河南省信陽市淮濱縣多校2023-2024學年高二下學期7月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省信陽市淮濱縣多校2023-2024學年高二下學期7月期末考試數(shù)學試題注意事項:本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.考試時間120分鐘，滿分150分.考生應首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效.交卷時只交答題卡.第I卷(選擇題，共58分)一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.）1.已知集合，，則下列結論不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，，所以，，，故A、B、C正確，D錯誤；故選：D2.某同學喜愛球類和游泳運動．在暑假期間，該同學上午去打球的概率為．若該同學上午不去打球，則下午一定去游泳；若上午去打球，則下午去游泳的概率為．已知該同學在某天下午去游了泳，則上午打球的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設上午打球為事件，下午游泳為事件，則，于是，因此，所以上午打球的概率為.故選：C3.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，，則，所以在單調(diào)遞減，因為，所以，時，不等式化為，即，即，所以，所以不等式的解集為.故選：C.4.已知關于的不等式成立的一個必要不充分條件是，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，因為不等式成立的一個必要不充分條件是，所以.故選：A.5.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，和不是奇函數(shù)，故AB錯誤；的定義域為，且滿足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，所以函數(shù)在先增后減，故C錯誤；的定義域為，且滿足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，故D正確.故選：D6.等差數(shù)列前項和為，則（）A.44 B.48 C.52 D.56【答案】C【解析】.故選：C.7.雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，雙曲線的離心率為，即，所以，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選B.8.已知分別是函數(shù)的零點，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】由題意可得函數(shù)的零點為函數(shù)與直線的交點的橫坐標，則兩函數(shù)圖象的交點坐標為，，函數(shù)的零點為函數(shù)與直線的交點的橫坐標，則兩函數(shù)圖象的交點坐標為，，因為與互為反函數(shù)，其圖象關于直線對稱，直線也關于直線對稱，所以點和關于直線對稱，所以，所以.故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知是方程的實根，則下列各數(shù)為正數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因為是方程的實根，令，當時，，當時，，可得對于A，因為，所以，則，A錯誤；對于B，因為，所以，則，B正確；對于C，.因為，所以，C正確；對于D，因為，所以，則，D錯誤；故選：BC.10.如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個圓柱和直三棱柱組合而成，是上的動點.則（）A.為的中點時，平面平面B.為的中點時，平面C.存在點，使得三棱錐體積是8D.存在點，使得直線與平面所成的角為【答案】ABC【解析】對于A，由題可知，半圓柱和三棱柱的底面在同一平面內(nèi)，由圓柱性質(zhì)可知平面，又平面，所以，因為為的中點，所以，因為，所以，所以，即，又因為是平面內(nèi)的相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面，A正確；對于B，因為為圓柱底面圓的直徑，所以，由上知，，所以，由棱柱性質(zhì)可知，，所以，因為平面，平面，所以平面，B正確；對于C，以中點為原點，所在直線為軸，圓柱的旋轉(zhuǎn)軸為軸，過點垂直于平面的直線為軸建立如圖所在空間直角坐標系，則，因為點在以為直徑的半圓上，所以設，則，設為平面的法向量，則，令，得，則點到平面的距離為，易知，為正三角形，所以，所以，令，則，因為，所以，所以，所以，顯然有解，所以存在點（與不重合），使得三棱錐體積是8，C正確；對于D，由上可得，設平面的法向量為，則，令得，若存在點，使得直線與平面所成的角為，則，整理得，因為，所以，即，，此時，點與點重合，無法確定平面，不符合題意，D錯誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)的定義域為，且滿足，，當時，，則下列結論正確的是（）A.為偶函數(shù)B.在上單調(diào)遞增C.關于點中心對稱D.【答案】ABD【解析】因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，C錯誤；由，可得，由，可得，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，A正確；因為當時，，又函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以函數(shù)為周期函數(shù)，為函數(shù)的一個周期，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確；因為為函數(shù)的一個周期，所以，又，所以，D正確；故選：ABD.第II卷(非選擇題，共92分)三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共計15分）12.某不透明紙箱中共有8個小球，其中2個白球，6個紅球，它們除顏色外均相同．一次性從紙箱中摸出4個小球，摸出紅球個數(shù)為，則______．【答案】3【解析】依題意，摸出紅球個數(shù)服從超幾何分布，，所以.故答案為：313.已知是函數(shù)的零點，則__________.【答案】1【解析】由題可得，記，則，記，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，在上單調(diào)遞增，因為，所以在上存在唯一零點，所以.故答案為：114.設函數(shù)，若且，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】函數(shù)，若且，如圖畫出函數(shù)的大致圖象，由已知條件可知：，，，，由，故在為減區(qū)間，，的取值范圍是：．故答案為：．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知的內(nèi)角A，，所對的邊分別為，，，的最大值為.（1）求角；（2）若點在上，滿足，且，，解這個三角形.解：（1）由由題意及三角函數(shù)的性質(zhì)可知：，即，又，∴；（2）如圖所示，易得，∴(負值舍去)，由余弦定理可得：，，顯然：，由勾股定理逆定理可得綜上.16.已知函數(shù)（）．（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當時，，，可得，，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，則函數(shù)的最小值為；（2）由題意有，又由函數(shù)（）單調(diào)遞減，且，可得，下面證明：當時，，由關于的函數(shù)（）單調(diào)遞減，則有，由（1）有，故有在時恒成立，故若，則實數(shù)的取值范圍為．17.某學校準備訂做新的校服，有正裝和運動裝兩種風格可供選擇，為了解學生和家長們的偏好，學校隨機調(diào)查了200名學生及每名學生的一位家長，得到以下的列聯(lián)表：更喜歡正裝更喜歡運動裝家長12080學生16040（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認為學生與家長對校服風格的偏好有差異；（2）若從家長中按不同偏好的人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法抽取5人進行座談，再從這5人中任選2人，記這2人中更喜歡正裝的家長人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．附：．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由題可知更喜歡正裝更喜歡運動裝總計家長12080200學生16040200總計280120400則，因為，所以有的把握認為學生與家長對校服風格的偏好有差異．（2）座談的家長中更喜歡正裝的人數(shù)為，更喜歡運動裝的人數(shù)為．由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，則，，，故X的分布列為X012P所以X的數(shù)學期望．18.已知數(shù)列滿兄，，數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列，的通項公式，（2）求數(shù)列前項和為．解：（1），，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，；，當時，，即，當時，，所以，即，當時，，；（2）由（1）得，，作差可得，.19.已知點，在雙曲線（，）上，直線.（1）求雙曲線的標準方程；（2）當且時，直線與雙曲線分別交于，兩點，關于軸的對稱點為.證明：直線過定點；（3）當時，直線與雙曲線有唯