2026版步步高大一輪數(shù)學(xué)江蘇基礎(chǔ)第八章§8.4直線與圓的位置關(guān)系（含答案或解析）

§8.4直線與圓的位置關(guān)系課標(biāo)要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.1.直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ0

Δ0

Δ0

幾何觀點(diǎn)dr

dr

dr

2.直線被圓截得的弦長(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長|AB|＝.(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx+m與圓x2+y2+Dx+Ey+F＝0相交于點(diǎn)M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝.3.直線與圓相切圓C的圓心為C，半徑為r，切線為l，切點(diǎn)為P，則|CP|＝r，CP⊥l.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)過點(diǎn)P有兩條與圓C相切的直線.()(2)過任意一點(diǎn)作直線與圓相交，且弦長等于半徑，這樣的直線有兩條.()(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，則直線與圓相切.()(4)在圓中最長的弦是直徑.()2.直線3x+4y＝5與圓x2+y2＝16的位置關(guān)系是()A.相交且直線經(jīng)過圓心B.相切C.相離D.相交且直線不經(jīng)過圓心3.直線2x－y+1＝0與圓x2+y2＝2交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長度為()A.425 B.655 C.4.若點(diǎn)A(0，1)在圓C：(x－1)2+y2＝r2(r>0)上，則過點(diǎn)A的圓的切線方程為.牢記三個相關(guān)結(jié)論(1)過圓x2+y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x+y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2+(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2+y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x+y0y＝r2.題型一直線與圓位置關(guān)系的判斷例1已知直線l：y＝kx+1與圓C：(x+1)2+y2＝r2(r>0)，則“?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)”是“r>2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件思維升華判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系判斷.(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.跟蹤訓(xùn)練1(多選)已知圓C：(x－2)2+y2＝16，直線l：mx+y－3m－1＝0，則下列結(jié)論中正確的是()A.直線l恒過定點(diǎn)(3，1)B.直線l與圓C相切C.直線l與圓C相交D.直線l與圓C相離題型二直線與圓的弦長問題例2(1)(2025·贛州模擬)若圓C的圓心為C(3，1)，y軸被圓C截得的弦長為8，則圓C的一般方程為()A.x2+y2－6x+2y－15＝0B.x2+y2－6x+2y－7＝0C.x2+y2－6x－2y－15＝0D.x2+y2－6x－2y－7＝0(2)一條直線經(jīng)過點(diǎn)M?3，?32，被圓x2A.x＝－3或3x+6y+5＝0B.x＝－3或y＝－3C.3x+6y+5＝0D.x＝－3或3x+4y+15＝0思維升華弦長的兩種求法(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長公式求弦長.(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2r2跟蹤訓(xùn)練2(2025·江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校聯(lián)考)已知直線l過點(diǎn)P(1，－1)，且與圓C：x2+y2－6x+6y＝0交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長度的取值范圍是()A.10，32C.42，2題型三直線與圓的切線問題例3(多選)過點(diǎn)A(4，－3)作圓(x－3)2+(y－1)2＝1的切線，所得切線方程為()A.x＝4 B.15x+8y－36＝0C.y＝－3 D.8x－15y－3＝0思維升華當(dāng)切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.注意驗(yàn)證斜率不存在的情況.跟蹤訓(xùn)練3在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C：(x－1)2+y2＝4，若直線l：x+y+m＝0上有且只有一個點(diǎn)P滿足：過點(diǎn)P作圓C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，且使得四邊形PMCN為正方形，則正實(shí)數(shù)m的值為()A.1 B.22C.3 D.7題型四直線與圓位置關(guān)系中的最值問題例4已知P是直線3x+4y+8＝0上的動點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2+y2－2x－2y+1＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，則四邊形PACB面積的最小值為.思維升華涉及與圓的切線有關(guān)的線段長度范圍(最值)問題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長表示為關(guān)于圓心與直線上的點(diǎn)的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練4(2024·邵陽模擬)已知直線l：x－y－2＝0與圓O：x2+y2＝1，過直線l上的任意一點(diǎn)P作圓O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則∠APB的最大值為()A.3π4 B.C.π2 D.

答案精析落實(shí)主干知識1.<＝>>＝<2.(1)2r2?d2自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.D[圓心到直線的距離d＝532且直線3x+4y＝5不過點(diǎn)(0，0)，所以直線與圓相交，且不經(jīng)過圓心.]3.B[設(shè)圓x2+y2＝2的圓心為C(0，0)，半徑r＝2，因?yàn)镃(0，0)到直線2x－y+1＝0的距離d＝14+1所以|AB|＝2r＝22?154.y＝x+1解析因?yàn)辄c(diǎn)A(0，1)在圓C：(x－1)2+y2＝r2(r>0)上，所以過A的圓的切線和AC垂直，因?yàn)锳(0，1)，C(1，0)，所以kAC＝1?00?1＝－1所以切線方程的斜率為1，所以切線方程為y＝1×(x－0)+1，即y＝x+1.探究核心題型例1B[方法一易知圓C：(x+1)2+y2＝r2(r>0)的圓心為C(－1，0)，半徑為r，當(dāng)?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)時，|1?k1+即(r2－1)k2+2k+r2－1≥0恒成立，則r2－1>0且Δ＝4－4(r2?1解得r2－1≥1，即r≥2或r≤－2(舍去)，所以“?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)”是“r>2”的必要不充分條件.方法二直線l恒過定點(diǎn)P(0，1)，要使對任意直線l與圓C有公共點(diǎn)，只需點(diǎn)P(0，1)在圓內(nèi)或圓上即可，即(0+1)2+12≤r2，即r≥2，所以“?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)”是“r>2”的必要不充分條件.]跟蹤訓(xùn)練1AC[圓C：(x－2)2+y2＝16的圓心C(2，0)，半徑r＝4，直線l：m(x－3)+y－1＝0恒過定點(diǎn)(3，1)，顯然(3?2)2+12＝2<4＝r，因此點(diǎn)(3，1)在圓C內(nèi)，直線l與圓C相交，B，D例2(1)C[如圖，設(shè)y軸被圓C截得的弦為AB，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，依題意，|BD|＝12|AB|＝4，因?yàn)镃(3，1)，故|CD|＝3從而圓的半徑為|BC|＝32+42＝5，故所求圓的方程為(x－3)2+(y－1即x2+y2－6x－2y－15＝0.](2)D[由圓的方程，得圓心坐標(biāo)為(0，0)，半徑r＝5，∵直線被圓截得的弦長為8，∴弦心距d＝52?若此弦所在的直線的斜率不存在，即直線方程為x＝－3，滿足題意；若此弦所在的直線的斜率存在，設(shè)斜率為k，∴所求直線的方程為y+32＝k(x+3)，即kx－y－32+3k∴圓心到所設(shè)直線的距離d＝3k?解得k＝－34此時直線方程為y+32＝－34(x即3x+4y+15＝0，綜上，所求直線的方程為x＝－3或3x+4y+15＝0.]跟蹤訓(xùn)練2B[圓C：x2+y2－6x+6y＝0可得圓心C(3，－3)，半徑r＝32，因?yàn)?2+(－1)2－6－6<0，所以定點(diǎn)P在圓C內(nèi)，設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則弦長|AB|＝2r2當(dāng)d＝0時，弦長最大，這時過點(diǎn)P的最長弦長為圓的直徑2r＝62；當(dāng)d最大時，這時dmax＝|PC|＝22+(?2)所以弦長的最小值|AB|min＝2r2?dmax2所以弦長|AB|的取值范圍為210，例3AB[由圓心為(3，1)，半徑為1，當(dāng)過點(diǎn)A(4，－3)的切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y＝k(x－4)－3，則圓心到切線的距離d＝|?k可得k＝－158所以y＝－158(x－4)－3即15x+8y－36＝0；當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為x＝4，顯然與圓相切，綜上，切線方程為15x+8y－36＝0或x＝4.]跟蹤訓(xùn)練3C[由(x－1)2+y2＝4可知圓心C(1，0)，半徑為2，因?yàn)樗倪呅蜳MCN為正方形，且邊長為圓C的半徑2，所以|PC|＝22，所以直線l：x+y+m＝0上有且只有一個點(diǎn)P，使得|PC|＝22，即PC⊥l，所以圓心C到直線l的距離為22，所以|1+0+m1+1解得m＝3或m＝－5，又m>0，所以m＝3.]例422解析圓C：x2+y2－2x－2y+1＝0，即圓C：(x－1)2+(y－1)2＝1，所以圓心C(1，1)，半徑r＝1，如圖，連接PC，因?yàn)镾四邊形PACB＝2S△PAC＝2×12×|AP|·|AC＝|AP|＝|PC|所以求S四邊形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圓心C到直線3x+4y+8＝0的距離d，即d＝|3+4+8|所以四邊形PACB面積的最小值為9?1＝22.跟蹤訓(xùn)練4C[由題意可知，圓O：x2+y2＝1的圓心為O(0，0)，半徑為1，則圓心O到直線l的距離為|?2|可知直線l與圓O相離，因?yàn)椤螦PB∈(0，π)，所以∠APO＝12∠APB∈0且sin∠APO＝|OA||OP|當(dāng)|OP|最小時，sin∠APO最大，可得∠APO最大，即∠APB最大，又因?yàn)閨OP|的最小值即為圓心O到直線l的距離為2，此時sin∠APO＝22，∠APO＝π所以∠APB的最大值為π2.

8.4直線與圓的位置關(guān)系課標(biāo)要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.1.直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)

相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ=0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd=rd<r2.直線被圓截得的弦長(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長|AB|=2r2(2)代數(shù)法：設(shè)直線y=kx+m與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于點(diǎn)M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|=1+k2·3.直線與圓相切圓C的圓心為C，半徑為r，切線為l，切點(diǎn)為P，則|CP|=r，CP⊥l.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)過點(diǎn)P有兩條與圓C相切的直線.(×)(2)過任意一點(diǎn)作直線與圓相交，且弦長等于半徑，這樣的直線有兩條.(×)(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，則直線與圓相切.(√)(4)在圓中最長的弦是直徑.(√)2.直線3x+4y=5與圓x2+y2=16的位置關(guān)系是()A.相交且直線經(jīng)過圓心B.相切C.相離D.相交且直線不經(jīng)過圓心答案D解析圓心到直線的距離d=532且直線3x+4y=5不過點(diǎn)(0，0)，所以直線與圓相交，且不經(jīng)過圓心.3.直線2x-y+1=0與圓x2+y2=2交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長度為()A.425 B.655 C.答案B解析設(shè)圓x2+y2=2的圓心為C(0，0)，半徑r=2，因?yàn)镃(0，0)到直線2x-y+1=0的距離d=14+1=5所以|AB|=2r2?d2=24.若點(diǎn)A(0，1)在圓C：(x-1)2+y2=r2(r>0)上，則過點(diǎn)A的圓的切線方程為.

答案y=x+1解析因?yàn)辄c(diǎn)A(0，1)在圓C：(x-1)2+y2=r2(r>0)上，所以過A的圓的切線和AC垂直，因?yàn)锳(0，1)，C(1，0)，所以kAC=1?00?1=-1所以切線方程的斜率為1，所以切線方程為y=1×(x-0)+1，即y=x+1.牢記三個相關(guān)結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x+y0y=r2.題型一直線與圓位置關(guān)系的判斷例1已知直線l：y=kx+1與圓C：(x+1)2+y2=r2(r>0)，則“?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)”是“r>2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析方法一易知圓C：(x+1)2+y2=r2(r>0)的圓心為C(-1，0)，半徑為r，當(dāng)?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)時，|1?k1+即(r2-1)k2+2k+r2-1≥0恒成立，則r2-1>0且Δ=4-4(r2?1解得r2-1≥1，即r≥2或r≤-2(舍去)，所以“?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)”是“r>2”的必要不充分條件.方法二直線l恒過定點(diǎn)P(0，1)，要使對任意直線l與圓C有公共點(diǎn)，只需點(diǎn)P(0，1)在圓內(nèi)或圓上即可，即(0+1)2+12≤r2，即r≥2，所以“?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)”是“r>2”的必要不充分條件.思維升華判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系判斷.(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.跟蹤訓(xùn)練1(多選)已知圓C：(x-2)2+y2=16，直線l：mx+y-3m-1=0，則下列結(jié)論中正確的是()A.直線l恒過定點(diǎn)(3，1)B.直線l與圓C相切C.直線l與圓C相交D.直線l與圓C相離答案AC解析圓C：(x-2)2+y2=16的圓心C(2，0)，半徑r=4，直線l：m(x-3)+y-1=0恒過定點(diǎn)(3，1)，顯然(3?2)2+12=2<4=r，因此點(diǎn)(3，1)在圓C內(nèi)，直線l與圓C相交，B，D錯誤，題型二直線與圓的弦長問題例2(1)(2025·贛州模擬)若圓C的圓心為C(3，1)，y軸被圓C截得的弦長為8，則圓C的一般方程為()A.x2+y2-6x+2y-15=0B.x2+y2-6x+2y-7=0C.x2+y2-6x-2y-15=0D.x2+y2-6x-2y-7=0答案C解析如圖，設(shè)y軸被圓C截得的弦為AB，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，依題意，|BD|=12|AB|=4，因?yàn)镃(3，1)，故|CD|=3從而圓的半徑為|BC|=32+42=5，故所求圓的方程為(x-3)2+(y-1即x2+y2-6x-2y-15=0.(2)一條直線經(jīng)過點(diǎn)M?3，?32，被圓x2A.x=-3或3x+6y+5=0B.x=-3或y=-3C.3x+6y+5=0D.x=-3或3x+4y+15=0答案D解析由圓的方程，得圓心坐標(biāo)為(0，0)，半徑r=5，∵直線被圓截得的弦長為8，∴弦心距d=52?若此弦所在的直線的斜率不存在，即直線方程為x=-3，滿足題意；若此弦所在的直線的斜率存在，設(shè)斜率為k，∴所求直線的方程為y+32=k(x+3)，即kx-y-32+3k∴圓心到所設(shè)直線的距離d=3k?321+k此時直線方程為y+32=-34(x+3)，即3x+4y綜上，所求直線的方程為x=-3或3x+4y+15=0.思維升華弦長的兩種求法(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長公式求弦長.(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l=2r2跟蹤訓(xùn)練2(2025·江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校聯(lián)考)已知直線l過點(diǎn)P(1，-1)，且與圓C：x2+y2-6x+6y=0交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長度的取值范圍是()A.10，32C.42，2答案B解析圓C：x2+y2-6x+6y=0可得圓心C(3，-3)，半徑r=32，因?yàn)?2+(-1)2-6-6<0，所以定點(diǎn)P在圓C內(nèi)，設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則弦長|AB|=2r2當(dāng)d=0時，弦長最大，這時過點(diǎn)P的最長弦長為圓的直徑2r=62；當(dāng)d最大時，這時dmax=|PC|=22+(?2)所以弦長的最小值|AB|min=2r2?dmax2所以弦長|AB|的取值范圍為210題型三直線與圓的切線問題例3(多選)過點(diǎn)A(4，-3)作圓(x-3)2+(y-1)2=1的切線，所得切線方程為()A.x=4 B.15x+8y-36=0C.y=-3 D.8x-15y-3=0答案AB解析由圓心為(3，1)，半徑為1，當(dāng)過點(diǎn)A(4，-3)的切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y=k(x-4)-3，則圓心到切線的距離d=|?k可得k=-158所以y=-158(x-4)-3即15x+8y-36=0；當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為x=4，顯然與圓相切，綜上，切線方程為15x+8y-36=0或x=4.思維升華當(dāng)切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d=r，進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ=0進(jìn)而求得k.注意驗(yàn)證斜率不存在的情況.跟蹤訓(xùn)練3在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C：(x-1)2+y2=4，若直線l：x+y+m=0上有且只有一個點(diǎn)P滿足：過點(diǎn)P作圓C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，且使得四邊形PMCN為正方形，則正實(shí)數(shù)m的值為()A.1 B.22 C.3 D.7答案C解析由(x-1)2+y2=4可知圓心C(1，0)，半徑為2，因?yàn)樗倪呅蜳MCN為正方形，且邊長為圓C的半徑2，所以|PC|=22，所以直線l：x+y+m=0上有且只有一個點(diǎn)P，使得|PC|=22，即PC⊥l，所以圓心C到直線l的距離為22，所以|1+0+m1+1解得m=3或m=-5，又m>0，所以m=3.題型四直線與圓位置關(guān)系中的最值問題例4已知P是直線3x+4y+8=0上的動點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，則四邊形PACB面積的最小值為.

答案22解析圓C：x2+y2-2x-2y+1=0，即圓C：(x-1)2+(y-1)2=1，所以圓心C(1，1)，半徑r=1，如圖，連接PC，因?yàn)镾四邊形PACB=2S△PAC=2×12×|AP|·|AC=|AP|=|PC|所以求S四邊形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圓心C到直線3x+4y+8=0的距離d，即d=|3+4+8|所以四邊形PACB面積的最小值為9?1=22.思維升華涉及與圓的切線有關(guān)的線段長度范圍(最值)問題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長表示為關(guān)于圓心與直線上的點(diǎn)的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練4(2024·邵陽模擬)已知直線l：x-y-2=0與圓O：x2+y2=1，過直線l上的任意一點(diǎn)P作圓O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則∠APB的最大值為()A.3π4 B.2π3 C.π2答案C解析由題意可知，圓O：x2+y2=1的圓心為O(0，0)，半徑為1，則圓心O到直線l的距離為|?2|2=可知直線l與圓O相離，因?yàn)椤螦PB∈(0，π)，所以∠APO=12∠APB∈0且sin∠APO=|OA||OP|=1當(dāng)|OP|最小時，sin∠APO最大，可得∠APO最大，即∠APB最大，又因?yàn)閨OP|的最小值即為圓心O到直線l的距離為2，此時sin∠APO=22，∠APO=π所以∠APB的最大值為π2課時精練(分值：80分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共20分)1.(2025·焦作模擬)若圓C：(x-2)2+y+a22=a(a>0)與A.1 B.2 C.2 D.4答案D解析圓C：(x-2)2+y+a22=a(a>0)的圓心坐標(biāo)為因?yàn)閳AC與x軸相切，所以a24=a且a>0，解得2.(2024·吳忠模擬)直線l：xcosθ+ysinθ-2=0與圓O：x2+y2=1的位置關(guān)系為()A.相離 B.相切C.相交 D.無法確定答案A解析由題意知，圓心O(0，0)，半徑r=1，所以圓心O到直線l的距離d=|?2|cos2θ+sin23.(2024·重慶模擬)已知從點(diǎn)P(1，-1)發(fā)出的光線經(jīng)y軸反射，反射光線與圓C：x2+y2-6x-6y+745A.12 C.12或2 D.-12答案C解析點(diǎn)P(1，-1)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P'(-1，-1)，由反射光線的性質(zhì)知，反射光線即為過點(diǎn)P'(-1，-1)的圓C：(x-3)2+(y-3)2=165的切線，由題意知，切線的斜率必存在，設(shè)切線的斜率為k，則切線l：y+1=k(x+1)，由|3k?3+k?1|k2+1=165，得24.(2025·南京模擬)設(shè)直線x+ay+2=0與圓C：x2+(y-2)2=16相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC的面積為8，則a等于()A.-2 B.-1 C.1 D.2答案C解析由三角形的面積公式可得S△ABC=12×42sin∠ACB=8得sin∠ACB=1，由0<∠ACB<π，得∠ACB=π2所以△ABC為等腰直角三角形，所以圓心C(0，2)到直線x+ay+2=0的距離為d=4sinπ4=22由點(diǎn)到直線的距離公式得d=|2a+2|1+二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)5.已知直線l：y=kx-k，k∈R，圓C：x2+y2=4，則下列結(jié)論正確的有()A.直線l過定點(diǎn)(1，0)B.直線l與圓C恒相交C.直線l被圓C截得的弦長最短為23D.若直線l被圓C截得的弦長為14，則k=±1答案ABD解析對于A，直線l：y=kx-k，即y=k(x-1)，則直線l過定點(diǎn)(1，0)，故A正確；對于B，因?yàn)?2+02=1<4，所以定點(diǎn)(1，0)在圓C：x2+y2=4內(nèi)部，所以直線l與圓C恒相交，故B正確；對于C，當(dāng)直線l與x軸垂直時，直線l被圓C截得的弦長最短，此時l：x=1，直線l被圓C截得的弦長為24?12=23，但此時直線l的斜率不存在，不符合題意，故對于D，直線l：kx-y-k=0，圓心C(0，0)到直線l的距離d=|?kk2+1=22?6.(2025·重慶模擬)已知動點(diǎn)P在直線l：x+y-6=0上，動點(diǎn)Q在圓C：(x-1)2+(y-1)2=4上，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則下列說法正確的有()A.直線l與圓C相交B.|PQ|的最小值為22-2C.四邊形PACB面積的最小值為4D.存在P點(diǎn)，使得∠APB=2π答案BC解析圓C：(x-1)2+(y-1)2=4的圓心C(1，1)，半徑r=2，連接PC，對于A，點(diǎn)C到直線l：x+y-6=0的距離d=42=22>2=r，直線l與圓C相離，A對于B，點(diǎn)Q在圓C上，則|PQ|min=d-r=22-2，B正確；對于C，由切線長定理知，四邊形PACB的面積S=2S△PAC=2·12|PA|·|AC|=2|PA|=2|PC|2?|AC當(dāng)且僅當(dāng)PC⊥l時取等號，因此四邊形PACB面積的最小值為4，C正確；對于D，由切線長定理知，∠APB=2∠APC，而sin∠APC=|AC||PC|=2|PC|≤2d又∠APC是銳角，正弦函數(shù)y=sinx在0，π2上單調(diào)遞增，則∠APC當(dāng)且僅當(dāng)PC⊥l時取等號，因此∠APB的最大值為π2，D錯誤三、填空題(每小題5分，共10分)7.圓x2+y2-6y=0在點(diǎn)P(5，1)處的切線方程為.

答案5x-2y-3=0解析因?yàn)?5)2+12-6所以P(5，1)在圓x2+y2-6y=0上，設(shè)x2+y2-6y=0的圓心為A(0，3)，故kAP=3?10?5=-切線斜率為k=52所求的切線方程為y-1=52(x-5即5x-2y-3=0.8.直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如x=ty+1表示過點(diǎn)(1，0)且斜率不為0的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.若圓C1：x2+y2=1是直線族mx+ny=1(m，n∈R)的包絡(luò)曲線，則m，n滿足的關(guān)系式為.

答案m2+n2=1解析由定義可知，mx+ny=1與x2+y2=1相切，則圓C1的圓心(0，0)到直線mx+ny=1的距離等于1，則d=1m2+n2=1，m四、解答題(共28分)9.(13分)(2024·邢臺模擬)已知直線l1：3x+4y+15=0，半徑為3的圓C與l1相切，圓心C在x軸的非負(fù)半軸上.(1)求圓C的方程；(5分)(2)設(shè)過點(diǎn)P(1，2)的直線l2被圓C截得的弦長等于42，求直線l2的方程.(8分)解(1)由題意，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，0)(a≥0)，因?yàn)橹本€l1：3x+4y+15=0，半徑為3的圓C與l1相切，則|3a又a≥0，所以a=0，因此圓C的方程為x2+y2=9.(2)由勾股定理可知，圓心C到直線l2的距離為d=32當(dāng)直線l2的斜率不存在時，直線l2的方程為x=1，此時圓心C到直線l2的距離為1，符合題意；當(dāng)直線l2的斜率存在時，設(shè)直線l2的方程為y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，則d=|2?kk2+1=1此時，直線l2的方程