2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練：圓綜合（含解析）

2025年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：圓綜合

一、單選題

1.下列命題中，真命題是（）

A.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧

B.相等的弦所對(duì)的圓周角相等

C.若問(wèn)=可，貝!=或a+Z?=O

D.若ac=be,貝Ua=Z?

2.如圖，。是VABC的外接圓，ZABO=15°,則/C的度數(shù)為（）

3.如圖，正六邊形ABC0E尸的邊長(zhǎng)為1,分別以5、D、尸為圓心，1為半徑畫弧，則圖中陰影部分

的面積是（）

4.有一個(gè)側(cè)面積為15?cm2的圓錐，將它的側(cè)面展開(kāi)是一個(gè)半徑為5cm的扇形，這個(gè)圓錐的底面半徑

為（）

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

5.如圖，A5是，。的直徑，CO是O的弦，AB±CDf垂足為石，若AB=34,8=30,則CE的

長(zhǎng)為（）

r

A.17B.15C.8D.2

6.如圖，點(diǎn)A是。外一點(diǎn)，AB,AC分別與〔。相切于點(diǎn)8、C,點(diǎn)。在BOC上、已知NA=50。,

則”的度數(shù)是（）

A.55°B.60°C.65°D.75°

7.如圖，等邊三角形A3C的三個(gè)頂點(diǎn)均在。上，BC=3,BD為O的直徑，則3。的長(zhǎng)為（）

8.如圖，已知。的半徑長(zhǎng)是1,PA,P8分別切。于點(diǎn)A,B,連結(jié)尸。并延長(zhǎng)交（。于點(diǎn)C,連

結(jié)AC,BC.若四邊形R4cB是菱形，則PC的長(zhǎng)是（）

A.2A/2B.3C.2月D.4

二、填空題

9.如圖，點(diǎn)3、C在。上，點(diǎn)A在。內(nèi)，其中。4=7,AB=ll,NA=N3=60。，則BC=

10.我們把一個(gè)三角形的重心與外心之間的距離叫做該三角形的“變形值”.己知等腰三角形的腰長(zhǎng)為

5,底邊長(zhǎng)為8,那么它的“變形值”等于.

11.如圖，AB是:。的直徑，尸是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)尸作。的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)D是劣弧

上一點(diǎn)，連接AC,BD,CD,若NOPC=20。，則/即C的度數(shù)為.

12.如圖，。的直徑A3平分弦（不是直徑）.若NACD=55。，則“=

C

13.如圖，0A是l。的半徑，BC是。的弦，O4_L5C于點(diǎn)AE是。的切線，AE交OC的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若NAOC=30。，BC=2,則線段AE的長(zhǎng)為.

14.如圖，VABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,AD//CB,AD=2,分別以點(diǎn)A,C為圓心，

大于!AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M,N,直線"N交CD于點(diǎn)E,以點(diǎn)E為圓心，CE為半徑作

2

弧，交于點(diǎn)尸，連接CP,則CF的長(zhǎng)為.

AD

15.如圖，在四邊形ABCD中，cosA=』，AD=2AB,ZC=2ZA,BC=CD=5.。在四邊形ABCD

2

內(nèi)部移動(dòng)（可以與該四邊形的邊相切），若。的面積為2萬(wàn)，則點(diǎn)B到.。上的點(diǎn)的距離的最大值

為.

16.如圖，在。中，AB是直徑，弦CD_LAB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作O的切線，交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)歹,

連接D7L

A

⑴求證：￡不是，:。的切線；

⑵若AE=9,BE=1,求線段CF的長(zhǎng).

17.如圖，量角器放置在長(zhǎng)方形紙面中，A3為其直徑，點(diǎn)。為其圓心，點(diǎn)C,。在量角器的半弧上,

對(duì)應(yīng)刻度分別為30。和60。，連接OC、OD、BD.

-.120

々SO

__*180

B

(1)尺規(guī)作圖：求作線段Q4的垂直平分線/,直線/與04交于點(diǎn)E,與OC交于點(diǎn)歹.(保留作圖痕

跡，標(biāo)注清楚字母，不寫作法)

(2)連接AF,求證：AFO^BOD.

18.如圖，AB為：。的直徑，點(diǎn)C是BO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE人交于點(diǎn)E,交1。于點(diǎn)兄連接

BD交CF于點(diǎn)、G.

口

⑴連接AC,BC,求證CE2=AE.BE;

(2)若BD=10,3E=4,求。的半徑；

(3)連接CRARBF,若G尸=3&，求GD的長(zhǎng).

19.如圖1,。為VABC的外接圓，OB為。的半徑

E

圖］圖2

(1)當(dāng)所在的直線垂直于AC時(shí)，ZABO___________NCBO.（填“>”"=”或“<”）

(2)若/4=60。，06=3,求BC的長(zhǎng).

(3)嘉嘉發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)A在2C上方的圓弧上移動(dòng)時(shí)，總有NA與NOBC的和為定值，請(qǐng)證明這種說(shuō)法.

⑷如圖2,CDLAB,交。。于點(diǎn)E,OHJ_BC于點(diǎn)、H.若OH=2,直接寫出AE的長(zhǎng).

20.如圖，在矩形A3CD中，AD^IO,E為AB上一點(diǎn)，S.AE=^-AB=a,連結(jié)DE,尸是DE中

備用圖

（1）用。的代數(shù)式表示DE2=，BF2=；

⑵求證：。必過(guò)BC的中點(diǎn)：

（3）若與矩形ABC。各邊所在的直線相切時(shí)，求。的值；

（4）作A關(guān)于直線,的對(duì)稱點(diǎn)A,若A落在矩形ABC。內(nèi)部（不包括邊界），則。的取值范圍

,（直接寫出答案）

21.如圖，A3是；。的直徑，過(guò)點(diǎn)8作。的切線點(diǎn)尸在右半圓上移動(dòng)（點(diǎn)尸與點(diǎn)A,8不重

合），過(guò)點(diǎn)尸作尸垂足為C；點(diǎn)Q在射線BM上移動(dòng)（點(diǎn)”在點(diǎn)8的右邊），且在移動(dòng)過(guò)程

中保持。。〃人尸.

A

(1)若尸C,。。的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,判斷是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)E恰好在：。上？若存在，求出一APC

的大??；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

PF

(2)連接AQ交尸C于點(diǎn)尸，設(shè)左==,試問(wèn)：上的值是否隨點(diǎn)尸的移動(dòng)而變化？證明你的結(jié)論.

22.【問(wèn)題背景】

正方形Q4BC與正方形CD跖相鄰，點(diǎn)。，C,尸在同一條直線上.以O(shè)COA所在直線為x軸、y軸

建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.若尸過(guò)A,B,E三點(diǎn)(圓心尸在x軸上),拋物線y=-x2+bx+c

4

經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為G,M是尸G的中點(diǎn)，正方形CDEb的面積為1.

備用圖

【構(gòu)建聯(lián)系】

(1)求拋物線的解析式.

(2)求證：ME是P的切線.

【深入探究】

（3）設(shè)N（x,y）是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C,G重合）.當(dāng)NOVG<30。時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)N的橫

坐標(biāo)的取值范圍.

《2025年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：圓綜合》參考答案

題號(hào)12345678

答案CBADBCCB

1.C

【分析】本題考查的是命題的真假.依次根據(jù)垂徑定理的推論，圓心角、弧與弦的關(guān)系，絕對(duì)值的性

質(zhì)，等式的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，原命題是假命題，本

選項(xiàng)不符合題意；

B、相等的弦所對(duì)的圓周角不一定相等，原命題是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；

C、若同=網(wǎng)，則。=匕或。+6=0,是真命題，本選項(xiàng)符合題意；

D、若ac=be,且cwO時(shí)，則a=原命題是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

2.B

【分析】本題考查了等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理，掌握?qǐng)A周角定理是關(guān)鍵.

根據(jù)題意，連接。4,可得NQ4B=NOB4=15。，由三角形內(nèi)角和定理得到NAO3=150。，再根據(jù)圓

周角定理即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接04,

,.?OB=OA,ZABO=15°,

：.ZOAB=ZOBA=15°,

：.ZAOB=180°-ZOAB-ZOBA=150°,

ZC=-ZAOB=75°

2f

故選：B.

3.A

【分析】本題考查了扇形面積公式，多邊形內(nèi)角，含30度直角三角形，陰影部分面積等于三個(gè)扇形

的面積減去正六邊形回。?！晔拿娣e，熟練運(yùn)用扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：觀察圖形可得S陰=3相形DEC-S六邊形ABCDEF，

六邊形ABCDEF為正六邊形，

360°

每個(gè)內(nèi)角為180。-----=120°,

6

如圖，連接/C,過(guò)點(diǎn)A3作AM，bCBN,/C交于點(diǎn)

則NAFC=N￡FC=60。，

ZfXB+ZAFC=180°,

:.AB//FC,

ZFAM=ZCBN=30°,

：.FM=NC=L,ZMAB=ZNBA=120°-30°=90°,

2

/.AM:<AF?-FM?=昱,

2

ZAMN=90°f

二?四邊形AMVB為矩形，

.\AB=MN,

:.FC=FM+MN+NC=2,

。+2)xg30,

S六邊形ABCDEF=2s梯形A尸C8=2X

22

120°373

S陰=3x------XI2X7T-----=71-----

360°22

故選：A.

4.D

【分析】本題主要查了圓錐的側(cè)面積.根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式解答，即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：這個(gè)圓錐的底面半徑為

旦3cm.

5冗

故選：D

5.B

【分析】本題考查了垂徑定理，根據(jù)是。的直徑，CD是,。的弦，并且ABLCD,根據(jù)垂直

定理可知CE=LC￡>=15.

2

【詳解】解：???AB是直徑，

CD=30,ABVCD,

:.CE=-CD=15.

2

故選：B.

6.C

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理定理等知識(shí)點(diǎn)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

如圖：連接OBOC,由切線的性質(zhì)得ZABO=ZACO=90。，進(jìn)而由四邊形的內(nèi)角和得ZBOC=130。，

再根據(jù)圓周角定理求解即可.

【詳解】解：如圖：連接。B,OC,

：.ZABO=ZACO=90°,

NA=50。，

ZBOC=360°-90°-90°-50°=130°,

:點(diǎn)。在3OC上，

13

ZD=-ZBOC=-xl30°=65°.

22

故選：C.

7.C

【分析】連接CO,如圖.根據(jù)VABC是等邊三角形，得出NABC=60。，根據(jù)垂徑定理和圓周角定理

得出ZBCD=9Q°,即可得NCBZ)=NABD=30。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出8。=：。，

結(jié)合勾股定理即可求解.

【詳解】解：連接C。，如圖.

A

//\\D

O

B'C

「VABC是等邊三角形，BC=3,

:.ZABC=m°,

：8。為00的直徑，

:.ZBCD=90°,ACJ.BD,

：.ZCBD=ZABD=30°,

：.BD=-CD,

2

BD2=BC2+CD2=32+BD^，

BD=273,

故選：c.

【點(diǎn)睛】該題考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

8.B

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，含30度的直角三角形，掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.連接49,BO,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NQ4P=NO5夕=90。，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)推出

ZAOP=2ZAPC,進(jìn)而得到NAPO=30。，貝!]OP=2Q4=2,即可求出PC的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，連接AO,BO,

PA,依分別切：。于點(diǎn)A,B,

:.ZOAP=ZOBP=90°f

OA=OC=1,

:.ZOCA=ZOACf

ZAOP=ZOCA+ZOAC=2ZOCA,

四邊形R1CB是菱形,

:.AC=AP,

.\ZAPC=ZACP,

:.ZAOP=2ZAPC,

:.ZAOP+ZAPO=3ZAPO=90°,

：.ZAPO=30°,

:.OP=2OA=2,

PC=OP+OC=2+1=3,

故選B.

9.18

【分析】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理和勾股定理，含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，掌握垂徑定理與勾股定理的綜合求線段長(zhǎng)是關(guān)鍵.

延長(zhǎng)AO交8C于。，過(guò)。作于M,ON1BC于N,由垂徑定理得到BC=2BN,判定△"￡>

是等邊三角形，得到AD=AB=1L求出OD=4,由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出

77R15

DN=2,ON=2^/3,AM=-,求出=A8-40=彳，由勾股定理得到

OB2=OM2+MB2=—^~,BN=1o將-ON?=9,因此5c=25N=18,由此即可求解.

【詳解】解：延長(zhǎng)AO交于。，過(guò)。作于ON1BC于N,

：.BC=2BN,

VZA=ZABD=60°,

???ZADB=180°-60°-60°=60°,

；?ZA=ZABD=ZADB,

???△ABD是等邊三角形，

.'.AD=AB=11,

???OD=AD-AO=U-7=4f

*.*/DON=90°-60°=30°,

DN=-OD=2

2f

ON=出DN=2A/3,

ZAOM=90°-60°=30°,

17

：.AM=-OA=-

22f

：.OM=6AM=^,

2

BC=2BN=18.

故答案為：18.

【分析】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、重心和外心等知識(shí).求出Q4和AG,即可得到

答案.

【詳解】解：如圖，VA3C中，AB=AC=5,BC=8,作AD/3C于點(diǎn)。,

A

/.BD=CD=-BC=4,

2

,,AD=VAB2—BD2=\Js2—42=3,

設(shè)三角形的外心為0,外接圓半徑為R，

..?等腰三角形的外心在底邊的垂直平分線上,

二。在AD所在直線上，

設(shè)（M=O8=R,

在RtZkOBO中，08?=。￡>2+3￡>2,即&=（R-3）2+4?,

解得R=2=5，

O

重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)距離是到對(duì)邊中點(diǎn)的距離兩倍,

2

???重心G在VABC在AD上，S.AG=-AD=2,

2513

「變形值''等于OG=OA-AG=--2=-

66f

13

故答案為：—

0

11.145°

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，連接OC,則可以求出/尸。。的

度數(shù)，進(jìn)而求出NA,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)解題即可.

【詳解】解：連接OC,

〈PC是。的切線，

???ZOCP=90°,

???ZPOC=90°-ZP=90°-20°=70°,

ZA=-ZPOC=-x70°=35°,

22

Z.BDC=180°—ZA=180°-35°=145°,

故答案為：145。.

12.350/35度

【分析】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理和圓周角定理.

利用垂徑定理得出AB，CD,求得NA=35。，再利用圓周角定理即可求解.

【詳解】解：：。的直徑A3平分弦。，

:.ABVCD,

:.ZA=90°-ZACD=90°-55°=35°,

:.ZD=ZA=35°,

故答案為：35°.

13.漢1/2白

33

【分析】本題考查了垂徑定理，圓的切線的性質(zhì)，解直角三角形，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.由垂徑

定理可知BD=CD=；3C=1,再根據(jù)30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊一半，得到。1=OC=2,由圓

的切線可知/。歸=90。，再利用特殊角的正切值求解即可.

【詳解】解：是。的半徑，5C是0的弦，OALBC,BC=2,

：.BD=CD=-BC=l

2f

NAOC=30。，

.\OC=2CD=2,

:.OA=2,

AE是，。的切線，

.\ZOAE=90%

.\tanZAOC=-

OAf

tan30°=—=—,

23

.??AE;班,

3

故答案為：正.

3

14.回

【分析】根據(jù)勾股定理求得。。=，4衣+4￡>2=2行，設(shè)直線MN交AC于點(diǎn)G,連接班DF,由

由作圖可得是AC的垂直平分線，從而證得GCEjACD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CE=百，

根據(jù)作圖有跖=CE=DE,根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和求得NCFD=90。，得到

ZCFD=ZCAD=90°,從而點(diǎn)A,C,F,。四點(diǎn)共圓，因此NCDF=NC4/=45。，則戶C=M>,在

RtZ\C￡>尸中，根據(jù)勾股定理即可解答.

【詳解】解：：NACB=90。，AC=BC=4,

/.VABC是等腰直角三角形，

ZCAB=ZCBA^45°

VAD//CB,ZACB=90°,

：.ACAD=180°-ZACB=180°-90°=90°,

：AC=4,AD=2,

CD=yjAC2+AD2=A/42+22=2后.

設(shè)直線MN交AC于點(diǎn)G,連接DF,

,/由作圖可得MN是AC的垂直平分線，

???ZCGE=90°,CG=-AC=2,

2

VZCGE=ZCAD=90°,ZGCE=ZACD,

:?一GCES_ACD,

.CGCE2_CE

??一,即nn.—/~,

CACD42V5

CE=y/5,

由作圖可得EF=EC=JL

NECF=NEFC,

'/DE=CD-CE=275-A/5=,

:.DE=EF,

Z.EDF=AEFD,

,：ZECF+ZEFC+ZEDF+ZEFD=180°,

NEFC+NEFD=90°,即ZCFD=90°,

ZCFD=ZCAD^90°,

...點(diǎn)A,C,F,。四點(diǎn)共圓，

NCDP=NC4F=45°,

，Z.DCF=90°-ZCDF=45°,

NCDF=NDCF,

FC=FD,

?在RtZXCD產(chǎn)中，CF2+DF-=CD2=20,

CF=M.

故答案為：\/10

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖一作垂直平分線與作線段等于已知線段，勾股定理，相似三角形的判定

及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，四點(diǎn)共圓等，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

15.5百-應(yīng)/-應(yīng)+56

【分析】本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，如

圖所示，過(guò)點(diǎn)B作3G_LAD于G,連接先求出NA=60。，再證明tan/BDG=空=且，則可

DG3

得到//M>3=30。，進(jìn)一步求出NCBr>=N4M=30。，ZCZM=60°,得到NA=NADC,BC//AD,

則四邊形ABCD是等腰梯形；連接30并延長(zhǎng)交于E,連接QE,則點(diǎn)E為CO上到點(diǎn)2的距離最

大的點(diǎn)，由等腰梯形的對(duì)稱性可知，當(dāng)滿足夙E、。三點(diǎn)共線，且DE最小時(shí)，BE有最大值，此時(shí)

一定有匚。與A￡),CD相切，據(jù)此求出3D8的長(zhǎng)即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BGLAD于G,連接3。，

***cosA——,

2

：.ZA=60°,

AG=ABcosA=^-AB,BG=ABsinA=—AB,

22

*.*AD=2AB,

3

DG=AD-AG=-AG

2f

?，/“BG6

??tan/50G=---=——,

DG3

???NAT?=30。，

VZC=2ZA=120°,BC=CD=5,

：.ZCBD=ZCDB=180°T20°=30。，

2

AZCBD=ZADB=30°,ZCDA=60°,

：.ZA=ZADC,BC//AD,

四邊形ABCD是等腰梯形；

如圖所示，連接30并延長(zhǎng)交;。于E,連接。E,則點(diǎn)E為。上到點(diǎn)8的距離最大的點(diǎn)，

,/BE>BD-DE,

由等腰梯形的對(duì)稱性可知，當(dāng)滿足小E、。三點(diǎn)共線，且DE最小時(shí)，BE有最大值，此時(shí)一定有

0與AD,CD相切；

如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CVLBD于「過(guò)點(diǎn)。作于"，

在RtZYFBC中，BF=BC-cosZCBF=—,

2

：.BD=2BF=56；

V。的面積為2萬(wàn)，

AO的半徑為血,

?*-OH=OE=42，

OH

在Rt中0D==2^/2,

sinZODH

BE=BD-OD+OE=5y/3-s/2,

...點(diǎn)8到：。上的點(diǎn)的距離的最大值為5港-夜,

故答案為：5/1-母.

【分析】（1）由A3是，。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,得AB垂直平分C。，所以CF=O尸，由切

線的性質(zhì)得NOCF=90。，由NFDC=/FC￡）,NODC=NOCD,推導(dǎo)出NODb=NOCF=90。，即可證

明。產(chǎn)是。。的切線；

(2)由AE=9,BE=1,得AS=10,則OC=O3=tM=5,所以O(shè)E=4,求得CE=JOC?-OE?=3,

CFCF3315

由tanNCOb=J=U=三，^CF=-OC=—.

OCOE444

【詳解】(1)證明：???45是。的直徑，弦。。，他于點(diǎn)后，

???CE=DE,

???AB垂直平分CO,

???過(guò)點(diǎn)。作。的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，

/.CFLOC,CF=DF,

：.ZOCF=90°,ZFDC=ZFCDf

?；OC=OD,

ZODC=ZOCD,

：.NODF=NODC+NFDC=NOCD+NFCD=NOCF=90。,

?；OD是。的半徑，且。尸_L。。，

；?DF是。的切線；

(2)解：*：AE=9,BE=1,

：.AB=AE+BE=10f

：.OC=OB=OA=-AB=5

2f

OE=OB-BE=4,

,/ZOEC=ZOCF=90°,

CE=ylo^-OE2=A/52-42=3，

CFCE3

：.tanZCOF=——

OCOE~4

3

CF=-OC=

444

???線段CF的長(zhǎng)是*

【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等

知識(shí)，推導(dǎo)出A3垂直平分C。，進(jìn)而證明CF=D尸是解題的關(guān)鍵.

17.⑴作圖見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂線，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌

握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)作垂直平分線的方法即可求解；

(2)連接AF,由垂直平分線的性質(zhì)可得AF=OR,則/9。=/尸。4=30。，由圖可知NAOZ)=60。，

所以由圓周角定理得/O3O=1/AOD=30。，再通過(guò)等邊對(duì)等角得/0￡>3=/。8。=30。，最后由相

2

似三角形的判定方法即可求證.

【詳解】(1)解：如圖1,直線/即為所求；

(2)證明：如圖，連接AF,

由作圖可知A尸=OF,

ZFAO=ZFOA=30°,

由圖可知NAQD=60。,

ZOBD=一ZAOD=30°,

2

,:OD=OB,

：./ODB=/OBD=30。,

：.ZFAO=ZOBD,/FOA=/ODB,

：._AFMBOD.

18.⑴見(jiàn)解析

⑵過(guò)

8

(3)3A/2

【分析】(1)根據(jù)題意，AB為。的直徑，CE1AB,得到ZACB=90。，ZAEC=ZBEC=90°,

BECE

證明AB石CS2\CE4,繼而證明——二——,即可得證。不二鉆歷石；

CEAE

(2)證明加=前，得到3。=。尸=10,CE=EF=；CF=5,連接OC,設(shè)OC=O3=x,貝I」

41

OE=OB-BE=x-4,得至1」％2=(1一4)92+25,解得冗=一即可；

8

(3)根據(jù)題意，立)=存C=M，得到CD+BCuB尸+8C，NGCB=NGBC,繼而證明9=

GB=GC,得至l」BD—GB=CF-GC,結(jié)合已知解答即可.

【詳解】(1)證明：根據(jù)題意，AB為t。的直徑，CE1AB,

：.ZACB=90°,ZAEC=Z.BEC=90°,

ZEAC=90°-ZACE=Z.ECB,

：.ABECsACEA,

,BECE

~CE~AE

CE2=AE.BE.

(2)解：：A3為；，。的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，CE1AB,

*￡)=比=M，

?-CD+BC=BF+BC>

?'-》D=BF，

：.BD=CF,

；.BD=CF=10,CE=EF=-CF=5,

2

連接"，^OC=OB=X9

：.OE=OB-BE=x-4,

：.X2=(X-4)2+25,

41

解得x=?，

o

41

故圓的半徑為2.

o

(3)解：：A3為：。的直徑，點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)，CEJ.AB,

也＞==汴，

CD+BC=BF+BC，

SD=GF>

：.BD=CF,

根據(jù)題意，*￡)=M，

故NGCB=NGBC,

故GF=GC,

故BD—GB=CF-GC,

故GD=GF=3也.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的判

定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

19.(1)=

(2)271

(3)證明見(jiàn)解析

⑷4

【分析】(1)根據(jù)題意，作出圖形，結(jié)合垂徑定理、中垂線的判定與性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)即可得

到答案；

(2)連接OC,如圖所示，根據(jù)題意，由圓周角定理求出NBOC=2NA=120。，再由弧長(zhǎng)公式代值求

解即可得到答案；

(3)連接OC,如圖所示，由圓周角定理、等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得證;

(4)由兩個(gè)三角形相似的判定定理得到OBH,得到相似比=黑；再由"

OHBH

得到F胃D=黑FA，聯(lián)立代值求解即可得到答案?

DL)nC

【詳解】(1)解：延長(zhǎng)B0,交AC于點(diǎn)D,如圖所示:

當(dāng)03所在的直線垂直于AC時(shí)，即3D，AC,

???由垂徑定理可知AO=CD,

是線段AC的垂直平分線，則8A=8C,

由等腰三角形三線合一性質(zhì)可知，8。平分/ABC,

ZABO=NCBO；

故答案為：=;

(2)解：連接OC,如圖所示:

BC=BC，ZA=60°,

???由圓周角定理可得NBOC=2/4=120°,

OB=3,

120120

/.BC的長(zhǎng)為---x2TI-OB=x2TIx3=2K；

360360

(3)解：當(dāng)點(diǎn)A在5c上方的圓弧上移動(dòng)時(shí)，總有NA與NQBC的和為定值,

證明如下：

連接OC,如圖所示：

由圓周角定理知ZBOC=2ZA,

OB=OC,

.\ZOBC=ZOCBf

在AOBC中，由三角形內(nèi)角和定理可得ZBOC+ZOBC+ZOCB=180。，

則2NA+2/050=180。，

/.ZA+ZOBC=90°,即當(dāng)點(diǎn)A在上方的圓弧上移動(dòng)時(shí)，總有與N05C的和為定值;

(4)解：連接OC、BE,如圖所示：

由圓周角定理可得ZBOC=2NBEC,

OB=OC,OH±BC,

二?由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得O"平分/5OC,即NBOH=NCOH,

:./BED=/BOH,

CDVAB,

.\ZBHO=90°=ZBDE,

即空=也

:.EBD^OBH,

BDBH

ED_2

BD~BH

AC=AC，

:.ZAED=ZABCf

ZADE=NBDC,

■■EDAABDC,艮嗡喂

OB=OC,OHIBC,

:.BH=CH=-BC,

2

ED2EA

解得AE=4.

BD~BH2BH

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，涉及圓周角定理、垂徑定理、中垂線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、

弧長(zhǎng)公式、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)、圓綜合

題型的解法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

20.(1)*10。，49““。。

4

⑵見(jiàn)解析

(3)a的值為”或述

74

/八1010匚

(4)—<Q<—

77

【分析】本題是圓和四邊形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)定

理、垂徑定理、矩形與折疊問(wèn)題，第三問(wèn)和第四問(wèn)中采用分類討論的思想，注意不要丟解，第四問(wèn)有

難度，準(zhǔn)確畫出圖形是關(guān)鍵.

(1)如圖1,根據(jù)勾股定理得：ED2=AE2+AD2=a2+102=a2+100,在Rt刀GF中，由勾股定理得：

BF2=BG2+GF2,代入可得結(jié)果；

(2)如圖1,證明四邊形是矩形，得===所以:。必過(guò)3c的中點(diǎn)；

(3)因?yàn)椋?。不可能與邊A3和BC相切，所以分兩種情況：①如圖2,當(dāng)：。與邊C。相切時(shí)，根據(jù)

RtzXONF中，ON?NFrOF'OM，列式［gj，求0的值；②如圖3,當(dāng)，。與邊

49

AD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為。，根據(jù)：BF2=25+—a2S.BF=2OQ,列式可得結(jié)論；

4

(4)分別計(jì)算當(dāng)。最小和最大時(shí)，即4在邊上和邊CO上，作輔助線，根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱

軸垂直平分，由線段垂直平分線的性質(zhì)列式可得結(jié)論.

【詳解】(1)解:如圖1,

四邊形ABCD是矩形，

.-.ZA=90°,

在RtZ\A￡D中，AE=a,AD=IO,

由勾股定理得：￡D2=AE2+AD2=6i2+102=4+100,

設(shè)：。交于G,連接FG,

BF是。的直徑，

.\ZBGF=90%

ZA=90°,

:.ZBGF=ZAf

:.FG〃AD,

:NEGF^NEAD,

.GFEFEG

\4D-E5-EA)

方是￡0的中點(diǎn)，

GF=—AD=5,EG=AG=—a,

22

AE=—AB=a,

4

AB=4a,

17

BG=4。-a=-a?

22

由勾股定理得：BF2=BG2+GF2,

49a2+100

BF2+52=—a2+25=

44

49。2+100

故答案為：a2+100;

4

(2)解：如圖1,設(shè)。交BC于H,連接

跖是的直徑,

.-.ZBHF=90°,

ZABC=ZBHF=ZAGF=90°,

四邊形3Gm是矩形，

:.BH=GF=-AD=-BC,

22

是BC的中點(diǎn)，

即。必過(guò)BC的中點(diǎn);

區(qū)HC

、E

G

AD

圖1

(3)解：分兩種情況:

①如圖2,當(dāng)。與邊CD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為連接。河、FH交于N,則OWLCD,

17

由（2）得B4〃HF〃CD,BH=-AD=5,HF=-a,

22

OMVCD,

:.ON±HF,

:.NH=NF,

:.ON=-BH=-,

22

QZAWC=ZC=ZCW=90°,

二?四邊形HNMC為矩形，

:.NM=HC=5,

:.OM=ON+MN=-+5=—,

22

OMLFH,

1177

:.NF=-FH=-x-a=-a,

2224

在RtZXSWF中，ON2+NF2=OF2=OM2,

解得，=±方后,

a>0,

:.a=@叵,

7

②如圖3,當(dāng)；。與邊AD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為Q,連接OQ,則OQLAO,連接尸G,交OQ于P,

171

同理可得OPLGb,OP=-BG=-a,PQ=GA=-a,

1719

OQ=OP+PQ=—BG+AG=—a-^—a=—ci,

40

由（1）知：8/2=25+—/且8尸=20。,

4

2

cu4922x|?

254---Q

4

解得°=述,

4

綜上所述‘若，。與矩形抽。各邊所在的直線相切時(shí)’〃的值為7立或半;

(4)解：如圖4,當(dāng)A的對(duì)稱點(diǎn)A恰好在邊3c上時(shí)，連接AA'交即于"，連接AF、AN,過(guò)歹作

MN1BC,交BC于M,交A。于N,則MN/AD,

A關(guān)于直線BF的對(duì)稱點(diǎn)A,,

BF是4A的垂直平分線,

..AF^A'F,AB=A'B=4a,

17

由（1）（2）得：FN=-a,FM=-a,DM=AN=5

22

.-.A'M=4a-5,

由勾股定理得：AN2+FN2=AM2+MF2

即52+gq）=（4q—5）2+1m）,

解得：卬=0（舍），a2=y,

.??當(dāng)。<與時(shí)，A落在矩形ABCD外部(包括邊界)；

如圖5,當(dāng)A落在邊C。上時(shí)，連接A4'、A'B,設(shè))。交AB于G,連接FG,延長(zhǎng)GP交CB于點(diǎn)a,

,QFG_LAD,AD//BC,

GHLBC,

四邊形G4B”為矩形，

HD=AM=—a,

2

A關(guān)于直線BF的對(duì)稱點(diǎn)A',

二所是A4’的垂直平分線，

:.AF=A'F,AB=A'B=4a,

QZFMA=ZFHA'=90°,ZMFA=NHFA；AF=A'F,

AFM^AFH(AAS),

:.AM=A'H^-a,

2

:.AD^AH+HD^a,

AC=3a,

在Rt.5c4'中，(W=102+(3?)2,

解得。=費(fèi)"(負(fù)值舍去)，

二°的取值范圍是：~<a>

77

故答案為：?<a幣.

77

21.(1)ZAPC=30°

(2)左值不隨點(diǎn)尸的移動(dòng)而變化.證明見(jiàn)解析

【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)E在。上時(shí)，設(shè)。。與。交于點(diǎn)。，證明外E=g峪8,即可得到NAPC=30。；

(2)由于P是<。右半圓上的任意一點(diǎn)，且A尸〃OQ,由兩直線平行，同位角相等知，"AC=NQOB

由是。的切線，由切線的性質(zhì)知，ZABQ=90,已知中有PC,AB,即NACP=NAB。=90。,

ACPC

△ACPSAOBQ得到，===,又有NCAF=ZBAQ,ZACF=ZABQ=9。，故由△Ab^ABQ,

ODQB

ACCF,ACCFAC2CF

可知弁=訪，又因?yàn)锳B=2Q9,貝4少京=許即=F得至UPC=2CF，即PP=CF，所以有

ADD{JZODD{JOD

PF1

k=~PC=2,即左值不隨點(diǎn)尸的移動(dòng)而變化.

【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)E在。上時(shí)，設(shè)。。與：）。交于點(diǎn)

VAB1PC,

:.^E=PA-

?.?AP//OQ,

ZAPC=NPEQ.

/.=PD=?

又ZAOE=ZBOD,AE=BD，

即初二；癡，

/.ZAPC=-x-ZAOB=-xlxl80°=30°.

2323

(2)上值不隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化.理由是：

???？是10右半圓上的任意一點(diǎn)，且