2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題之概率

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之概率（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025?花溪區(qū)模擬）一個(gè)袋中裝有9個(gè)紅球，8個(gè)白球，7個(gè)黑球，10個(gè)黃球，每個(gè)球除顏色外都相同.任

意摸出一個(gè)球，以下事件中，可能性最小的是（）

A.摸出一個(gè)紅球B.摸出一個(gè)白球

C.摸出一個(gè)黑球D.摸出一個(gè)黃球

2.（2025春?沛縣月考）下列事件中，是必然事件的是（）

A.買一張電影票，座位號(hào)是3的倍數(shù)

B.擲一枚骰子，擲出點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)

C.367人中有兩人的生日相同

D.一名射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊的命中環(huán)數(shù)

3.（2025?伊川縣一模）國(guó)產(chǎn)動(dòng)畫電影《哪吒2》在全球上映后引發(fā)強(qiáng)烈反響.

小偉購(gòu)買了《哪吒2》電影中“哪吒”、“敖丙”、“太乙真人”、“申公豹”四張人物卡片，他將卡片背面

朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），小峰從中隨機(jī)抽取兩張，則他抽到的兩張紀(jì)念卡片恰好是“哪

吒”和“敖丙”的概率是（）

哪吒熬丙太乙真人申公豹

1

D.-

8

4.（2025?揚(yáng)州校級(jí)一模）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.在揚(yáng)州“三九四九冰上走”是必然事件

B.對(duì)“神舟十九號(hào)”載人飛船發(fā)射前的零部件檢查，采用全面調(diào)查的方式

C.在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率一般會(huì)越來(lái)越接近概率

D.在“吾輩當(dāng)自強(qiáng)，唯我少年強(qiáng)”的演講比賽中，通常采用去掉一個(gè)最高分和最低分，然后計(jì)算平均

分的辦法，是因?yàn)槠骄鶖?shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響

5.（2025?碧江區(qū)一模）某小組在“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某種結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如

圖所示的折線圖，那么最符合這一結(jié)果的試驗(yàn)是（）

A.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時(shí)結(jié)果是“正面向上”

B.擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時(shí)面朝上的點(diǎn)數(shù)是6

C.在一副撲克中隨機(jī)抽取一張，抽到的牌是紅桃

D.不透明袋中有紅球、黃球、藍(lán)球各1個(gè)，每個(gè)球除顏色外其余均相同，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，是黃

球

6.（2025?中寧縣二模）在元旦游園晚會(huì)上有一個(gè)闖關(guān)活動(dòng)：將5張分別畫有正方形、圓、平行四邊形、

等邊三角形、菱形的卡片任意擺放（卡片大小、質(zhì)地、顏色完全相同），將有圖形的一面朝下，從中任

意翻開2張，如果翻開的圖形都是中心對(duì)稱圖形，就可以過(guò)關(guān).那么一次過(guò)關(guān)的概率是（）

1234

A.-B.—C.-D.—

5555

7.（2025?石家莊一模）小亮與同學(xué)組隊(duì)玩尋寶游戲，在某個(gè)環(huán)節(jié)，小亮面前有A,B兩組箱子（如圖），A

組有3個(gè)箱子，其中1個(gè)箱子中裝有重要線索；B組有2個(gè)箱子，其中1個(gè)箱子中裝有重要線索.小亮

要從A,3兩組箱子中各選一個(gè)箱子去獲得線索，則小亮一條線索都沒有得到的概率為（）

A組B組

8.（2025?鋼城區(qū)一模）”過(guò)新年，掛新燈，家家戶戶樂融融”，掛燈籠是我國(guó)各地新年的一個(gè)傳統(tǒng)習(xí)俗、

如圖，欣欣從A,B,C三個(gè)燈籠中隨機(jī)選擇兩個(gè)掛在門口，則選擇A和C兩個(gè)燈籠的概率為（）

懸掛點(diǎn)：：懸掛點(diǎn)

2

D.-

3

9.（2025?湖北模擬）下列事件屬于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.水中撈月C.打草驚蛇D.水到渠成

10.（2025?尉氏縣一模）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國(guó)際氣象界譽(yù)為“中國(guó)第五

大發(fā)明”.小明購(gòu)買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的

兩張送給朋友小亮，小明將它們背面朝上放在案面上（郵票背面完全相同），讓小亮從中隨機(jī)抽取兩張，

則小亮抽到的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（）

1112

A.-B.-C.一D.—

2683

二.填空題（共5小題）

11.（2025春?萬(wàn)州區(qū)月考）萬(wàn)州是一座歷史悠久的濱湖城市，不僅有迷人的風(fēng)景，還有令人垂涎的美食,

萬(wàn)州格格、萬(wàn)州雜醬、萬(wàn)州烤魚更是無(wú)數(shù)游客必須的打卡美食.甲、乙、丙三人相約來(lái)到萬(wàn)州旅游，三

人分別從萬(wàn)州格格、萬(wàn)州雜醬、萬(wàn)州烤魚三種美食中隨機(jī)選擇一種美食品嘗，甲、乙、丙三人同時(shí)選擇

萬(wàn)州烤魚的概率為.

12.（2025?合肥一模）將分別寫有“你”“好”“合”“肥”漢字的四張除漢字外均相同的卡片（每張卡片

上只有一個(gè)漢字）放入一個(gè)不透明的袋子里，每次摸之前先均勻攪拌，隨機(jī)摸出一張卡片，不放回，再

隨機(jī)摸出一張卡片，兩次摸出卡片上的漢字能組成“合肥”的概率為.

13.（2025春?北硝區(qū)校級(jí)月考）為慶祝西南大學(xué)附屬中學(xué)110周年，該校準(zhǔn)備舉辦音樂慶典活動(dòng)，現(xiàn)從音

樂團(tuán)的2個(gè)男生和3個(gè)女生中選取2個(gè)同學(xué)參加表演，恰好選中一個(gè)男生和一個(gè)女生的概率

是.

14.（2025?新?lián)釁^(qū)模擬）A,B,C,。四名選手參加賽跑，賽場(chǎng)共設(shè)1,2,3,4四條跑道，選手以隨機(jī)抽

簽方式?jīng)Q定各自的跑道，則A,B兩位選手抽中相鄰跑道的概率為.

15.（2025?北屯市一模）經(jīng)過(guò)某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，這三種可能性大小

相同.若兩輛汽車經(jīng)過(guò)這個(gè)十字路口，則至少一輛車向右轉(zhuǎn)的概率是.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?浙江模擬）在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)上，我國(guó)體育健兒頑強(qiáng)拼搏、奮勇爭(zhēng)先、不負(fù)使命，勇奪40

枚金牌.為了致敬奧運(yùn)健兒，弘揚(yáng)體育精神，某校舉辦了一分鐘跳繩比賽.學(xué)校隨機(jī)抽取了40名學(xué)生

一分鐘跳繩的次數(shù)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制了統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖（如圖）.

一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)表

等級(jí)次數(shù)頻數(shù)

不合格80?1104

合格110Wx<14010

良好140?170a

優(yōu)秀170?20012

請(qǐng)根據(jù)上述信息，解答下列問(wèn)題：

（1）求a的值，并把一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整.

（2）若該校有800名學(xué)生，估計(jì)該校學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)達(dá)到合格及以上的人數(shù)為.

（3）在本次比賽結(jié)果為“優(yōu)秀”等級(jí)的學(xué)生中，有4位同學(xué)一分鐘跳繩的次數(shù)達(dá)190次以上，其中男

生和女生各占一半，現(xiàn)準(zhǔn)備從這四位同學(xué)中選2位參加比賽.請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求選出的2

位同學(xué)恰好性別不同的概率.

一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)直方圖

次數(shù)

17.（2025?市南區(qū)校級(jí)模擬）青島市舉行帆船知識(shí)競(jìng)賽，某校需要從A、2兩個(gè)小組中選擇一個(gè)小組參加，

現(xiàn)設(shè)計(jì)了如下的游戲來(lái)確定參賽隊(duì)伍，具體規(guī)則如下：把四個(gè)完全相同的乒乓球標(biāo)上數(shù)字1,2,3,4,

然后放到一個(gè)不透明的袋中，評(píng)委老師從袋中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，若摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字之和為奇數(shù),

則A組去，否則8組去.請(qǐng)用樹狀圖或列表法說(shuō)明這個(gè)游戲規(guī)則是否公平.

18.（2025?宿遷校級(jí)一模）一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“喜”“氣”“洋”“洋”的四個(gè)小球，

除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球.

（1）若從中任取一個(gè)球，球上的漢字剛好是“喜”的概率為;

（2）甲從中任取一球，不放回，再?gòu)闹腥稳∫磺?，?qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求甲取出的兩個(gè)球上

的漢字至少有一個(gè)是“洋”的概率.

19.（2025春?南京月考）在一個(gè)不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共20個(gè)，這些球除顏色外其余

完全相同.小穎做摸球試驗(yàn)，攪勻后，她從盒子里隨機(jī)摸出一只球記下顏色后，再把球放回盒子中，不

斷重復(fù)上述過(guò)程，下表是實(shí)驗(yàn)中的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)〃1020501002004005001000

摸到白球的次數(shù)相4710284597127252

m

摸到白球的頻率一0.4000.3500.2000.2800.2250.2430.2540.252

n

（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)“很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近（精確到0.01）;

（2）試估算盒子里白球有個(gè)；

（3）某小組進(jìn)行“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)，符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是（填寫所

有正確結(jié)論的序號(hào)）.

①?gòu)囊桓睋淇伺疲ú缓笮⊥酰┲腥我獬槿∫粡?，這張牌是“紅桃”.

②擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子（面的點(diǎn)數(shù)分別為1到6）,落地時(shí)面朝上點(diǎn)數(shù)“小于3”.

③投擲一枚均勻的硬幣，落到桌面上恰好是正面朝上.

④甲、乙、丙、丁四人用抽簽的方式產(chǎn)生一名幸運(yùn)觀眾，正好抽到甲.

20.（2025?烏魯木齊一模）為提升學(xué)生的文化認(rèn)同感，弘揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化，某校舉辦了“詩(shī)意校園?

魅力詩(shī)詞”古詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽.現(xiàn)從八、九年級(jí)的學(xué)生中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行整理、描

述和分析（分?jǐn)?shù)用x表示，總分為100分，共分成四組：A.60Wx<70；8.70Wx<80；C80W尤<90；

D90WxW100,其中分?jǐn)?shù)不低于80為優(yōu)秀）.下面給出部分信息：

八年級(jí)20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)椋?/p>

67,69,72,72,75,77,78,79,85,85,86,90,91,92,92,92,95,96,98,99.

九年級(jí)20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贑組中的數(shù)據(jù)是：83,83,88,88,88,89.

八、九年級(jí)所抽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

年級(jí)八年級(jí)九年級(jí)

平均數(shù)84.584.5

中位數(shù)85.5a

眾數(shù)b88

優(yōu)秀率60%C%

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

(1)上述圖表中，a=,b=,c=；

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為該校八、九年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生的古詩(shī)詞競(jìng)賽成績(jī)較好？請(qǐng)說(shuō)明理由

(寫出一條理由即可)；

(3)賽后，學(xué)校準(zhǔn)備從九年級(jí)學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)位于前四名的甲乙丙丁4人中隨機(jī)選取2人作古詩(shī)詞積

累的經(jīng)驗(yàn)交流，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法，求選中的2人恰好是丁和乙的概率.

九年級(jí)所抽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之概率（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案CCCABCBBBB

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?花溪區(qū)模擬）一個(gè)袋中裝有9個(gè)紅球，8個(gè)白球，7個(gè)黑球，10個(gè)黃球，每個(gè)球除顏色外都相同.任

意摸出一個(gè)球，以下事件中，可能性最小的是（）

A.摸出一個(gè)紅球B.摸出一個(gè)白球

C.摸出一個(gè)黑球D.摸出一個(gè)黃球

【考點(diǎn)】可能性的大小；隨機(jī)事件.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】C

【分析】根據(jù)袋中四種顏色球的個(gè)數(shù)的多少即可得出答案.

【解答】解：由題意知，袋中黑球個(gè)數(shù)最少，

所以摸出一個(gè)黑球的可能性最小，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查可能性的大小，解題的關(guān)鍵是掌握可能性大小的概念.

2.（2025春?沛縣月考）下列事件中，是必然事件的是（）

A.買一張電影票，座位號(hào)是3的倍數(shù)

B.擲一枚骰子，擲出點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)

C.367人中有兩人的生日相同

D.一名射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊的命中環(huán)數(shù)

【考點(diǎn)】隨機(jī)事件；倍數(shù).

【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)隨機(jī)事件與必然事件的定義逐項(xiàng)分析即可得解.

【解答】解：根據(jù)隨機(jī)事件與必然事件的定義逐項(xiàng)分析判定如下：

A、是隨機(jī)事件，不符合題意；

B、是隨機(jī)事件，不符合題意；

C、367人中有兩人的生日相同，是必然事件，符合題意；

是隨機(jī)事件，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了事件的分類，熟練掌握相關(guān)定義是解此題的關(guān)鍵.

3.（2025?伊川縣一模）國(guó)產(chǎn)動(dòng)畫電影《哪吒2》在全球上映后引發(fā)強(qiáng)烈反響.

小偉購(gòu)買了《哪吒2》電影中“哪吒”、“敖丙”、“太乙真人”、“申公豹”四張人物卡片，他將卡片背面

朝上放在桌面上（卡片背面完全相同），小峰從中隨機(jī)抽取兩張，則他抽到的兩張紀(jì)念卡片恰好是“哪

吒”和“敖丙”的概率是（）

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】C

【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩人抽取到哪吒和敖丙的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出

答案.

【解答】解：把“哪吒”、“敖丙”、“太乙真人”、“申公豹”四張人物卡片分別記為A、B、C、D,列表

如下:

ABcD

A(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)

共有12種等可能的結(jié)果，其中兩人抽取到哪吒和敖丙的結(jié)果有：（A,B）,（B,A）,共2種,

21

所以他抽到的兩張紀(jì)念卡片恰好是“哪吒”和“敖丙”的概率是一=一,

126

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題

的關(guān)鍵.

4.（2025?揚(yáng)州校級(jí)一模）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.在揚(yáng)州“三九四九冰上走”是必然事件

B.對(duì)“神舟十九號(hào)”載人飛船發(fā)射前的零部件檢查，采用全面調(diào)查的方式

C.在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率一般會(huì)越來(lái)越接近概率

D.在“吾輩當(dāng)自強(qiáng)，唯我少年強(qiáng)”的演講比賽中，通常采用去掉一個(gè)最高分和最低分，然后計(jì)算平均

分的辦法，是因?yàn)槠骄鶖?shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響

【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率；全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；隨機(jī)事件.

【專題】統(tǒng)計(jì)與概率；應(yīng)用意識(shí).

【答案】A

【分析】根據(jù)隨機(jī)事件、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、利用頻率估計(jì)概率進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A、在揚(yáng)州“三九四九冰上走”是隨機(jī)事件，不是必然事件，故符合題意；

B,對(duì)“神舟十九號(hào)”載人飛船發(fā)射前的零部件的檢查，采用全面調(diào)查的方式，故不符合題意；

C、在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率一般會(huì)越來(lái)越接近概率，故不符合

題意；

。、在“吾輩當(dāng)自強(qiáng)，唯我少年強(qiáng)”的演講比賽中，通常采用去掉一個(gè)最高分和最低分，然后計(jì)算平均

分的辦法，是因?yàn)槠骄鶖?shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響，故不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了隨機(jī)事件、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、利用頻率估計(jì)概率，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?碧江區(qū)一模）某小組在“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某種結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如

圖所示的折線圖，那么最符合這一結(jié)果的試驗(yàn)是（）

A.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時(shí)結(jié)果是“正面向上”

B.擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時(shí)面朝上的點(diǎn)數(shù)是6

C.在一副撲克中隨機(jī)抽取一張，抽到的牌是紅桃

D.不透明袋中有紅球、黃球、藍(lán)球各1個(gè)，每個(gè)球除顏色外其余均相同，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，是黃

球

【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率；頻數(shù)（率）分布折線圖.

【專題】統(tǒng)計(jì)與概率；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖可知，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多頻率穩(wěn)定在（M5以上，0.2以下，通過(guò)計(jì)算各選項(xiàng)

的概率，由此即可求解.

【解答】解：由題意可得：概率穩(wěn)定在0.15以上，0.2以下，據(jù)此分析如下：

A、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時(shí)結(jié)果是“正面向上”的概率是0.5,不符合題意；

一>1

B、擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時(shí)朝上的面點(diǎn)數(shù)是6的概率是:a0.17,符合題意；

6

1

C、在一副撲克中隨機(jī)抽取一張，抽到的牌是紅桃的概率是一=0.25,不符合題意；

4

D.不透明袋中有紅球、黃球、藍(lán)球各1個(gè)，每個(gè)球除顏色外其余均相同，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，是黃

1

球的概率是］?0.33,不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查隨機(jī)事件的概率以及用頻率估計(jì)概率，理解折線圖中橫軸與縱軸的關(guān)系，掌握概

率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

6.（2025?中寧縣二模）在元旦游園晚會(huì)上有一個(gè)闖關(guān)活動(dòng)：將5張分別畫有正方形、圓、平行四邊形、

等邊三角形、菱形的卡片任意擺放（卡片大小、質(zhì)地、顏色完全相同），將有圖形的一面朝下，從中任

意翻開2張，如果翻開的圖形都是中心對(duì)稱圖形，就可以過(guò)關(guān).那么一次過(guò)關(guān)的概率是（）

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；中心對(duì)稱圖形.

【專題】概率及其應(yīng)用；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力.

【答案】c

【分析】畫樹狀圖，共有20種等可能的情況，其中一次過(guò)關(guān)的情況有12種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：正方形、圓、平行四邊形、菱形是中心對(duì)稱圖形，

將5張分別畫有正方形、圓、平行四邊形、等邊三角形、菱形的卡片分別記為A、B、C、。、E,

畫樹狀圖如下：

開始

ABCDE

zW./TV./TVx//v

BCDEACDEABDEABCEABCD

共有20種等可能的情況，其中一次過(guò)關(guān)的情況有12種，

123

，一次過(guò)關(guān)的概率為￡=

205

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及中心對(duì)稱圖形.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可

能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

7.（2025?石家莊一模）小亮與同學(xué)組隊(duì)玩尋寶游戲，在某個(gè)環(huán)節(jié)，小亮面前有A,B兩組箱子（如圖），A

組有3個(gè)箱子，其中1個(gè)箱子中裝有重要線索；8組有2個(gè)箱子，其中1個(gè)箱子中裝有重要線索.小亮

要從A,8兩組箱子中各選一個(gè)箱子去獲得線索，則小亮一條線索都沒有得到的概率為（）

A組B組

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】統(tǒng)計(jì)與概率；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】B

【分析】畫出樹狀圖，利用概率公式計(jì)算即可.

【解答】解：設(shè)A組3個(gè)箱子為4,A2,43,其中4箱子中裝有重要線索；2組2個(gè)箱子為6,比，

其中81箱子中裝有重要線索.

ABB

共有6種等可能的情況數(shù)，其中一條線索都沒有得到的有2種，

,_21

概率是二=

63

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了畫樹狀圖法求概率，根據(jù)畫樹狀圖法求概率即可，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

8.（2025?鋼城區(qū)一模）“過(guò)新年，掛新燈，家家戶戶樂融融”，掛燈籠是我國(guó)各地新年的一個(gè)傳統(tǒng)習(xí)俗、

如圖，欣欣從A,B,C三個(gè)燈籠中隨機(jī)選擇兩個(gè)掛在門口，則選擇A和C兩個(gè)燈籠的概率為（）

懸掛點(diǎn)懸掛點(diǎn)

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】B

【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中選擇A和C兩個(gè)燈籠的結(jié)果有兩種，再利用概率公

式即可得出答案.

【解答】解：從A,B,C三個(gè)燈籠中隨機(jī)選擇兩個(gè)掛在門口，作樹狀圖如下：

開始

C

/\

AB

共有6種等可能的結(jié)果,其中選擇A和。兩個(gè)燈籠的結(jié)果有兩種,

21

選擇A和C兩個(gè)燈籠的概率為-=

63

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法，概率公式，解答本題的關(guān)鍵要明確：樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏

的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比.

9.（2025?湖北模擬）下列事件屬于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.水中撈月C.打草驚蛇D.水到渠成

【考點(diǎn)】隨機(jī)事件.

【專題】統(tǒng)計(jì)與概率.

【答案】B

【分析】根據(jù)“必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)

生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件”，進(jìn)行逐項(xiàng)判斷

即可.

【解答】解：根據(jù)“必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定

不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件”，

A、守株待兔，是隨機(jī)事件，故不符合題意；

B.水中撈月，是不可能事件，故符合題意；

C.打草驚蛇，是必然事件，故不符合題意；

D.水到渠成，是必然事件，故不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

10.（2025?尉氏縣一模）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國(guó)際氣象界譽(yù)為“中國(guó)第五

大發(fā)明”.小明購(gòu)買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的

兩張送給朋友小亮，小明將它們背面朝上放在案面上（郵票背面完全相同），讓小亮從中隨機(jī)抽取兩張，

則小亮抽到的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（）

1112

A.—B.—C.—D.一

2683

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】B

【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中小亮抽到的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的

結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：把“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票分別記為A、B、C、D,

畫樹狀圖如下，

BCDACDABDABC

由樹狀圖知，共有12種等可能的結(jié)果，其中小亮抽到的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的結(jié)果有

2種,

21

小亮抽到的兩張郵票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是一=

126

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了樹狀圖法，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以

上完成的事件.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

二.填空題（共5小題）

11.（2025春?萬(wàn)州區(qū)月考）萬(wàn)州是一座歷史悠久的濱湖城市，不僅有迷人的風(fēng)景，還有令人垂涎的美食,

萬(wàn)州格格、萬(wàn)州雜醬、萬(wàn)州烤魚更是無(wú)數(shù)游客必須的打卡美食.甲、乙、丙三人相約來(lái)到萬(wàn)州旅游，三

人分別從萬(wàn)州格格、萬(wàn)州雜醬、萬(wàn)州烤魚三種美食中隨機(jī)選擇一種美食品嘗，甲、乙、丙三人同時(shí)選擇

萬(wàn)州烤魚的概率為1.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】三

27

【分析】先作樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到兩人同時(shí)選中萬(wàn)州烤魚的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概

率計(jì)算公式求解即可.

【解答】解：設(shè)分別用A、8、C表示萬(wàn)州格格、萬(wàn)州雜醬、萬(wàn)州烤魚，甲、乙、丙三人分別從萬(wàn)州格

格、萬(wàn)州雜醬、萬(wàn)州烤魚三種美食中隨機(jī)選擇一種美食品嘗，作樹狀圖如下：

開始

丙ABCABCABCABCABCABCABCABCABC

由樹狀圖可知，一共有27可能性的結(jié)果數(shù)，其中他們同時(shí)選中萬(wàn)州烤魚的結(jié)果數(shù)有1種，

1

???他們同時(shí)選擇萬(wàn)州烤魚的概率為六，

27

故答案為：一.

27

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了列表法與樹狀圖法，概率公式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握概率的求法.

12.（2025?合肥一模）將分別寫有“你”“好”“合”“肥”漢字的四張除漢字外均相同的卡片（每張卡片

上只有一個(gè)漢字）放入一個(gè)不透明的袋子里，每次摸之前先均勻攪拌，隨機(jī)摸出一張卡片，不放回，再

隨機(jī)摸出一張卡片，兩次摸出卡片上的漢字能組成“合肥”的概率為--

-6-

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】--

6

【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和兩次摸出卡片上的漢字能組成“合肥”的結(jié)果數(shù)，再利用

概率公式可得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

你好肥你好合

由樹狀圖可知：共有12種等可能的結(jié)果，其中選到“合肥”的結(jié)果數(shù)為2,

.21

:?P（兩次摸出卡片上的漢字能組成“合肥”）=^2=6,

故答案為：

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

13.（2025春?北硝區(qū)校級(jí)月考）為慶祝西南大學(xué)附屬中學(xué)110周年，該校準(zhǔn)備舉辦音樂慶典活動(dòng)，現(xiàn)從音

3

樂團(tuán)的2個(gè)男生和3個(gè)女生中選取2個(gè)同學(xué)參加表演，恰好選中一個(gè)男生和一個(gè)女生的概率是一.

-5-

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

3

【答案】--

【分析】畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果與恰好選中一個(gè)男生、一個(gè)女生的結(jié)果數(shù)，再由概率公式求解即

可.

【解答】解：從音樂團(tuán)的2個(gè)男生和3個(gè)女生中選取2個(gè)同學(xué)參加表演，作樹狀圖如下：

開始

男女女女男女女女男男女女男男女女男男女女

由圖可知，共有20種等可能的結(jié)果，其中選取的2個(gè)學(xué)生恰好是一個(gè)男生和一個(gè)女生的結(jié)果有12種，

123

???選取的2名學(xué)生恰好是1名男生、1名女生的概率為：—=

205

3

故答案為：—.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法，概率公式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握概率的求法：概率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

14.（2025?新?lián)釁^(qū)模擬）A,B,C,￡＞四名選手參加賽跑，賽場(chǎng)共設(shè)1,2,3,4四條跑道，選手以隨機(jī)抽

1

簽方式?jīng)Q定各自的跑道，則A,8兩位選手抽中相鄰跑道的概率為:.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】j.

【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中A、B兩位選手抽中相鄰跑道的結(jié)果有6種，再由

概率公式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如下：

開始

234134124123

由圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中A、2兩位選手抽中相鄰跑道的結(jié)果有(1,2),(2,1),(2,

3),(3,2),(3,4),(4,3),共6種，

...A、B兩位選手抽中相鄰跑道的概率為e=工，

122

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是樹狀圖法求概率.樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題

是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

15.(2025?北屯市一模)經(jīng)過(guò)某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，這三種可能性大小

相同.若兩輛汽車經(jīng)過(guò)這個(gè)十字路口，則至少一輛車向右轉(zhuǎn)的概率是--

-9-

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】列表得出共有9種等可能的情況，其中至少一輛車向右轉(zhuǎn)的結(jié)果有5種，再由概率公式求解即

可.

【解答】解：列表如下:

左直右

左左左左直左右

直左直直直直右

右左右直右右右

共有9種等可能的情況，其中至少一輛車向右轉(zhuǎn)的結(jié)果有5種，

至少一輛車向右轉(zhuǎn)的概率是3

9

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法求概率，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)

鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?浙江模擬）在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)上，我國(guó)體育健兒頑強(qiáng)拼搏、奮勇爭(zhēng)先、不負(fù)使命，勇奪40

枚金牌.為了致敬奧運(yùn)健兒，弘揚(yáng)體育精神，某校舉辦了一分鐘跳繩比賽.學(xué)校隨機(jī)抽取了40名學(xué)生

一分鐘跳繩的次數(shù)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制了統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖（如圖）.

一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)表

等級(jí)次數(shù)頻數(shù)

不合格80^x<1104

合格no&V14010

良好140<x<170a

優(yōu)秀170Wx<20012

請(qǐng)根據(jù)上述信息，解答下列問(wèn)題：

（1）求。的值，并把一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整.

（2）若該校有800名學(xué)生，估計(jì)該校學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)達(dá)到合格及以上的人數(shù)為，.

（3）在本次比賽結(jié)果為“優(yōu)秀”等級(jí)的學(xué)生中，有4位同學(xué)一分鐘跳繩的次數(shù)達(dá)190次以上，其中男

生和女生各占一半，現(xiàn)準(zhǔn)備從這四位同學(xué)中選2位參加比賽.請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求選出的2

位同學(xué)恰好性別不同的概率.

一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)直方圖

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；用樣本估計(jì)總體；頻數(shù)（率）分布表；頻數(shù)（率）分布直方圖.

【答案】（1）14,作圖見解析;

（2）720人；

2

（3）

3

【分析】（1）用總?cè)藬?shù)減去其他等級(jí)人數(shù)即可求解。值，然后補(bǔ)充統(tǒng)計(jì)圖即可;

⑵用全?？?cè)藬?shù)乘以樣本中一分鐘跳繩次數(shù)達(dá)到合格所占的比例求解即可；

（3）列表求得所有等可能的結(jié)果，找出滿足條件的可能結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）由題意得，a=40-4-10-12=14,

補(bǔ)充圖如下：

一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)直方圖

估計(jì)該校學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)達(dá)到合格的人數(shù)約800x=720（人）,

故答案為：720；

（3）列表如下：

男1男2女1女2

男1（男1，男2）（男b女1）（男1,女2）

男2（男2,男1）（男2,女1）（男2,女2

女1（女1,男1）（女1,男2）（女1,女2）

女2（女2,男1）（女2,男2）（女2,女1）

共有12種等可能的結(jié)果，其中選出的2位同學(xué)恰好性別不同的結(jié)果有84種，

o2

選出的2位同學(xué)恰好性別相同的概率為

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是列表法與樹狀圖法，頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖、用樣本估計(jì)總體，理解題意，

找準(zhǔn)有效信息是解答的關(guān)系.

17.（2025?市南區(qū)校級(jí)模擬）青島市舉行帆船知識(shí)競(jìng)賽，某校需要從A、2兩個(gè)小組中選擇一個(gè)小組參加，

現(xiàn)設(shè)計(jì)了如下的游戲來(lái)確定參賽隊(duì)伍，具體規(guī)則如下：把四個(gè)完全相同的乒乓球標(biāo)上數(shù)字1,2,3,4,

然后放到一個(gè)不透明的袋中，評(píng)委老師從袋中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，若摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字之和為奇數(shù),

則A組去，否則B組去.請(qǐng)用樹狀圖或列表法說(shuō)明這個(gè)游戲規(guī)則是否公平.

【考點(diǎn)】游戲公平性；概率公式；列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】這個(gè)游戲規(guī)則不公平，說(shuō)明見解析.

【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩球數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果有8種，兩球數(shù)字

之和為偶數(shù)的結(jié)果有4種，再由概率公式求出A組去的概率和3組去的概率，然后比較即可.

【解答】解：這個(gè)游戲規(guī)則不公平，理由如下:

畫樹狀圖如下:

開始

234342423

和345356457567

共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩球數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果有8種，兩球數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果有

4種，

AA組去的概率=白=奈B組去的概率=白=

21

,.?一豐一，

33

???這個(gè)游戲規(guī)則不公平.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了游戲的公平性、列表法與樹狀圖法以及概率公式，判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)

事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平.

18.（2025?宿遷校級(jí)一模）一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“喜”“氣”“洋”“洋”的四個(gè)小球，

除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球.

（1）若從中任取一個(gè)球，球上的漢字剛好是“喜”的概率為-;

-4-

（2）甲從中任取一球，不放回，再?gòu)闹腥稳∫磺颍?qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求甲取出的兩個(gè)球上

的漢字至少有一個(gè)是“洋”的概率.

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】（1）--

4

【分析】（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中球上的漢字剛好是“喜”結(jié)果有1種，利用概率

公式可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及甲取出的兩個(gè)球上的漢字至少有一個(gè)是“洋”的結(jié)果數(shù)，再

利用概率公式可得出答案.

【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中球上的漢字剛好是“喜”結(jié)果有1種，

，球上的漢字剛好是“喜”的概率為士

4

,,-,1

故答案為：

4

（2）列表如下：

喜氣洋洋

喜（喜，氣）（喜，洋）（喜，洋）

氣（氣，喜）（氣，洋）（氣，洋）

洋（洋，喜）（洋，氣）（洋，洋）

洋（洋,喜）（洋,氣）（洋，洋）

共有12種等可能的結(jié)果，其中甲取出的兩個(gè)球上的漢字至少有一個(gè)是“洋”的結(jié)果有：（喜，洋），（喜,

洋），（氣，洋），（氣，洋），（洋，喜），（洋，氣），（洋，洋），（洋，喜），（洋，氣），（洋，洋），共10

種，

105

???甲取出的兩個(gè)球上的漢字至少有一個(gè)是“洋”的概率為一=

126

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題

的關(guān)鍵.

19.（2025春?南京月考）在一個(gè)不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共20個(gè)，這些球除顏色外其余

完全相同.小穎做摸球試驗(yàn)，攪勻后，她從盒子里隨機(jī)摸出一只球記下顏色后，再把球放回盒子中，不

斷重復(fù)上述過(guò)程，下表是實(shí)驗(yàn)中的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)”1020501002004005001000

摸到白球的次數(shù)加4710284597127252

m

摸到白球的頻率一0.4000.3500.2000.2800.2250.2430.2540.252

n

（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)"很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.25（精確到0.01）；

（2）試估算盒子里白球有個(gè)；

（3）某小組進(jìn)行“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)，符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是①④（填寫所

有正確結(jié)論的序號(hào)）.

①?gòu)囊桓睋淇伺疲ú缓笮⊥酰┲腥我獬槿∫粡垼@張牌是“紅桃”.

②擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子（面的點(diǎn)數(shù)分別為1到6）,落地時(shí)面朝上點(diǎn)數(shù)“小于3”.

③投擲一枚均勻的硬幣，落到桌面上恰好是正面朝上.

④甲、乙、丙、丁四人用抽簽的方式產(chǎn)生一名幸運(yùn)觀眾，正好抽到甲.

【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率.

【答案】（1）0.25；

（2）5；

（3）①④.

【分析】（1）由表中〃的最大值所對(duì)應(yīng)的頻率即為所求；

（2）根據(jù)白球個(gè)數(shù)=球的總數(shù)X得到的白球的概率，即可得出答案；

（3）試驗(yàn)結(jié)果在0.67附近波動(dòng)，即其概率尸處0.67,計(jì)算三個(gè)選項(xiàng)的概率，約為0.67者即為正確答案.

【解答】解：（1）由表可知，若從盒子里隨機(jī)摸出一只球，則摸到白球的頻率將會(huì)接近0.25；

故答案為：0.25；

（2）根