高二年級(jí)下冊(cè)期中復(fù)習(xí)題（解析版）-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)（人教A版選擇性必修第三冊(cè)）

2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中復(fù)習(xí)真題精選（壓軸65題13類題型專

練）

【人教A版（2019）］

題型歸納

■題型2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)（方程根）

題型1兩條切線平行、垂直、公切線問(wèn)題

題型4利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題

題型3導(dǎo)數(shù)中的不等式問(wèn)題

題型6涂色問(wèn)題

題型5導(dǎo)數(shù)中的新定義問(wèn)題

壓軸?題型歸納—題型8二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

題型7排列］、組合綜合

題型10條件概率與全概率公式

題型9楊輝三角問(wèn)題

題型12』分布與胡何分布綜合

題型U期望、方差的綜合應(yīng)用

題型13正態(tài)分布及其綜合應(yīng)用

兩條切線平行、垂直、公切線問(wèn)題（共5小題）。|

1.（23-24高二下?安徽合肥?期中）若曲線y=/-aln%在點(diǎn)處的切線與直線丫=》一2垂直，則實(shí)數(shù)。

的值為（）

A.1B.V5C.2D.3

【解題思路】求導(dǎo)曠=2%-￡,=2-Q與直線y=%-2垂直，求出。的值.

【解答過(guò)程】由y=%2-0n%,求導(dǎo)曠=2%-三，

則y=%2-qinx在點(diǎn)處的切線的斜率為y1%=i=2-a,

而y=/-ain%在點(diǎn)處的切線與直線y=第一2垂直，

貝！J2—。=-1,故Q=3.

故選：D.

2.（23-24高二下?四川綿陽(yáng)?期中）若直線y=kx+b是曲線y=Inx+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切

線，貝妹=（）

A.2B.3C.1D.1.5

【解題思路】設(shè)切點(diǎn)分別為（%i,ln%i+2）、（%2Jn（%2+1））,根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義及公切線列方程求參數(shù)值即可.

【解答過(guò)程】若f(%)=In%+2,則r(%)=:且%>0,

若g(%)=ln(%+1),則4(%)=*,且%>-1,

又y=kx+b是/(%)=In%+2、g(%)=ln(x+1)的公切線，

設(shè)切點(diǎn)分別為+2)、(%21n(%2+1))，則/(%1)=9'(%2)=匕

kxi+b=ln%i+2

kx2+b=ln(x2+1),則｛女(％1一%2)=ln%i+2—ln(x2+1),即k?

x1x2+l

故選：A.

3.(23-24高二下?遼寧沈陽(yáng)?期中)對(duì)于三次函數(shù)/(x),若y=/(x)在(0,0)處的切線與g(x)=x/(x)在(1,2)

處的切線重合，則下列命題中真命題的為()

A.1(x)=2B.尸(1)=0C./⑶為奇函數(shù)D./(久)圖象關(guān)于對(duì)稱

【解題思路】根據(jù)題意設(shè)出三次函數(shù)的解析式/(久)=久2+c%+40),由題意(0,0)在/(x)上得

d=0,切線經(jīng)過(guò)(0,0)與(1,2)得k=2,對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，把x=0代入得

c=2,再求出函數(shù)g(x),由g⑴與歐1)得a與b,即可得到三次函數(shù)/(%)的解析式,即可判斷選項(xiàng)A、B、

C,在驗(yàn)證/⑺+/67—%)=蒜44即可判斷選項(xiàng)D.

【解答過(guò)程】設(shè)三次函數(shù)/(x)=ax3+bx2+cx4-d(a豐0)

???(0,0)在f(%)上

f(0)=d=0

???切線經(jīng)過(guò)(0,0)與(1,2),故切線斜率為卜=存=2

「(%)=3ax2+2b%+c

f(0)=c=2

g(x)=x/(x)=ax4+bx3+2x2,g(l)=a+b+2=2

=4a%3+3bx2+4x,g'(l)=4a+3b+4=2

(a+b+2=2(CL=-2

(4a+3b+4=2=Ib=2

/(%)=-2x3+2x2+2x

/(%)=-6x2+4x+2

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

f(l)=0,故選項(xiàng)B正確；

/(%)=-/(-%),故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

/(|-x)=2X3-2X2-X+署

244

/(久)+/(目-%)=方

故/(%)圖象關(guān)于G，If)對(duì)稱，即選項(xiàng)D正確.

故選：BD.

4.⑵-24高二下?湖北武漢?期中)已知直線y=kx+b是曲線f(x)=e，T與灰x)=e'+2023—2024的公切線,

則卜=1.

【解題思路】設(shè)出公切線與兩曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出在切點(diǎn)處的切線方程，利用斜率相等及切線在y軸

上的截距相等即可求解.

【解答過(guò)程】設(shè)直線y=kx+6與/(%)的圖象相切于點(diǎn)Pi(Xi,yi)

與/CO的圖象相切于點(diǎn)「2(尤222)，

x+2023X11Xz+2023

又「'(x)=e*T,g'(x)=e,且Vi=e~,y2=e—2024.

曲線y=/(x)在點(diǎn)^1(X1，71)處的切線方程為y—eXi-i=6犯-1(尤_巧)，

2023+2023

曲線y=g(x)在點(diǎn)P2(x2,y2)處的切線方程為y-e^++2024=e^(x-x2).

x+2O23x+2O23

故上對(duì)一1一%1/-1=e^-x2e^-2024'

解得%1-x2=2024,

當(dāng)一。即一眇

2_1-12+2023+20241

X1~x2~2024—

故答案為：1.

5.(23-24高二下?北京?期中)已知函數(shù)/(%)=%3-2%+2.

⑴求函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,2］上的平均變化率；

(2)設(shè)g(x)=2x+g若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1/(1))處的切線與曲線y=g(x)在點(diǎn)(l,g(l))處的切線平行，求實(shí)

數(shù)k的值；

(3)求過(guò)點(diǎn)(2/(2))且與曲線y=/(久)相切的直線方程.

【解題思路】(1)根據(jù)平均變化率公式，即可求解；

(2)利用導(dǎo)數(shù)求的幾何意義求切線斜率，利用斜率相等，即可求解；

(3)首先設(shè)切點(diǎn)(久°,就-2配+2),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.

【解答過(guò)程】(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為%鏟=9=2；

(2)/(x)=%3—2%+2,//(x)=3x2—2,//(l)=1,

kk

5(%)=2%+-,夕(%)=2—至，，⑴=2-憶

由題意可知，2-k=1,得k=1；

(3)/(2)=6,設(shè)切點(diǎn)為(%(),就-2%o+2),/(久0)=3就-2,

則曲線y=/(%)在點(diǎn)(%。潟-2%o+2)處的切線方程為y-(■一2%o+2)=(3就一2)(%-%()),切線過(guò)點(diǎn)(2,6),

則6-(焉一2%o+2)=(3舄-2)(2-久0),化簡(jiǎn)為就一3就+4=0,

BP(%o—2)(%Q—%o—2)=。，則(%。-2)2(%。+1)=0,

得％o=2或％o=-1,

當(dāng)?shù)?=2時(shí)，切線方程為y=10%—14,

當(dāng)配=一1時(shí)，切線方程為y=%+4,

綜上可知，切線方程為y=10%-14或y=%+4.

題型2利用導(dǎo)致研究函數(shù)零點(diǎn)(方程根)(共5小題)

1.(23-24高二下?天津?期中)若函數(shù)/(久戶兒；葬陶恰好有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.(1,+oo)B.(0,2)U{—2}C.(2,3)D.[2,3)

【解題思路】由題意轉(zhuǎn)化為y=a與g(x)=<0)和%(%)=厘+2(x>0)共有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研

究單調(diào)性極值，數(shù)形結(jié)合得解.

【解答過(guò)程】因?yàn)?(0)=-1力0,所以x=。不是/(x)的零點(diǎn)，

，—X—1,xJ<C0

,X

當(dāng)久時(shí)，令/(%)=0,得。=lnx+1.、八

-----F2o,x>0

-X

令g(x)=-x-^x<o)，

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得g(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g(-l)=2,

令h(x)=W^+2(x>0),

則人⑺=」(黑+1)=要,當(dāng)xe(0,1)時(shí)，h'(x)>G,當(dāng)xe(i,+8)時(shí)，〃(x)<0,

所以/i(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減，h(x)max=h(l)=3,

且當(dāng)%趨近正無(wú)窮時(shí)，h(%)趨近2,如圖所示，

—x—%<0

lnx+1J：八的圖象有且僅有四個(gè)交點(diǎn)，

-----F2,%>0

IX

此時(shí)函數(shù)/(%)恰好有四個(gè)零點(diǎn).

故選：C.

2.(23-24高二下?山東日照?期中)已知函數(shù)/(%)=%2已2久+(Q_i)%a+l-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)％其

中％1V%2<%3，貝久1)(1一%2心2)(1—％3。久3)2的值為()

A.1B.CL—1C.-1D.1-a

【解題思路】令1=乂/,求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，畫(huà)出圖象，從而考慮/+(a—l)t+l—a=0有兩個(gè)不同的根，

xx

從而可得a<—3或a>1,結(jié)合圖象可得》送巧=tr,x2e--t2,x3e--t3,結(jié)合韋達(dá)定理即可得到所求值.

【解答過(guò)程】令《=冊(cè)。則噌=(%+l)eX,故當(dāng)%>-1時(shí)，〃>0,當(dāng)％<-1時(shí)，〃<0,

所以函數(shù)"xe”在(-1,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,-1)上單調(diào)遞減，且在"=1處取得極小值-《，

當(dāng)％-?-8,1-0,+00,+00,所以函數(shù)力=的圖象如圖所示，

由/(%)=0可化為/+(a-l)t+l-a=0,結(jié)合圖象可知方程/+(a-l)t+1-a=。有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

故△=(@-1)2-4(1-0)>0=>。<-3或。>1,不妨設(shè)方程的兩根為G，以，

若aV—3,+以=1—a>4,=1—。>4,所以ti>。,以>0，

由圖象易知f(%)=〃/(%)=以共有兩個(gè)根，故不成立；

若則方程的兩根為一正一負(fù)，不妨設(shè)力1<。<七2，

X1X2X3

結(jié)合t=%e尢的性質(zhì)可得，%ie=tlfx2e=t2/x3e=t3,

2

故(1一％1a】)(1一%20)(1一%3白)2=(l-tl)(l-tl)(l-t2)=[l-(ti+以)+：也]2,

又因?yàn)槠?七2=1—dfG+以=1—a,所以(1—%遇久1)(1—%2眇2)(1—%3e"3)2-(l—i+a+1—a)2=1.

故選：A.

3.(23-24高二下?福建福州?期中)己知函數(shù)/'(久)=ax3-6ax2+l(aH0)有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)分別為

%1,冷,無(wú)3，則()

A.a的范圍是(一8,圭)B.a的范圍是(2,+8)

X-x

C.%1%23=1D.%1+X2+3=6

【解題思路】求出分a<0、a>0討論，利用導(dǎo)數(shù)求出極值可判斷AB；利用f(x)=a(x—x1)(x-x2)

32

(x-x3)=ax-6ax+1可判斷CD.

【解答過(guò)程】r(x)=3ax2-12ax=3ax(尤一4)(a力0),

令((x)=0,解得久=0或x=4,

當(dāng)a<0時(shí)，

當(dāng)xe(4,+8)時(shí)，f'(x)<0,7'(*)單調(diào)遞減，

當(dāng)%￡(一8,0)時(shí),f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x6(0,4)時(shí)，//(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以/'(0)極小值=1>0,/(4)極大值=64a—96a+1=1—32a>0,

此時(shí)函數(shù)fo)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，

當(dāng)％6(4,+8)時(shí),((久)>0,f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x6(—8,0)時(shí)，((x)>0,打乂)單調(diào)遞增，

當(dāng)x6(0,4)時(shí),f(%)<0,/(x)單調(diào)遞減，/(0)極大值=1>0,

要使f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則

-1

/4)極小值=64。-96。+1=1-32。<°，解得a>豆，故A錯(cuò)誤，B正確；

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=ax3-6ax2+1(。。0)有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)分別為久112X3，

則/(%)=。(％-第1)(%-%2)(%一汽3)

=a%3—a(%x+%2+%3)%2+a(%i%3+xlx2+%2%3)%—

=a%3—6a%2+1

即有一。％1%2汽3=1，+%2+%3=6,X1X3+%1%2+X2X3=。，

故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：BD.

4.(23-24高二下?上海?期中)已知函數(shù)/(x)=3(7+(a2-1送+1—有三個(gè)不同的零點(diǎn)％1,比2,冷，其中

久1<冷(久3則(1—言?(I—言)(「,)的值為_(kāi)L.

【解題思路】令卷=t,則原函數(shù)會(huì)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程的根，通過(guò)韋達(dá)定理確定根的情況，同時(shí)研

究?jī)?nèi)層函數(shù)g(x)=卷的圖象，數(shù)形結(jié)合研究零點(diǎn)的范圍.

【解答過(guò)程】設(shè)90)=~

g'(x)=--

當(dāng)“<1時(shí),g'(x)>0；

當(dāng)%>1時(shí)，g'(x)<0,

故0(%)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

且%>0時(shí)，g(%)>0；]<0時(shí)，g(x)<0,

1

???9(X)max=9(1)=]

作出g(%)的圖象，如圖

要使/'0:)=3?+缶2-1送+1-小有三個(gè)不同的零點(diǎn)久[如知其中

令卷=t,貝⑶2+(小-1”+1一(12=0需要有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根五/2(其中五<12)

1—a2..1—a2

可得力1+基=

%<%曲<0，KlJt2G(o,1)

.-.ti<o<t2<p則x1<。<刀2<1<%3，且g(%2)=g(%3)=勿

222

??.(1-舒)2(1—為(1—言)=(i-tl)(i-t2)=[1-&+t2)+tit2]=(1-亨+亨)，1,

故答案為：1.

5.(23-24高二下?湖北武漢?期中)設(shè)函數(shù)/O)=lnx+NaeR).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(久)有兩個(gè)零點(diǎn)應(yīng)，X2，

①求。的取值范圍；

②證明：2a<乂1+久2VL

【解題思路】(1)(1)對(duì)/(%)求導(dǎo)數(shù)，分aW0和a>0兩類情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)由(1)得a的取值范圍，構(gòu)造g(x)=/(2a-x)-/(x),證明不等式小+冷>2a,

通過(guò)證明ln(xi+冷)<0，證明+x2<l.

n1ny-n

【解答過(guò)程】(1)由/(%)=ln%+?%>0,可得/(%)=嚏一哀=WT，x>°

當(dāng)a40時(shí),/'(%)>0,所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，令廣(x)=菱:>0,得％,a,令/'(%)=得0VxVa,

所以/(%)在(0,a)單調(diào)遞減，在(%+8)單調(diào)遞增；

(2)①因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=ln%+?有兩個(gè)零點(diǎn)，由(1)得Q>0,

此時(shí)/(、)的遞增區(qū)間為(見(jiàn)+8),遞減區(qū)間為(0,a),/(%)有極小值/(a)=Ina+1

當(dāng)％10,/(%)-?+00,當(dāng)f(a)=Ina+1<0,/(%)在(0,a)上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)％T+00,f(x)T+00,當(dāng)/(a)=Ina+1<0,/(%)在(a,+8)上有一個(gè)零點(diǎn)，

所以由f(a)=Ina+1<0可得0Va

②證明：由(1)可得/(%)的極小值點(diǎn)為％=Q,貝!J不妨設(shè)0V%iVaV%2.

設(shè)9(%)=/(2a-x)-f(x)=ln(2a-x)+^￡^-lnx-pxG(0,a),

―rzR，/、—1—Q1a4a(x—

可指g(%)=五三一標(biāo)7一嚏+與=*(2ar)z>°，X6(0>a)>

所以9(%)在(0,a)上單調(diào)遞增，所以0(%)<g(a)=0，

即/(2a—%)—/(x)<0,則f(2a—x)<f(x),x6(0,a),

所以當(dāng)0<Va<%2時(shí)，2a-x1>a,且/(2。一打)</(%i)=/(%2)?

因?yàn)楫?dāng)久W(a,+co)時(shí)，/(%)單調(diào)遞增，所以2a-%iV%2，即久I+%2>2Q

ln%i+—=0,|nxx

設(shè)％2=垃1，t>l,貝!li則B=即ln%i=tln%2=tin垃1=+ln￡).

LLLXO----U,,nx24i

%2

所以ln%i=-詈，ln(%i4-%2)=+1)=Inxi+ln(t+1)=一詈+ln(t+1)=七卜(：1)若

設(shè)無(wú)?)=若，則〃(。=宗”<3所以在(1,+8)上單調(diào)遞減,

所以四等〈日，所以也(刈+犯)<0,即/+%2<1.

綜上，2aV%i+%2Vl.

題型3\導(dǎo)數(shù)中的不等式問(wèn)題(共5小題)

1.(23-24高二下?湖北?期中)對(duì)任意的xe，，+8),不等式2ae2ax-ex(21nx+1)N0恒成立，則正實(shí)數(shù)a

的最小值為()

21

A.eB,1C.斯D.正

【解題思路】由題意得2"e2axNe/ln(ex2),令-%)=%/,研究其單調(diào)性，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a2寫(xiě)H亙成

立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)。(%)=堤上，通過(guò)求導(dǎo)求解函數(shù)最值求解.

【解答過(guò)程】2ae2ax-ex(21nx+1)>0恒成立，*,-2axe2ax-ex2ln(ex2)>0恒成立，

2axe2ax>e%21n(e/)恒成立，

令/(%)=%e%，/X%)=(%+l)ex,當(dāng)％€+8)時(shí)，/(工)>0,/(%)單調(diào)遞增.

由2axe2ax>ex2ln(ex2),即/(2a%)>/(ln(e%2)),

,."(%)在％E[i,+8)為增函數(shù)，且ln(e/)>-1,

???2ax>ln(ex2)=(21nx+1)恒成立，

。之嚶恒成立，令g(%)=上普，

則0(%)=2—41nx1—21nx

4N2%2

1

當(dāng)xe(言強(qiáng)時(shí)0(X)>0,xG(Ve,+8)時(shí)，g,(x)<0,

g(x)在E，點(diǎn))單調(diào)遞增，(Ve,+8)單調(diào)遞減,

???5Wmax=5(Ve)=■-a>^=,

1

即正實(shí)數(shù)a的最小值為云.

Ve

故選：D.

2.(23-24高二下?福建泉州?期中)已知函數(shù)/0)=奈若不等式/⑺—a(x+l)>0的解集中有且僅有一個(gè)

整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.B.DD島

【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出函數(shù)/(x)的大致圖象，由/(*)-a(x+1)>0僅

有一個(gè)整數(shù)解，得/(X)>a(x+1)只有一個(gè)整數(shù)解，再結(jié)合圖象即可得解.

【解答過(guò)程】尸(乃=燮,

當(dāng)％<1時(shí)，r(x)>0,當(dāng)久>1時(shí)，f(x)<0,

所以f(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減，

1

所以/'(X)max=/(l)=)

又當(dāng)XT-8時(shí)，/(%)-?-00,當(dāng)XT+8時(shí)，>0且/■(%)->(),

作出y=/'(%)的函數(shù)圖象如圖所示：

由f(x)-a(x+1)>0僅有一個(gè)整數(shù)解，

得f(x)>a(x+1)只有一個(gè)整數(shù)解，

設(shè)g(x)=a(x+1),由圖象可知：

當(dāng)aWO時(shí)，/(x)>g(x)在(0,+8)上恒成立，不符合題意，

當(dāng)a>0時(shí)，若外幻>9(久)只有1個(gè)整數(shù)解，則此整數(shù)解必為1,

1

>

-2l

獷以

即6<<-

2--a

<Q

--2e

e2

故選：D.

3.(23-24高二下?內(nèi)蒙古?期中)已知函數(shù)f(X)=?,gQ)=e2x—/—a+l,若/"(x)<g(x)對(duì)任意的久>0成

立，則a的取值可能是()

A.1B.eC.3D.e+1

【解題思路】根據(jù)已知不等式進(jìn)行常變量分離，得到工,觀察分母，聯(lián)想不等式e，2久+1,結(jié)合

X

指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行放縮進(jìn)行求解即可..

【解答過(guò)程】由題意可得等-a+l(x>0),

則。<土*+7

X

設(shè)/i(x)=ex—%—1,則廳(%)=ex—1.

由加(%)>0,得％>0,由得久V0,則%(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減,

在(0,+8)上單調(diào)遞增，故九(汽)之h(0)=0,即e'之久+1.

因?yàn)椋?久=elnx?e2x=elnx+2x,所以％e2T>Inx+2%+1,

當(dāng)且僅當(dāng)In%+2%=0時(shí)，等號(hào)成立，

則xeZ*T：+x-l2lnx+2x+l；lnx+x-l=3故。<3.

故選：AB.

4.(23-24高二下?四川綿陽(yáng)?期中)已知函數(shù)/(x)=eX(x+a)-l,存在&e[0,+8),使得/(孫)<0成立,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【解題思路】分離參數(shù)得。<白-祀，令均利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可

【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)=eX(x+a)-l,由/'(%o)<0,得+a)-l<0,

即。<白一"o’

設(shè)g(E)=、一比，則g'(x)=-^-1=_g+1)<0，

所以函數(shù)g(x)在[0,+8)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值，最大值為g(0)=l,

即實(shí)數(shù)。取值范圍為(-8,1),

故答案為：(—8,1).

5.(23-24高二下?山東?期中)已知函數(shù)/(X)=ae'-lnx.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求/'(久)在x=1處的切線方程；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，證明：/(x)>2；

(3)若/■(>)>e+1恒成立，求a的取值范圍.

【解題思路】(1)求導(dǎo)，由點(diǎn)斜式方程即可求解，

⑵方法一：對(duì)/'(X)求導(dǎo)，可得單調(diào)性，進(jìn)而得最小值/'(均)=e*Tnxo=e*。+xo=卷+xo>2求解，

方法二：分別利用導(dǎo)數(shù)求證e，>x+l和InxWx-1,即可由不等式的性質(zhì)求解，

(3)分離參數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a2(吟胃)，令F(x)=W2,即可利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性得最值求解，或

emaxe

、111

者由分離討論得a>0時(shí)，/(x)min=/(孫)=a-eXo-lnxo=--lnx，進(jìn)而構(gòu)造F(x)=;Tnx,G(x)=—,

“00XXc

由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性求解.

【解答過(guò)程】(1)由/(*)=—Inx得尸(X)=—，

故/⑴=0,r(i)=-1,

所以切線方程為y—0=—(久—1),即y=—x+1.

1

(2)方法1：/(%)=ex-lnx,定義域?yàn)?0,+8),p(x)=ex--,

由于函數(shù)y=ex,y=均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以((%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

/'(!)=V^-2<0,廣⑴=e-l>0,

所以存在唯一為e(i1),使得廣(久o)=e*。—/=0,

當(dāng)0V%<%0時(shí)，/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)久>%0時(shí)，r(x)>0,/(%)單調(diào)遞增.

1

所以當(dāng)％=%o時(shí)，/(%)取最小值/(%o)=ex°-lnx=ex°-lne-x°=ex°+x=~+>2.

00%o

因此/(%)>2；

方法2/(%)=ex-lnx,定義域?yàn)?0,+8),

令9(%)=e"—%-1，g'(%)=e"-l，

當(dāng)久>0時(shí)，g'[x)>0,g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,g(%)>g(O)=O,

所以當(dāng)久>0時(shí)，ex>x+1.

令h(%)=Inx—x+1,〃(%)=~1=

當(dāng)ov%<i時(shí)，九3>。，九(%)在(0,1)單調(diào)遞增;

當(dāng)%>1時(shí)，/(%)<0,九(%)在(1,+8)單調(diào)遞減.

所以九(%)<九(1)=0,所以In%4%-1.

因此/(%)>(x+1)—(X—1)=2.

(3)方法1：因?yàn)?(x)=a-ex—lnx2e+l恒成立，所以a2(吟龍)

emax

令尸(無(wú))=呵詈1,則F，(尤)=上與!二，

因?yàn)镚(x)=[-lnx-e-1在(0,+8)上單調(diào)遞減，且G(1)=0,

所以當(dāng)0<x<：時(shí)，F(xiàn)(x)>0,F(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，F(xiàn)'[x)<0,F(x)單調(diào)遞減.

所以FQOmax=呢)=3=e1"7-

11

因此。之6二.

方法2：定義域?yàn)?0,+8),/'(%)=a-ex-|,

當(dāng)QMO時(shí)，/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，%f+8,y(x)^-oo,此時(shí)不成立；

1

當(dāng)Q>0時(shí)，)7=。，眇,'=-1均在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，%T0+，尸(%)-—

00；X->+00,/'(%)7+8,

1

所以存在Xoe(0,+00),使得/(攵0)=a-ex°--=0,

當(dāng)O<x<Xo時(shí)，r(x)<o,f(x)在(O,*o)單調(diào)遞減；當(dāng)x>Xo時(shí)，f'(x)>0,f(x)在(比,+oo)單調(diào)遞增.

1

所以/'(x)min=fOo)=a-eXo-lnx=--lnx

0人00

1

因?yàn)楹瘮?shù)F(%)=(-1口%在(0,+8)上單調(diào)遞減，

11

所以由;一Inxo2e+1得，0<xT

“00e

11

因?yàn)椤?短不所以令G(x)==，

則G'O)=-與翳<0,所以G(x)在(0;1)上單調(diào)遞減,

1.1

所以。之士，即a2Fe.

題型4利用導(dǎo)致研究雙變量問(wèn)題(共5小題)

1.(23-24高二下?湖南?期中)已知。也產(chǎn))，過(guò)點(diǎn)P可作曲線/(K)=X—Inx的兩條切線，切點(diǎn)為(省,/。。)，

(x2,/(x2)).求(三二了一1]的取值范圍()

A.(-1,0)B.[-1,0)C.(-2,-1)D.[-2,-1)

【解題思路】先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線方程，參變分離得方程1+1-產(chǎn)=:+111%有兩不

同解%,%2，構(gòu)造函數(shù)g(x)=：+Inx,判定其單調(diào)性求其最小值，化為解嚴(yán)一<：+111?:<0,構(gòu)造函數(shù)/1?)=12

-t+lnt,判定其單調(diào)性從而解得0<t<l.化簡(jiǎn)待求式得勺刀2四*i|=-如即可得結(jié)果.

LX1—X2」

1

【解答過(guò)程】因?yàn)?0：)=1-7設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為Oo,Xo—lnKo),

則曲線在該點(diǎn)處的切線方程為：y=(l-^)(x-xo)+%o-ln%o.

又P(t/2)在切線上，即t2=(l--i-^(t-x0)+%o-lnxo=t-^+l-ln%0>

則方程t+1-仔=：+Inx有兩不同解巧,刀2，

令9(%)=~+lnx,g'(x)=—,xG(0,+oo),

易知tWO時(shí)，g(x)單調(diào)遞增不合理，故t>0.

當(dāng)t>0時(shí)，g'(t)=0,當(dāng)xe(O,t)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，xe(t,+8)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，故g(t)為極小值；

要使t+1-尸=(+Inx有兩解，貝!|t+1-/>g(t),gpt2-t+int<0,

令h(t)=t2-t+\nt,h'(t)=2t-l+1>2V2-1>O,h(t)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)椋?1)=0,所以0<t<l.

易知血血〕小比3-1］=打冷理汩嗎，

LXi—%2」LX1—%2」

又因?yàn)闉榉匠蘴+1-t2=g+lnx的解，故有F+lnxi=：+lnx2，

X人142

代入可得X62［嚎詈］=-t,故所求取值范圍為(-1,0).

故選：A.

2.(23-24高二下?四川眉山?期中)已知函數(shù)/■(>)=9+a久有兩個(gè)零點(diǎn)％1，X2，且久1>冷，則下列說(shuō)法不正

確的是()

A.a<-eB.亞+亞>InQjx?)+2

C.%i%2>1D./(久)有極小值點(diǎn)

【解題思路】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的極小值，根據(jù)極小值小于0,判斷A；根

據(jù)方程，指對(duì)互化，判斷B；根據(jù)極值點(diǎn)的位置，結(jié)合/(0)>0,即可判斷C；根據(jù)A的判斷，即可判斷

D.

【解答過(guò)程】由題意，函數(shù)〃x)=e*+ax,則r(x)=ex+a,

當(dāng)a20時(shí)，/(琦=廿+￡1>0在區(qū)上恒成立，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，不符合題意；

當(dāng)a<0時(shí)，令/(%)=e*+a>0,解得%>ln(-a),令((x)=e*+a<0,解得x<ln(-a),

所以函數(shù)fo)在(-8,ln(-a))上單調(diào)遞減，在(In(-a),+8)上單調(diào)遞增，

x

因?yàn)楹瘮?shù)/'(X)=e+ax有兩個(gè)零點(diǎn)且>x2,

對(duì)A,則/'(In(-a))=einD+aln(—a)--a+aln(-a)=—a(l—ln(—a))<0,且a<0,

所以lTn(-a)<0,解得a<-e,所以A正確；

X2

對(duì)B,a<-e,且e*i+axi=0,e+ax2=0,故Xi=In(-ax。，x2=ln(-ax2),

2

所以+x2=ln(ax1x2)=21n(-a)+ln(”2)>24-ln(xi%2)，所以B正確；

對(duì)C,由f(0)=l>0,且由A可知，a〈一e,ln(-a)>1,貝!|0<久2<1，但尤2>1不能確定，

所以C不正確；

對(duì)D,由函數(shù)f(x)在(一8,ln(-a))上單調(diào)遞減，在(ln(-a),+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為久o=ln(-a),所以D正確；

故選：C.

3.(23-24高二下?湖北武漢?期中)已知函數(shù)/'(久)=xlnK-久與y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)分別為

(^1,71);(久2,丫2)(X1<%2))下列說(shuō)法正確的有()

A./(均在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增

B.a的取值范圍為(一1,0]

C.x2—x1>ae+e

D.%2—V2a+e+&

【解題思路】根據(jù)題意求出函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間最值從而可對(duì)A、B判斷；然后利用零點(diǎn)附近的割線、切線,

構(gòu)造函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)從而可對(duì)C、D判斷求解.

【解答過(guò)程】由題意可知/'(%)=xlnx-x定義域?yàn)?0,+8),f'(xl=Inx+1-1=Inx,

對(duì)A：當(dāng)xe(0,1)時(shí)，/(x)<0，/(%)在區(qū)間xe(0,1)單調(diào)遞減，

當(dāng)久6(1,+8)時(shí)，尸(%)>0,/(%)在區(qū)間xe(1,+oo)單調(diào)遞增，故A正確；

對(duì)B：由A知當(dāng)x=l時(shí)，f(>)取到極小值也是最小值/(1)=-1,由題值/(%)與y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

令/'(%)=(),得％=0或%=6,所以當(dāng)x-0,當(dāng)％e(l,e)時(shí)，/(x)單調(diào)遞增

所以f(e)=0>a>f(x)min=f(l)=-l，所以a的取值范圍為(-1,0)，故B錯(cuò)誤.

對(duì)C：由/(X)的最小值點(diǎn)(1,—1),所以過(guò)點(diǎn)(0,0),(1,—1)的直線為丫=—x=p(X),

令。(x)=p(x)-/(x)=-xlnx,x€(0,1),夕(x)=-1-lnx

當(dāng)xe(0,3，夕(>)>0,當(dāng)xeg,l),夕(切<0,

所以火工)在(o,9單調(diào)遞增，在&,1)單調(diào)遞減，

0(|)=1，6(1)=0,所以0(%)=p(x)-/(x)>0在(0,1)恒成立，

所以直線y=—久與y=。的交點(diǎn)為％3=-a>x1；

設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,一1),(e,0)的直線為y=*](%-e)=q(%),

令3(%)=q(x)—/(%)=—[(x-e)—xinx+%,xE(l,e),

則3(%)=q(%)—/(%)=普一1口%-1,當(dāng)％￡(l,e),a'(%)<0,

所以3(%)在(Le)單調(diào)遞減，又因?yàn)?(e)=0,所以磯久)=觀%)-/(%)>0在(1￡)恒成立，

所以直線y=-4%-e)與y=a的交點(diǎn)%4=a(e-l)+e<%2，

所以第2—％i>汽4一%3=a(e-l)+e+a=ae+e,故C正確.

對(duì)D：因?yàn)?(%)=In%,/(e)=0,(0)=1,/(%)在％=e處的切線為y-0=%-e,

設(shè)0(%)=%-e,令%(%)=/(%)-9(%)=%ln%-2%+e,h\x)=lnx-1,

當(dāng)％￡(0,e),h\x)<0,當(dāng)%W(e,+8),hz(x)>0,

所以/i(%)在(0,e)單調(diào)遞減，在(e,+8)單調(diào)遞增，所以h(%)2h(e)=0,即〃%)Ng(%),

因?yàn)椋<%2，直線V=%-e和y=Q相交于點(diǎn)(%o,a),

所以f(%2)=aN9(%2)=%2-？，可得%2<x0=a+e,

下證：%i>-a-p

由于Q=/(%i),所以要證％iN—a—N—/(%])—/,即證/(%i)++52。，

令夕(X)=%ln%+9'(%)=1+Inx,

當(dāng)汽C(0,9，0(%)VO,當(dāng)％eg,+8),0(%)>0,

所以0(%)在(O3)單調(diào)遞減，在g,+8)單調(diào)遞增，

所以9(%)之W(g)=。，所以％1之一。一;成立，當(dāng)且僅當(dāng)％1=，，。=一|時(shí)取等號(hào)，

由于等號(hào)不能同時(shí)滿足，所以％1-第2<。+e—(—a—。=2a+e+故D正確.

故選：ACD.

1

4.(23-24高二下?四川遂寧?期中)已知函數(shù)/'(久)=In久,g(x)=/+1,若/(孫)=/冷)，則%1-%2的最小值

為_(kāi)4-21n2_.

【解題思路】令f(久1)=9(型)=如貝此1-々=*-2t+2,求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值即可.

【解答過(guò)程】設(shè)/'01)=9(*2)=如即Inxi=t,|%2+1=3解得Xi=et/2=2t-2,

所以比i-%2=e‘-2t+2,令九(t)=et-2t+2,則/V(t)=et-2,令〃(t)=0,解得t=ln2,

當(dāng)t<ln2時(shí)，h'(t)<0,當(dāng)t>ln2時(shí)，/i,(t)>0,

所以h(t)在(-8,ln2)上單調(diào)遞減，在(In2,+8)上單調(diào)遞增，

所以h(t)的最小值為％(ln2)=2-21n2+2=4-21n2,所以打一冷的最小值為4—21n2.

故答案為：4-21n2.

5.(23-24高二下?福建福州?期中)已知函數(shù)/(x)=4x-，2-ainx(a>0)

(1)當(dāng)a=3時(shí)，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

(2)若/(久)有兩個(gè)極值點(diǎn)久1，久2(久1<x2)

①求a的取值范圍

②證明：/(xi)+/(x2)<10-lna

【解題思路】(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；

(2)①首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于一元二次方程有2個(gè)不同的正實(shí)根，即可求解；

②首先求/'(%i)+/(%2)，再利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)，再通過(guò)不等式構(gòu)造函數(shù)g(a)=(l-a)ln

a+a-2,ae(0,4),利用導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，求函數(shù)的最大值，證明函數(shù)的最

大值小于0,即可證明不等式.

【解答過(guò)程】(1)當(dāng)a=3時(shí)

f(x)=4x--%2—31nx,(%>0)

f(x)=4-X--=一受*2=(x-3)(x-l),

J、JXXX

令=0得x=l,x=3,

如圖表示x,r(X),/(工)的關(guān)系如下,

X(0,1)1(L3)3(3,+oo)

f'(X+0—0+

久久)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

/(X)在(0,1),(3,+8)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增.

(2)①?gòu)V㈤=4—x—?

——x2+4x—a_x2—4x+a

—X—X,

因?yàn)?'(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)%1，%2(乂1<X2)

即：x2-4x+a=。在(0,+8)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

所以卜1+久2=4>0,

1%i%2=a>0

所以0Va<4,

②由①得%1+%2=4,1I%2=且0<a<4

11

2x2

/(%i)+/(%2)=(4%1-alnxi--%1)+(4%2-ttln%2-22)

1

22

=4(小+第2)—a(ln%i+lnx2)——(%i+%2)

=a—alna+8

要證/(%i)+/(%2)<10-lna

即證：a—alna+8<10—Ina,

只需證(1—a)lna+a—2<0

令g(a)=(1—a)lna+a—2,aE(0,4)

1—a1

Q(d)=-InezH------F1=---Inez

aa

令zn(a)=--Ina

則<0恒成立，

所以?n(a)在(0,4)上單調(diào)遞減

又因?yàn)閙(l)=1>0,m(2)=1—ln2<0

i

由零點(diǎn)存在性定理得：3a0e(1,2),使得租(劭)=0,即1口劭二面,

所以aW(O,ao)m(a)=g(a)>0,g(a)單調(diào)遞增.

ae(a(),4)時(shí)，m(a)=g<a)<0,g(a)單調(diào)遞減.

則g(a)max=<9(ao)=(1—ao)lna()+a()—2=(1—ao)~+a。-2

1

=CLQH-----3

a。

因?yàn)閥=劭+最一3在劭e(1,2)上單調(diào)遞增

所以劭+——3<2+--3=--<0

所以g(a)<0,即f(xD+/(%2)<10以na得證.

N導(dǎo)數(shù)中的新定義問(wèn)題1些題)

1.(23-24高二下?江蘇常州?期中)設(shè)f(x)定義在R上，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t,存在實(shí)數(shù)%1，冷，使得“X：1士"2”=廣

(t)成立，貝IJ稱/(X)滿足“性質(zhì)T”，下列函數(shù)滿足“性質(zhì)T”的有()

A./(%)=%3—3xB./(%)=ex-1C./(%)=sin2xD./(%)=

【解題思路】對(duì)題干條件變形，轉(zhuǎn)化為g(x)=n>)-r(t)x在R上不單調(diào)，即可滿足“性質(zhì)「，再分別對(duì)選項(xiàng)

一一判斷即可.

【解答過(guò)程】將誓戶=r(t)變形為：=/(%2)-x2f(t).

X1人2

令9(x)=則g(x)在R上至少有2個(gè)不等實(shí)數(shù)使得gOi)=g(%2)，

所以9。)=/(%)-/'(t)x在R上不單調(diào),即可/⑺滿足“性質(zhì)T”；

對(duì)于A,g(x)=f(x)—f'(t)x=x3—3x—(3t2—3)x,當(dāng)t=0時(shí),g(x)=/在R上單調(diào)遞增，所以/(*)=/—3%

不滿足“