2025年浙江省杭州市濱江區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2025年浙江省杭州市濱江區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一.選擇題：本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分.

1.（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中對(duì)正負(fù)數(shù)的概念注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”.如

收入100元記為+100元，那么支出60元記為（）

A.-60元B.60元C.-40元D.40元

2.（3分）每年的6月6日是全國(guó)愛(ài)眼日.為了解某初中學(xué)校2000名學(xué)生的視力情況，某興趣小組的同學(xué)

制定了如下調(diào)查方案，最合理的是（）

A.抽取八年級(jí)200名女生進(jìn)行調(diào)查

B.按學(xué)籍號(hào)隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查

C.抽取九年級(jí)200名男生進(jìn)行調(diào)查

D.按學(xué)籍號(hào)隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查

3.則該幾何體是（)

B.三棱錐C.圓柱D.圓錐

4.（3分）如圖,以點(diǎn)。為圓心，04長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)8,則點(diǎn)8表示的數(shù)為（）

C.V2D.1+V2

5.（3分）節(jié)約用水，從我做起.小濱把自己家1月份至6月份的用水量繪制成如圖所示的折線(xiàn)圖.則小

濱家這6個(gè)月用水量的中位數(shù)是（）噸.

6.（3分）如圖，AB是。。的弦，AC是。。的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，8C經(jīng)過(guò)圓心.若N8=21°,則/C的

度數(shù)是（）

A.21°B.42°C.48°D.69°

7.（3分）如圖，小區(qū)物業(yè)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)60米、寬22米的矩形場(chǎng)地A8C。上，修建一個(gè)小型停車(chē)場(chǎng).其

中，陰影部分為停車(chē)位所在區(qū)域，兩側(cè)道路的寬x米，中間道路的寬2x米.若陰影部分的總面積是600

平方米，則可列方程（）

-41x+30=0

C.X2-41X+180=0D.x2-41x-270=0

8.（3分）如圖，在正方形A8C。中，A（-1,-1）,8（-3,0）.現(xiàn)將該正方形先向右平移，使點(diǎn)8與

原點(diǎn)。重合，再將所得正方形繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到四邊形A'B'CD',則點(diǎn)A的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（）

A.(-1,-2)B.(1,2)C.(2,-1)D.(2,1)

9.(3分)函數(shù)y=?圖象上有P(xi,r),Q(如什4)兩點(diǎn).()

A.若/>0,則0<x2〈xiB.若/>-4,則％2<0Vxi

C.若/VO,貝!Jx2VOVxiD.若/V-4,則0VxiVx2

10.(3分)如圖，AB,CO是。。的直徑，A3_LCD,點(diǎn)石為劣弧皿(不含端點(diǎn))上一點(diǎn)，連接AE,CE,

;分別交OD,OB于點(diǎn)F,G.若。0的半徑為1,記OF=x,BG=y,!則下列代數(shù)式的值不變的是（）

A

B

2121

A.2x-yB.———C.2y-xD.---

xyyx

二.填空題：本大題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分.

11.（3分）分解因式：無(wú)4_/=___________________.

12.（3分）半徑為3c優(yōu)的OO中，60°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為_(kāi)______5.（結(jié)果保留Tl）

1

13.（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)8為圓心,大于二AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相

交于N兩點(diǎn)，作直線(xiàn)MN交5c于點(diǎn)連接AD若NB=50°,則ND4C=__________.

A

14.（3分）甲、乙兩人在一次賽跑中，路程s（米）與時(shí)間r（秒）的關(guān)系如圖所示.當(dāng)?shù)谝粋€(gè)人到達(dá)終

點(diǎn)時(shí)，第二個(gè)人距離終點(diǎn)還剩米.

S（米）

100

O\1212.5t（秒）

15.（3分）一個(gè)不透明的布袋里裝有1個(gè)①號(hào)球和1個(gè)②號(hào)球，布袋外放有1個(gè)③號(hào)球，三個(gè)球除編號(hào)不

同外，其余均相同.先從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，不放回，然后將③號(hào)球放入布袋中，搖勻，再?gòu)牟即?/p>

中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則布袋里最后剩下的球是①號(hào)球的概率是.

16.（3分）如圖，在菱形48。中，NA為銳角，點(diǎn)E,歹分別在邊AD,BC上，且滿(mǎn)足BC

=3BF.將菱形沿斯翻折，使點(diǎn)A,B落在平面CDEF內(nèi)的點(diǎn)A',B'處.若菱形A8CZ）的周長(zhǎng)和面

積分別為12和6,則A'D=.

三.解答題：本大題有8個(gè)小題，共72分.

17.(8分)計(jì)算：

(1)|一3|+(上-】+口.

(2)[(x+2y)(x-2y)-(x+4y)2]4-(4y).

18.(8分)解方程：

(1)/+2x-1=0.

19.（8分）為更好地了解居民健身項(xiàng)目，某鎮(zhèn)決定對(duì)該鎮(zhèn)居民進(jìn)行一次抽樣調(diào)查.他們將居民日常健身項(xiàng)

目分成三類(lèi)：A類(lèi)：田徑；B類(lèi)：球類(lèi)；C類(lèi)：游泳.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合下圖所

給信息，回答下列問(wèn)題：

某鎮(zhèn)居民日常健身項(xiàng)目情況某鎮(zhèn)居民日常健身項(xiàng)目情況

人數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖扇形統(tǒng)計(jì)圖

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

(3)若該鎮(zhèn)居民大約有43000人，請(qǐng)估計(jì)該鎮(zhèn)參加8類(lèi)項(xiàng)目的人數(shù).

20.(8分)如圖，在中，ZACB=90°,若sinB=譽(yù)，BC=V5.

(1)求A8的長(zhǎng).

(2)若C。是斜邊A8上的中線(xiàn)，求tan/CDB的值.

21.(8分)某市政府計(jì)劃建設(shè)一項(xiàng)水利工程，工程需要運(yùn)送的土石方總量為某運(yùn)輸公司承擔(dān)了運(yùn)

送土石方的任務(wù).

(1)設(shè)運(yùn)輸公司平均運(yùn)送速度y(單位：//天)，完成運(yùn)送任務(wù)所需時(shí)間為單位：天).

①求y關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式.

②當(dāng)/W80時(shí)，求y的取值范圍.

(2)若1輛卡車(chē)，每天可運(yùn)送土石方IO?/,工期要求在80天內(nèi)完成，公司至少要安排多少輛卡車(chē)？

22.(10分)如圖1,在正方形A8CQ中，過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)。的兩條互相垂直的直線(xiàn)，交該正方形各邊于點(diǎn)

E,F,G,H.求證：AE=BG,所與G8把該正方形分成面積相等的四部分.

圖1圖2圖3

小濱、小江在完成上述解答后，進(jìn)一步思考，若將圖形一般化，是否也會(huì)有類(lèi)似結(jié)論？?jī)晌煌瑢W(xué)進(jìn)行了

如下探究.

(1)如圖2,在矩形A2C。中，過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)。的兩條直線(xiàn)交該矩形各邊于點(diǎn)E,F,G,H.

小濱：若BG：AE=BA；AD.則E尸與GH把該矩形分成面積相等的四部分.

小江：若EFLGH,則EF與GH把該矩形分成面積相等的四部分.

請(qǐng)判斷小濱、小江的猜想是否正確，并說(shuō)明理由.

(2)請(qǐng)仿照小濱、小江同學(xué)的探究過(guò)程，寫(xiě)出一個(gè)類(lèi)似的真命題：

如圖3,在口42。。中，.

23.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=/-(k+2)x+k。為常數(shù))圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(//,機(jī)).

(1)判斷點(diǎn)(1,-1)是否在該函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由.

1

(2)求證：h+m<-r.

24.(12分)已知，AB,CZ)是的弦，C￡)_LAB于點(diǎn)E,且皿=2而，連接BC,AD.

(1)如圖1,若是。。的直徑，求/C的度數(shù).

(2)如圖2,求證：①CD=CB.

②AE+AD=BE.

（圖1）（圖2）

2025年浙江省杭州市濱江區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案A.BACCCCBDD

一.選擇題：本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分.

1.（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中對(duì)正負(fù)數(shù)的概念注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”.如

收入100元記為+100元，那么支出60元記為（）

A.-60元B.60元C.-40元D.40元

【解答】解：“正”和“負(fù)”相對(duì)，所以，我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中對(duì)正負(fù)數(shù)的概念注有“今

兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”.如收入100元記為+100元，那么支出60元記為-60元.

故選：A.

2.（3分）每年的6月6日是全國(guó)愛(ài)眼日.為了解某初中學(xué)校2000名學(xué)生的視力情況，某興趣小組的同學(xué)

制定了如下調(diào)查方案，最合理的是（）

A.抽取八年級(jí)200名女生進(jìn)行調(diào)查

B.按學(xué)籍號(hào)隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查

C.抽取九年級(jí)200名男生進(jìn)行調(diào)查

D.按學(xué)籍號(hào)隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查

【解答】解：A、抽取八年級(jí)200名女生進(jìn)行調(diào)查，抽取的學(xué)生年級(jí)、性別單，無(wú)法反映全校情況,

故本選項(xiàng)調(diào)查方案不合理，不符合題意；

2、按學(xué)籍號(hào)隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查方案合理，符合題意；

C、抽取九年級(jí)200名男生進(jìn)行調(diào)查，抽取的學(xué)生年級(jí)、性別單一，無(wú)法反映全校情況，故本選項(xiàng)調(diào)查

方案不合理，不符合題意；

。、按學(xué)籍號(hào)隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，抽取的學(xué)生的樣本容量小，無(wú)法反映全校情況，故本選項(xiàng)調(diào)

查方案不合理，不符合題意；

故選：B.

3.（3分）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體是（）

B.三棱錐C.圓柱D.圓錐

【解答】解：：主視圖和俯視圖是長(zhǎng)方形，左視圖是三角形,

???該幾何體是三棱柱.

故選：A.

4.（3分）如圖，以點(diǎn)。為圓心，0A長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)3,則點(diǎn)8表示的數(shù)為（）

【解答】解：如圖所示,

由題意可知，OC=1,AC—1,ZACO—90°,

在RtZXAOC中，由勾股定理，MOA2=OC2+AC2,

0A=70c2+AC2=Vl2+l2=V2,

?/OB=OA,

：.0B=V2,

.?.點(diǎn)B表示的數(shù)為應(yīng).

故選：C.

5.（3分）節(jié)約用水，從我做起.小濱把自己家1月份至6月份的用水量繪制成如圖所示的折線(xiàn)圖.則小

濱家這6個(gè)月用水量的中位數(shù)是（）噸.

用水最噸

0123456月份

A.3.5B.9C.9.5D.11

【解答】解：把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：6,8,9,10,12,15,

中位數(shù)為：（9+10）+2=9.5（噸）,

故選：C.

6.（3分）如圖，AB是O。的弦，AC是O。的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，經(jīng)過(guò)圓心.若48=21°,則/C的

度數(shù)是（）

小

A.21°B.42°C.48°D.69°

【解答】解：連接04

是。。的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，

：.AC±OA,

.-.ZOAC=90°,

"：ZB=21°,

:./AOC=2/B=2X21°=42°,

；.NC=90°-NAOC=90°-42°=48°,

故選：C.

7.（3分）如圖，小區(qū)物業(yè)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)60米、寬22米的矩形場(chǎng)地A8CD上，修建一個(gè)小型停車(chē)場(chǎng).其

中，陰影部分為停車(chē)位所在區(qū)域，兩側(cè)道路的寬x米，中間道路的寬2x米.若陰影部分的總面積是600

平方米，則可列方程（）

222工

A./-41x+225=0B.x2-41x+30=0

C.?-41x+180=0D./-41x-270=0

【解答】解：,??矩形場(chǎng)地ABCD的長(zhǎng)為60米，寬為22米，兩側(cè)道路的寬尤米，中間道路的寬2x米,

陰影部分可合成長(zhǎng)為(60-2x)米，寬為(22-2x)米的矩形.

根據(jù)題意得：(60-2x)(22-2x)=600,

整理得：45+180=0.

故選：C.

8.(3分)如圖，在正方形ABC。中，A(-1,-1),8(-3,0).現(xiàn)將該正方形先向右平移，使點(diǎn)B與

原點(diǎn)。重合，再將所得正方形繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到四邊形A'B'CD',則點(diǎn)A的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是()

C.(2,-1)D.(2,1)

【解答】解：如圖:

■:B(-3,0),

...將正方形先向右平移，使點(diǎn)2與原點(diǎn)。重合，即是將正方形A8C。向右平移3個(gè)單位，

/.A（-1,-1）平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E（2,-1）,

???將所得正方形EOGP繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到四邊形A'B'CD',

；.旋轉(zhuǎn)后E（2,-1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A（1,2）；

故選：B.

9.（3分）函數(shù)y=?圖象上有尸Cn,f）,Q（尤2,什4）兩點(diǎn).（）

A.若>0,則0<尤2<%1B.若/>-4,則％2<0<%1

C.若/V0,貝!Jx2VoD.若￡<-4,則0〈xi〈x2

【解答】解：?..反比例函數(shù)y=?中，左=-4<0,

此函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，

A、若/>0,則尸（xi,Z）,Q（X2,什4）在第四象限，且￡<什4,

*.*/V/+4,

.'.0<Xl<X2,錯(cuò)誤，不符合題意；

B、若/>-4,則尸（xi,Z）,Q（及，什4）有可能都在第四象限，故錯(cuò)誤，不符合題意；

C、若/V0,則尸（羽，力，Q（X2,什4）有可能都在第二象限，故錯(cuò)誤，不符合題意；

D、若/V-4,什4V0,

:?P（xi,力，Q（必什4）在第四象限，

?\<什4,

.*.0<Xl<X2,正確，符合題意.

故選：D.

10.（3分）如圖，AB,CQ是。。的直徑，A8_LC。，點(diǎn)E為劣弧如（不含端點(diǎn)）上一點(diǎn)，連接AE,CE,

分別交OD,OB于點(diǎn)F,G.若的半徑為1,記OF=x,BG=y,則下列代數(shù)式的值不變的是（）

2121

A.2x-yB.———C.2y-xD.一一一

xyyx

【解答】解：如圖，

,：AB,CD是（DO的直徑，ABLCD,OA=OC=1,

.?.N1=N2=45。，AC=y]AO2+CO2=V2,

設(shè)/。4P=a,

1

則NCAF=/1+/OAF=45°+a,ZAGC=4+ZOAF=^Z-AOC+Z-OAF=45°+a,

：.ZCAF=ZAGC,

：.AACF^AGAC,

ACCFV21+x

--=---,即----=1―，

GACA2-yV2

（1+x）（2-y）=2,

.*.2-y+2x-xy=2,

??lx-y=xy,

21

兩邊同時(shí)除以孫得：一一一二1,

yx

故。符合題意，而A、&。代數(shù)式的值均不能證明不變,故不符合題意,

故選：D.

二.填空題：本大題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分.

11.（3分）分解因式：x4-二2（x-1）（x+1）.

【解答】解：原式=/（%2一12）

=/（X-1）（元+1）；

故答案為:/（X_1）（x+1）；

12.（3分）半徑為3cm的。。中，60°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為T(mén)lCM.（結(jié)果保留71）

【解答】解：60°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)=筆舒=1T（cm）.

loU

故答案為：U.

1

13.（3分）如圖，在△ABC中，AB^AC,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于萬(wàn)力B的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相

交于M,N兩點(diǎn)，作直線(xiàn)MN交8C于點(diǎn)。，連接A。，若/8=50°,則ND4C=30°.

4c=180°-ZB-ZC=80°,

1

:分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于5aB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點(diǎn)，作直線(xiàn)MN交BC

于點(diǎn)。連接AD,

：.DM是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，

:.DA=DB,

：.ZBAD=ZB^5Q°,

：.ZDAC=ZBAC-ZBAD=30a.

故答案為：30°.

14.（3分）甲、乙兩人在一次賽跑中，路程s（米）與時(shí)間t（秒）的關(guān)系如圖所示.當(dāng)?shù)谝粋€(gè)人到達(dá)終

點(diǎn)時(shí)，第二個(gè)人距離終點(diǎn)還剩4米.

【解答】100-^x12=4（米），

即當(dāng)?shù)谝粋€(gè)人到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，第二個(gè)人距離終點(diǎn)還剩4米,

故答案為：4.

15.（3分）一個(gè)不透明的布袋里裝有1個(gè)①號(hào)球和1個(gè)②號(hào)球，布袋外放有1個(gè)③號(hào)球，三個(gè)球除編號(hào)不

同外，其余均相同.先從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，不放回，然后將③號(hào)球放入布袋中，搖勻，再?gòu)牟即?/p>

中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則布袋里最后剩下的球是①號(hào)球的概率是

【解答】解:樹(shù)狀圖如下,

開(kāi)始

第一次

第二次

剩下的球③②③①

由上可得，一共有4種可能性，其中布袋里最后剩下的球是①號(hào)球的可能性有1種，

，布袋里最后剩下的球是①號(hào)球的概率是士

4

,,&-r1

故答案為：

4

16.（3分）如圖，在菱形ABCD中，N4為銳角，點(diǎn)E,尸分別在邊AD,上，且滿(mǎn)足AO=3AE,BC

=3BF.將菱形沿所翻折，使點(diǎn)A,B落在平面CD跖內(nèi)的點(diǎn)A',B'處.若菱形A8CZ）的周長(zhǎng)和面

7

積分別為12和6,則A'D=..

【解答】解：連接AY,BB\過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)"，交A8于點(diǎn)G,交EF于點(diǎn)I,

D_C

?菱形ABC。的周長(zhǎng)和面積分別為12和6,

：.AD=AB=3fABXDH=6,

:.DH=2,

：.AH=y/AD2-DH2=V5,

???菱形ABCD,

：.AD^BC,AD//BC,

9：AD=3AE,BC=3BF,

：.AE=BF,

???四邊形ABFE是平行四邊形，

：.EF//AB,EF=AB,

,?,折疊，

???四邊形AB'FE是平行四邊形，

：.EF//A'B\EF=A'B\

：.AB//AB\AB=A'B\

???四邊形A46'B是平行四邊形，

,?,折疊，

：.EF±AA\

：.AB±AA\

???四邊形AA'B'B是矩形，

ZA'AH=ZAA'G=90°,

VZ)H±AB,

ZA'AH=ZAA'G=ZGHA=90°,

???四邊形4VG”為矩形，

：.A'G=AH=V5,

9：EF//AB,

.AEHI1

99AD-HD-3’

1

.'.HI=”。，

???折疊，DHLAB,

：.HI=IG=^HD,

i7

：.DG=^HD=|,

VDHXAB,AB//AB',

：.DG±A'B\

：.A'D^yjA'G2+DG2=J(V5)2+(1)2=

7

故答案為：

三.解答題：本大題有8個(gè)小題，共72分.

17.（8分）計(jì)算：

(1)|—3|+(》一]+口.

(2)[(x+2y)(x-2y)-(x+4y)2]-r(4y).

【解答】解：(1)|一3|+(^)-1+V—8

=3+2+(-2)

=3；

(2)[(x+2y)(x-2y)-(x+4y)2]-r(4y)

=(x2-4y2-x2-8xy-16y2)4-(4y)

=(-Sxy-20y2)4-(4y)

=-8孫+(4y)-20/4-(4y)

=-2x-5y,

18.(8分)解方程：

(1)/+2x-1=0.

2

【解答】解：(1)X+2X-1=0,

X2+2X=1,

/+2x+l=2,

(x+1)2=2,

x+l=±V2,

所以％1=-1+V2,X2=-1-V2；

(2)去分母，得2x=3-2(x-1),

去括號(hào)，得2x=3-2x+2

移項(xiàng)，得2x+2x=3+2,

合并，得4%=5,

系數(shù)化為1,得X="

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，2(尤-1)W0,則是原方程的解,

所以原方程的解為X?.

19.(8分)為更好地了解居民健身項(xiàng)目，某鎮(zhèn)決定對(duì)該鎮(zhèn)居民進(jìn)行一次抽樣調(diào)查.他們將居民日常健身項(xiàng)

目分成三類(lèi)：A類(lèi)：田徑；B類(lèi)：球類(lèi)；C類(lèi)：游泳.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合下圖所

給信息，回答下列問(wèn)題：

某鎮(zhèn)居民日常健身項(xiàng)目情況某鎮(zhèn)居民日常健身項(xiàng)目情況

人數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖扇形統(tǒng)計(jì)圖

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

(3)若該鎮(zhèn)居民大約有43000人，請(qǐng)估計(jì)該鎮(zhèn)參加8類(lèi)項(xiàng)目的人數(shù).

【解答】解：(1)本次抽樣的樣本容量是600?60%=1000；

故答案為：1000；

(2)C類(lèi)的人數(shù)有：1000-600-300=100(人),

答：估計(jì)該鎮(zhèn)參加8類(lèi)項(xiàng)目的人數(shù)為12900人.

20.(8分)如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,若sinB=詈,BC=V5.

(1)求A8的長(zhǎng).

(2)若CD是斜邊A8上的中線(xiàn)，求tan/CL啰的值.

c

【解答】解：(1),：ZACB=90°,sinB=號(hào),

..AC2V5

■'sinDB=AB^—'

設(shè)AC=2y/Sx,AB=5%,

112

在Rtz^ABC中，由勾股定理得：AC+BC=ABf

(2V5%)2+(V5)2=(5x)2,

2Q?+5=257,

5/=5,

/=1,

.,.x=l或-1(不合題意舍去)，

：.AB=5；

(2)如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作CELA5,垂足為點(diǎn)E,

：.ZCED=90°,

???。。是斜邊A5上的中線(xiàn)，由(1)可知A3=5,

15

ACD=^AB=|,

11

Z\ABC的面積=j71C-BC=^AB-CE,

：.AC-BC=AB-CE,

2V5xV5=5CE,

:.CE=2,

---

：.DE=VCD2-CE222

24

CE---

；?tanNCDB==33

2-

C

21.（8分）某市政府計(jì)劃建設(shè)一項(xiàng)水利工程，工程需要運(yùn)送的土石方總量為1。6租3,某運(yùn)輸公司承擔(dān)了運(yùn)

送土石方的任務(wù).

（1）設(shè)運(yùn)輸公司平均運(yùn)送速度y（單位：，//天），完成運(yùn)送任務(wù)所需時(shí)間為單位：天）.

①求y關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式.

②當(dāng)/W80時(shí)，求y的取值范圍.

（2）若1輛卡車(chē)，每天可運(yùn)送土石方IO?/,工期要求在80天內(nèi)完成，公司至少要安排多少輛卡車(chē)？

【解答】解：（1）①/二牛，

...y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y=羋.

②：：106>0,

隨t的增大而減小，

：tW80,

1n6

當(dāng)f=80時(shí)y值最小，y最小=帶=12500,

.?.當(dāng)K80時(shí)，y的取值范圍為y212500.

（2）設(shè)公司安排尤輛卡車(chē)，

106

根據(jù)題意，得——<80,

102x

解得尤2125.

答：公司至少要安排125輛卡車(chē).

22.（10分）如圖1,在正方形A8C￡）中，過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)。的兩條互相垂直的直線(xiàn)，交該正方形各邊于點(diǎn)

E,F,G,H.求證：AE=BG,E尸與G"把該正方形分成面積相等的四部分.

圖1圖2圖3

小濱、小江在完成上述解答后，進(jìn)一步思考，若將圖形一般化，是否也會(huì)有類(lèi)似結(jié)論？?jī)晌煌瑢W(xué)進(jìn)行了

如下探究.

（1）如圖2,在矩形A8CZ）中，過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)。的兩條直線(xiàn)交該矩形各邊于點(diǎn)E,F,G,H.

小濱：若BG：AE=BA：AD.則EF與GH把該矩形分成面積相等的四部分.

小江：若E尸工GH,則E尸與G8把該矩形分成面積相等的四部分.

請(qǐng)判斷小濱、小江的猜想是否正確，并說(shuō)明理由.

(2)請(qǐng)仿照小濱、小江同學(xué)的探究過(guò)程，寫(xiě)出一個(gè)類(lèi)似的真命題:

如圖3,在。A8CO中，過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)。的兩條直線(xiàn)交該平行四邊形各邊于點(diǎn)E,F,G,H,若SYOE

=SdOG,則E萬(wàn)與G8把該平行四邊形分成面積相等的四部分.

【解答】解：(1)小濱的猜想正確，小江的猜想錯(cuò)誤，理由如下：

過(guò)點(diǎn)。作OTLAB,OPLAD,垂足為點(diǎn)T,P,

AEPD

?「I

BF。

???四邊形A3CD是矩形，

：?OB=OA=OD=OC,ZBAD=90°,

：.ZOTB=ZBAD=90°,

：.OT//AD,

：.△BTOsABAD,

.OTBO1

99AD~BD~2

1

：.0T=^AD,

同理。尸=WAB,

111111

:,SXOBG=qBGxOT—^BGx-^AD,S^AEO=義OP—'ZEx'ZB,

9：BG：AE=BA：AD,

：.AEXAB=BGXAD,

??S/\OBG=S/\AEO,

.1

??S四邊形AEOG-S/^AEO~^~S/^AGO—S/\BGO~^~S/\AGO-S^AOB~矩形ABCD，

??,矩形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，

**S四邊形AEOG=S四邊形CFOH=矩形ABCD，

??S四邊形EOHD=S四邊形FOGB=4S矩形ABCD，

；?EF與G"把該矩形分成面積相等的四部分，故小濱的猜想正確；

如圖：過(guò)點(diǎn)。作OTJ_A5,OP±AD,垂足為點(diǎn)T,P,

：.ZBAD=90°,

ZBAD=ZATO=ZOPA=90°,

???四邊形ATO尸為矩形，

：.ZTOP=90°,

?：EF_LGH,

：.ZEOG=90°,

：?/TOP=/EOG,

.'.Z1=Z2,

'：ZOTG=ZOPE=90°,

:?△OTGsAOPE,

..ill

,s四邊形4EOG=S梯形AEOrhS^OTG'S^^poT=‘梯形AEOT+LOPE~"尸XAT-X=~^S矩形ABCD，

又,：△OTGSAOPE,但不一定全等，

.??^△OTG不一定等于SAOPE,

故S矩形APOT不一定等于S四邊形AEOG,

??S四邊形AEOG不一定等于矩物BCD，

:.EF與G”不一定把該矩形分成面積相等的四部分，

.,?小江的猜想錯(cuò)誤；

(2)寫(xiě)出的真命題為：在口ABC。中，過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)。的兩條直線(xiàn)交該平行四邊形各邊于點(diǎn)E,F,G,

H,若SAAOE=SABOG,則跖與GH把該平行四邊形分成面積相等的四部分.

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.OA=OB=OC=OD,

._1

,,S—OB=4S?/BC。'

?SAAOE=SABOG,

,_1

?*S四邊形AEOG=S—OG+S^AOE=S^AOG+^LBOG=LAOB=4^^ABCDf

同理可得：S四邊形EDHO=$四邊形HCFO=S四邊形FBGO~~^S^ABCD^

，EF與G”把該矩形分成面積相等的四部分.

故答案為：過(guò)