(diǎn)；當(dāng)\(AC-B^2=0\)時(shí)，不能確定。4.討論如何利用級(jí)數(shù)的性質(zhì)判斷級(jí)數(shù)收斂性。答案：可利用級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列的極限是否存在判斷收斂性；利用級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，如收斂級(jí)數(shù)的和差仍收斂；正項(xiàng)級(jí)數(shù)可用比較判別法、比值判別法等；交錯(cuò)級(jí)數(shù)用萊布尼茨判別法等判斷收斂