2024年高考數(shù)學(xué)高考題和高考模擬題分項(xiàng)版匯編專題04立體幾何理含解析VIP

PAGEPAGE25專題04立體幾何1．【2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B．C． D．【答案】D【解析】解法一：為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為，的中點(diǎn)，，，又，平面，∴平面，，為正方體的一部分，，即，故選D．解法二：設(shè)，分別為的中點(diǎn)，，且，為邊長為2的等邊三角形，，又，，中，由余弦定理可得，作于，，為的中點(diǎn)，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的空間想象實(shí)力，補(bǔ)體法解決外接球問題．可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩相互垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進(jìn)而補(bǔ)體成正方體解決．2．【2024年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)隨意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出推斷．面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最簡單犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯(cuò)誤．3．【2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則A．BM=EN，且直線BM，EN是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C．BM=EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【答案】B【解析】如圖所示，作于，連接，BD，易得直線BM，EN是三角形EBD的中線，是相交直線.過作于，連接，平面平面，平面，平面，平面，與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長為2，易知，，，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題考查空間想象實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.解答本題時(shí)，先利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問題．4．【2024年高考浙江卷】祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代的宏大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該柱體的體積（單位：cm3）是A．158 B．162 C．182 D．324【答案】B【解析】由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個(gè)直角梯形組合而成的，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3，則該棱柱的體積為.故選B.【名師點(diǎn)睛】本題首先依據(jù)三視圖，還原得到幾何體——棱柱，依據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計(jì)算幾何體的體積，常規(guī)題目.難度不大，留意了基礎(chǔ)學(xué)問、視圖用圖實(shí)力、基本計(jì)算實(shí)力的考查.易錯(cuò)點(diǎn)有二，一是不能正確還原幾何體；二是計(jì)算體積有誤.為避開出錯(cuò)，應(yīng)留意多視察、細(xì)心算.5．【2024年高考浙江卷】設(shè)三棱錐V–ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．記直線PB與直線AC所成的角為α，直線PB與平面ABC所成的角為β，二面角P–AC–B的平面角為γ，則A．β<γ，α<γ B．β<α，β<γ C．β<α，γ<α D．α<β，γ<β【答案】B【解析】如圖，為中點(diǎn)，連接VG，在底面的投影為，則在底面的投影在線段上，過作垂直于于E，連接PE，BD，易得，過作交于，連接BF，過作，交于，則，結(jié)合△PFB，△BDH，△PDB均為直角三角形，可得，即；在Rt△PED中，，即，綜上所述，答案為B.【名師點(diǎn)睛】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的計(jì)算.解答的基本方法是通過明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)學(xué)問求解，而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，不能正確作圖得出各種角，未能想到利用“特別位置法”，尋求簡便解法.6．【2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐O—EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________g.【答案】118.8【解析】由題意得，，∵四棱錐O?EFGH的高為3cm，∴．又長方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為．【名師點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積問題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解．依據(jù)題意可知模型的體積為長方體體積與四棱錐體積之差進(jìn)而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量即可.7．【2024年高考北京卷理數(shù)】某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．假如網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為__________．【答案】40【解析】如圖所示，在棱長為4的正方體中，三視圖對應(yīng)的幾何體為正方體去掉棱柱之后余下的幾何體，

則幾何體的體積.【名師點(diǎn)睛】本題首先依據(jù)三視圖，還原得到幾何體，再依據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計(jì)算幾何體的體積.屬于中等題.(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形態(tài)以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能干脆利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．8．【2024年高考北京卷理數(shù)】已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________．【答案】假如l⊥α，m∥α，則l⊥m.【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題：（1）假如l⊥α，m∥α，則l⊥m，正確；（2）假如l⊥α，l⊥m，則m∥α，不正確，有可能m在平面α內(nèi)；（3）假如l⊥m，m∥α，則l⊥α，不正確，有可能l與α斜交、l∥α.故答案為：假如l⊥α，m∥α，則l⊥m.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理實(shí)力及空間想象實(shí)力.將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論加以分析即可.9．【2024年高考天津卷理數(shù)】已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為．若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_____________．【答案】【解析】由題意，四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，故圓柱的體積為.【名師點(diǎn)睛】依據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定所求的圓柱的高和底面半徑.留意本題中圓柱的底面半徑是棱錐底面對角線長度的一半、不是底邊棱長的一半.10．【2024年高考江蘇卷】如圖，長方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E?BCD的體積是▲.【答案】10【解析】因?yàn)殚L方體的體積為120，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由長方體的性質(zhì)知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.【名師點(diǎn)睛】本題蘊(yùn)含“整體和局部”的對立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何風(fēng)光 積或體積的計(jì)算問題中，往往須要留意理清整體和局部的關(guān)系，敏捷利用“割”與“補(bǔ)”的方法解題.由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積.11．【2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A?MA1?N的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）連結(jié)B1C，ME．因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND=A1D．由題設(shè)知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz，則，A1(2，0，4)，，，，，，．設(shè)為平面A1MA的法向量，則，所以可取．設(shè)為平面A1MN的法向量，則所以可取．于是，所以二面角的正弦值為．【名師點(diǎn)睛】本題考查線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過求解法向量夾角的余弦值來得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型.12．【2024年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．（2）由（1）知．由題設(shè)知≌，所以，故，．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D–xyz，則C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，，．設(shè)平面EBC的法向量為n=（x，y，x），則即所以可取n=.設(shè)平面的法向量為m=（x，y，z），則即所以可取m=（1，1，0）．于是．所以，二面角的正弦值為．【名師點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直以及線面垂直的判定，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.13．【2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．（2）作EHBC，垂足為H．因?yàn)镋H平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．由已知，菱形BCGE的邊長為2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H–xyz，則A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．設(shè)平面ACGD的法向量為n=（x，y，z），則即所以可取n=（3，6，–）．又平面BCGE的法向量可取為m=（0，1，0），所以．因此二面角B–CG–A的大小為30°．【名師點(diǎn)睛】本題是很新奇的立體幾何考題，首先是多面體折疊問題，考查考生在折疊過程中哪些量是不變的，再者折疊后的多面體不是直棱柱，最終通過建系的向量解法將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問題，突出考查考生的空間想象實(shí)力.14．【2024年高考北京卷理數(shù)】如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．（1）求證：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．推斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.【解析】（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．又因?yàn)锳D⊥CD，所以CD⊥平面PAD．（2）過A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M．因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，則A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以E（0，1，1）．所以．所以.設(shè)平面AEF的法向量為n=（x，y，z），則即令z=1，則．于是．又因?yàn)槠矫鍼AD的法向量為p=（1，0，0），所以.由題知，二面角F?AE?P為銳角，所以其余弦值為．（3）直線AG在平面AEF內(nèi)．因?yàn)辄c(diǎn)G在PB上，且，所以.由（2）知，平面AEF的法向量.所以.所以直線AG在平面AEF內(nèi).【名師點(diǎn)睛】（1）由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個(gè)半平面的法向量即可求得二面角F?AE?P的余弦值；（3）首先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量即可推斷直線是否在平面內(nèi).15．【2024年高考天津卷理數(shù)】如圖，平面，，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的余弦值為，求線段的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【解析】依題意，可以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，．設(shè)，則．（1）依題意，是平面的法向量，又，可得，又因?yàn)橹本€平面，所以平面．（2）依題意，．設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得．因此有．所以，直線與平面所成角的正弦值為．（3）設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得．由題意，有，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．所以，線段的長為．【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)學(xué)問．考查用空間向量解決立體幾何問題的方法．考查空間想象實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力和推理論證實(shí)力．16．【2024年高考江蘇卷】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因?yàn)锳B=BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC.因?yàn)槿庵鵄BC?A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因?yàn)锽E?平面ABC，所以CC1⊥BE.因?yàn)镃1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因?yàn)镃1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查空間想象實(shí)力和推理論證實(shí)力.17．【2024年高考浙江卷】（本小題滿分15分）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）．【解析】方法一：（1）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，則A1E⊥BC．又因?yàn)锳1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．（2）取BC中點(diǎn)G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形．由（1）得BC⊥平面EGFA1，則平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上．連接A1G交EF于O，則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成的角（或其補(bǔ)角）．不妨設(shè)AC=4，則在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.由于O為A1G的中點(diǎn)，故，所以．因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是．方法二：（1）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E–xyz．不妨設(shè)AC=4，則A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0)．因此，，．由得．（2）設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ．由（1）可得．設(shè)平面A1BC的法向量為n，由，得，取n，故，因此，直線EF與平面A1BC所成的角的余弦值為．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，直線與平面所成的角等基礎(chǔ)學(xué)問，同時(shí)考查空間想象實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力.18．【云南省昆明市2025屆高三高考5月模擬數(shù)學(xué)試題】已知直線平面，直線平面，若，則下列結(jié)論正確的是A．或 B．C． D．【答案】A【解析】對于A，直線平面，，則或，A正確；對于B，直線平面，直線平面，且，則或與相交或與異面，∴B錯(cuò)誤；對于C，直線平面，且，則或與相交或或，∴C錯(cuò)誤；對于D，直線平面，直線平面，且，則或與相交或與異面，∴D錯(cuò)誤．故選A．【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間平面與平面關(guān)系的判定及直線與直線關(guān)系的確定問題，也考查了幾何符號語言的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．19．【陜西省2025屆高三年級第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接、、，易知即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）.設(shè)三棱柱的側(cè)棱與底面邊長均為1，則，，，由余弦定理，得.故應(yīng)選B.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，通過平移找到所成角是解這類問題的關(guān)鍵，若平移不好作，可采納建系，利用空間向量的運(yùn)算求解，屬于基礎(chǔ)題.解答本題時(shí)，易知即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），進(jìn)而通過計(jì)算的各邊長，利用余弦定理求解即可.20．【四川省宜賓市2025屆高三第三次診斷性考試數(shù)學(xué)試題】如圖，邊長為2的正方形中，分別是的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿及把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為，則四面體的高為A． B．C． D．1【答案】B【解析】如圖，由題意可知兩兩垂直，∴平面，∴，設(shè)P到平面的距離為h，又，∴，∴，故，故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查了平面幾何的折疊問題，空間幾何體的體積計(jì)算，屬于中檔題．折疊后，利用即可求得P到平面的距離．21．【廣東省深圳市高級中學(xué)