2025年中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：相似形分類討論問題

2025年中考復(fù)習(xí)專題：相似形分類討論問題

1.如圖，XABCsMADE,ZBAC=ZDAE=90°,與龐交于點0,AB=4,AC=3,F是DE

的中點，連接加，BF,若點￡是射線％上的動點，下列結(jié)論：①△/勿s△尸附②X

BOD^^EOA,③/b吩/儂'=90。，④:BF=&AE,其中正確的是（）

A.①②B.③④C.②③D.②③④

2.如圖，在RtZ\AOB中，AO=2BO=4,ZAOB=90°,點C,。分別是。4,A8的中點,

在射線CD上有一動點P.若△ABP是直角三角形，則線段PD的長為.

3.如圖，D、E分別在AABC的邊AC,AB±,BD與CE相交于F,若邂=力理」，AABC

EBDC2

的面積S”BC=21,那么四邊形AEFD的面積等于.

4.已知：如圖，AB=AC,AE+CE=CD,ZAEC=2ABCD,則鯉■=

CD

A

5.如圖，在△AC。中，AD=6,BC=5,AC2=ABCAB+BC),且48s△ocA,若A。

=3AP,點。是線段AB上的動點，則尸。的最小值是（）

「臟D

2-f

6.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,點M、N分別在A3、2C邊上，將AAWB沿

翻折得到AMNE>,ON與AC相交于點E,若BM=2AM,AC=4,BC=8,CE=1,

則CN的值是

7.如圖，為了估測筆直的公路/旁邊矩形場地ABC。的面積，在公路/上依次確定點E,F,

M,N,使AEJJ,BFM,點N,A,B在同一直線上，NCMN=/AFE,并測得EF=20

米，F(xiàn)M=10米，A/N=15米，/ANE=45°,則矩形場地A2C￡>的面積為米2.

8.如圖，邊長為5c7"的正方形ABCD,E,尸分別從A,8兩點同時出發(fā)，以lc%/s速度沿

射線射線8C運動，連結(jié)AROE交于點P,G為AQ中點，連結(jié)尸G,PB,若^

POG與△A2P相似，則運動時間f的值為.

9.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,AO=8,點E,尸在BC上，點G是射線。C與射線

的交點，若BE=1,ZEAF=45°,則AG的長為.

10.從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線

段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，

另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的最美分割線.在aABC中，

ZA=50°,CD是△ABC的最美分割線.若△AC。為等腰三角形，則/ACB的度

數(shù)一

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中.邊長為4的等邊△OA8的邊04在x軸上，C、。、E

分別是42、0B、上的動點，且滿足BO=2AC,DE//AB,連接C。、CE,當(dāng)點E坐

標(biāo)為時，△CDE與XNCE相似.

12.如圖，在正方形ABC。中，AB=4,〃為BC的中點，點N在射線上，過點N作

于點E,連接兒W,請?zhí)骄肯铝袉栴}：

(1)處=；

AN一

(2)當(dāng)△MEN與相似時，AN=.

13.如圖1所示的是古代一種可以遠(yuǎn)程攻擊的投石車，圖2是投石車投石過程中某時刻的示

意圖，GP是杠桿，彈袋掛在點G,重錘掛在點尸，點A為支點，點D是水平底板BC上

的一點，AD=AC=3米，C￡)=3.6米.

(1)投石車準(zhǔn)備時，點G恰好與點8重合，此時AG和AC垂直，則AG_米.

(2)投石車投石瞬間，AP的延長線交線段。C于點E,若DE：CE=5：1,則點G的

上升高度為米.

14.如圖，在△A8C中，ZACB=90°,AC=6,8C=8,。是斜邊A8上一個動點，E是

直線BC上的一個動點，將AABC沿ZJE折疊，使點8的對應(yīng)點F落在直線上，連接

CF,當(dāng)是直角三角形時，線段8。的長為.

15.如圖，及△ABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,D,E分別是邊AB,AC的中點，F(xiàn)

為。E邊上一動點，尸G_L2C于G,GH〃BA交AC于H.

(1)FG=；

(2)當(dāng)△人7//和△ABC相似時，F(xiàn)H=

16.如圖，RtZvlBC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,點、P,Q分別為48,BC上一個

動點，將△PQB沿尸。折疊得到△P。。，點2的對應(yīng)點是點。，若點。始終在邊AC上，

當(dāng)△APO與△ABC相似時，AP的長為.

17.如圖，矩形ABC。中，AB=3,8C=4,點E是矩形ABC。對角線AC上的動點，連接

DE,過點E作交BC所在直線與點R以DE、所為邊作矩形。E/G,當(dāng)S矩形

DEFG=9"時，則AE長為.

2—

18.如圖，在RtZxABC中，ZACB=90°,ZCBA=30°,AC=1,。為AB上一動點(點

。與點A不重合).若在△ABC的直角邊BC上存在一點E,使△AOE與△ABC相似，

則AD的值為—.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為6的等邊三角形的邊OA在x軸上，點C、

點。、點￡分別為A3、0B、。4上的動點，且滿足：BD=2AC,DE//AB,連接CZX

CE,當(dāng)△(?￡比與△ACE相似時，點E的坐標(biāo)為.

20.如圖，在矩形/戊/中，AB=6cm,BC=8cm,動點尸以2c〃/s的速度從點/出發(fā)，沿4c

向點C移動，同時動點0以IcMs的速度從點C出發(fā).沿/向點6移動，設(shè)只0兩點移動

ts(0<t<5)后，△期的面積為S”

(1)在20兩點移動的過程中，的面積能否等于3.6c勿”若能，求出此時力的值;

若不能，請說明理由；

(2)當(dāng)運動時間為多少秒時，△CF0與△06相似.

21.如圖，在△/回中，ZC=90°,AC=6an,BC=3cm,D、￡分別是/C、46的中點，連接

施.點尸從點，出發(fā)，沿龐方向勻速運動，速度為IcWs；同時，點0從點方出發(fā)，沿

掰方向勻速運動，速度為2cMs,當(dāng)點戶停止運動時，點。也停止運動.連接戶0,設(shè)運

動時間為t(0<t<4)s.解答下列問題：

(1)當(dāng)力為何值時，以點￡、P、。為頂點的三角形與△/龍相似？

(2)當(dāng)《為何值時，△露0為等腰三角形？(直接寫出答案即可).

22.如圖1,在平行四邊形ABC。中，AB=7,CE_LAB于點E,且CE=4,BC=5.點P從點E

出發(fā)，沿EB-BC向終點C運動，設(shè)點尸在該折線上運動的路徑長為x(x>0),連接EP.

(1)BC的長為,當(dāng)點P在BC上運動時，￡P(guān)的最小值為；

⑵點廠是AE的中點，如圖2,

①請用無刻度的直尺和圓規(guī)過點尸作的垂線尸G,垂足為點G(保留作圖痕跡，不寫作

法)；

②求證：ABCE/ABEG；

⑶延長PE到點使得=以CE,ME為鄰邊作平行四邊形CEMN.

①當(dāng)點尸在2C上，平行四邊形CEMN對角線EN所在的直線恰好經(jīng)過點。時，如圖3,

求x的值；

②當(dāng)點A落在平行四邊形CEMN的邊上或內(nèi)部時，直接寫出x的取值范圍.

23.如圖，在中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,CQ_LAB于點。.點P從點。

出發(fā)，沿線段。C向點C運動，點。從點C出發(fā)，沿線段C4向點A運動，兩點同時出

發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點尸運動到C時，兩點都停止.設(shè)運動時間為f秒.

（1）求線段。的長；

（2）當(dāng)f為何值時，△CP。是直角三角形？

（3）是否存在某一時刻，使得分△AC。的面積為1：11?若存在，求出「的值，若

不存在，請說明理由.

2025年中考復(fù)習(xí)專題：相似形分類討論問題（答案）

1.如圖，4ABCs4ADE,/BAC=/DAE=9Q°,”與應(yīng)交于點。，48=4,47=3,F是DE

的中點，連接物，BF,若點￡是射線/上的動點，下列結(jié)論：①△/⑺s△刀"，②X

BOD^^EOA,③Z.FD&r/FBE=90°,④）BF=+AE,其中正確的是（）

A.①②B.③④C.②③D.②③④

【分析】首先證明△/⑺s△仇況推出△加叱△仇兒再證明/儂'=90°,可得②③正

確，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可判斷④正確.

【解答】解：?：AABCs叢ADE,

：.ZADO=ZOBE,

NAOD=NBOE,

:.△A0D^XE0B,

?0D=0A,

"OBOE)

A0D=0B；?：/BOM/AOE,

0AOE

:.△BOD^XEOA,故②正確，

■：△AOD^AEOB,XBOD^XEOA,

：.AADO=AEBO,AAEO=ADBO,

4仍//￡〃=90°,

：.ZDBE=ADB(AAEBO=^a,

■:DF=EF,

：.FD=FB=FE,

:.4FDB=4FBD,

：./FDB+Z.FBE=NFBMNFBE=9G,故③正確，

在RtZv!6C中，：/8=4,47=3,

BC=，32+42=5,

■:二ABCsAADE,

?DE=BC=_5

"AEAC于

?:BF=LDE,

2

?-?-2-B-F-_-5,

AE3

:.BF=殳AE,故④正確,

6

?：ZADg40BE,

C.ZADO^ZOBF,

.,.無法判斷△/"s△刀防，故①錯誤.

故選：D.

2.如圖，在RtZ\AOB中，49=230=4,ZAOB=90°,點C,。分別是。4,A5的中點,

在射線CD上有一動點P.若△ABP是直角三角形，則線段PD的長為5或兩

【分析】分兩種情況討論，由勾股定理可求A8的長，由直角三角形的性質(zhì)和相似三角形

的性質(zhì)可求解.

【解答】解：：4。=28。=4,

：.B0=2,

.,.AB=7A02+B02=V16+4=2^5,

當(dāng)/APB=90°時，：點。是AB的中點,

.,.PD=-AB=yf5^

2

當(dāng)/ABP=90°時，如圖,

A

：點C,D分別是OA,48的中點,

，.AD=BD=&,CD//OB,

\ZACD=ZAOB=9Q°,

\ZACD=ZABP=ZAOB=9Q°,

又：NADC=/BDP,

\ZA=ZP,

?.AAOBSAPB。,

?OBBD

'AB'DP，

._2_=V§_

\DP=5,

故答案為：5或遍.

3.如圖，D、E分別在AABC的邊AC,AB±,BD與CE相交于F,若越=力旭」，AABC

EBDC2

的面積SAABC=21,那么四邊形AEFD的面積等于.

考三角形的面積.

點：

專常規(guī)題型.

題：

連接AF,設(shè)S&EF二x,SAADF—yf根據(jù)鯉=2和期二，確定三角形面積之間的等量關(guān)

析：EBDC2

系，求出X和y之間的關(guān)系式，然后根據(jù)AABC的面積解得X,最后求出四邊形AEFD

的面積.

解解：連接AF,設(shè)SaAEF二x,SAADF—yf

答：..AE門

---二7，

EB

.SAAEF^SAAEC-AEc

?.-------------——二2，

^ABEF^ABECEB

.Q_1

???^ABEF-Xf

2

.?.AD——1，

DC2

.SAADF_SAABD^1

??--------------，

S/kDFC2ABDC2

SADFC=2y,

."..ZxX2=x+2y,

2

即y=2x,

VAABC的面積SAABC=21,

7x+—x=21,

2

解得x=2,

故四邊形AEFD的面積=x+y=6,

故答案為6.

點本題主要考查三角形的面積的知識點，根據(jù)等高的三角形的面積與底邊成比例進(jìn)行

評：解答，此題需要同學(xué)們熟練掌握.

4.已知：如圖，AB=AC,AE+CE=CD,/AEC=2/BCD,則鯉?=2

CD-3

【分析】延長龍到反使得*口.設(shè)/￡=x,CD^y,利用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方

程即可解決問題；

【解答】解：延長應(yīng)到〃，使得圖=初.

,:EA=EH,

:?/H=/EAH,

?:/AED=/EAH=2/H,

.：/AED=24DCB,

：.ZDCB=AH,

：.BC//AH,

設(shè)4￡=x,CD=y,

AE+EC=EmEC=CH=CD=y,

:?EC=y-x,

U：AB=AC,

：.ZABC=AACB=ZCAH,

9：ZCAH=ZCAE+ZEAH,ZABC=ZD^-ZDCB,

：.ZEAC=ZD,

丁/AEC=/DEA,

:ZACSXEDA,

:.E#=EC?ED,

?\x=(y-x)(2y-x),

???py-—3—yx,

2

?AE_x_2

CDy3

2

5.如圖，在△AC。中，AD=6,BC=5,AC=AB(AB+BC),且△ZM8sZ\ocA,若AD

=3AP,點。是線段AB上的動點，則尸。的最小值是()

D

A.近B.逅C.遮D.A

2225

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到歿=毀，得到3D=4（負(fù)值舍去），42=20=4,

DCAD

過8作BH1AD于X,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到根據(jù)勾股定理得到

2

BH=VAB2-AH2=^42-32=＞當(dāng)尸Q'AB時，PQ的值最小，根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】1￥：VADAB^ADCA,

?AD=BD

"DCAD"

.6=BD

5+BDT;

解得：BD=4（負(fù)值舍去），

'：ADAB^ADCA,

.AC二CD二9二3,

"AB"ADT"?"

；.AC=/皿’

,：AC2^ABCAB+BC）,

：.（旦AB）2=AB（AB+BC）,

2

：.AB=4,

：.AB=BD=4,

過B作BHLAD于H,

.,.AH^—AD=3,

2

BH=VAB2-AH2=V42-32=夜'

9

：AD=3APfAD=6,

：.AP=2,

當(dāng)時，PQ的值最小，

VZAQP=ZAHB=90°,ZPAQ=ZBAH,

：.AAPQ^AABH,

?APPQ

"AB'BH，

.2.PQ

,'ITF

3*

6.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,點、M、N分別在48、BC邊上，將AMA?沿

MTV翻折得到AMN。，ON與AC相交于點E,若=AC=4,BC=8,CE=|,

則CN的值是.

【分析】過點/W作MbJ_3c于點F,作此;，4。于點6,交ND于點、H,作MLJ.ND于點

L,根據(jù)勾股定理求出AB=JAC。+BC，=4如，解直角三角形求出

MF=裊BM=&乂邁=*,BF=^BM=正乂晅=應(yīng),證明四邊形MFCG為矩

55335533

QQ3

形，得出M/=CG=§,MG=CF=-,設(shè)CN=x,證明△GEWSACEV,得出GH=1X,

85g

根據(jù)tanNMHL=tanNC7VE,得出§,，求出HL==x,根據(jù)勾股定理得出

---二-5

HLx

求出x即可.

【詳解】解：過點M作M/，5c于點R作MGLAC于點G,交ND于點、H,作

于點￡,如圖所示：

則NMFC=NMGC=90。,

團(tuán)NAC6=90。，AC=4,BC=S,

0AB=7AC2+BC2=475，

^\BM=2AM,

團(tuán)加*竽,BM=^AB=^,

回sin2=^=生一4,_A/5

BMAB4V55

團(tuán)g爭竿=|,

「nBFBC8_2百

0cosB=-----

BM-AB-4A/5

raRF275R.-2^587516

SBF=-------BM=-------x-------=—,

5533

[AR

^\CF=BC-BF=S———=-,

33

^ZMFC=ZMGC=ZACB=90°,

團(tuán)四邊形MFCG為矩形，

QQ

^\MF=CG=~,MG=CF=—,MG//BC,

33

0CE=-,

3

QC

0GE=-----=1,

33

根據(jù)折疊可知：BN=ND,ZBNM=ZCNM,MD=MB=工,

3

0MF1BC,MLIND,

Q

^\ML=MF=~,

3

設(shè)CN=x,

^MG//BC,

中4EHS衛(wèi)EN,

GHGE13

^~CN~~CE~~5~~5

3

3

團(tuán)GH=—x,

o3

團(tuán)MH=MG+GH=—+—x,

35

^\MG//BC,

⑦/MHL=NCNE,

團(tuán)tanZMHL=tanNQVE,

MLCE

0-----=------,

HLCN

85

即3=§,

HLx

Q

解得：HL=^x,

根據(jù)勾股定理得：ML:+Hl3=MH2,

解得：兀=下■或x=。（舍去），

即CN=3.

11

故答案為：—.

7.如圖，為了估測筆直的公路/旁邊矩形場地A8C。的面積，在公路/上依次確定點E,F,

M,N,使AE_L/,BF1.1,點N,A,8在同一直線上，ZCMN=ZAFE,并測得EF=20

米，/加=10米，MN=15米，ZANE=45°,則矩形場地ABC。的面積為米2.

【分析】根據(jù)已知可知△AEN和△BFN都是等腰直角三角形，從而求出AN與8N的長，

即可求出AB的長，因為已知想到構(gòu)造這兩個角所在的三角形相似，

所以過點C作C”，/,垂足為H,過點8作垂足為。，延長交AE于點P,

然后證明△朋￡s△〃(?”，進(jìn)而得到CH與的關(guān)系，最后證明△CQB是等腰直角三

角形即可解答.

【解答】解：過點C作CW，/,垂足為H過點B作80,8,垂足為。，延長QB交

AE于點P,

"：AE±l,BFLI,

：./AEN=NBFN=90°,

?*.四邊形BFHQ和四邊形BPEF是矩形，

：.BF=QH=PE,BP=EF,QB=HF,

：EF=20米，F(xiàn)M=10米，MV=15米，

:.FN=MN+FM=25米，EN=EF+FM+MN=45米，

VZANE=45°,

AAEN和ABFN都是等腰直角三角形，

.?.AE=EN=45米，BF=FN=25米，

...AN=6AE=45'Q米，BN=?BF=25近米,

：.AB=AN-BN=45y/2-25衣=20加米，

"：ZCMN=ZAFE,/AEF=NCHM=90°,

AFAEsAMCH,

?EF=MH=20=J4

"AECH45

.?.設(shè)M”=4x米，CH=9x米，

：.CQ=CH-QH=(9x-25)米，QB=HF=HM+MF=(4x+10)米,

'：AP=AE-PE=45-25=20米，BP=EF=20米，ZAPB=90°,

???AAPB是等腰直角三角形，

AZABP=45°,

???四邊形A3CO是矩形，

AZABC=90°,

：.ZCBQ=180°-ZABP-ZABC=45°,

9：ZCQB=90°,

???/\CQB是等腰直角三角形，

:.CQ=QB,

.,.9x-25=4x+10,

.\x=7,

：.CQ=5Q=38米，

.?.8C=6B0=38衣米，

矩形ABC。的面積=20&X38&=1520平方米，

故答案為：1520.

【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形

添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，邊長為5c機的正方形ABC。，E,尸分別從A,B兩點同時出發(fā)，以Icm/s速度沿

射線射線BC運動，連結(jié)AF,DE交于點、P,G為中點，連結(jié)PG,PB,若4

PDG與AABP相似，則運動時間t的值為

【分析】分兩種情況：①E點在上；②E點在A8延長線上；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

得到比例式求出運動時間/即可.

【解答】解：如圖1中，

圖1

???四邊形A8CD是正方形,

：.AD=ABfZDAE=ZABF=90°,

VAE=BF,

：./\DAE^AABF(SAS),

???NADE=/BAF,

VZADE+ZAED=90°,

：.ZBAF+ZAED=90°,

ZAPE=90°,

222

,<*DE=^5+t=5/25+t'

"."SAADE——X5Xf="lX而不XAP,

22

25

：.AP=,DP

VZPGD,/APB都是鈍角，△PZJG與△ABP相似,

:.△DGPs^APB,

;>DG=DP；

,.QAB'

25

25+t2

------,

5

解得，f=5,

經(jīng)檢驗，r=5的方程的解.

解法二：證明GP=G。，推出AP=P8=PF,推出。E垂直平分線段阿帆，推出點尸與

點C重合，可得t=5.

如圖2中，當(dāng)點E在AB的延長線上時，

D

T7―?一號

E

圖2

有兩種情形：ADGPs4APB或△DGPsAABP,

,,DG=DP^DG=DP)

APABABAP

V25+t2V25+t2

解得f=5（不合題意舍去）或f=10,

綜上所述，滿足條件的t的值為5或10.

解法二：證明GP=G。，推出AB=PB=BE,可得f=10.

【點評】考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)列出比例式，注意分類思想的運用.

9.如圖，在矩形ABC。中，48=2,4。=8,點E,歹在8C上，點G是射線QC與射線

【分析】過點E作E//LAE,交AG于點H,過點“作垂足為可得/AEH

=/HME=/HMF=90°,從而可得AE=EH,再利用矩形的性質(zhì)可得BC=AO=8,Z

B=ZBCD=90°,從而證明△ABE四進(jìn)而可得A3=EM=2,BE=HM=1,然

后再證明A字模型相似三角形利用相似三角形的性質(zhì)可求出MF的長,

從而求出BF的長，進(jìn)而利用勾股定理求出AF的長，最后證明8字模型相似三角形△

ABFs^GCF,利用相似三角形的性質(zhì)可求出FG的長，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：過點E作EH1AE,交AG于點H,過點H作HM±BC,垂足為M,

A

JNAEH=/HME=NHMF=90°,

"AEB+/HEM=90°,ZFCG=180°/BCD=9Q°,

：ZEAF=45°,

*.ZAHE=90°-ZEAH=45°,

\AE=EH,

??四邊形ABC。是矩形，

*.BC=AD=8,ZB=ZBCD=90°,

\ZBAE+ZAEB=90°,

??NBAE=NHEM,

：ZB=ZHME=90°,

\AABE^AEMH(AAS),

??AB=EM=2,BE=HM=1,

：ZB=ZHMF=90°,/AFB=/HFM,

\△ABFsLHMF,

?Iffl=FM,

*AB雨，

.1=FM

?工FM+1+2'

\FM=3,

\BF=BE+EM+FM=6,

\CF=BC-BF=8-6=2,

AF=VAB2+BF2=722+62=,

；/B=/FCG=90°,ZAFB=ZCFG,

?.△ABFs^GCF,

??F,G一=C，F(xiàn)

AFBF

■FG_2

?訪廠享

;.尸6=生亙，

3_

/.AG=AF+FG=致叵",

3

故答案為：朝叵.

3

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì),

根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

10.從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線

段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，

另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的最美分割線.在AABC中，

ZA=50°,CD是△ABC的最美分割線.若△AC。為等腰三角形，則/ACB的度

數(shù)

【分析】根據(jù)△AC。為等腰三角形，需要分三種情況討論：①當(dāng)AD=CD時，②如當(dāng)

AD^AC,③當(dāng)AC^CD,然后結(jié)合最美分割線的定義，可得可以分

別求出/ACB的度數(shù).

【解答】解：①當(dāng)AO=AC時，如圖1,

圖1

AZACD=ZADC=1.(180°-50°)=65°,

2

,:△BDCsABCA,

AZBCD=ZA=50°,

：.ZACB^ZACD+ZBCD^65°+50°=115°.

②當(dāng)時，如圖2,ZAC￡)=ZA=50",

,/ABDC^/\BCA,

.\ZBC￡)=ZA=50°，

：.ZACB=ZACD+ZBCD=50°+50°=100°.

③當(dāng)AC=C。時，如圖3,ZADC=ZA=5Q0,

圖3

△BDCsABCN,

.\ZBC￡)=ZA=50°,

：.ZADC^ZBCD(不合題意).

綜上所述，ZACB=100°或115°.

【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，理解最美分割線的定義

是解決本題的關(guān)鍵.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中.邊長為4的等邊△Q43的邊在x軸上，C、D、E

分別是A3、OB、OA上的動點，且滿足8O=2AC,DE//AB,連接CD、CE,當(dāng)點E坐

標(biāo)為時，△€!)￡與△ACE相似.

【分析】因為DE〃A8得到NDEC=NACE,所以△CZ)E與△ACE相似分兩種情況分類

討論.

【解答】解：'：DE//AB,

：./DEC=ZACE,AODE^AOBA,

.?.△OOE也是等邊三角形，則OO=OE=DE,

設(shè)E(a,0),則。E=OD=r)E=a,BD=AE=4-a.

；△COE與△ACE相似，分兩種情況討論：

①當(dāng)△C〃ESZ\EAC時，則/。CE=/CE4,

CD//AE,

四邊形AEDC是平行四邊形，

??AC^~cif

\'BD=2ACf

??4-Q=2〃，

?a=4

3

；.E得，0)；

o

②當(dāng)△COES^AEC時，ZDCE=ZEAC=60°=ZB,

：.ZBCD+ZECA=180°-60°=120°,

又?.?NJ8OC+NBCZ)=180°-ZB=120°,

NBCD+NECA=ZBDC+ZBCD,

；./ECA=NBDC,

.,.△BDC^AACE,

???B--D=---B--C=y門,

ACAE

.?.BC=2AE=2(4-a)=8-2a,

8-2a+2_A=4,

2

?a=12

5

E(率，0)-

D

綜上所述，點￡的坐標(biāo)為(三，0)或(」2,0).

35

12.如圖，在正方形ABC。中，A3=4,M為8C的中點，點N在射線A。上，過點N作

NE_LAM于點連接MN,請?zhí)骄肯铝袉栴}：

(1)里=;

AN一

(2)當(dāng)△MEN與相似時，AN=

ADN

【分析】（1）由勾股定理可求AM的長，由銳角三角函數(shù)可求解；

（2）分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【解答】解：（1）??,四邊形ABCZ）是正方形，

.'.AB=BC=AD=49

???點M是5。的中點，

：.BM=2=CM,

：.AM=VAB24CM2="16+4=2收，

\'BC//AD,

：.ZBMA=ZMAN,

'：EN±AM,

cosZMAN=cosZBMA==—^=-=

_AM2V55

.AEV5

??----=-----;

AN5

（2）\9EN±AM,

：.ZABC^/MEN,

當(dāng)ZAMB=ZEMN時，則△ABMsANEM,

：.ZAMB=/EMN=/MAN,

：.AN=MN,

'：EN±AM,

.\AE—EM=y/5

..AEV5

?--------，

AN5

：.AN=5,

當(dāng)NBAM=NAMN時，叢ABMs叢MEN,

：.ZMAN+ZAMN=90°,

ZAW=90°,

，四邊形ABMN是矩形，

：.BM=AN=2,

綜上所述：AN的長為2或5.

【點評】本題考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理

等知識，利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

13.如圖1所示的是古代一種可以遠(yuǎn)程攻擊的投石車，圖2是投石車投石過程中某時刻的示

意圖，GP是杠桿，彈袋掛在點G,重錘掛在點P,點A為支點，點。是水平底板上

的■點，AO=AC=3米，CD=3.6米.

（1）投石車準(zhǔn)備時，點G恰好與點B重合，此時AG和AC垂直，則AG_米.

（2）投石車投石瞬間，AP的延長線交線段。C于點E,若DE：CE=5：1,則點G的

上升高度為一米.

【分析】（1）過A作于H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)

進(jìn)行解答即可；

（2）過G作GF_LOC于R過A作A8_L于X,則更1=旦旦，根

GFEF

據(jù)題意可計算出EH、EH、EF,進(jìn)而可求出點G的上升高度GR

【解答】解：（1）過A作AH_LCD于H,

VAGXAC,

：.ZGAC=ZAHC=90a,

ZGCA=ZACH,

：./\GAC^^AHC,

?AG=AC

"AHCH，

：A￡>=AC=3米，C￡）=3.6米，

.?.CH=￡?H=L8米，

*'?AH=VAC2-CH2=V32-l.82=2A（米），

.AG3

??Z：-----f

2.41.8

.".AG=4（米），

故答案為：4；

（2）過G作GF±DC于凡過A作AHICD于H,則ZAHE=ZGFE=90°,

ACE=0.6（米），

：.EH=1.8-0.6=1.2（米）,

22+2.4?（米）,

,//AEH=/GEF,

/.△EAH^AEGF,

.?.旭=里即&1=旱二，

GFEGGF爾5位

5

:.GF=（米），

55_

故G點上升的高度為=（現(xiàn)5+」2）米.

55

故答案為：（曼￡+絲）.

55

14.如圖，在△ABC中，ZACB=90°，AC=6,2C=8,。是斜邊48上一個動點，E是

直線8c上的一個動點，將△A8C沿DE折疊，使點8的對應(yīng)點F落在直線AB上，連接

CF,當(dāng)是直角三角形時，線段8。的長為

【分析】當(dāng)/CFE=90°時，過點尸作FMLBC于點M.由翻折可知，BD=DF,BE=

EF,/BDE=/EDF=90°,根據(jù)可得即逛L設(shè)DE=3x,

8106

則BD=4x,BE=5x,貝I]BF=Sx,CE=8-5x,再結(jié)合可得BM=

7

—X

絲＞戈，ME=BM-BE=-LY,由△EFMs^ECF,得空即_^_金_,可求出

55CEEF8-5x5x

X,即得BD當(dāng)/ECr=90°時，此時點尸落在點A,則8。=/杷=5.

【解答】解：當(dāng)NCFE=90°時，過點尸作FALLBC于點

VZACB=90°,AC=6,BC=8,

：.AB=1O,

由翻折可知，BD=DF,BE=EF,NBDE=/EDF=90°,

'：ZDBE=ZABC,/BDE=/ACB=90°,

:公BDEsABCA,

???BD=:---BE=---DE,

BCABAC

gpBD_BE_DE

記，

設(shè)。E=3尤，貝！|BD=4尤，BE=5x,

BF—8x,CE—S-5x,

'：ZFBM=ZABC,ZBMF=ZACB=90°,

△FBMsAABC,

???BF=---BM,

ABBC

即包型.，

108

：.BM=^,ME=BM-BE=-L,

5V5xV

ZFEM=ZCEF,ZCFE=ZEMF,

.?.△EFMsdECF,

???-E-F=ME",

CEEF

7_

即4M

8-5x5x

解得尤=」L,

20

:.BD=L

5

當(dāng)/E"=90°時，

此時點尸落在點A,

.?.80=4AB=5.

故答案為：工或5.

5

【點評】本題考查翻折變換(折疊問題)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握翻折的

性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

15.如圖，RtAABC中，NA=90°,AB=6,AC=8,D,E■分別是邊AB,AC的中點，F(xiàn)

為QE邊上一動點，F(xiàn)G_L8C于G,GH//BA交AC于■H.

(1)FG=

(2)當(dāng)△/GH和△ABC相似時，F(xiàn)H=

22

【分析】(1)過A作AM1BC于M交DE于N,根據(jù)勾股定理得到BC=7AB+AC=

10,根據(jù)三角形的中位線定理得到DE//BC,DE=18C=5,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得

2

到處=些=』，于是得到結(jié)論；

AHBC2

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)過A作于〃交DE于N,

在中，ZA=90°,AB=6,AC=8,

：-BC=VAB2+AC2=10,

；D,E分別是邊AB,AC的中點，

：.DE//BC,DE=1.BC=5,

2

：.AN±DE,

：.AADEsAABC,

?AN=DE=_1

,,額BC2，

'：FG±BC,

：.FG=MN,

'：^AB-AC=^BC'AM,

22

A6X8=10AM,

：.AM=21,

5

：AN=衛(wèi)，

5

:.FG=MN=叁-=

555

故答案為：12；

5

(2)當(dāng)△PG"和△ABC相似時,

①lAFGHs^ACB,

?FG=FH

"AC而'

12x

.PHFG-AB5-16

AC65

②△EHGSABC,

?FH-FG

??---------,f

ABAC

12

.FH-V

??―---,

68

5

綜上所述，9=西或9,

55

故答案為：」旦或史.

55

A

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，正確地作出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，RtAABC^，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,點、P,Q分別為48,BC上一個

動點，將△尸沿PQ折疊得到△PQ￡>,點B的對應(yīng)點是點。，若點。始終在邊AC上，

當(dāng)△APO與△ABC相似時，AP的長為.

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AB=4,當(dāng)與△ABC相似時，設(shè)AP=x,則

PB=PD=4-x,分兩種情況：①①△APOS/XABC,②△APDS^ACB,分別列方程求

解即可.

【解答】解：：NC=90°,NA=30°,BC=2,

：.AB=2BC=4,ZB=60°,

當(dāng)△APD與△ABC相似時，

丁點。始終在邊AC上，

根據(jù)折疊PB=PD,

設(shè)AP=尤，貝1|PB=PD=4-x,

分兩種情況：

①△APDs^ABC,

此時NAOP=NACB=90°,

：.AP^2DP,

即x—2(4-x),

解得x=且，

3

,,.AP=—,

3

?△APD^AACB,

此時NAPO=NACB=90°,

.?.DP=AP?tan30°=返人尸，

3

即4-x=立-x,

3

解得x=6-K巧，

6-2A/3,

綜上，AP的長為6或6-K打，

3

故答案為：旦或6-W§.

3

【點評】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握這

些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意△APO與AABC相似要分情況討論.

17.如圖，矩形ABC。中，AB=3,BC=4,點E是矩形ABC。對角線AC上的動點，連接

DE,過點E作E尸，。E交2C所在直線與點R以DE、EF為邊作矩形。所G,當(dāng)S矩形

DEFG=a?時，則AE長為.

2—

【分析】作EML8C于點交AD于點H,設(shè)A￡=機，先根據(jù)勾股定理求出AC的長,

再證明△EA〃s△￡)”￡■,可求得空=旦，貝!]￡/=旦。￡可推導(dǎo)出S矩形OEFG=ENZ)E

DE44

=旦。￡2,再用含機的代數(shù)式表示。H、EH