2025年江蘇中考數(shù)學(xué)壓軸題匯編：二次函數(shù)（角度問題）原卷版+解析

壓軸專題05二次函數(shù)（角度問題）

背；技法全歸納

知識考點(diǎn)與解題策略

【解題思路】

二次函數(shù)與角有關(guān)問題包括等角、倍角、特殊角以及三角函數(shù)問題.

倍角問題，往往將其轉(zhuǎn)化成等角問題.

對于等角問題，一般有以下解決路徑：

（1）將等角轉(zhuǎn)化在一個三角形中，利用等腰三角形兩邊相等，借助距離公式解決；

⑵用等角的三角比相等，構(gòu)造直角三角形，尋找比例關(guān)系；

⑶利用角的和差關(guān)系，尋找等角，而等角存在兩個相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例線段構(gòu)建

數(shù)量關(guān)系；

（4）利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)定理.

勤典題固基礎(chǔ)

例題1（24-25江蘇揚(yáng)州?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線-2x-3與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)8,與y軸

交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為O.

⑴請直接寫出A、B、。三點(diǎn)坐標(biāo).

⑵如圖1,點(diǎn)M是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交直線2C于點(diǎn)N,求線段長

度的最大值；

⑶如圖2,若點(diǎn)尸在拋物線上且滿足/PCB=NCBD,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

例題2如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線/=-x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（-3,4）,

與X軸分別交于點(diǎn)A,B.連接AC,點(diǎn)。是線段AC上方拋物線上的一動點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

⑵如圖1,在點(diǎn)。運(yùn)動過程中，連接AD、CD,求△ADC面積的最大值；

⑶如圖2,在點(diǎn)。運(yùn)動過程中，連接OD交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在線段。4上，連接OC、DF、EF,若

ZACO=AFDO+ZDFE,求點(diǎn)F橫坐標(biāo)的最大值.

例題3綜合與探究

如圖，拋物線尸加+bx-3(aW0)與x軸交于A(-l,0)、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。,立曰在拋物線上，

點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸。〃y軸交直線5。于點(diǎn)。，連接24、PB、QA,設(shè)點(diǎn)

P的橫坐標(biāo)為m.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵求四邊形PAQ3面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得NMNLB=2NACO,若存在，請直接寫出所有符合條

件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

新題型特訓(xùn)

1.（24-25九年級上?江蘇蘇州?期中）如圖，二次函數(shù)》=-無2+2〃IX+2M+1（機(jī)是常數(shù)，且加＞0）的圖象

與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)2的左側(cè)）,與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D其對稱軸與線段BC交于點(diǎn)E,

與x軸交于點(diǎn)凡連接AC.若ZBEF=2ZACO,則機(jī)的值為（）

2.（24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)y=-》2+2〃a+2”?+1（根是常數(shù)，且加＞0）的

圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。.其對稱軸與線段BC交于

點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)E連接AC若ZBEF=2ZACO,則根的值為.

3.（24-25九年級上?江蘇揚(yáng)州?期末）如圖，拋物線y-Y+bx+c經(jīng)過A（4,0）,C（-l,0）兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)8,P為第一象限拋物線上的動點(diǎn)，連接48、BC、PA.PC,尸C與AB相交于點(diǎn)Q.

（1）求拋物線的解析式；

⑵設(shè)△APQ的面積為'，△BCQ的面積為S2,當(dāng)51-邑=5時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

（3）拋物線上存在點(diǎn)P,滿足NB4B+NCBO=45。，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

4.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=a(x-l)(x-4)(a>0)

與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與>軸交于點(diǎn)C,若滿足OC?=0405.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)連接AC、BC,

①求證：ZACO=ZCBA；

②在拋物線上找一點(diǎn)E,使得NEAC=2NCBA,請求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

5、如圖，已知拋物線y=法+c經(jīng)過點(diǎn)A(-6,0),3(2,0),與y軸交于點(diǎn)C

(1)求拋物線的解析式；

⑵若點(diǎn)尸為該拋物線上一動點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)尸在直線AC下方時，過點(diǎn)尸作尸石x軸，交直線AC于點(diǎn)E,作尸尸〃y軸.交直線AC于點(diǎn)R求

跖的最大值；

②若ZPCB=3/OCB,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

6.如圖，直線y=-x+3與X軸、y軸分別交于8、C兩點(diǎn)，拋物線y=-爐+6x+c經(jīng)過點(diǎn)2、C,與x軸另

一交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為D

(1)求拋物線的解析式；

⑵在x軸上找一點(diǎn)E,使EC+EO的值最小，求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求EC+即的最小值；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得NAPB=NOCB?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

7.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖1,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(TO)和5(4,0)，交y軸于點(diǎn)C(0,2),

連接3c.點(diǎn)。為第一象限拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作x軸和y軸的垂線，交于點(diǎn)E和點(diǎn)?

(2)求面積的最大值及此時點(diǎn)D的坐標(biāo)：

(3)當(dāng)DEF面積最大時，在拋物線上是否存在一點(diǎn)使請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

24

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=+2的圖象與無軸交于A,2兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)2

的左側(cè)).與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵若點(diǎn)尸是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)3cp為等腰三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)。是二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，請問是否存在點(diǎn)。使NQCB=ZABC?若存在，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

9.如圖，二次函數(shù)y=G?一6膜+4(°是常數(shù)，且。片0)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左

側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C,S.OC=2OA,連接AC.

⑴填空：?=,3的坐標(biāo)為；

(2)如圖1,點(diǎn)。為拋物線上一點(diǎn)，且在B,C兩點(diǎn)之間運(yùn)動，連接AO與BC相交于點(diǎn)E,連接AC,BD,

當(dāng)S△曲-S.c的值最大時，求直線80的表達(dá)式；

(3)如圖2,動點(diǎn)尸在拋物線的對稱軸上，連接BC、PA.PC,若NAPC=2NABC,請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

10.（24-25?江蘇揚(yáng)州?二模）如圖，二次函數(shù)的圖象與X軸交于A（TO）,B（5,o）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0,5）,

頂點(diǎn)為。.O為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵求四邊形ACDB的面積；

（3）P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若NACO=NP3C,則尸點(diǎn)的坐標(biāo)為.

11.（24-25?江蘇淮安?一模）如圖①，二次函數(shù)＞=-/+法+4的圖象與直線/交于A（T,2）、8（3,〃）兩點(diǎn).點(diǎn)

P是x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作x軸的垂線交直線/于點(diǎn)交該二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)P的橫坐

標(biāo)為加.

⑵若點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方，且肱V=4,求機(jī)的值；

⑶將直線45向上平移4個單位長度，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)C、D（如圖②）.

①記NBC的面積為S-N4C的面積為S2,是否存在加，使得點(diǎn)N在直線AC的上方，且滿足S尸gs”

若存在，求出機(jī)及相應(yīng)的5、S?的值；若不存在，請說明理由.

②當(dāng)機(jī)＞-1時，將線段繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段MF,連接用、FC、OA,若

ZFBA+ZAOD-ZBFC=45°,直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo).

12.（2024?江蘇宿遷?三模）已知，如圖，直線y=-2x+利與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(-2,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,0),拋物線>="2+施+,經(jīng)過點(diǎn)4B、C.

(2)延長C4至點(diǎn)D,作NZMB、NACB的平分線，兩條角平分線相交于點(diǎn)G,求tanNG的值；

(3)在(2)的條件下，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得N3PC=NG,若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo),

若不存在，請說明理由.

13.(2024?江蘇無錫二模)如圖，已知二次函數(shù))=加-5依+44>0)的圖象與x軸交于&、B(A在8左

3

側(cè))，與y軸交于C,在函數(shù)圖象上取一點(diǎn)〃，點(diǎn)。和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，CD=AC,twZOAC=~.

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵在x軸上取點(diǎn)M(m,0),若二次函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)N,使得N/W7+NACO=90。，且滿足條件的點(diǎn)

N有且只有3個，請求出機(jī)的值.

14.如圖，拋物線>=江+法-3經(jīng)過A(-l,0),3(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,尸為第四象限內(nèi)拋物線上

一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作/軸于點(diǎn)連接AC,AP,AP與y軸交于點(diǎn)D

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求四邊形。MB尸面積的最大值；

(3)當(dāng)=4c時，求直線AP的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)P的坐標(biāo).

15.(2024?江蘇無錫?一模)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=+若與x軸，y軸交于點(diǎn)A,B,二

次函數(shù)的圖象G經(jīng)過點(diǎn)4點(diǎn)2,與無軸交于點(diǎn)C(3,0).

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵如圖2,點(diǎn)尸在第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上，分別過點(diǎn)P作直線軸的垂線，垂足是E,F,當(dāng)PE+PF

取得最大值時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶如圖3,將二次函數(shù)的圖象G沿射線CB的方向平移，平移后的二次函數(shù)圖象G'恰好經(jīng)過點(diǎn)8,點(diǎn)。為

圖象G'上一點(diǎn)，直線CQ與直線A3相交于點(diǎn)ABAC=ZAMC+ZBCA,求點(diǎn)。的橫坐標(biāo).

16.(2025九年級下?江蘇?專題練習(xí))如圖在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=；x-2的圖象與無軸交于點(diǎn)3,

與y軸交于點(diǎn)C,二次函數(shù)y=g/+6x+c的圖象經(jīng)過B,C兩點(diǎn)，且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,動點(diǎn)。在

直線BC下方的二次函數(shù)圖象上.

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作OMLBC于點(diǎn)是否存在點(diǎn)O,使得VCDM中的某個角恰好等于—ABC的2倍?

若存在，直接寫出點(diǎn)。的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

17.(2024.江蘇無錫.一模)在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù))=儂2+加彳-6加的圖象與無軸交于A、B(A

在B左側(cè))，與y軸交于C,一次函數(shù)y=2x+〃的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn).

(1)分別求出加、〃的值；

(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,且尸滿足NPOC+/3co=45。？若存在，請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

18.(24-25九年級下?江蘇連云港?階段練習(xí))如圖，二次函數(shù)丁=/+/+。的圖象與x軸交于A,3兩點(diǎn),

與y軸交于C點(diǎn)，其中8(1,0),c(o,3).

⑴求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)P是二次函數(shù)圖像上X軸下方的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸。〃丁軸交直線AC于點(diǎn)Q,連接CP,將.PCQ

沿PC折疊，當(dāng)。的對應(yīng)點(diǎn)。'恰好落在y軸上時，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶在二次函數(shù)的圖象上，是否存在點(diǎn)使得NM4c=NOCB?若存在，請求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

19.（2025?江蘇鹽城?模擬預(yù)測）如圖，四邊形Q4BC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）,

點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)。出發(fā)，同時點(diǎn)。從點(diǎn)0出發(fā)，沿以每秒2個單

位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時運(yùn)動停止.設(shè)運(yùn)動時間為/秒.

⑵當(dāng)△尸。。與-8QA相似時，求f的值；

⑶當(dāng)t=l時，拋物線y=+公+c經(jīng)過尸，Q兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)為N,問該拋物

線上是否存在點(diǎn)。，使=若存在，求出所有滿足條件的。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

壓軸專題05二次函數(shù)（角度問題）

司技法全歸納

知識考點(diǎn)與解題策略

【解題思路】

二次函數(shù)與角有關(guān)問題包括等角、倍角、特殊角以及三角函數(shù)問題.

倍角問題，往往將其轉(zhuǎn)化成等角問題.

對于等角問題，一般有以下解決路徑：

（1）將等角轉(zhuǎn)化在一個三角形中，利用等腰三角形兩邊相等，借助距離公式解決；

⑵用等角的三角比相等，構(gòu)造直角三角形，尋找比例關(guān)系；

⑶利用角的和差關(guān)系，尋找等角，而等角存在兩個相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例線段構(gòu)建

數(shù)量關(guān)系；

（4）利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)定理.

1

典題固基礎(chǔ)

例題1（24-25江蘇揚(yáng)州?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=Y-2x-3與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)3,與y軸

交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。.

⑴請直接寫出A、B、。三點(diǎn)坐標(biāo).

⑵如圖1,點(diǎn)M是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交直線8c于點(diǎn)N,求線段長

度的最大值；

⑶如圖2,若點(diǎn)尸在拋物線上且滿足NPCB=NCBD,求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（T,。），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,T）

瑤

⑶（4,5）或g，-：］

【分析】（1）由拋物線產(chǎn)--2尤-3,分別令y=0,x=0,則可確定拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂

點(diǎn)坐標(biāo)可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)"石，光軸于點(diǎn)設(shè)"（m,蘇-2m-3）,確定直線的解析式為y=%-3,得到N（m,m-3）,繼

而得到MN=（*3）-（蘇一2*3）=-，-￡［+；，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得結(jié)論；

（3）確定直線以）的解析式為V=2x-6,然后分兩種情況進(jìn)行討論即可.

【詳解】（1）解：：拋物線-2彳-3與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)8,與V軸交于點(diǎn)C,

當(dāng)y=0時，得彳2_2%-3=0,解得：》=一1或x=3,

當(dāng)x=0時，得、=一3,

/.A(-l,0),3(3,0),C(0,-3),

:拋物線y=d-2x-3的頂點(diǎn)為￡),

。［一2，即

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,-4）；

（2）設(shè)軸于點(diǎn)E,設(shè)-2機(jī)-3）,

設(shè)直線2C的解析式為與c,過點(diǎn)3（3,0），C（0,-3）,

[?)kBC+bBC=0

[%c=-3

&BC=1

解得:

bBC=一3

直線8C的解析式為，=x-3,

:過點(diǎn)M作x軸的垂線，交直線于點(diǎn)N,

2

zn-|9

AAW=(m-3)-(m2-2m—3)=-m2+3m=-+—，

4

V-l<0,

39

當(dāng)加時,線段MN的長度取得最大值,此時最大值為了；

圖1

(3)設(shè)直線的解析式為＞=凝/+%。，過點(diǎn)以3,0),D(l,-4),

=

3kBD+^BD。

^BD+^BD=-4

解得:

???直線BD的解析式為y=2x-6,

①如圖,

NPCB=NCBD,

：.PC//BD,

設(shè)直線尸C的解析式為y=2x+%c，過點(diǎn)c(o,-3),

???"hpc-=-3”,

???直線PC的解析式為y=2x-3,

y=2x-3

聯(lián)立

y=-lx-3

x一=Q或「Ix=4

解得:

此時點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,5)；

②如圖，設(shè)CP交3。于點(diǎn)G,作射線OG交BC于點(diǎn)尸,

'ZPCB=ZCBD,

.GC=GB,

.8(3,0),C(0,-3),

.OC=OB=3,

.OG垂直平分2C,

.點(diǎn)廠是8C的中點(diǎn),

’.點(diǎn)尸的坐標(biāo)是

33

?=-—

??2OG2'

?k

,?~OG

直線OG的解析式為y=,

:直線OG：y=-x與直線8。：y=2x-6交于點(diǎn)G,

y=—x

聯(lián)立

y=2x-6'

jx=2

解得:b=-2'

0(2,-2),

設(shè)直線CG的解析式為＞=QG尤+%G，過點(diǎn)C（0,-3）,G（2,-2）,

1%G=-3

"嚷+bcG=-2

???解得：rCG=2,

，直線CG的解析式為y=；x-3,

聯(lián)立卜”，

y=/-2x-3

（5

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法確定

函數(shù)解析式，平行線的判定，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，等角對等邊，中點(diǎn)坐標(biāo)，垂直平分線的判定和

性質(zhì)等知識點(diǎn).掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、確定二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵.

例題2如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線y'=-x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（-3,4）,

與x軸分別交于點(diǎn)A,B.連接AC,點(diǎn)。是線段AC上方拋物線上的一動點(diǎn).

圖I圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2汝口圖1,在點(diǎn)。運(yùn)動過程中，連接AD、CD,求△ADC面積的最大值；

(3)如圖2,在點(diǎn)。運(yùn)動過程中，連接OD交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)F在線段Q4上，連接OC、DF、EF,若

ZACO=AFDO+ZDFE,求點(diǎn)/橫坐標(biāo)的最大值.

【答案】⑴丫'=一/一6尤一5

(2)1

⑶Y

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，一次函數(shù)與幾何綜合：

(1)把拋物線設(shè)為頂點(diǎn)式即可得到答案；

(2)先求出A(-5,0),3(-1,0),進(jìn)而求出直線AC解析式為y=2x+10；如圖所示，過點(diǎn)。作。E〃y軸，

交AC于E,設(shè)。，“，-//-6〃?-5),則E(MI>2MI+10),可得Z)E=-(m+4了+1；進(jìn)而得到

S.ADC=SADE+S,c?E=-(-7+4)+1,據(jù)此可得答案；

(3)利用勾股定理得到。4=5,OC=5,AC=2也，則。4=OC,可得NO4c=/OC4,利用三角形外角

ApAp

的性質(zhì)證明NCOE=NA￡F,進(jìn)而證明△AEFS^COE,得到=,設(shè)A￡=〃?，則CE=2逐-%

CEOC

可得A尸=-g(加-有『+1,則當(dāng)根=百時，AF有最大值，最大值為1,即點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的最大值為-5+1=T.

【詳解】(1)解：：拋物線，=*+版+。的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。(-3,4),

拋物線解析式為V=-(1+3)2+4=-x2-6x-5；

(2)解：在V=—%2一6%—5中，當(dāng)歹=一元2一6元—5=0時，解得％=—1或無=一5,

AA(-5,0),5(-1,0)；

f

設(shè)直線AC解析式為＞=kx+b9

.\-3k+br=4

??1_5左+加=0，

?p=2

?,3=10，

???直線AC解析式為y=2x+10；

如圖所示，過點(diǎn)。作?！辍▂軸，交AC于E,

設(shè)￡）（相,一加一6機(jī)一5）,則E（m,2m+10）,

DE=—m2—6m—5—（2m+10）=—m2—8m—15=—（m+4）2+1；

?,^AADC=^/\ADE+SMDE

=DE

=-（m+4）2+1,

V-l<0,

???當(dāng)相=T時，有最大值，最大值為1；

（3）解：???A（—5,0）,C（-3,4）,

AOA=5,OC=^（-3-0）2+（4-0）2=5,AC=^［（-5）-（-3）］2+（0-4）2=275,

：.OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

9：ZACO=ZFDO+ZDFE,ZOEF=ZFDO+ZDFE,

ZACO=NOEF,

:ZAEO=ZAEF+ZOEF=ZACO+ZCOE,

:.NCOE=/AEF,

：.AAEF^ACOE,

.AF_AE

"~CE~'OC'

設(shè)=則CE=2&-m,

?___A_F_____m_

2^/5-m5

m2+m

.-.AF=-^=-^m-^+l,

當(dāng)〃?=君時，AF有最大值,最大值為1,

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的最大值為-5+l=T.

例題3綜合與探究

如圖，拋物線尸加+bx-3(aW0)與x軸交于A(TO)、3兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。,工3在拋物線上，

點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸?！▂軸交直線3。于點(diǎn)。連接上4、PB、QA,設(shè)點(diǎn)

P的橫坐標(biāo)為m.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵求四邊形PA23面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得/M4S=2/ACO,若存在，請直接寫出所有符合條

件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

a9

［答案］⑴)

44

⑶存在，〃(3,-3)或加卜,|

【分析】(1)待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可;

(2)根據(jù)四邊形PAQ3的面積等于AAP。的面積加上V8PQ的面積，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；

(3)取AC的中點(diǎn)E,連接OE,作。尸_LAC,勾股定理求出AC的長，等積法求出0P的長，根據(jù)斜邊上

OF3

的中線和三角形的外角推出NOEF=/OC4+NCOE=2/OC4,進(jìn)而求出tan/OEP=——=—,根據(jù)

EF4

3(39、

ZMAB=2ZOCA=ZOEF,得到tan=tan/OEF=—,設(shè)M-3,過點(diǎn)M作MGJ.AB于

4144)

點(diǎn)G,分點(diǎn)M在A3的上方和下方，兩種情況進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】⑴把A(TO),4一2,|卜弋入解析式丫=加+8一3("0),得：

f3

r-b-3=0a=-

a4

t09，解得Q，

7b=——

lI4

._39&

??y=-x2—x-3；

44

391Q

(2)*.*y=—x2—x—3,當(dāng)y=0時，—x2——x—3=0,解得：x=4,x=—1,

4444x2

8(4,0),

設(shè)直線的解析式為>=丘+伉，則:

4左+々=0,3

k,=—

’79，解得：v4,

-2k+b,=—

2隊(duì)=3

/.y=--x+3,

4

???點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸。〃y軸交直線BD于點(diǎn)Q,

P\m,—m2-—m-3\,Q\m,--m+3

I44J[4

33933

PQ=——m+3——m2+—m+3=——m2+—m+6,

44442

設(shè)尸。與A5交于點(diǎn)T,

則：四邊形PAQ3的面積=S.APQ+SBPQ

=^PQAT+^PQBT,

=gpQ.AB

I二療+為+6X5

242）

-竺蘇+”機(jī)+15

84

=一2球+?

當(dāng)m=1時，四邊形PA28的面積最大，為『；止匕時尸卜,9

(3)存在;

y=-^--x-3,

-44

，當(dāng)x=o時，y=-3,

.-.C（0,-3）,

VA（-1,O）,

OA=1,OC=3,AC=^+32=A/10.

取AC的中點(diǎn)E,連接OE,過點(diǎn)。作Ob_LAC于點(diǎn)兄

AZOCA=ZCOE,1X3=VT0OF,

AZOEF=ZOCA+ZCOE=2ZOCA,OF=,

10

EF=yJoE2-OF2，

/.tanZOEF=—

EF4

,/ZMAB=2ZOCA=ZOEF，

3

tanZMAB=tanZOEF=—,

4

設(shè)?。?/丁9-3、,過點(diǎn)”作MG,鉆于點(diǎn)G,則：39

MG=-n^--n-3AG=〃+1,

3/_9〃_3

2AB嘿443,

n+14

D27&

當(dāng)“在AB下方時：MG=一丁+方、+3.3,

~AG~^+1~4

解得：n=—l（舍去）或〃=3,經(jīng)檢驗(yàn)〃=3是原方程的解;

???M（3,—3）；

‘川―'3

當(dāng)M在上方時：MG_44=3,

AG-^+1-4

解得：?=-1（舍去）或〃=5,經(jīng)檢驗(yàn)〃=5是原方程的解;

綜上：“（3,-3）或加（5,2.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，分割法求面積，二次函數(shù)求最

值，斜邊上的中線，解直角三角形等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬于壓軸題，正確的求出解析式，利用數(shù)形結(jié)合

和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

s新題型特加

1.（24-25九年級上?江蘇蘇州?期中）如圖,二次函數(shù)丫=-/+2如+2旭+1?！ㄊ浅?shù)，且相>0）的圖象

與x軸交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D其對稱軸與線段BC交于點(diǎn)E,

與x軸交于點(diǎn)F.連接AC.若NBEF=2ZACO,則m的值為（)

QV2—1D.鋁

.2

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線性質(zhì)，先用機(jī)的

代數(shù)式表示出A,B,C的坐標(biāo)，再作/OCB的平分線交08于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作于點(diǎn)H,根據(jù)全等

和角平分線性質(zhì)得到用加的代數(shù)式表示的GH和GB的長，根據(jù)GH和GB的關(guān)系即可求出m的值.

【詳解】解：當(dāng)>=。時，一f+2%x+2〃z+l=0,

解方程，得%=-1,無2=2%+1,

.?點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且〃2>0,

A(-l,0),8(2%+1,0),

當(dāng)x=0時，y=2m+1,

.-.C(0,2m+l),

OB=OC=2"?+1,

NBOC=90。,

:.ZOBC=45°,

???斯〃y軸,

...ZBEF=/BCO,

ZBEF=2ZACOf

,\ZBCO=2ZACO,

作/0C3的平分線交05于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GH，3c于點(diǎn)“，如圖,

:.NBCO=2NOCG,GH=GO,

在△AOC和△GCO中,

ZACO=ZGCO

<oc=oc

ZAOC=ZGOC

A^AOC^AGOC(ASA),

：.OA=OG=1,

:.GH=1,GB=OB-OG=2m+l-l=2m,

GH工BC,NGBH=45。,

:.GH=BH=\,

:.GB=^GH2+BH2=42GH=42,

即2m=A/2,

m=-----

2

故選：B.

2.（24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)、=-X2+2如+2"?+1（機(jī)是常數(shù)，且〃]>0）的

圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。.其對稱軸與線段BC交于

點(diǎn)、E,與x軸交于點(diǎn)E連接AC.若ZBEF=2ZACO,則根的值為.

【分析】先用加的代數(shù)式表示出A,B,C的坐標(biāo)，再作NOCB的平分線交。2于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GHLBC

于點(diǎn)H，根據(jù)全等和角平分線性質(zhì)得到用帽的代數(shù)式表示的GH和GB的長，根據(jù)GH和GB的關(guān)系即可求

出機(jī)的值.

【詳解】解：在y=-/+2〃a+2m+1中，當(dāng)y=0時，--+2如+2m+1=0,

解方程，得為=T,^2=2m+l,

:點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè)，且相>0,

.-.A（-l,0）,B（2m+l,0）,

在y=T?+2〃4+2m+1中，當(dāng)x=0時，y-2m+l,

.-.C（0,2m+l）,

/.OB=OC=2m+l,

/BOC=90°,

:.ZOBC=45°,

??,所〃y軸，

:.ZBEF=ZBCO,

ZBEF=2ZACO9

,\ZBCO=2ZACO.

作/0C5的平分線交03于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GHL5c于點(diǎn)H,則。G=GH,如圖,

:.ZBCO=2ZOCG,GH=GO,

,\ZACO=ZGCO,

在△ACO和△GCO中,

ZACO=ZGCO

OC=OC

ZAOC=ZGOC

：._ACC^AGCO（ASA）,

OA=OG=GH=1,

:.GB=OB-OG=2m+i-l=2m,

GHtBC,ZGBH=45°,

???NBGH是等腰直角三角形,

:.GB=6GH,

即2/77=-s/2，

2

故答案為：f

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性

質(zhì)，角平分線性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.（24-25九年級上?江蘇揚(yáng)州?期末）如圖，拋物線＞=--+"+c經(jīng)過A（4,0）,C（—l,0）兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)8,P為第一象限拋物線上的動點(diǎn)，連接A3、BC、PA、PC,PC與A3相交于點(diǎn)。.

⑴求拋物線的解析式;

（2）設(shè)△APQ的面積為'，△BCQ的面積為52，當(dāng)5「星=5時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）拋物線上存在點(diǎn)P,滿足NP4B+/CBO=45。，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】⑴、=-爐+3工+4

⑵點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1,6）或（2,6）

⑶尸（3,4）

【分析】（1）將A（4,0）,C（TO）代入片-/+法+~利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式;

（2）根據(jù)圖形得到：Sl+SAQC=S2+SAQC+5,B|JSAPC=SABC+5.運(yùn)用三角形的面積公式求得點(diǎn)尸的縱

坐標(biāo)＞=6,然后由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)即可；

（3）過點(diǎn)P作PDLx軸于點(diǎn)。，根據(jù)03=。4=4得到//450=/。45=45。，可推出一BOCs尸/兇，由相

似的性質(zhì)進(jìn)行即可求解.

【詳解】（1）解：：拋物線y=-*+bx+c經(jīng)過A（4,0）,C（-1,O）兩點(diǎn),

J—16+4Z?+c=0

[―1—Z?+c=O

b=3

解得:

c=4

，拋物線的解析式為y=-x2+3x+4；

(2)解：???S「Sz=5,

?c_c_<

,?0ACP°ABC-?

令k=0,

貝ljy=4,

???3(0,4).

VA(4,0),C(-1,O),

OB=OA=4,AC=5,

S=—xACxOB=—x5x4=10,

說ARC22

?**SACp=15.

設(shè)尸（力+3/+4）,

?**SACP=/xACxyp=—x5x（—?+3/+4）=15,

1?0=1或，=2,

???尸（1,6）或尸（2,6）；

（3）解：存在，點(diǎn)戶的坐標(biāo)是（3,4）.

理由：過點(diǎn)尸作尸。_Lx軸于點(diǎn)O,

*.*OB=OA=4,

???ZABO=ZOAB=45°.

?.?NPAB+NCBO=45。,

ZCBO+ZPAB+ZBAO=90°.

'/ZCBO+Z.BCO=90°,

：.ZBCO=ZOAB-^-ZPAB=ZPAD.

???ZBOC=ZPDA=90°f

:?一BOCS/DA,

.BOCO

??而一茄.

設(shè)點(diǎn)「（a,—/+3a+4）,

APD=-a2+3a^4,AD=4-a,

4=1

—Q2+3Q+44—a

整理得7々+12=0,

解得％=3或g=4（不符合題意），

???尸（3,4）,

故答案為：（3,4）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性

質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，相似三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn).

4.（24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=a（x-l）（x-4）（a>0）

與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與>軸交于點(diǎn)C,若滿足OC?=0405.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）連接AC、BC,

①求證：ZACO=ZCBA；

②在拋物線上找一點(diǎn)E,使得/E4c=2/CBA,請求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

［答案］⑴y=gx2_：x+2

⑵①見解析；②（8,14）

【分析】（1）令y=0,可求出A、8的坐標(biāo)，然后求出C的坐標(biāo)，最后把C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解即

可；

（2）①證明△COAs^BOC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；

②取OC中點(diǎn)G,過G作GHLOC交AC于X,連接OH,設(shè)點(diǎn)E滿足NE4c=2/CBA,則C"=O",根

據(jù)等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)可得出NOH4=2NOCE,結(jié)合已知可得出/EAC=,則AE〃。//,

根據(jù)平行線分線段可得出H是AC中點(diǎn)，則待定系數(shù)法求出直線3解析式為V=2x,直線AE解

y=2x-2

析式為y=2x-2,聯(lián)立方程組15，即可求出E的坐標(biāo).

y=-x2—x+2

r22

【詳解】（1）解：令尸0,貝I］0=4（X-1）（X—4）,

解得x=l,x=4,

AA（1,O）,8（4,0）,

AAO=1,30=4,

OC-^OAOB,

/.OC2=1x4=4,

AOC=2（負(fù)值舍去），

???C（0,2）,

代入y=1）（%—4）,得2=a（0—1）（0—4）,

解得a=1，

2

；?了。1)(1)=?一|無+2；

(2)①證明：?..OC'OA.OB,

.PCOB

??一，

OAOC

又NCOA=/BOC,

???△COASABOC,

AZACO=ZCBO,即NACO=NCR4；

②如圖，取OC中點(diǎn)G,過G作GHLOC交AC于H,連接O",設(shè)點(diǎn)E滿足NE4C=2NCBA,

則C4=O”,

ZOCH=ZCOH,

：.Z.OHA=NOCH+Z.COH=2ZOCH,

5LZACO=ZCBAf

：.ZOHA=2ZCBA,

'：ZEAC=2ZCBA,

：.ZEAC=ZOHAf

：.AE//OH,

'：GH±OC,^AOC=90°,

???GH//OA,

...CH=CG=1，,

AHOG

是AC中點(diǎn)，

又4(1,0),C(0,2),

1+00+2

/.H即H

~2~,214

設(shè)直線OH解析式為＞=區(qū),

則、=1,

解得k=2,

，直線OH解析式為y=2x,

'：AE//OH,

設(shè)直線AE解析式為＞=2無+機(jī),

把4(1,0)代入，得0=2+”,

解得m=-2,

直線AE解析式為y=2x-2,

y-2x-2

聯(lián)立方程組15,

y=—x2——x+2

22

"I或(=1

解得(舍去)，

y=14V=0

，￡的坐標(biāo)為(8,14).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與相似三角形，待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，明確題意,

添加合適的輔助線，構(gòu)造相似三角形，合理分類討論是解題的關(guān)鍵.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)尸為該拋物線上一動點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)尸在直線AC下方時，過點(diǎn)尸作尸"x軸，交直線AC于點(diǎn)E,作刊7〃＞軸.交直線AC于點(diǎn)片求

Er的最大值；

②若ZPCB=3ZOCB,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

【答案】⑴y=；V+2x-6

⑵①當(dāng)②號

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可;

(2)①當(dāng)x=0時，、=-6,即C(0,-6),OA=6=OC,ZOAC=ZOCA=45°,待定系數(shù)法求直線AC的

解析式為了=一%—6；如圖1,設(shè)F，一r—6）,貝ij尸，：/+2C6）,尸產(chǎn)=-3r一3r=-3（r+3）2+￡,由-3<0,

'NJ乙乙乙乙

9

可知當(dāng)/=一3時，尸尸有最大值,，由尸石x軸，P/〃y軸，可得NPFE=NPEF，PE=PF,由勾股定理

得，EF=JPE°+PF°=也PF，進(jìn)而可求斯的最大值；②如圖2,作B關(guān)于，軸的對稱點(diǎn)N,連接CN,

作CP,使NPCN=ZNCO,交x軸于￡),由軸對稱的性質(zhì)可知，ZNCO=ZOCB,ON=OB=2,CN=CB,

則Z2VC3=2NOC3,ZPCO=ZPCN+ZNCO=2ZOCB=ZNCB,NPCB=NPCO+NOCB=3NOCB,由勾

22

股定理得，BC=CN=y/ON+OC=2710>如圖2,作加_LCN于M,由SBCN=；CN-BM=；BN-OC,

Bpix2V10xBM=|x4x6,可求8M=5^,由勾股定理得，CMBC?-BM?=對遠(yuǎn),貝U

2255

6M

tanNNCB=—=—^==,，由tanNDCO=—=tanNNCB=』，即變=?，可求OD=身，即￡>[-生,o],

CM8河4OC4644I4J

5

441c

待定系數(shù)法求直線CD的解析式為y=-§x-6,聯(lián)立，-§》-6=5/+2》一6,計(jì)算求出滿足要求的解即可.

【詳解】（1）解：將A（-6,0），3（2,0）代入y=gd+6x+c得,18-6Z;+c=0

2+2b+c=0

6=2

解得,

c=-6

**?y——+2%—6；

2

(2)①解：當(dāng)x=0時，y=-6,即C(0,—6),

/.OA=6=OC,/(MC=/OC4=45°,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+d,

—6k+Z?=0

將A（-6,0），C（0,-6）,代入得,

b=-6

k=-l

解得,

b=-6

直線AC的解析式為y=-x-6；

如圖1,

9

...當(dāng)/=一3時，尸產(chǎn)有最大值5，

軸，P尸〃y軸，

ZPFE=ZOCA=45°,ZPEF=ZOAC=45°,

:?ZPFE=ZPEF，

PE=PF,

由勾股定理得，EF=4PE?+PF，=垃PF，

E尸的最大值為還：

2

②解：如圖2,作3關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)N,連接CN,作CP,使NPCN=NNCO,交x軸于

由軸對稱的性質(zhì)可知，ZNCO=ZOCB,ON=OB=2,CN=CB,

：.ZNCB=2Z.OCB,ZPCO=ZPCN+ZNCO=2ZOCB=ZNCB,

ZPCB=ZPCO+ZOCB=3ZOCB,

由勾股定理得，BC=CN=yjON2+OC2=2M，

如圖2,作H0LQV于

RrN=-CNBM^-BNOC,BP-x2>/10xBM=ix4x6,

BCN2222

解得，

5

由勾股定理得，CM=ylBC--BM2=,

6V10

八snBM3

tan/NCB----5

CM8AA04

5

tanZDCO=—=tanZA^CB=-,gR—

OC464

9

解得，OD=3,

設(shè)直線CD的解析式為y=g+w,

（9A"=-6

將C（0,-6）,川二,