云南師大附中2024-2025學年數(shù)學高二下期末達標檢測試題含解析

云南師大附中2024-2025學年數(shù)學高二下期末達標檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列命題中正確的個數(shù)是（）①命題“若x2-3x+2=0,則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則②“a≠0”是“a2③若p∧q為假命題，則p，q為假命題;④若命題p:?x0∈R,x0A．1 B．3 C．2 D．42．設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則函數(shù)有極值點的概率為（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.53．有一散點圖如圖所示，在5個數(shù)據(jù)中去掉（3，10）后，下列說法正確的是（）A．殘差平方和變小 B．方差變大C．相關指數(shù)變小 D．解釋變量與預報變量的相關性變?nèi)?．在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為“鱉臑”.那么從長方體八個頂點中任取四個頂點，則這四個頂點組成的幾何體是“鱉臑”的概率為（）A． B． C． D．5．在等差數(shù)列{an}中，若a2=4，A．-1 B．0 C．1 D．66．已知實數(shù)滿足條件，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為（）A． B．C． D．8．在極坐標系中，與關于極軸對稱的點是（）A． B． C． D．9．設是等差數(shù)列的前項和，已知，，則等于（）．A． B． C． D．10．已知為定義在上的奇函數(shù)，且滿足，則的值為()A． B． C． D．11．已知面積為的等腰內(nèi)接于拋物線，為坐標原點，，為拋物線的焦點，點.若是拋物線上的動點，則的最大值為（）A． B． C． D．12．復數(shù)在平面內(nèi)對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”則乙的卡片上的數(shù)字是______.14．是虛數(shù)單位，若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)____________.15．已數(shù)列，令為，，，中的最大值2，，，則稱數(shù)列為“控制數(shù)列”，數(shù)列中不同數(shù)的個數(shù)稱為“控制數(shù)列”的“階數(shù)”例如：為1，3，5，4，2，則“控制數(shù)列”為1，3，5，5，5，其“階數(shù)”為3，若數(shù)列由1，2，3，4，5，6構成，則能構成“控制數(shù)列”的“階數(shù)”為2的所有數(shù)列的首項和是______．16．已知集合，集合，那么集合的子集個數(shù)為___個．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性；（2）若在是增函數(shù)，求實數(shù)的范圍.18．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，，平面，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍.20．（12分）2119年2月13日《煙臺市全民閱讀促進條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權利，培養(yǎng)全民閱讀習慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設．某高校為了解條例發(fā)布以來全校學生的閱讀情況，隨機調(diào)查了211名學生每周閱讀時間(單位：小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這211名學生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表)；（2）由直方圖可以認為，目前該校學生每周的閱讀時間服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．（i）一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布的概率進行計算：若令，則，且．利用直方圖得到的正態(tài)分布，求．(ii)從該高校的學生中隨機抽取21名，記表示這21名學生中每周閱讀時間超過11小時的人數(shù)，求(結(jié)果精確到1．1111)以及的數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：．若，則．21．（12分）選修4-5：不等式選講設的最小值為.（1）求實數(shù)的值；（2）設，，，求證：.22．（10分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，，分別為線段，上的點，且，，.(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)逆否命題的概念、必要不充分條件的知識、含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的知識、特稱命題的否定是全稱命題的知識，對四個命題逐一分析，由此得出正確選項.【詳解】對于①，根據(jù)逆否命題的概念可知，①正確.對于②，當“a≠0”時，a2+a=0可能成立，當“a2+a≠0”時，“a≠0”，故“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分條件，即②正確.對于③，若p∧q為假命題，則本小題主要考查逆否命題、必要不充分條件、含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性、全稱命題與特稱命題等知識的運用，屬于基礎題.2、C【解析】分析：函數(shù)有極值點，則有解，可得的取值范圍，再根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，可得曲線關于直線對稱，從而可得結(jié)論.詳解：函數(shù)有極值點，有解，，，隨機變量服從正態(tài)分布，若，.故選：C.點睛：本題考查函數(shù)的極值點，考查正態(tài)分布曲線的對稱性，同時考查運算求解的能力，屬于中檔題.3、A【解析】

由散點圖可知，去掉后，與的線性相關性加強，由相關系數(shù)，相關指數(shù)及殘差平方和與相關性的關系得出選項.【詳解】由散點圖可知，去掉后，與的線性相關性加強，且為正相關，所以變大，變大，殘差平方和變小，故選A.該題考查的是有關線性相關性強弱的問題，涉及到的知識點有相關系數(shù)，相關指數(shù)，以及殘差平方和與相關性的關系，屬于簡單題目.4、C【解析】

本題是一個等可能事件的概率，從正方體中任選四個頂點的選法是，四個面都是直角三角形的三棱錐有4×6個，根據(jù)古典概型的概率公式進行求解即可求得．【詳解】由題意知本題是一個等可能事件的概率，從長方體中任選四個頂點的選法是，以A為頂點的四個面都是直角三角形的三棱錐有：共個．同理以為頂點的也各有個，但是，所有列舉的三棱錐均出現(xiàn)次，四個面都是直角三角形的三棱錐有個，所求的概率是故選：C．本題主要考查了古典概型問題，解題關鍵是掌握將問題轉(zhuǎn)化為從正方體中任選四個頂點問題，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.5、B【解析】在等差數(shù)列an中，若a2=4,a4=2，則6、D【解析】

如圖所示，畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)平移得到答案.【詳解】如圖所示，畫出可行域和目標函數(shù)，，則，表示直線軸截距的相反數(shù)，根據(jù)圖像知：當直線過，即，時有最小值為；當直線過，即時有最大值為，故.故選：.本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關鍵.7、B【解析】

根據(jù)伸縮變換的關系表示已知函數(shù)的坐標，代入已知函數(shù)的表示式得解.【詳解】由伸縮變換，得，代入，得，即．選B本題考查函數(shù)圖像的伸縮變換，屬于基礎題.8、B【解析】

直接根據(jù)極軸對稱性質(zhì)得到答案.【詳解】在極坐標系中，與關于極軸對稱的點是.故選：.本題考查了極軸的對稱問題，屬于簡單題.9、C【解析】試題分析：依題意有，解得，所以.考點：等差數(shù)列的基本概念.【易錯點晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準它們的值.運用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算．10、A【解析】

由已知求得函數(shù)的周期為4，可得f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．【詳解】∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（﹣x）＝f（2+x），又f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，∴f（2+x）＝﹣f（x），則f[2+（2+x）]＝﹣f（2+x）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），即f（4+x）＝f（x），∴f（x）為以4為周期的周期函數(shù)，由f（1+x）＝f（1﹣x），得f（2）＝f（1）＝1，∴f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．故選：A．本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應用，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．11、B【解析】

根據(jù)題意求得兩點關于對稱，得到直線的方程為，由的面積為，求得，再把過點N的直線方程為，代入，求得判別式求得，最后利用拋物線的定義，即可求解.【詳解】設等腰直角三角形的頂點，且，由，得，所以，即，因為，所以，即兩點關于對稱，所以直線的方程為，由，解得或，故，所以，因為的面積為，所以，過點N的直線方程為，代入可得，所以由，可得，此時直線的傾斜角為，過M作準線的垂線，垂足為A，則，所以，所以直線的傾斜角為或時，此時的最大值為，故選B.本題主要考查了拋物線的標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應用，其中解答中求得兩點關于對稱，合理利用拋物線的定義是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.12、B【解析】分析：先化簡復數(shù)z,再判斷其在平面內(nèi)對應的點在第幾象限.詳解：由題得，所以復數(shù)z在平面內(nèi)對應的點為，所以在平面內(nèi)對應的點在第二象限.故答案為B.點睛：（1）本題主要考查復數(shù)的計算和復數(shù)的幾何意義，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)復數(shù)對應的點是（a,b）,點（a,b）所在的象限就是復數(shù)對應的點所在的象限.復數(shù)和點（a,b）是一一對應的關系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1和2【解析】

由題意分析可知甲的卡片上的數(shù)字為1和2，乙的卡片上的數(shù)字為1和2，丙的卡片上的數(shù)字為1和1．【詳解】由題意可知丙不拿1和2．

若丙拿1和1，則乙拿1和2，甲拿1和2，滿足題意；

若丙拿1和2，則乙拿1和2，甲拿1和1，不滿足題意．

故乙的卡片上的數(shù)字是1和2．故答案為：1和2本題主要考查推理，考查學生邏輯思維能力，屬于基礎題．14、2【解析】

化簡復數(shù)，實部為0，計算得到答案.【詳解】為純虛數(shù)故答案為2本題考查了復數(shù)的計算，屬于簡單題.15、1044【解析】

根據(jù)新定義，分別利用排列、組合，求出首項為1，2，3，4，5的所有數(shù)列，再求出和即可．【詳解】依題意得，首項為1的數(shù)列有1，6，a，b，c，d，故有種，首項為2的數(shù)列有2，1，6，b，c，d，或2，6，a，b，c，d，故有種，首項為3的數(shù)列有3，6，a，b，c，d，或3，1，6，b，c，d，或3，2，6，b，c，d或3，1，6，c，d或，3，2，1，6，c，d，故有種，首項為4的數(shù)列有種，即4，6，a，b，c，d，有種，4，1，6，b，c，d，或4，2，6，b，c，d，或4，3，6，b，c，d，有種，4，a，b，6，c，d，其中a，2，，則有種，4，a，b，c，6，d，其中a，b，2，，則有6種，首項為5的數(shù)列有種，即5，6，a，b，c，d，有種，5，1，6，b，c，d，或5，2，6，b，c，d，或5，3，6，b，c，d，或5，4，6，b，c，d有種，5，a，b，6，c，d，其中a，2，3，，則有種，5，a，b，c，6，d，其中a，b，2，3，，則有24種，5，a，b，c，d，6，其中a，b，c，2，3，，則有24種，綜上，所有首項的和為．故答案為1044本題主要考查了排列組合，考查了新定義問題，屬于難題16、1．【解析】

可以求出集合M，N，求得并集中元素的個數(shù)，從而得出子集個數(shù)．【詳解】∵M＝{﹣1，1}，N＝{1，2}；∴M∪N＝{﹣1，1，2}；∴M∪N的子集個數(shù)為23＝1個．故答案為：1．本題考查描述法、列舉法的定義，以及并集的運算，子集的定義，以及集合子集個數(shù)的求法．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當時，為偶函數(shù)，當時，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù),；（2）.【解析】

（1）當時，，對任意，，為偶函數(shù)．當時，，取，得，，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（2）設，，要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須恒成立．，即恒成立．又，．的取值范圍是．18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由題意知為，利用等腰三角形三線合一的思想得出，由平面可得出，再利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面；（2）以點為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系，計算出平面和平面的法向量，然后利用空間向量法計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）因為四邊形是平行四邊形，，所以為的中點.又，所以.因為平面，平面，所以.又，平面，平面，故平面；（2）因為，以為原點建立空間直角坐標系如下圖所示，設，則、、、，所以，，，設平面的一個法向量為，則，所以，得，令，則，，所以.同理可求得平面的一個法向量，所以.又分析知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.本題考查直線與平面垂直的判定，同時也考查了二面角的計算，解題的關鍵在于建立空間直角坐標系，利用空間向量法來求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.19、（1）函數(shù)的遞增區(qū)間為，函數(shù)的遞減區(qū)間為；（2）【解析】試題分析：（1）由已知得x＞1，，對ｋ分類討論，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）由得，即求的最大值．試題解析：解：（1）函數(shù)的定義域為，，當時，，函數(shù)的遞增區(qū)間為，當時，，當時，，當時，，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，函數(shù)的遞減區(qū)間為.（2）由得，令，則，當時，，當時，，所以的最大值為，故.點睛：導數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.20、(1)9，1.78(2)（i）（ii）見解析【解析】

（1）直接由平均數(shù)公式及方差公式求解；（2）（i）由題知，，則，求出，結(jié)合已知公式求解．（ⅱ）由（i）知，可得，由求解，再由正態(tài)分布的期望公式求的數(shù)學期望．【詳解】解：（1），；（2）（i）由題知，，∴，．∴；（ⅱ）由（i）知，可得