高數(shù)競(jìng)賽試題上冊(cè)及答案

高數(shù)競(jìng)賽試題上冊(cè)及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的定義域是（）A.\(x>-1\)B.\(x\geq-1\)C.\(x<-1\)D.\(x\leq-1\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(y'=3x^2\)B.\(y'=x^2\)C.\(y'=3x\)D.\(y'=3\)4.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{3}x^3\)D.\(x\)5.\(\intx^2dx\)=（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^3+C\)D.\(\frac{1}{4}x^3+C\)6.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.47.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^2\)是比\(x\)（）的無窮小。A.低階B.高階C.同階但不等價(jià)D.等價(jià)8.函數(shù)\(y=\cosx\)的周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)9.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)與\(\int_{a}^f(t)dt\)（）A.相等B.互為相反數(shù)C.不一定相等D.差為110.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)的值是（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=e^x\)2.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)3.函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分條件有（）A.左右導(dǎo)數(shù)存在且相等B.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)C.極限\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)存在D.函數(shù)在該點(diǎn)有定義4.下列積分中，正確的有（）A.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)B.\(\inte^xdx=e^x+C\)C.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)D.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)5.關(guān)于函數(shù)極限，下列說法正確的是（）A.極限存在則左右極限都存在且相等B.若左右極限有一個(gè)不存在，則函數(shù)極限不存在C.函數(shù)在某點(diǎn)極限存在則函數(shù)在該點(diǎn)有定義D.函數(shù)極限值與函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值無關(guān)6.下列哪些是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（）A.\((u+v)'=u'+v'\)B.\((uv)'=u'v+uv'\)C.\((\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}(v\neq0)\)D.\((u^n)'=nu^{n-1}\)7.函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的幾何意義可能是（）A.由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)以及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形面積（\(f(x)\geq0\)部分）B.上述曲邊梯形面積的相反數(shù)（\(f(x)\leq0\)部分）C.上述兩部分面積的代數(shù)和D.函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上的平均值8.以下哪些函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的（）A.\(y=x\)B.\(y=e^x\)C.\(y=\lnx(x>0)\)D.\(y=-x\)9.對(duì)于無窮小量，下列說法正確的是（）A.有限個(gè)無窮小量的和還是無窮小量B.無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量C.兩個(gè)無窮小量的商一定是無窮小量D.無窮小量就是010.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處連續(xù)的有（）A.\(y=x\)B.\(y=|x|\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\sinx\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)在\(x=-1\)處有定義。（）2.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)。（）4.函數(shù)\(y=x^2+1\)沒有最大值。（）5.無窮大量與無窮小量互為倒數(shù)。（）6.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定有最大值和最小值。（）7.函數(shù)\(y=\cos^2x+\sin^2x\)的導(dǎo)數(shù)為0。（）8.極限\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)。（）9.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量用什么字母表示無關(guān)。（）10.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的極值點(diǎn)和極值。答案：對(duì)\(y\)求導(dǎo)得\(y'=3x^2-6x\)，令\(y'=0\)，即\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x<0\)，\(y'>0\)；\(0<x<2\)，\(y'<0\)；\(x>2\)，\(y'>0\)。所以\(x=0\)是極大值點(diǎn)，極大值為\(y(0)=1\)；\(x=2\)是極小值點(diǎn)，極小值為\(y(2)=-3\)。2.計(jì)算\(\int\frac{1}{x^2+1}dx\)。答案：根據(jù)基本積分公式，\(\int\frac{1}{x^2+1}dx=\arctanx+C\)。3.簡(jiǎn)述函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義。答案：設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)，那么就稱函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)連續(xù)。4.求曲線\(y=\frac{1}{x}\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線方程。答案：先求\(y=\frac{1}{x}\)的導(dǎo)數(shù)\(y'=-\frac{1}{x^2}\)，在點(diǎn)\((1,1)\)處切線斜率\(k=y'(1)=-1\)。由點(diǎn)斜式得切線方程\(y-1=-(x-1)\)，即\(x+y-2=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性與漸近線。答案：對(duì)\(y=\frac{1}{x-1}\)求導(dǎo)得\(y'=-\frac{1}{(x-1)^2}<0\)，定義域\(x\neq1\)，所以在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。當(dāng)\(x\to1\)時(shí)，\(y\to\infty\)，所以\(x=1\)是垂直漸近線；當(dāng)\(x\to\pm\infty\)時(shí)，\(y\to0\)，所以\(y=0\)是水平漸近線。2.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的全體，結(jié)果是函數(shù)族；定積分是一個(gè)數(shù)值，由被積函數(shù)、積分區(qū)間確定，與積分變量無關(guān)。3.分析函數(shù)極限與數(shù)列極限的異同點(diǎn)。答案：相同點(diǎn)：都描述自變量在某種變化過程中函數(shù)值或數(shù)列項(xiàng)的變化趨勢(shì)。不同點(diǎn)：函數(shù)極限自變量是連續(xù)變化，數(shù)列極限自變量是離散變化；函數(shù)極限研究的是函數(shù)，數(shù)列極限研究的是數(shù)列，數(shù)列可看作特殊函數(shù)，二者在極限運(yùn)算法則等方面有相似但也有不同表述。4.談?wù)勀銓?duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解。答案：導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)曲線在某點(diǎn)處切線的斜率。對(duì)于函數(shù)\(y=f(x)\)，在點(diǎn)\((x_0,f(x_0))\)處的導(dǎo)數(shù)\(f'(x_0)\)就是曲線在該點(diǎn)切線的斜率。它反映了函數(shù)曲線在該點(diǎn)處的變化率，斜率越大，曲線在該點(diǎn)處變化越快，切線越“陡”。答案一、單項(xiàng)選擇題1