二次函數(shù)中面積的最值問題（六大題型）學(xué)生版

二次善破中面欷的素值冏強(qiáng)（力丈題建，

壓軸題密押

通用的解題思路：

二次函數(shù)中的面積最值問題通常有以下3種解題方法：

1）當(dāng)所求圖形的面積沒有辦法直接求出時(shí)，通常采用分割或補(bǔ)全圖形的方法表示所求圖形的面積，如下:

一般步驟為:①設(shè)出要求的點(diǎn)的坐標(biāo)；

②通過割補(bǔ)將要求的圖形轉(zhuǎn)化成通過條件可以表示的圖形面積和或差；

③列出關(guān)系式求解；

④檢驗(yàn)是否每個(gè)坐標(biāo)都符合題意.

2）用鉛垂定理巧求斜三角形面積的計(jì)算公式:三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半.

3）利用平行線間的距離處處相等,根據(jù)同底等高，將所求圖形的面積轉(zhuǎn)移到另一個(gè)圖形中，如圖所示:

直線“〃直線n

SAABC=S^ABD=S/^ABE

ABE

一般步驟為:①設(shè)出直線解析式,兩條平行直線k值相等;

②通過已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線解析式;

③求出題意中要求點(diǎn)的坐標(biāo)；

④檢驗(yàn)是否每個(gè)坐標(biāo)都符合題意.

壓軸題預(yù)測(cè)

題型01三角形面積最值問題

Ml曰（2024?寧夏銀川?一模）如圖，二次函數(shù)g=—/+62的圖象與。軸的正半軸交于點(diǎn)4經(jīng)過點(diǎn)A的直線

與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)B（l,5）,與沙軸交于點(diǎn)C.

備用圖

（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB上方，過點(diǎn)P作直線PE，c軸于點(diǎn)E,與直線交

于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為機(jī).

①當(dāng)=時(shí)，求利的值；

②設(shè)的面積為S,求S關(guān)于小的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值.

題目區(qū)（2024?新疆克孜勒蘇?二模）如圖,拋物線9=d+bx+c（b,c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為。，與c軸交于A,B

兩點(diǎn)，A（2,0）,AB=6,點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過P作PQ〃B。交AC于點(diǎn)Q.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).

題目叵〕（23—24九年級(jí)下?湖北武漢?開學(xué)考試）如圖，拋物線y=ax^-4ax+3a交c軸于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在

點(diǎn)B的左側(cè)），交沙軸正半軸于點(diǎn)CQB=OC,點(diǎn)、P在拋物線上.

MS

（1）求拋物線的解析式；

（2）若tanZACP=2,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

（3）平面上有兩點(diǎn)—+2,-m-5）,求的面積的最小值.

「題目區(qū)（23—24九年級(jí)下.遼寧沈陽.階段練習(xí)）△ABC中，/氏4。=90°,AB=2,47=4,點(diǎn)P從點(diǎn)。出

發(fā),沿射線C4方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，同時(shí)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)B出發(fā),沿射線方向

運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為力（力W2且力#4）秒，△APQ的面積為S.

圖①備用圖

⑴當(dāng)0VcV2時(shí)，如圖①，求S與2的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)2V±V4時(shí)，如圖②，求S的最大值；

⑶若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在兩個(gè)時(shí)刻X1,x2,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別記為丹，B和Q,，對(duì)應(yīng)的△ARQi和

△ABQ2的面積分別記為Si和$2,且當(dāng)CP[=P￡時(shí)，S尸$2,請(qǐng)求出X1的值.

題目回（2023.山東聊城?二模）如圖，拋物線y=x2+bx+c與c軸交于45兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）,點(diǎn)A

的坐標(biāo)為（-1,0）,與y軸交于點(diǎn)。（0,—3）,直線CD-.y=2/—3與力軸交于點(diǎn)D.動(dòng)點(diǎn)河在拋物線上運(yùn)動(dòng)，

過點(diǎn)用■作軸，垂足為點(diǎn)P,交直線CD于點(diǎn)N.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OO上時(shí)，的面積是否存在最大值,若存在,請(qǐng)求出最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由；

（3）點(diǎn)"■在運(yùn)動(dòng)過程中，能否使以C,N,河為頂點(diǎn)的三角形是以2W為腰的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直

接寫出點(diǎn)河的坐標(biāo).

MS

，題目回（2024.浙江寧波.模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)夕=卒2+V3的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)4拋物線y=

O

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),在直線AB上方是否存在點(diǎn)P使△P4B的面積最大？若存在,請(qǐng)求出AF4B

面積的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)，請(qǐng)說明理由.

題目1（2024?甘肅隴南?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線夕=—c—3與，軸交于點(diǎn)4與"軸

交于點(diǎn)。，過A,。兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c與re軸交于另一點(diǎn),拋物線對(duì)稱軸為直線I.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)用■為直線AC下方拋物線上一點(diǎn),當(dāng)4MAC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)P作Z的垂線，垂足為。,E是，上一點(diǎn).要使得以P,D,E為頂點(diǎn)的三角形

與此“全等,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

題目回（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線y=x2+bx-3與c軸交于A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與“軸

交于點(diǎn)。，且OB=OC.

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）如圖1,點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，求△PBC的最大面積;

MS

（3）如圖2,M、N是拋物線上異于B,。的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線BN與直線CM的交點(diǎn)始終在直線y=2c-9

上，求證:直線7W必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).

:題目回（2024.四川廣元.二模）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線m=—/+法+。與2軸交于點(diǎn)B,A（-3,

0），與V軸交于點(diǎn)。（0,3）.

（1）求直線AC和拋物線的解析式.

（2）若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得以Al,4C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是以AC為

底的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

（3）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△P4C面積的最大值.

題目叵（2024?安徽安慶?一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與c軸交于點(diǎn)4（1,0）、5（3,0）兩點(diǎn)，與y軸交于

（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)E為直線BC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作2軸的垂線與此拋物線交于點(diǎn)F.

①若點(diǎn)E在第一象限，連接求△CFB面積的最大值；

②此拋物線對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)。，連接OF,若ADEF為直角三角形，請(qǐng)直接寫出E點(diǎn)坐標(biāo).

題目1T］（2024?安徽合肥?一模）如圖，直線y=cc—3與工軸交于點(diǎn)B,與g軸交于點(diǎn)C,拋物線y—x2+bx+c

經(jīng)過B、。兩點(diǎn)，拋物線與，軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

MS

（2）直接寫出當(dāng)④-3>x'+bx+c時(shí)，c的取值范圍；

（3）點(diǎn)P是位于直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PE，BC于點(diǎn)瓦連接OE.求ABOE面積的

最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

：穎目應(yīng)（2024.天津西青.一模）己知拋物線y=———43-12a（aV0）與立軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左

邊），與V軸交于點(diǎn)C.

（1）若點(diǎn)。（4,12）在拋物線上.

①求拋物線的解析式及點(diǎn)力的坐標(biāo)；

②連接AD,若點(diǎn)P是直線AD上方的拋物線上一點(diǎn)，連接P4,PD,當(dāng)AFAD面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)

及△PAD面積的最大值；

（2）已知點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2a,-8a），連接QC,將線段QC繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)河恰好落在

拋物線上,求拋物線的解析式.

題目叵（2024?山東臨沂?二模）如圖,拋物線y=ax2+^-x+c與，軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)3（4,0）,與y軸交于點(diǎn)

。（0,2）,連接BC,點(diǎn)。在拋物線上.

（2）小明探究點(diǎn)D位置時(shí)發(fā)現(xiàn):如圖1,點(diǎn)。在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接BD,CD,4BCD面積存在最大

值,請(qǐng)幫助小明求出△BCD面積的最大值；

（3）小明進(jìn)一步探究點(diǎn)D位置時(shí)發(fā)現(xiàn):如圖2,點(diǎn)。在拋物線上移動(dòng)，連接CD,存在ADCB=ZABC,請(qǐng)幫助

小明求出。時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo).

［題目?（2024.廣東深圳.二模）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)沙=一/+法+。的圖象與軸交于人，B

點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)67（0,3）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）若P點(diǎn)在第一象限運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPC的面積最大？請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC面

積的最大值；

（3）連接并把人P。。沿8翻折，那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POP'。為菱形;若不存在,請(qǐng)說明

理由.

題目叵（2024.湖北.模擬預(yù)測(cè)）如圖,拋物線y=（x—l）2+k與x軸相交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），

與y軸相交于點(diǎn)C（0,-3）.設(shè)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng),橫坐標(biāo)為m.

MS

（1）求此拋物線的解析式；

（2）當(dāng)P點(diǎn)位于第四象限時(shí)，求△BCP面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）設(shè)此拋物線在點(diǎn)。與點(diǎn)P之間部分（含點(diǎn)。和點(diǎn)P）最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為h.

①求八關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出自變量m的取值范圍；

②根據(jù)白的不同取值，試探索點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況.

題目叵（22-23九年級(jí)下?重慶?階段練習(xí)）拋物線"=叱+就+5經(jīng)過點(diǎn)4（1,0）和點(diǎn)5（5,0）.該拋物線

與直線沙=］工+5相交于。、。兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于c軸下方，直線PMIIy軸，分別與，

軸和直線CD交于點(diǎn)M、N.

（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）連接如圖1,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，AFCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；

若不存在，說明理由；

（3）連接PB,過點(diǎn)。作CQLPM,垂足為點(diǎn)Q,如圖2,是否存在點(diǎn)P,使得△CNQ與APEM相似？若

存在，求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，說明理由.

17］（2024?江蘇宿遷?一模）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y—aa?+bc+3與c軸分別相交于

兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（―1,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）.

MS

（1）求出這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖2,點(diǎn)。是第一象限內(nèi)該拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作直線〃/沙軸，直線Z與4ABD的外接圓相交于

點(diǎn)E.

①僅用無刻度直尺找出圖2中4ABD外接圓的圓心P.

②連接BC、CE,BC與直線DE的交點(diǎn)記為Q,如圖3,設(shè)△CQE的面積為S,在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過程中，S是否

存在最大值？如果存在,請(qǐng)求出S的最大值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.

【題目回（2024.新疆烏魯木齊.一模）如圖，在△ABC中，=40_LBC于點(diǎn)。，BC=10cm,AD=

8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在線段上以每秒3cm的速度向點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí),垂直于AD的直線小

從底邊5。出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)

點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為力秒（力＞0）.

（X）AH—,EF=（用含t的式子表示）.

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,所形成的LPEF的面積存在最大值,當(dāng)LPEF的面積最大時(shí)，求線段BP的長；

（3）是否存在某一時(shí)刻力，使△PEF為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻力的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

:題目T西（2024.重慶.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)（3,-4）,交c軸于點(diǎn)

備用圖

（1）求拋物線的表達(dá)式;

MS

（2）連接為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MD〃BC交直線AC于點(diǎn)。，連接求△MDC面

積的最大值及此時(shí)“點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）中△MDC面積取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移四個(gè)單位長度，P是平移

后的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,當(dāng)NPCM與△03。的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí),請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的

坐標(biāo).

〔題目瓦（2024?湖南衡陽?一模）如圖，已知拋物線g=ad+?+c經(jīng)過A（l,0）,B（-3,0）,C（0,3）三點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D為第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),求△BCD面積的最大值；

（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求使△BFC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

題目叵（2024?甘肅天水?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,開口向下的拋物線與c軸交于46兩點(diǎn)，。是拋

物線的頂點(diǎn).O為坐標(biāo)原點(diǎn).AB兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是方程4z—12=0的兩根，且cos/OAB=拳.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）作AC,AD,AC交拋物線于點(diǎn)C,求點(diǎn)。的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式；

（3）在（2）的條件下,在立軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使AAPC的面積最大？如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)和△APC的最大面積;如果不存在,請(qǐng)說明理由.

題目區(qū)（2024.山東聊城.一模）在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=a^+bx—3與2軸交于點(diǎn)A（-l,0）和點(diǎn)

B（3,0）,與v軸交于點(diǎn)。.

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)Q是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)Q不與兩端點(diǎn)重合）,是否存在以P、Q、。為頂點(diǎn)的

三角形是等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

題目^3^（2024.吉林長春.一模）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2分別交/軸、夕軸于A、B兩點(diǎn)，過

點(diǎn)。（2,2）作a;軸垂線，垂足為。，連接BC.現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，分別沿4B、AD向終點(diǎn)8和

終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒V2個(gè)單位長度,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)

間為t秒.

MS

（1）求力、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)CQ〃AB時(shí)，力=；

（3）設(shè)△CPQ的面積為“寫出"與t的函數(shù)關(guān)系式，并求△CPQ面積的最大值;

（4）當(dāng)△CPQ為軸對(duì)稱圖形時(shí)，直接寫出t的值.

［題目［24］（2023?湖南婁底?中考真題）如圖,拋物線y=a^+bx+c過點(diǎn)A（T，。）、點(diǎn)鳳5,0），交y軸于點(diǎn)C.

（2）點(diǎn)P（g,%）（0<x0<5）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)

①當(dāng)出取何值時(shí)，APB。的面積最大？并求出△PBC面積的最大值；

②過點(diǎn)P作PEL,軸，交BC于點(diǎn)E,再過點(diǎn)P作PF〃2軸，交拋物線于點(diǎn)F,連接EF,問：是否存在點(diǎn)P,

使APEF為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

題目區(qū)（2024?河南安陽?模擬預(yù)測(cè)）如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=

—a?+x—1的形狀相同，且與2軸交于點(diǎn)（―1,0）和（4,0）.直線《=版+2分別與2軸、沙軸交于點(diǎn)4B,

與沙=西2+法+。丁點(diǎn)（點(diǎn)。在點(diǎn)。的左側(cè)）.

（2）點(diǎn)P是直線y=kx+2上方拋物線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)％=2時(shí)，求/XPCD面積的最大值；

（3）若拋物線y=ax2+bx+c與線段AB有公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象請(qǐng)直接寫出k的取值范圍.

題目回］（2024.湖南長沙.一模）如圖，拋物線y=x2-bx+c與力軸交于4（—1,0）,B（m,0）兩點(diǎn)，與沙軸交于

點(diǎn)（7（0,-3）,頂點(diǎn)為。，直線BD交y軸于點(diǎn)E.

—

（1）求拋物線的解析式.

（2）設(shè)點(diǎn)P為線段BD上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與B,。兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作2軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)F,連接

DF,BF,求面積的最大值.

（3）連接CD,在線段BD上是否存在點(diǎn)Q,使得4BDC=NQCE?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說

明理由.

［題目回（2024.江西萍鄉(xiāng).一模）如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與2軸交于力、3兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)。，拋

物線的對(duì)稱軸交，軸于點(diǎn)。.已知4（3,0）,。（0,3）,連接力

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P,使得以A、O、P為頂點(diǎn)的三角形與△03。相似,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)河是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限內(nèi)，連接設(shè)△ACM的面積為S,試求S的最

大值.

題目叵（2024?四川廣元?二模）如圖1,拋物線？=姐2+取+。與2；軸交于4_8兩點(diǎn),且點(diǎn)_8的坐標(biāo)為

（5,0）,與9軸交于點(diǎn)C,該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-4）.

（1）求拋物線和直線BC的解析式.

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)使得△BCM是以BC為底邊的等腰三角形？若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；

若不存在,請(qǐng)說明理由.

MS

(3)如圖2,以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為。5上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接47,求△ACP面積的最大值.

：>目叵(2023?山東青島?中考真題)如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線力。，BD相交于點(diǎn)。，4B=10cm,BD

=4V5cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)入出發(fā)，沿AB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向

勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s.以AP,AQ為鄰邊的平行四邊形APMQ的邊PM■與AC交于點(diǎn)E.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為t(s)(0<±W5),解答下列問題：

(2)連接BE.設(shè)APSB的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；

(3)是否存在某一時(shí)刻3使點(diǎn)B在/PEC的平分線上？若存在，求出力的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

題目應(yīng)(2023?湖南懷化?中考真題)如圖一所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx-8與re軸交于A(

—4,0)、5(2,0)兩點(diǎn)，與"軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，作直線AC,連接P4、PC,求人匕4。面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

(3)設(shè)直線k-.y=kx+k-^-交拋物線于點(diǎn)河、N,求證:無論k為何值，平行于c軸的直線bn=—空上總

存在一點(diǎn)E,使得/MEN為直角.

:題目叵(2024?海南省直轄縣級(jí)單位?一模)如圖，已知拋物線y=ax2+2x+c(aA0),與多軸交于點(diǎn)A(-l,0)

和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,E為拋物線的頂點(diǎn).

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PB、BC,設(shè)氤P的橫坐標(biāo)為t.

①當(dāng)t為何值時(shí)，APB。的面積最大？并求出最大面積；

②當(dāng)t為何值時(shí)，APB。是直角三角形？

⑶如圖2,過E作EF，c軸于尸，若河（館,0）是，軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段EF上一點(diǎn)，若AMNC=90°,請(qǐng)直

接寫出實(shí)數(shù)力的取值范圍.

題目叵（2024.四川成都.一模）如圖，直線夕=—%—4分別交①軸，夕軸于4。兩點(diǎn)，點(diǎn)3在，軸正半軸上.

拋物線沙=5"+歷;+c過A,B,C三點(diǎn)、.

5

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)B作BDHAC交g軸于點(diǎn)。，交拋物線于點(diǎn)F.若點(diǎn)P為直線AC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接

PD交AC于點(diǎn)、E,連接EB，求S^EB的最大值及最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2,將原拋物線進(jìn)行平移,使其頂點(diǎn)為原點(diǎn),進(jìn)而得到新拋物線,直線y=-2c與新拋物線交于O,G

兩點(diǎn),點(diǎn)H是線段OG的中點(diǎn),過H作直線RQ（不與OG重合）與新拋物線交于A,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)Q左

側(cè).直線GR與直線OQ交于點(diǎn)T,點(diǎn)T是否在某條定直線上？若是，請(qǐng)求出該定直線的解析式，若不是，請(qǐng)

說明理由.

【題目也（2024.江蘇蘇州.一模）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2-8ax+10a—1（a＜0）與a;軸的

交點(diǎn)分別為力⑶,0），B（，2,0），其中（0＜電＜，3且48=4,與沙軸的交點(diǎn)為。，直線CD〃2軸，在立軸上

有一動(dòng)點(diǎn)E（t,0）,過點(diǎn)E作直線，，工軸，與拋物線、直線CD的交點(diǎn)分別為P、Q.

??

⑴求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)0Vt48時(shí)，求△4PC面積的最大值；

⑶當(dāng)t>2時(shí),是否存在點(diǎn)P,使以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△03。相似？若存在，求出此時(shí)t的值;若不

存在,請(qǐng)說明理由.

題型02四邊形面積最值問題

［題目口（2024.安徽阜陽.一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與多軸交于A（—1,0）,5（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P,使APAC的周長最小，求APAC的周長的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若河為拋物線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，求出四邊形OCMB的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)”的坐標(biāo).

題目區(qū)（2024.山東臨沂.一模）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-^-x2+bx+c與2軸交于點(diǎn)4-2,0）

和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)。（0,4），點(diǎn)P是直線上方的拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B,。重合），過點(diǎn)P作PD

〃《軸交直線于點(diǎn)。.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求線段PO長的最大值；

（3）連接CP,BP,請(qǐng)直接寫出四邊形ABPC的面積最大值為

【題目區(qū)（2024?山西運(yùn)城?一模）綜合與探究

MS

如圖，拋物線9=遍+碗—3(a#0)與①軸交于A(-L,O)、B兩點(diǎn)，與9軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)。(―2申在拋物線

上，點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ//y軸交直線于點(diǎn)Q,連接P4、PB、QA,設(shè)

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求四邊形PAQB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)若點(diǎn)河是拋物線上任意一點(diǎn),是否存在點(diǎn)使得NMAB=2乙4CO,若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件

的點(diǎn)河的坐標(biāo)，若不存在,請(qǐng)說明理由.

題目可(2024.安徽合肥.一模)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn).拋物線y=<2-+63；-3(<1/0)與2：軸

交于兩點(diǎn)，直線Z："=%2+2與拋物線交于人，。兩點(diǎn)，且人(一1,0),5(3,0).

⑴求a,b,%的值；

(2)點(diǎn)加■是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在c軸上，MN=2,且點(diǎn)N在〃■的左邊.過點(diǎn)“作MP±x軸,交拋物

線于點(diǎn)P.過點(diǎn)N作2軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)Q,交直線I于點(diǎn)R.

①當(dāng)以P,Q,凡M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)”的坐標(biāo).

②記以P,Q,R,Af為頂點(diǎn)的四邊形面積為S,求S的最大值.

題目互)(2024?安徽蚌埠?一模)如圖1,已知直線y=—c+5與坐標(biāo)軸相交于4B,點(diǎn)C坐標(biāo)是(―1,0),拋物

線經(jīng)過三點(diǎn).點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作9軸的平行線,與直線AB交于點(diǎn)。，與立軸相交

于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，連接CP交OA于點(diǎn)E,連接EF,如圖2所示；

①求AE+OF的值；

②設(shè)四邊形AEFB的面積為S,則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在面積S的最大值，若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的

坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說明理由.

題目引(2024.安徽馬鞍山.一模)如圖，過原點(diǎn)的二次函數(shù)v=a:z：2+ba;的圖象與立軸正半軸交于點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)

A的直線與該函數(shù)交于B(l,-3),與y軸交于點(diǎn)0(0,-4).??

（1）分別求此二次函數(shù)與直線AB的解析式.

（2）點(diǎn)P是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)E,與直線AB交于點(diǎn)O,

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為九

①當(dāng)=。時(shí)，求t的值；

②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB下方時(shí)，連接OP,過點(diǎn)口作BQLc軸于點(diǎn)Q,BQ與OP交于點(diǎn)F,連接。F,求四邊

形FQED面積的最大值.

建目⑦（2024.山東濟(jì)南.一模）如圖,直線y=-y?+3交v軸于點(diǎn)A,交c軸于點(diǎn)C,拋物線y=-^-x2+bx+

c經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)C,且交多軸于另一點(diǎn)B.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)河，求四邊形ABCM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）將線段。入繞多軸上的動(dòng)點(diǎn)F（m,0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OA，若線段OA與拋物線只有一個(gè)公共

點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，求7n的取值范圍.

［題目叵）（2024?四川廣元?二模）如圖，二次函數(shù)片Z+bc+c的圖象與c軸交于原點(diǎn)。和點(diǎn)4（4,0）,經(jīng)過

點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)5（1,3）,與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求直線的函數(shù)解析式及點(diǎn)。的坐標(biāo).

（2）點(diǎn)P是拋物線上位于直線AB上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作直線PE±x軸于點(diǎn)E,與直線AB交于點(diǎn)D,

過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)F,連接。P,與BF交于點(diǎn)G,連接。G.求四邊形GDEF面積的最大值.

（3）拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得4BOQ=45°?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

9

［題目回（2024.廣東珠海?一模）如圖,拋物線y=—/+3a;+4和直線沙=2+1交于A（-l,0）,B（3,4）點(diǎn)，點(diǎn)B

在直線c=3上，直線2=3與力軸交于點(diǎn)C.

（1）求的度數(shù).

（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒V2個(gè)單位長度的速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒2個(gè)單

位長度的速度沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)

動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為七秒（t>0）.以PQ為邊作矩形PQNM，使點(diǎn)N在直線①=3上.

①當(dāng)t為何值時(shí)，矩形PQ/W的面積最??？并求出最小面積；

②直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，恰好有矩形PQNM■的頂點(diǎn)落在拋物線上.

［題目［w］（2024.安徽宿州.二模）如圖1,拋物線沙=瀛+碗-3（a,6是常數(shù)且a>0）與多軸交于點(diǎn)4（—1,0）

和點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)人的右側(cè)），點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，CD是拋物線的對(duì)稱軸且交/軸于點(diǎn)。（1,0）.

⑴求a,b的值；

（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)且位于點(diǎn)A和點(diǎn)。之間.

（i）如圖2,連接AP,DP,求四邊形ABDP面積的最大值；

（近）如圖3,連接AP并延長交CD延長線于點(diǎn)Q,連接BP交CD于點(diǎn)、E,求CE+CQ的值.

題目叵（2024?安徽?二模）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx-4交2軸于點(diǎn)4（—1,0）,

B（4,0）,交g軸于點(diǎn)C,點(diǎn)河在該拋物線上，橫坐標(biāo)為小，將該拋物線兩點(diǎn)之間（包括“，。兩點(diǎn)）的部

分記為圖象W.

MS

（1）求拋物線的解析式；

（2）圖象W的最大值與最小值的差為4時(shí)，求小的值；

（3）如圖2,若點(diǎn)“位于下方，過點(diǎn)A作AEII交拋物線于點(diǎn)E,點(diǎn)D為直線AE上一動(dòng)點(diǎn),連接CM,

求四邊形CDBM■面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)河的坐標(biāo).

題目叵1（2024.四川廣安.二榭如圖，拋物線沙=—/+、+c交，軸于江（一4,0）,3兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)。（0,4）.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式.

（2）點(diǎn)D在線段OA上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)D作2軸的垂線,與AC交于點(diǎn)Q,與拋物線交于點(diǎn)P,連接AP、CP,求四

邊形AOCF的面積的最大值.

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A、。、加■為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出

點(diǎn)河的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

題目叵（23—24九年級(jí)上?重慶渝北?期末）二次函數(shù)y=ax^+bx+4經(jīng)過點(diǎn)A（-l,0）,點(diǎn)8（4,0），點(diǎn)C,點(diǎn)D

分別二次函數(shù)與g軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn),點(diǎn)朋■為二次函數(shù)圖象上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

??

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1,連接8C,過點(diǎn)A作的平行線交二次函數(shù)于點(diǎn)E,連接CE.求四邊形CMBE

面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)"■的坐標(biāo)；

（3）如圖2,過點(diǎn)作M7W/沙軸，交BC于點(diǎn)N（點(diǎn)M不與點(diǎn)D重合）,過點(diǎn)D作DH//9軸，交BC于點(diǎn)H,當(dāng)

。河=即￥時(shí)，直接寫出點(diǎn)河的坐標(biāo).

題型03面積比最值問題

題目3ZJ（2024.安徽合肥.一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=a（x+1）（①一4）與c軸交于4

B兩點(diǎn)，與9軸交于點(diǎn)。（0,—2）.

（1）求a的值；

（2）點(diǎn)。為第四象限拋物線上一點(diǎn)

①求ABCD的面積最大值

②連接AO,BC交于點(diǎn)E,連接BD,記&BDE的面積為&,AABE的面積為S2,求熹的最大值；

題目叵（2023?四川遂寧?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=^x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O

（0,0）,對(duì)稱軸過點(diǎn)B（2,0）,直線，過點(diǎn)C（2,-2）,且垂直于沙軸.過點(diǎn)B的直線力交拋物線于點(diǎn)M、N,交直

線，于點(diǎn)Q，其中點(diǎn)河、Q在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè).

4!yk\

■>

X

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,當(dāng)BM-.MQ=3:5時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q恰好在夕軸上時(shí)，P為直線h下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ、P。,其中PO交。于點(diǎn)

E,設(shè)4OQE的面積為8,/\PQE的面積為S2.求年的最大值.

:題目電（2024.湖北省直轄縣級(jí)單位.一模）拋物線y="—4c與直線y=x交于原點(diǎn)。和點(diǎn)B,與2軸交于另

一點(diǎn)頂點(diǎn)為。.??

(1)求出點(diǎn)B和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)如圖①，連接。。，P為c軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)tanAPDO=｝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖②，M是點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為m(0<m<5),

連接MQ,BQ,MQ與直線OB交于點(diǎn)E,設(shè)^BEQ和4BEM的面積分別為S1和S2,求善的最大值.

題目回(2023?湖南永州?中考真題)如圖1,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)F(0,5),頂點(diǎn)坐標(biāo)

⑵如圖1,直線OP：n=迎立交于點(diǎn)G,求要型的最大值：

X1b^BOG

⑶如圖2,四邊形為正方形，P4交g軸于點(diǎn)石，交F/0的延長線于C,且瓦」

求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

彘目叵(2024.四川南充.一模)拋物線y=-^x2+bx+c(6>0)與力軸分別交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的

O

左側(cè))，與沙軸交于點(diǎn)。(0,3),拋物線對(duì)稱軸為，=1,點(diǎn)P是拋物線在第一象限上動(dòng)點(diǎn)，連接CB,PB.

(1)求拋物線和直線BC的解析式；

⑵如圖，連接P4交BC于點(diǎn)朋r，設(shè)A4BM的面積為$,APBM的面積為S2,求告的最小值及此時(shí)點(diǎn)P

的坐標(biāo).

［題目叵(2024?湖北孝感?一模)如圖1,已知拋物線y=ax2+bx+3與①軸交于點(diǎn)A(-l,0),8(3,0)，與沙軸交

于點(diǎn)C,連接60.

(1)求a,6的值及直線BC的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)P是拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn),連接AP交于點(diǎn)E,過P作PF，7軸于點(diǎn)F,交

BC于點(diǎn)、G,

(i)若EP=EG,求點(diǎn)P的坐標(biāo)，

(ii)連接CP,CA,記APGE的面積為$,4ACE的面積為S2,求善的最大值；

(3)如圖2,將拋物線位于加軸下方面的部分不變,位于加軸上方面的部分關(guān)于立軸對(duì)稱，得到新的圖形，將直

線BC向下平移n個(gè)單位,得到直線I，若直線Z與新的圖形有四個(gè)不同交點(diǎn),請(qǐng)直接寫出n的取值范圍.

題型04面積和最值問題

題目工I(2024.吉林長春.一模)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3交2軸于點(diǎn)力(-1,0)、5(3,0)，交

V軸于點(diǎn)。，連結(jié)點(diǎn)。在該拋物線上，過點(diǎn)。作。石〃AC,交直線BC于點(diǎn)E,連結(jié)AD、AE、

BD.設(shè)點(diǎn)。橫坐標(biāo)為機(jī)(機(jī)＞0),/3/出的面積為的面積為S2.

⑴求a,6的值；

(2)設(shè)拋物線上。、B兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分為圖象G,當(dāng)圖象G的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)與小無關(guān)時(shí),求小的

取值范圍；

(3)當(dāng)點(diǎn)。在第一象限時(shí)，求S+S2的最大值；

(4)當(dāng)S：S2=2:1時(shí)，直接寫出小的值.

題型05面積差最值問題

題目曰(2024?安徽合肥?一模)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線，=

2,且與v軸相交于點(diǎn)。（0,5）.

（2）如圖2,點(diǎn)AB在y軸上（B在人的右側(cè)），且。4=亡（0<1<3）,48=1,過點(diǎn)4_8分別作3；軸的垂線交

拋物線于點(diǎn)DE,連接CD,CE,OE,并延長AD交CE于點(diǎn)F.

①求DF的長（用含力的代數(shù)式表示）；

②若△CDF的面積記作的面積記作S?，記S?—S尸S,則S是否有最大值，若有請(qǐng)求出，若沒有，請(qǐng)

說明理由.

［題目區(qū)（2024?安徽