2025年中考數學押題預測（重慶卷）（全解全析）

2025年中考押題預測卷（重慶卷）

數學?全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（共40分）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）.

1.實數。，b,。在數軸上的位置如圖所示，下列結論正確的是（）

abc

_____l.l.lII[1.11A

-3-2-1012345

A.b+c<0B.a—c<0C.|a|>|c|D.—2b<—2c

【答案】B

【詳解】解：由數軸可知一3<a<-2</?<-l<3<c<4,

b+c>0,故A選項錯誤，不符合題意；a-c<0,故B選項正確，符合題意；

時<卜|,故C選項錯誤，不符合題意；

'：b<c,-2b>-2c,故D選項錯誤，不符合題意；故選：B.

2.如圖的立體圖形由相同大小的正方體積木堆疊而成.拿走甲、乙、丙、丁中的一個積木后，此圖形主

視圖的形狀發(fā)生了變化，則拿走的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【詳解】解：由圖形可知，拿走乙此圖形主視圖的形狀發(fā)生了變化，故選B.

3.估計/xJ+g的運算結果應在（）

A.4到5之間B.5到6之間C.6到7之間D.7到8之間

【答案】D

【詳解】解：腕xj|+也'=4+2代，

V1.5=VZ25<V3<2,/.3<2A/3<4,.，.7<2括+4<8,

...屈x—+小■的運算結果在7到8之間，故選：D.

4.如圖，一條光線經平面鏡的反射光線BC經凹透鏡折射后，其折射光線的反向延長線過凹透鏡的

一個焦點K.已知光線的入射角為45。，反射光線3c與折射光線CD的夾角ZBCD=155。，則光線CD與

光線48所夾的銳角為（）

A.65°B.60°C.35°D.25°

【答案】A

【詳解】解：如圖：延長AB,DC相交于點E,由題意可得：AHBC=ZABH=ZCBG=ZEBG=45°,

,/ZBCD=155°,/.NBCE=180°-NBCD=25°,/.NBGE=NBCE+NCBG=70°,

ZBGE+ZEBG+Z.EBG=180°,/.NBEG=180°—NBGE-NEBG=65°.故選A.

5.如圖.在平面直角坐標系中，VABC與ADEF是位似圖形,位似中心為點0,若點C（4,l）的對應點F（12,3）,

則VABC的面積與ADEF的面積之比為（）

【答案】C

【詳解】解：：點C（4,l）,F（12,3）,：.oc=-/n,OF=A/122+32=3^>

.ACPC717_1

：VA5c與ADEF位似，位似中心為點。，；.AABCsaDEF,.

'~DF^~OF~

.?.VABC的面積與ADEF積之比=['）=1.故選：C.

6.若點A（”,〃7）,B（a+2,〃）是反比例函數y圖象上的兩點，下列說法正確的是（）

A.n<mB.當av—2時，n<m<0C.當一2vav0時，m<n<QD.當〃〉0時，0<m<n

【答案】B

【詳解】解：反比例函數y=L的左=1>0,反比例函數圖象分布在第一三象限，在每個象限內，y隨X的增

X

大而減小，A、無法確定QM+2的正負，故無法確定幾〈根，故說法不符合題意；

B、當av—2時，a<a+2<0,n<m<0,故說法正確，符合題意；

C、當-2vav0時，iz<0,tz+2>0,n>O>m,故說法錯誤，不符合題意；

D、當〃〉0時，0<〃<〃+2,0<n<m,原說法錯誤，不符合題意；故選：B.

7.（2024.四川成都.模擬預測）將三項式展開，得到下列等式：

+〃+1）=1

（Q2+Q+l）=Q2+Q+1

（Q?+Q+1）—Q'+2Q3+3Q2+2Q+1

+a+1J—a，+3a5+6Q4+7+6Q2+3d+1

觀察多項式系數之間的關系，可以仿照楊輝三角構造如圖所示的廣義楊輝三角形，方法為：第。行為1,以

下各行每個數是它正上方與左右兩肩上的3個數（不足3個數時,缺少的數以0計）之和,第上行共有（2女+1）

個數，則關于x的多項式（〃+以_3）（必+%+1）的展開式中，項的系數為（）

廣義楊輝三角形

第

0行

第

1行

第

9行111

-

第

行12321

3

行

第41367631

14101619161041

A.15（〃2+々—1）B.15（〃2+a+l）C.15（/+2〃+3）D.15（〃2+2〃-3）

【答案】D

【詳解】解：由題意得，（爐+%+1）=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+l,

???。2+冗+1）5的展開式中18項的系數為1+10+4=15,『項的系數為16+10+4=30,

???（々2+以_3乂/+l+1）5的展開式中，工8項的系數為15/+3（）〃_45,即15（/+2Q—3）,故選：D.

8.半圓的直徑A5在直尺上所對的刻度如圖所示，點。在半圓上，且AC=23C，連接AC,取AC的中點

-65萬

D.——

6

【答案】A

?點。為AC中點，??OD//BC,,?Sgeo—^/\BCD，??S陰影—S扇形院。

,?AC=2BCZAOC=2ZBOC,,：ZAOC+ZBOC=180°,?.ZBOC=60°，

60^x5225%,,.n.,

S扇形BCO——，故選：A.

影一3606

9.如圖，矩形OABC中，A（12,0）,點。為BC的中點，點尸為AB上一點，且族=2,將線段OP繞點D順

時針旋轉90。得到線段DQ,若點Q恰好落在線段OP上，則點3的坐標為（）

C.(12,8)D.(12,10)

【詳解】過點。作于點

,?,四邊形。4BC是矩形，A(12,0),:.OA=BC=12,AB=OC,ZB=ZOAB=90°,

,??點。為2c中點，?-工BC=6.?.?NP￡>Q=90。，:.NPDB+NQDH=90°,

2-~

又ZPDB+NDPB=90°,ZDPB=ZQDH.

ZDBP=ZDHQ=90°

在ADBP和A。”。中，\ZDPB=AQDH,ADB—AQHD,

DP=DQ

BP=DH=2,BD=QH=6,BH=BD+DH=6+2=8,

CH=CB-BH=12-8=4,設AB=OC=/z,則。(6,〃)，P(12,h-2),

6-2

設直線O尸的解析式為y=^(L*O),把P(12,〃-2)代入得%―2=12%,y=T尤，

h-2h-2.

點。的橫坐標為4,縱坐標為"一6,把。(4M—6)代入y=RX得：h-6=~x4,解得"=8.選：C.

10.數形結合是解決一些數學問題的重要思想方法，比如卜-司在數軸上表示數4，%對應的點之間的距

離.現(xiàn)定義一種“。運算”，對于若干個數，先將每兩個數作差，再將這些差的絕對值進行求和.例如：對-2,

1,2進行“。運算”，#|-2-1|+|-2-2|+|1-2|=8.下列說法正確的個數是()

①對"，-2,1進行“。運算”的結果是8,則〃=2；

②對a,6,c,c進行“。運算”，化簡后的結果可能存在6種不同的表達式；

③對4,5,6,7,L,2025,q進行“。運算”，當其結果取最小時對應q的范圍是10134“W1014.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【詳解】解：①對“-2,1進行“。運算”的結果是8,

貝++=.-.|n+2|+|n-l|=5,

當力＜-2時，-〃-2+(-"+1)=5,解得：〃=-3；

當-2v幾vl時，〃+2+(f+1)=5,方程無解;

當時，〃+2+(〃-1)=5,解得：〃=2；故胃=-3或2,則①錯誤;

—

②對a,b9c,c進行“。運算"，|^+2|tz—c|+2|/?—c|+|c—c|=|fl—Z?|+2|^—c|+2|Z?—c|,

^a-b>0,a-c>0,b-c>0fQ—Z?+2]a—c+2Z?—=a—b+2a—2c+2Z?—2c—3a+b—4c,

一

^a-b>0,a-c>0,b-c<0f+2,—c|+2|/?—c|=a—Z7+2a—2c—2Z7+2c—3a—3b,

^a-b>0,a-c<0,b-c<0f—b|+2|a—c|+2|z7—c|—a—b—2a+2c—2Z?+2c——a—3b+4c,

一〃一

^a-b<Q,a-c<Q,b-c<0f|a4+21a—+2c|——a+Z7—2a+2c—2Z7+2c=_3a—Z?+4c,

^a-b<Q,a-c>0,b-c>0f—Z?|+21tz—c|+2|Z7—=—a+Z7+2a—2c+2b—2c=a+3b—4c,

^a-b<0,a-c<0,b-c>0,a—+—c+2Z7—c——a+Z7—2a+2c+2Z7—2c=-3a+3b,

化簡后的結果可能存在6種不同的表達式，故②正確;

③若對4,5,6,7,L,2025,進行“。運算”，該數列共2022項，插入q后共2023項,

為使兩兩差絕對值最小，則q應位于原數列的中位數附近，原數列中位數為=[0]4.5,

則當9=1014.5時，運算結果最小，故③錯誤；故選：B

第n卷(共no分)

二、填空題(本大題共6個小題，每題4分，滿分24分，將答案填在答題紙上)

11.計算：2025°義一3+而一潴-2一=.

【答案】2

［詳解］解：2025°x-1+716-^8-2-'=lxl+4-2----+2--=2,故答案為：2.

22222

12.酚麟是一種常用的酸堿指示劑.通常情況下酚醐遇酸溶液不變色，遇堿溶液變紅色.實驗室有四瓶沒

有標簽的無色溶液，分別是NaOH溶液、Ca(OH)2溶液、稀鹽酸、稀硫酸.小剛隨機選了兩瓶溶液并各滴

入一滴酚獻試劑，則這兩瓶溶液只有一瓶變紅色的概率為

【答案】；2

【詳解】解：將NaOH溶液、CalOH)?溶液、稀鹽酸、稀硫酸分別記作A、B、C、D,列表如下:

ABcD

A（B、A）（C、A）QA）

B（4B）（C、B）。B）

（B、）QC）

C(4。)C

D（A0（B、D）（C、0

由表可知，共有12種等可能結果，其中滴入一滴酚醐試劑后只有一瓶呈現(xiàn)紅色的有8種結果,

QOO

所以滴入一滴酚醐試劑后只有一瓶呈現(xiàn)紅色的概率為==§;故答案為：y.

13.如圖，已知AB=AC,/BCD=90°,ZADB=2ZDBC,若AD=2,則80的長度為—

【答案】4

【詳解】解：如圖，延長54、C￡＞交于點N,延長。C至點使得CM=CD,連接8河,

N

\AB=AC,:.ZABC=ZACB,vZBC￡>=90°,ZACB+ZACD=90°,ZABC+ZAND=9。。，

vZABC=ZACB,,\ZACD=ZAND,:.AC=AN,:.AB=AN,

?:BN=AB+AN=2AN,-.-ZBCD=90°,:.BC±DM,

BN2

又QCM=CD,，水:是?！钡拇怪逼椒志€，=

XvBClDM,:.ZDBC^ZMBC,:.NDBM=NDBC+ZMBC=2/DBC,

又,：ZADB=2NDBC,:.ZADB=ZDBM,:.AD//BM,.^NAD^NBM,

AZ)AN1

——=——=一，:.BM=2AD=2x2=4,:.BD=BM=4,即：8。的長度為4.故答案為：4.

BMBN2

\-211

-----<x+1y—aI

14.若關于x的一元一次不等式組3至少有2個整數解，且關于y的分式方程—=-1的

,八y-22-y

x+a<3

解是正整數，則所有滿足條件的整數。的值之和是.

【答案】2

【詳解】解：—<%+,解不等式①得：%>-(解不等式②得：x<3-a,

x+a<3②"

則根據題意可知，不等式組的解集為：-|<x43-a,

x+i>￡zl

?.?關于x的一元一次不等式組3至少有2個整數解，

x+a<3

則該不等式的整數解至少包含：-2,-1,解得：a44,

分式方程—+心=-1去分母得：y-a-l=2-y,解得：y=胃，

Va<4,；.>=審《(，:y是正整數，且y-2,y=l或y=3,「.“=T或。=3,

滿足條件的整數。的和為-1+3=2,故答案為：2.

15.如圖，AB是。0的直徑，點C在。。上，過點C作CDLAB于點。，點E為。。上一點，連接CE交A3

于點尸，CE=CB,延長與過點A的切線交于點H,若。4=3,BC=2?,則4/=;DF=

【詳解】解：是。。的直徑，OA=3.-.^ACB=90°,AB=2OA=6,

AC=YJAB2-BC2=j62-(2y/6)2=2^,tanZABC=—==—,

VV>BC2A/62

?.?A/f是G)0的切線，:.ZHAB=90°,在RtAHAB中，AH=ABtanZABH=6x—=372,

2

連接EO,CO,設CO交EB于點G,1.,BC-CE,CO-CO,OE=OB,

:.ACEO^^CBO,:.ZECO=ZBCO,:.CG1EB,在Rt^ACB中，ZCAB+ZABC=90°,

CD±AB,ZADC=90°,ZCAB+ZACD=90°,:.ZACD=ZABC,

4BAC/.2

,/CAB=Z.DAC,/.AASC^AACZ),---=-----,/.AC2=AD-AB,即(2A/3)=ADx6,

ACAD\)

AD=2,DO=AO-AD=3-2=i,

在RtACDO和RUBGO中，NCDO=ZBGO=90°,/COD=/BOG,CO=BO,

.?.RtACE>(9^RtABG(9,AOG=OD=1,CG=CO+OG=4,:.BG=,BC?_CG?=廚—4?=20,

?;OG工BE,;.BE=2BG=4?，ZACE=NABE,NCAB=NCEB,：.AAFC^EFB

AF=CF=^C=2A^=,-.AFFB=EFCF,設AB=向，所=43則5F=6-向,C歹=2斯一4左，

EFBFBE4V24

.?.巫卜（6-歷=4蟲娓-4k）,解得，k瀉,AF=V6X^=|,

64I—4

:.FD=AO-AF-DO=3---1=~,故答案為：372,

16.定義：如果一個正整數能表示成兩個正整數如〃的平方差，那么稱這個正整數為“智慧數”.例如

16=5032,16就是一個“智慧數”，可以利用加一/=（”,+〃）（〃-〃）進行研究.下列結論：

①所有的正奇數都是“智慧數”，②除4以外所有能被4整除的正整數都是“智慧數”；③被4除余2的正整數

都不是“智慧數”.其中正確的結論是.（填序號）

【答案】①②③

【詳解】解：設正奇數為2左+1（%為非負整數），nr-n2=（m+n）（m-n）,令1,

Im—n=l

將兩式相加可得：—附）=2k+1+1,即2〃?=2%+2,解得：m—k+1,

將〃=7k+1代入加一〃=1,解得：“=為非負整數，二機、〃為正整數，

...所有的正奇數都可以表示成兩個正整數的平方差，即所有的正奇數都是“智慧數”，故①正確；

z/z+YI——2k

{m—n-2

將兩式相力口可得：（〃1+〃）+（〃?一"）=2k+2,即2〃z=2左+2,解得：m—k+1,

將〃7=k+1代入m—〃=2,解得〃=4—1.為正整數且4W1,.,.，〃、〃為正整數，

???除4以外所有能被4整除的正整數都可以表示成兩個正整數的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整

數都是“智慧數”，故②正確；

假設存在正整數m、〃，使得蘇-/2=（加+”）（掰-九）是被4除余2的正整數，即療-“2=4左+2（%為整數）.

1.1（"2+〃）與（"7-〃）的奇偶性相同，若（加+”）與（加-九）都是奇數，則（根+力0-"）都是奇數，不可能是4k+2

這種偶數；若（％+〃）與（利-"）都是偶數，貝鼠加+”）（"…〃）能被4整除，也不可能是以+2；

???被4除余2的正整數都不是“智慧數故③正確；

綜上所述，正確的結論是①②③.故答案為：①②③.

三、解答題（本大題共8小題，其中17題16分，其余每題各10分，共86分.解答應寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.）

17.先化簡，再求值：

⑴+2+其中x是滿足條件x42的合適的非負整數.

Ix-2Jx--4x+4

⑵［（x+2y）（x-2y）-（x-2y）1+（-2y）,其中％=一1,=--|.

【答案】⑴―，-1⑵-2x+4y,-4

x3

【詳解】(1)解：x+2+

X2-4X+4

（尤+2）（龍一2）+4（彳-2）2=f（尤―2）=..2（4分）

x—2x3x—2x3x

???%是滿足條件2的合適的非負整數，xwO,xw2,?,?%=1,

此時原式=—=-1.（8分）

（2）原式=（%-2y）［（x+2y）-（x-2y）］+（-2y）

=(x-2y)-4y4-(-2y)=(4xy-8y2)4-(-2y)=-2x+4y,(12分)

3

當x=-L,>=—5時，

原式二-2x(—l)+4x1—=2-6=-4.(16^)

18.在學習了平行四邊形的性質后，小紅進行了拓展性探究.她發(fā)現(xiàn)在平行四邊形中，連接一條對角線，

分別過另外兩個頂點作這條對角線的垂線，則這兩個頂點和垂足構成的四邊形是平行四邊形.可以利用平

行四邊形的判定方法得到此結論.請根據她的思路完成以下作圖與填空：

A____________kn

Kt

BC

⑴用直尺和圓規(guī)，過點A作對角線8。的垂線，垂足為點E,連接■、CE.(只保留作圖痕跡)

(2)已知：如圖，在平行四邊形ABC。中，連接8D,AELBD于點E,CFLBD于點F.求證：四邊形AEB

是平行四邊形.

證明：?.,四邊形ABCD為平行四邊形，，AB=CD且AB〃CD..?.①.

-：AE±BD,-ZAEB=90°,同理可得，/CFD=90°....②

AABE^ACDF(AAS).③.

同理可得，NCEE=90。.

ZAEF=NCFE.：.④.二四邊形AECF是平行四邊形.

進一步思考：如果四邊形ABCD是矩形呢？我們發(fā)現(xiàn)，在矩形中，連接一條對角線，分別過另外兩個頂點

作這條對角線的垂線，那么這兩個頂點和垂足構成的四邊形是⑤.

【答案】(1)見解析(2)①/ABE=/CD/；@ZAEB=ZCFD-,③AE=CF；@AE\\CF.⑤平行四邊形

【詳解】(1)如圖，點E即為所作；

（2分）

（2）證明：■.?四邊形ABCD為平行四邊形，.?./15=。。且48〃?！辏?，//18￡=/?！辏〆

-,■AE±BD,:.ZAEB=90°,同理可得，/CFD=90°

ZAEB=ZCFD,:.AABE學&CDF（AAS）,AE=CF,

又,??AELBD,:.ZAEF=90°,同理可得，ZCFE=90°,

ZAEF=ZCFE,，AE〃CF,，四邊形AEC尸是平行四邊形.（6分）

己知：如圖，在矩形ABCD中，連接80,AE_LBD于點E,CFLBD于點、F.求證：四邊形AECF是平

行四邊形.

證明：?四邊形A3CD為矩形，.?.48=8且48〃。。，//45￡=/（20斤

-,■AE±BD,:.ZAEB=90°,同理可得，ZCFD=90°

ZAEB=ZCFD,.-.AABE^ACDF（AAS）,:.AE=CF,

又???AELBD,ZAEF=90°,同理可得，ZCFE=90°,

ZAEF=ACFE,AE//CF,.,.四邊形AECF是平行四邊形.

在矩形中，連接一條對角線，分別過另外兩個頂點作這條對角線的垂線，那么這兩個頂點和垂足構成的

四邊形是平行四邊形.（10分）

19.國家大力提倡節(jié)能減排和環(huán)保，近年來純電動汽車普及率越來越高，純電動汽車的續(xù)航里程是人們購

買時參考的重要指標.某汽車雜志為了解M,N兩款純電動汽車的實際續(xù)航里程，各隨機抽取了10輛進行

了續(xù)航里程實測，并將測試的結果（續(xù)航里程用x公里（1公里=1千米）表示，分成4組：A.300<x<350;

B.350Vx<400；C.400<x<450；D.x>450）；進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息：

a.10輛M款純電動汽車的實際續(xù)航里程：330,375,435,410,410,470,380,365,365,410

從10輛N款純電動汽車的實際續(xù)航里程條形統(tǒng)計圖（不完整）:

c.10輛N款純電動汽車的實際續(xù)航里程在C組中的數據是：402,425,410,425.

d.兩款純電動汽車的實際續(xù)航里程統(tǒng)計表:

平均數中位數眾數方差

M395395a1455

N397b4252070

根據以上信息，解答下列問題：（1）補全條形統(tǒng)計圖；（2）表格中的。=,b=；

（3）根據上述數據，你認為M款和N款純電動汽車中，哪款的實際續(xù)航里程更長？請說明理由（寫出一條即

可）.（4）小王看中了售價一樣的甲、乙兩款純電動汽車，根據汽車雜志發(fā)布的數據對這兩款車的四項性能進

行了打分（百分制），如下表：

續(xù)航里程得分百公里加速得分百公里能耗得分智能化水平得分

甲車829085100

乙車801009090

續(xù)航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四項性能在小王心中所占比例是4：2：1：3,你認為小

王選擇哪款車更合適？請說明理由.

【答案】（1）見解析（2）410,406；（3）N款的實際續(xù)航里程更長（答案不唯一，合理即可），理由見解析；

（4）選擇甲款車更合適，理由見解析.

【詳解】（1）解：由題意可得款抽取的純電動車中。類的數量為10-1-3-4=2,補全條形統(tǒng)計圖如下：

（2分）

（2）330375435410410470380365365410中，410出現(xiàn)的次數最多，，眾數4=410；

在N款抽取的純電動車的實際續(xù)航里程中的數據從小到大排列，排在中間的兩個數分別為402,410,

中位數萬=402;410=406；故答案為：410,406；（5分）

（3）解：N款的實際續(xù)航里程更長，理由如下:

款的平均數較大，款的實際續(xù)航里程更長（答案不唯一，合理即可）；（7分）

（4）解：選擇甲款車更合適，理由如下:

4213

甲款車綜合得分為：82x—+90x—+85x—+100x—=89.3（分）,

4213

乙款車綜合得分為：80x而+100x歷+90x而+90x歷=88（分），

89.3>88,...選擇甲款車更合適.（10分）

20.某批發(fā)商購進哪吒、敖丙兩種掛件，已知每個哪吒掛件的進價比每個敖丙掛件的進價貴1元，用400元

購買哪吒掛件的個數恰好與用360元購買敖丙掛件的個數相同.

（1）求該批發(fā)商購進哪吒、敖丙兩種掛件的單價各是多少元；

（2）若該批發(fā)商計劃購進哪吒、敖丙兩種掛件共500個，且決定將哪吒掛件以每個14元，敖丙掛件以每個12元

的價格對外出售，若要獲得總利潤為1800元，應購進哪吒、敖丙兩種掛件各多少個？

【答案】（1）該批發(fā)商購進哪吒掛件的單價是10元，敖丙掛件的單價是9元

（2）購進哪吒掛件300個，敖丙掛件200個

【詳解】（1）解：設該批發(fā)商購進哪吒掛件的單價是x元，則購進敖丙掛件的單價是（x-1）元，

由題意得：竺2=黑，解得：x=10,（4分）

經檢驗，x=10是原方程的解，且符合題意，，x-l=9,

答：該批發(fā)商購進哪吒掛件的單價是10元，敖丙掛件的單價是9元；（6分）

（2）設購進哪吒掛件m個，則購進敖丙掛件（500-加）個,

由題意得：(14—10?W+(12—9)(500-w?)=1800,解得：x=300,500—772=200,

答：購進哪吒掛件300個，敖丙掛件200個.(10分)

21.景點A的南偏東76。方向有景點2,景點A的正南方向9km有景點C,景點A和景點C有一條筆直的公

路相連，景點8在景點C北偏東38。方向，即線段AC=9km,ABAC=16°,ZACB=38°,

(1)求景點8到公路AC的最短距離(結果取整數)；

(2)景點8的東南方向4.23km有景點。，求景點。到公路AC的最短距離(結果取整數).

參考數據：tan76°取4.0,tan38。取0.8,及取1.41.

【答案】(1)6km(2)9km

【詳解】(1)解；如圖所示，過點8作于E,設5E=xkm,

BE%]

在RtZkABE中，tanA-,tan76°-,AE——xkm；

AEAE4

BEx

在Rt△石5C中，tanC=—,Atan38°=一,CE=1.25xkm,

VAC=AE+CE=9]an,：.-x+1.25x=9,解得x=6,ABE=6km,

4

答：景點2到公路AC的最短距離為6km；(5分)

（2）解：如圖所示，過點B作3"〃AC,過點。作DP_LAC于。，交BH于H,則四邊形9iPE是矩形,

PH=BE=6km,在RtaBD"中，sinZDBH=——，

BD

sin45°=迫，?3km,:.DP=PH+DH=9km,

4.23

答：景點。到公路AC的最短距離為9km.（10分）

22.如圖1,在矩形A2CZ）中，點E為DC中點，連接BE,AD=4,Z）C=6,點尸沿著。->34后的方向

運動，到點E時停止運動，連接AP,設點尸運動的路程為x,AABP的面積為％.

E

AB

O\1234567895

圖1圖2

（1）直接寫出》的解析式及自變量x的取值范圍；（2）在圖2中畫出X的圖象，并寫出一條%的性質；（3）反比

Q

例函數%=9如圖所示，請直接寫出%>當時，自變量x的取值范圍（結果保留1位小數，誤差不超過0.2）.

X

—3x+12（0<x<4）

【答案】（1）K=，「X（4<x<9）Q）作圖見解析,性質見解析（答案不唯一）

(3)0.8<x<3,2^4.7<x<9.0(答案不唯一)

【詳解】（1）解：當點P沿著Cf3的方向運動時，設點尸運動的路程為x,尸。=了,

在矩形ABC。中，BC=AD=4,則3P=3C—PC=4—x,

yx=S4ABp=—AB.BP=—x6x(4—x)=—3x+12(0<x<4)；

當點P沿著石的方向運動時，設點月運動的路程為X,???族=x-4,

過點P作尸戶_LA6,如圖所示：/.N尸F(xiàn)B=90。,

在矩形ABCD中，AB=DC=6,ZC=90°,AB//CD,則NCEB=NPBF,ZC=ZPFB=90°,

..APFBS八BCE,即---=---,丁點E為DC中點，EC=—DC=3,

PBBE2

在中，BC=4,EC=3,則由勾股定理可得班=后百岳=5,

pp44114124g

...一=寸解得尸尸=q彳一4),%=以神=542?尸尸=]X6XM(無一4)=《X-M(4<X<9)；

當點尸與點B重合時，AAB尸不存在，沒有面積;

-3尤+12(0<x<4)

綜上所述，%=[1248小八、；(4分)

—x---(4<x<9)

(2)解：如圖所示：

性質：當0cx<4時，％隨x增大而減小；當4Vx<9時,%隨工增大而增大(答案不唯一)；(7分)

-3x+12(0<x<4)

Q

(3)解：由(2)可知，％=<12482q、%=—的圖象如下:

-x---(4<x<9)X

-3x+12(0<x<4)

1248，，、函數圖象在必=§函數圖象的上方,

當％2%時，%=<

—x-----(4<x<9)x

155I)

過圖象交點作冗軸的垂線，如圖所示:

y=-3x+12,—廠

聯(lián)立,8，貝I]—3%+12=—,即—12x+8=0,解得x=——=2±,

y=—%63

I%

.“=2+半”3.2或尤=2一哈0.8；

1248

V——x---

5.512488??2c郵砥12±A/264?相

聯(lián)乂彳0,貝1J=x-----=—,ip3x"—12%—10=0,解華x=-------------=2±-------，

855x63

y=一

Lx

；.x=2+叵。4.7或x=2-巫。一0.7（負值舍去）；當％時，0.8WXW3.2或4.7Wx<9.0.（10分）

33

23.如圖1,已知拋物線4："加+法+3與x軸交于點A(—l,0)和點3(3,0),與》軸交于點C.

圖1

(1)求拋物線的解析式;(2)點P為第一象限拋物線上的一動點，作PHLBC于點當PH最大時，求點P

的坐標；(3)如圖2,將拋物線G向右平移一個單位長度得到拋物線a,點、M,N都在拋物線a上，且分別

在第一象限和第三象限，連接MN,分別交x軸、y軸于點召、/，若ZNOF=NMOE,求證：直線經

過一定點.

【答案】(l)y=-Y+2%+3(2)]1>?]⑶見詳解

【詳解】(1)解：將點A(—1,O)、點5(3,0)代入拋物線6：，=以2+陵+3,

1Q—b+3=0ftz=—1

可得C。八，解得7C，，拋物線的解析式為>=7+2X+3；(2分)

\ya+3。+3=。[b=2

(2)解：如下圖，過點尸作無軸于點交直線BC于點N,

：8(3,0),ZBOC=90°,二O3=OC=3,ZOBC=ZOCB=1x90°-45°,

：PM_L尤軸，/.ZMNB=90°-ZOBC=45°,二ZPNH=ZMNB=45°,

,?PHIBC,：.ANPH=90°-ZPNH=45°=APNH,

:.PH=NH,即△尸NH為等腰直角三角形，/W=PNxcos/NP?=PNxcos45°=4^PN,

2

設直線BC解析式為y=H+4(%*0),將點3(3,0),C(0,3)代入,

[3k+b=0[k=-\

可得八',解得，?，，直線BC解析式為y=-x+3,

[年=3也=3

設尸(x,—X?+2尤+3),貝UN(x,—x+3),PN=—%2+2x+3—+3)=—x2+3x,

.?.當x=；3時，PH取最大值，此時點尸的坐標為<匕31,5了1卜(6分)

(3)如下圖，過點M作軸于點T,過點N作NKLy軸于點K,

:拋物線、=——+2苫+3=-（尤-1）2+4,

.??將其向右平移一個單位長度得到拋物線G，則拋物線的解析式為y=-（尤-1-1）2+4=-爐+4》,

?..點M,N都在拋物線Q上，且分別在第一象限和第三象限，

.?.可設點Af的坐標為（占，-靖+4占），點N的坐標為（無2，-W+4%）,

22

MT=-Xj+4x1,OT=xl,NK=-x2,OK=x2-4x2,

設直線MN的解析式為y=〃（mw0）,聯(lián)立直線MN的解析式和拋物線C2的解析式,

+4%

可得,整理可得12+（加—4）x+〃=0,則有不+工2=4_m，xxx2=n,

y=mx+n

9：ZNOF=ZMOE,ZNKO=ZMTO=90°,：.^ONK^^OMT,

=,EP—--=-----------,1.一七九2=_（石馬）2+4芯/（再+/）―16再9，

OTMT玉一犬+例12v12712V12712

二.一〃=一〃2+4〃（4一機）一16幾,整理可得幾（〃+4加-1）=0,由圖像可知〃w0,

1—r71F?

71+4/72—1=0?TTI=-------,二?直線A/N的解析式為y=----%+〃，

44

當x=4時，可有y=1,.?.直線肱V經過一定點（4,1）.（10分）

24.在VABC中，ZACB=90°,AC=BC,BC繞點C順時針旋轉角度a（0。<a<360。）得到。C.

（1）如圖1,若a=30。，連接AD