費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)專題突破-2025年中考數(shù)學(xué)原卷版

費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)詳組總it

MB/題型?解讀/

知識(shí)點(diǎn)梳理

【希黑費(fèi)與點(diǎn)】

【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】

I

I

加17滿分?技巧/

知識(shí)點(diǎn)梳理

【常加費(fèi)馬點(diǎn)】

【問題提出】如圖AABC所有的內(nèi)角都小于120度，在A4BC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接P4PB、PC,

當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)，求此時(shí)N4PB與NAPC的度數(shù).

P

BC

【問題處理】如圖1,將AZCP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到則ZV1CP絲CP^CP',AP^A,P,,

又：/PCP'=60°,.?.△PCP'是等邊三角形，:.PP'=PC,：.PA+PB+PC=P,A,+PB+PP,,

如圖2,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、P、P\4共線時(shí)，P4+PB+PC最小，最小值為4B,此時(shí)/BPC=/4PC=/4PB=

120°

【問題歸納】如費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn).費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論：

①對(duì)于一個(gè)各角不超過120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120。的點(diǎn)，所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也叫三

角形的等角中心；

②對(duì)于有一個(gè)角超過120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).

【如何作費(fèi)馬點(diǎn)】如圖3,連接A4，，我們發(fā)現(xiàn)△AC4為等邊三角形，點(diǎn)P在4B上，同理，我們可以得到等邊

△氏4月，點(diǎn)P也在CB，上，因此，我們可以以AABC三角形任意兩邊為邊向外構(gòu)造等邊三角形，相應(yīng)連線的交

點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)。（最大角小于120°時(shí)）

圖3

【例1】如圖，在△4BC中，ZACB=9Q°，AB=AC=\,P是△/BC內(nèi)一點(diǎn)，求為+P2+PC的最小值.

【練習(xí)1】如圖，已知矩形/5CD,/2=4,3C=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為2C邊上任意一點(diǎn)，則M4+MD+ME

的最小值為.

【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】

如果所求最值中三條線段的系數(shù)有不為1的情況，我們把這類問題歸為加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問題，解決方法類似，也

是通過旋轉(zhuǎn)進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，只不過要根據(jù)系數(shù)的情況選擇不同的旋轉(zhuǎn)或放縮方法。

［知一學(xué)系讀】

當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，一般有兩種處理手段，

一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：血對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°,百對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°

另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對(duì)應(yīng)三角形三邊之比

【例3】在等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為4,P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求/尸+5P+J，PC的最小值

【練習(xí)2】在RtZXABC中，ZC=3,比=26，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求4尸+5尸+也尸。的最小值

BCBC

【知二多系讀】

其實(shí)當(dāng)三條線段的三個(gè)系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。

以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對(duì)于給定的系數(shù)，我們?cè)撊绾芜x取旋轉(zhuǎn)

中心呢？我們總結(jié)了以下方法：

1.為最小系數(shù)3NH■外；

2.中國(guó)大小婚系mtor比例；

3.最大系數(shù)事定*修中心（例*最大au^PAir面，或以A為*修中心），關(guān)橋系數(shù)不為1的一條■盤南

在的三角第.

【例3】如圖，在AABC中，//C5=60。，8。=3，/C=4,在AABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接尸4PB,PC,

則（1）!尸/+@尸8+尸。的最小值為_______（2）且尸/+工必+尸。的最小值為________

2222

AA

BCBC

【練習(xí)3】如圖，在△力BC中，/。5=60°，3。=36，/。=6,在448。內(nèi)部有一點(diǎn)「,連接尸4PB,PC,

則2PA+PB+亞PC的最小值為.

曜R(shí)/核心?題型/

普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問題

1.（2021濱州）如圖，在中，NZCB=90。，NA4C=30。，AB=2,點(diǎn)。是內(nèi)一點(diǎn)，則

/%+PB+PC的最小值為.

CA

2.問題背景：如圖1,將△力BC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△力DE,DE與BC交于點(diǎn)P,可推出結(jié)論：PA

+PC=PE.

問題解決：如圖2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4JL點(diǎn)。是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)。到4

MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是

圖2

3.如圖，在△力BC中，ZCAB=9Q°,AB^AC=2,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求雨+PB+PC的最小值.

4.已知，在△力BC中，ZACB=30°,AC=4,4B=J7（C8＞。）點(diǎn)P是AABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則而+PB+PC

的最小值為

A

P

B-C

5.如圖，已知矩形4BCD,4B=4,BC=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則M4+MD+

ME的最小值為.

6.4B、C、。四個(gè)城市恰好為一個(gè)邊長(zhǎng)為2a正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，要建立一個(gè)公路系統(tǒng)使得每?jī)蓚€(gè)城市之

間都有公路相通，并使整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)度CAP+BP+PQ+DQ+CQ）最小，則應(yīng)當(dāng)如何修建？最小

長(zhǎng)度是多少？

2023?隨州中考真題

7.1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)4B,C,求平

面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，

該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)''或"托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角

形的某個(gè)頂點(diǎn))

當(dāng)。的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，如圖1,將△4PC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到A/'P'C,連接PP,

由尸C=PCtNFCP'=60。，可知△PCP為三角形，故PP'=PC,又PA=P4,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當(dāng)B,P,P',4在同一條直線上時(shí)，尸/+尸3+尸。取最小值，如圖2,最小值為43,此時(shí)

的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有N4PC=NBPC=NAPB=；

已知當(dāng)“8C有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).如圖3,若/A4C2120。，

則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn).

(2)如圖4,在△48c中，三個(gè)內(nèi)角均小于120。，且/。=摘8。=4食/4C3=30°,已知點(diǎn)P為。8c的“費(fèi)

馬點(diǎn)“，求尸/+必+尸C的值；

(3)如圖5,設(shè)村莊4B,C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知/。=41<111食3。=2收01食44。3=60。.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向4B,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊4B,C的鋪設(shè)成本分別為a

元/km,a元/km,J5a元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.(結(jié)果

用含a的式子表示)

廣東省江門市一模

8.如圖，在“3C中，NBAC=90°,AB=5,AC=，點(diǎn)尸為“8C內(nèi)部一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到。BC三個(gè)頂點(diǎn)

之和的最小值是

武漢中考

9.問題背景：如圖1,將△N8C繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△/￡>￡,DE與BC交于點(diǎn)、P,可推出結(jié)論:

PA+PC=PE.

問題解決：如圖2,在△"、心中，MN=6,ZM=75°,MG=4枝,點(diǎn)。是△"△心內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)。到

三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是

圖1圖2

2023?四川宜賓?中考真題

10.如圖，拋物線了=/+反+0經(jīng)過點(diǎn)/（-3,0）,頂點(diǎn)為又（-1,間，且拋物線與y軸的交點(diǎn)B在（0,-2）和

（0，-3）之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：

③當(dāng)-3VxVl時(shí)，y<0；②當(dāng)5M的面積為主叵時(shí)，a=--,

22

③當(dāng)為直角三角形時(shí)，在“。8內(nèi)存在唯一點(diǎn)P,

使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方為18+9石.

其中正確的結(jié)論是.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

一題四問，從特殊到一般

11.背景資料：在已知“BC所在平面上求一點(diǎn)尸，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是

法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)如圖

1,當(dāng)“3C三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在AA8C內(nèi)部，當(dāng)//必=/4?。=/。％=120。時(shí)，則

P/+P5+PC取得最小值.

(1)如圖2,等邊“8C內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)/、B、C的距離分別為3,4,5,求//P8的度數(shù)，為

了解決本題，我們可以將A/BP繞頂點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到△NCP處，此時(shí)A/CP'WA/8尸這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段P4、PB、尸C轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出44PB=；

知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與“8。的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)同學(xué)們探索以下問

題.

(2)如圖3,“3C三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在“3C外側(cè)作等邊三角形“班'，連接C5',求證：CB'^^ABC

的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)如圖4,在A7\48C中，ZC=90°,NC=1,N/BC=30。，點(diǎn)尸為AA8C的費(fèi)馬點(diǎn)，連接4P、8P、CP,

求尸/+尸3+尸。的值.

(4)如圖5,在正方形中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接NE、BE、CE,且邊長(zhǎng)/3=2；求AE+BE+CE

的最小值.

加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?單系數(shù)型

2023?武漢?慧泉中學(xué)校月考

3

12.如圖，RtZi/BC中，/CAB=30。,BC=~,點(diǎn)尸為內(nèi)一點(diǎn)，連接PA,PB,PC,則尸。+尸8+有川

的最小值為.

西安市鐵一中二模

13.已知，如圖在中，//C5=30。，BC=5,/C=6,在AA8C內(nèi)部有一點(diǎn)。，連接則

DA+DB+逝DC的最小值是?

2023?成都市鄲都區(qū)中考二模

14.如圖，矩形/BCD中，48=2,BC=3,點(diǎn)E是N3的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是8C邊上一動(dòng)點(diǎn).將N3EF沿著E尸

翻折，使得點(diǎn)5落在點(diǎn)皮處，若點(diǎn)P是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PD,則近尸C+PD的最

小值為.

加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?多系數(shù)型

15.在邊長(zhǎng)為4的正△力BC中有一點(diǎn)P,連接24、PB、PC,求（工力P+BP+@PC）?的最小值

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16.在等邊三角形ABC