勾股定理與全等三角形的綜合解答題（解析版）-2024-2025學年八年級數(shù)學下冊

重難點09勾股定理與全等三角形的綜合

解答題

國典題精練

［基硼題］

1.(2024秋?景德鎮(zhèn)期中)如圖，在一條筆直的公路/旁邊有N,8兩個村莊，/村莊到公

路I的距離AC=5km,B村莊到公路I的距離BD=12km,現(xiàn)要在CD之間建一個加油站

E,使得48兩村莊到加油站E的距離相等.

(1)AE±BE,試說明：ABDE沿4ECA；

(2)若C,。兩點間的距離為17癡，求C,￡兩點間的距離.

B

|\4

DEC

【分析】(1)先根據(jù)余角的性質證明N2=N/￡C,然后根據(jù)可證△BDE0AECN；

(2)設CE=xkm,則。E=(17-x)km,根據(jù)利用勾股定理列方程求解即可.

【解答】(1)證明：:/ELBE,

AZBED+ZAEC=90°,

又,：/BED+/B=90°,

：.ZB=ZAEC,

在在△EC4中，

(ABDE=AECA=90°

\^B=AAEC,

［BE=AE

:ZDE冬4ECACAAS)；

(2)解：設CE=xkm,則DE=(17-x)km,

在直角三角形ADE中，由勾股定理得：BE2=U2+(17-x)2,

在直角三角形NCE中，由勾股定理得：AE2=52+X2,

,:BE=AE,

122+(17-x)2=52+X2,

解得x=12,

C,K兩點間的距離12fcm.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理的應

用，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵.

2.如圖，在△ABC和△DCE中，/ABC=NDBE=90°,AB=BC,DB=BE,A,D,E三

點在同一直線上.

(1)求證：AD=CE；

(2)若DB=2五,40=5.求/C的長.

【分析】(1)證明(SAS),可得結論；

(2)利用全等三角形的性質以及勾股定理，解決問題即可.

【解答】(1)證明：:NABC=NDBE,

：.ZABC-ZDBC=ZDBE-ZDBC,

即/4BD=ZCBE,

在和△C5E中，

AB=CB

Z-ABD=乙CBE,

DB=EB

：.AABD^/\CBE(S4S),

：?AD=CE；

(2)解：如圖，AE與BC交于點、O,

c

由（1）可知△48。絲△C8E,

:.NBAD=NBCE,AD=CE,

,：ZAOB=ZCOE,

：.ZCEO=ZABO=90°,

在Rt^RDE?中，NDBE=9Q°,BE=DB=2五,

.'.DE=近DB=V2x2V2=4,

,:CE=AD=5,

：.AE=AD+DE=5+4=9,

在RtZUCE中，ZAEC=90°,AE=9,CE=5,

：.AC^y/AE2+CE2=V92+52=V106.

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找

全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

3.（2024秋?思明區(qū)校級月考）如圖，在△/8C中，ZABC=90°,AB=BC,點D在邊AC

上，將△48。繞點B順時針旋轉得到△*￡,連接ED并延長交BA的延長線于點F.

（1）求證：DCLCE-,

（2）探究線段CD,之間的數(shù)量關系，并說明理由.

【分析】（1）先判斷出△48。絲△CBE,得到N2CE=/A4C=45°,進而求得/。CE=

90°,證得DC_LCE：

(2)先判斷出是直角三角形，進而得出即可得出結論.

【解答】(1)證明：:/48。=90°,AB=BC,

:./BAC=/ACB=45°,

:將△48。繞點B順時針旋轉得到△C8E,

:AABDmACBE,

:.NBCE=/BAC=45°.

；.N4CB+NBCE=45°+45°=90°,

:./DCE=90°,

：.DC±CE；

(2)解：AD2+CD2^2BE2.理由如下：

VZACB=45°,NBCE=45°,

NDCE=ZACB+ZBCE=90°.

：.CD1+CE2=DE2,

,:BD=BE,ZDBE=90°,

DE2=BD2+BE2=2BE2,

■:AABD絲ACBE,

：.AD=CE.

：.AD2+CD2^2BE2.

【點評】本題主要考查了旋轉的性質，等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質，勾

股定理，利用旋轉的性質是解本題的關鍵.

4.如圖，己知N/C3=NOCE=90°,4C=BC=6,CD=CE,AE=3,/C4E=45°.

(1)求證

(2)求的長.

A

B

D

【分析】(1)連接BE.根據(jù)S4S證明三角形全等即可.

(2)證明/4BE=90°,利用勾股定理求出BE即可解決問題.

【解答】(1)證明：如圖，

VZACB=ZDCE=90°,

ZACB+ZACE=ZDCE+ZACE,

即

在△/CD和△BCE中，

(AC=BC

\ABCE=AACD,

[DC=EC

:AACD沿ABCE(S4S).

(2)解：?:AACD/ABCE,

：.AD=BE,

'：AC=BC=6,

:.AB=6五,

VZBAC=ZCAE=45°,

：.ZBAE^90°,

在中，AB=6近,AE=3,

-'■BE=^JAB2+AE2=J(6收)2+32=9,

：.AD=BE=9.

【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，用到的知識點是全等三角形的判定與性

質、勾股定理，關鍵是根據(jù)題意作出輔助線，證出△48會△BCE.

5.（2024秋?廣陵區(qū)校級期末）小麗與爸媽在公園里蕩秋千.如圖，小麗坐在秋千的起始位

置/處，04與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面1.2加的8處接住她后

用力一推，爸爸在C處接住她.若媽媽與爸爸到04的水平距離2D,CE分別為1.8加

和24”，NB0C=9Q°,2D_L。/于點。，CE_LO4于點、E.

(1)求證：△CEO咨△。。3；

(2)求秋千的起始位置N距地面的高NM.

【分析】(1)由題意可知NCEO=/ADO=90°,OB=OC,由同角的余角相等得到/

COE=ZOBD,根據(jù)44s即可證明△COE四△080；

(2)由△(%>￡T絲△08。(AAS)得到C￡=OZ)=2.4機，根據(jù)勾股定理得到。4=08=

3m,由題意知，DM=1.2m,即可得到答案.

【解答】(1)證明：由題意可知NCEO=NADO=90°,OB=OC,

VZ5OC=90°,

ZCOE+/BOD=ZBOD+ZOBD=90°.

：.ZCOE=ZOBD,

在△COE和△03。中，

(/.COE=Z.OBD

\/.CEO=Z.ODB,

(0C=OB

:.△COEQXOBD(AAS)；

(2)解：,:△COEWXOBD(AAS),

CE=OD=2.4機，

,/OA=OB=>JOD2+BD2=V2.42+1.82=3(m),

由題意知,DM=1.2m,

：.AM^0D+DM-CM=2.4+1.2-3=0.6(m),

.??秋千的起始位置/處與距地面的高0.6m.

故答案為：0.6.

【點評】此題考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，證明

C4/S）是解題的關鍵.

6.（2024秋?通川區(qū)校級期末）已知，如圖，RtZ^48C中，Z5=90°,AB=6,BC=4,以

斜邊NC為底邊作等腰三角形/CO,腰/。剛好滿足并作腰上的高

（1）求證：AB=AE；

【分析】（1）由等腰三角形的性質得出由平行線的性質得出4D/C=/

BCA,得出由44S證明△/3C也△NEC,得出/8=4E；

（2）由（1）得：AE=AB=6,CE=CB=4,設。C=x,則。/=x,DE=x-4,由勾股

定理得出方程，解方程即可.

【解答】（1）證明：

ZDAC=ZDCA,

'：AD//BC,

：.NDAC=/BCA,

：.ZACB^ZDCA,

又「/后，。'。，

...//EC=90°,

AZA^ZAEC^90°,

ZB=Z.AEC

在△NBC和△/EC中，］N4CB=/.DCA,

AC=AC

:.△力BC咨LAEC（AAS）,

:.AB=AE；

（2）解：由（1）得：AE=AB=6,CE=CB=4,

設。C=x,則D/=x,DE=x-4,

由勾股定理得：DE2+AE2^DA2,

即(x-4)2+62=X2,

13

解得：x=—,

13

即CD-.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理；熟練掌

握等腰三角形的性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵.

7.(2024秋?門頭溝區(qū)期末)己知，如圖，在△48C中，ZC=90°,4D平分NBAC交BC

于。，過。作DE■〃/C交48于E.

(1)求證：AE=DE；

(2)如果NC=3,AD=2同求NE的長.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質和角平分線的定義解答即可；

(2)過點。作。尸，42于尸，根據(jù)勾股定理和全等三角形的判定和性質解答即可.

【解答】(1)證明：〃/C,

：.ZCAD=ZADE,

平分NA4C,

：.NCAD=/EAD.

：.NK4D=ZADE.

：.AE=DE；

(2)解:過點。作D/U/3于E

VZC=90°,AC=3,AD=2總

在Rt△/CD中，由勾股定理得/C2+DC2^AD2.

：.DC=>/3.

,：AD平分

:.DF=DC=ypi.

5L'：AD=AD,ZC=ZAFD=90a,

...RtZXZMCgRtZk。/尸(HL).

：.AF=AC=3,

...RtZXDE尸中，由勾股定理得E尸+D尸2=D￡2.

設4E=x,則。E=x,EF=3-x,

:.(3-%)2+(V3)2=x2,

：.AE=2.

【點評】本題考查勾股定理，根據(jù)勾股定理和全等三角形的判定和性質解答是解題關鍵.

8.如圖，在RtZ\48C中，NABC=9Q°,AB=4,BC=2,AC=DC,ZACD=90°,連接

BD.求AD的長.

【分析】過。作。EL8c交3c的延長線于E,得到ND￡C=//3C=90°,根據(jù)余角

的性質得到N8/C=NOCE,根據(jù)全等二角形的性質得到DE=8C=2,CE=AB=4,求

得BE=6,根據(jù)勾股定理即可得到結論.

【解答】解：過。作。EL2c交8c的延長線于E,

AZDEC=ZABC=90°,

VZACD=90°,

：.ZBAC+ZACB=ZACB+ZDCE=90°,

NBAC=ZDCE,

/.ABC=Z.E

在△NBC與△CEP中，［NBAC=NEC。，

AC=CD

：./\ABC^/\CED(AAS),

：.DE=BC=2,CE=AB=4,

：.BE=6,

,：DE2+BE2^BD2,

.*.5￡>2=22+62=40,

■?BD—2V10?

【點評】本題考查了全等三角形的性質定理與判定定理、勾股定理，正確的作出輔助線

是解題的關鍵.

9.（2024春?蚌山區(qū)校級期中）如圖，△48C與都是等邊三角形，DA、DB、DC三

邊長是一組勾股數(shù)，且DC邊最長.

（1）求證：DE2+CE2^CD2；

（2）求的度數(shù).

【分析】（1）由“S/S”可證△48。絲ZXCBE,可得/D=EC,NADB=NBEC,由勾股

數(shù)可得結論；

（2）由勾股定理的逆定理可得/DEC=90°,由全等三角形的性質可求解.

【解答】證明：（1）;△/Be與△D8E都是等邊三角形，

：.AB=BC,BD=DE=BE,ZABC=ZDBE=6G°,

；.NABD=NCBE,且48=2C,DB=BE,

：./\ABD^/\CBE（SAS）

：.AD=EC,ZADB=ZBEC,

,：DA.DB、DC三邊長是一組勾股數(shù)，且DC邊最長.

：.DA2+DB2=DC2,

:.DE2+CE2^CD2；

(2)'：DE2+CE2=CD2,

：.ZDEC^90°,

：.ZBEC=150°

:.NADB=NBEC=150°.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，證明絲△C8E

是本題的關鍵.

10.(2024秋?徐匯區(qū)期末)如圖，在△N8C中，ZACB=90°,AC=4,CB=2,點、D是

川9的中點，點E在NC上，點￡、D、尸一條直線上，且ED=FD.

(1)求證：FBLCB；

(2)聯(lián)結CD,若CD_L￡F,求CE的長.

C

【分析】(1)由“SAS”可證可得—FBD,AE=BF,由余角的性

質可得結論；

(2)由等腰三角形的性質可得CF=環(huán)，由勾股定理可求解.

【解答】(1)證明：??,。是45中點，

：.AD=BD,

在△4DE與△ADb中，

AD=BD

/LADE=(BDF,

ED=FD

：.AADE^ABDF("S),

/.ZA=ZFBD,AE=BF,

VZACB=90°,

/.ZA+ZABC=90°,

AZFBD+ZABC=90°,即/用。=90°,

：.FB±CB；

(2)聯(lián)結CR

;CD工EF,ED=FD,

：.CF=EF,

設CE=x,則CF=x,BF=AE=4-x,

RtZXMC中，BF2+BC2=CF2,

/.22+(4-x)2=x2,

5

=5，

5

'CE=W

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質,

勾股定理，證明三角形全等是解題的關鍵.

L提升題；

1.（2024秋?宛城區(qū)期末）如圖，E、尸是等腰Rt44BC的斜邊3c上的兩動點，NEAF=

45°，CD±BCS.CD=BE.

求證：(1)AE=AD-,

(2)EF2=BE2+CF2

【分析】（1）由等腰直角三角形的性質可得/B=//C2=45°,從而可推出

B,則可證得△/AE1絲△/€!）；

（2）由（1）可知ZBAE=ZCAD,從而可求得NE/。=NB/C=90°,ZDAF

=ZEAF,可證得△/EFg/UD尸，則有。尸=E尸，則利用勾股定理可求解.

【解答】證明：（1）：△NBC是等腰直角三角形，

：.AB=AC,

:.NB=NACB=45°,

'：CD±BC,

:.NBCD=90°,

：.ZACD=ZBCD-ZACB=45°=ZB,

在△4BE和△/CD中，

（AB=AC

\/-B=Z.ACD,

（BE=CD

.'.△ABE段AACD（SAS）,

：.AE=AD；

（2）由（1）知，△ABE^AACD,

：.AE=AD,ZBAE=ZCAD,

VZBAC=9Q0,

/EAD=NCAE+/CAD=NCAE+NBAE=N8/C=90°,

VZEAF=45°,

：.ZDAF=ZDAE-NE/尸=45°=ZEAF,

在AAEF與AADF中,

(AE=AD

\^EAF=^DAF,

[AF=AF

:.LAEF咨AADF(SAS),

：.DF=EF,

在Rt/XDCF中，根據(jù)勾股定理得，DF2^CF2+CD2,

,:CD=BE,

：.EF2^CF2+BE2.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，解答的關鍵

是結合圖形分析清楚角與角，邊與邊之間的關系.

2.(2024春?欽州期末)如圖，在△48C中，/ACB=9Q°,AC=BC,P是△48C內一點,

且P3=l,PC=2,PA=3,過點C作。垂足為C,令CD=CP,連接。尸，

BD,求/8PC的度數(shù).

——c__

【分析】先證明△PCD是等腰直角三角形，得出：尸。=收。=2五，NCPD=/CDP=

45°,再證明△/CPZABCD(5L4S),得出3Z)=P4=3,運用勾股定理逆定理證得NAPD

=90°,即可求得答案.

【解答】解：???CDJ_CP,

ZPCD=90°,

,：PC=CD=2,

:APCD是等腰直角三角形，

:.PD=^PC=2五,/CPD=NCDP=45°,

VZACB^90°,

：.ZACP+ZPCB=90a,

又：/PCB+NBCD=90°,

：.ZACP=ZBCD,

在尸和△BCD中，

AC=BC

4ACP=4BCD,

PC=CD

:.AACP絲ABCD(SAS),

：.BD=PA=3,

■:PB=\,

：.PB2+PD2^12+(2V2)2=9,

VP^2=32=9,

:.PA1=PB2+PD2,

:./BPD=90°,

,：ZCPD=45°,

:.NBPC=/BPD+/CPD=135°.

【點評】該題主要考查了全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、勾

股定理逆定理等幾何知識點及其應用問題；是一道綜合性較強的題目，證明△/3之4

BCD(SAS)和運用勾股定理逆定理是解題的關鍵.

3.如圖，和△C。。都為等腰直角三角形，且//。5=/。。。=90°.

(1)如圖①，當△C。。的頂點。恰好在48邊上時，求證：2OD2=AD2+BD2；

(2)將△C。。繞點。旋轉至圖②的位置，連接40,BC交于點、F,連接尸0,求證：

F0平分/4FC.

圖①圖②

【分析】（1）連接C8,利用S4s證明△/OD四△BOC,得BC=AD,NOBC=N4=

45°,再利用勾股定理可得結論；

（2）過點。作于M,ONLBC于N,由（1）同理得，△AOD”￡BOC

（SAS）,得4D=BC,S"OD=S&BOC，則。河=。乂再根據(jù)角平分線的判定可得結論.

【解答】證明：（1）連接C3,

圖①

VZAOB=ZCOD=90a.

：.ZAOD=ZBOC,

?：^AOB和△COD都為等腰直角三角形，

：.OA=OB,OD=OC,

：./\AOD^/\BOC(S4S),

：.BC=AD,ZOBC=ZA=45°,

AZDBC=9Q°,

：.BD2+BC2^CD2,

VZDOC=90°,OD=OC,

：.2OD2^CD2,

:.WD2=AD1+BD1-,

(2)過點。作OM±AD于M,ONLBC于N,

圖②

由(1)同理得，AAOD空ABOC(SAS),

:?4D=BC,S“OD=S4BOC，

：.OM=ON,

,：OMLAD,ONLBC,

；.尸0平分//PC.

【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，旋轉的性

質，勾股定理等知識，證明△NOD四△8OC是解題的關鍵.

4.（2024秋?新城區(qū)校級期末）如圖，AD//BC,NC=//=90°,將四邊形N2CD沿對角

線8。折疊，使點C落在點￡處，BE與4D交于點、F.

（1）求證：AABF咨AEDF；

（2）將折疊的圖形恢復原狀，點/與3c邊上的點G正好重合，連接。G,若/8=6,

BC=8,求DG的長.

【分析】（1）根據(jù)矩形的判定與性質可得/8=C。，ZC=ZA=90a,再根據(jù)折疊的性

質可得DE=CD,/C=NE=90°,然后利用“角角邊”證明即可；

（2）根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得由折疊的性質可得

GDB,從而得到/G2O=NG￡>2,根據(jù)等角對等邊可得2G=OG,設GC=x,表示出

DG,然后利用勾股定理列方程求解即可.

【解答】（1）證明：'JAD//BC,NC=N/=90°,

四這形/BCD是矩形，

:.AB=CD,/C=N/=90°,

由折疊的性質可知：DE=CD,NC=NE=90°,

：.AB=DE,ZA=ZE^90°,

又,:N4FB=/EFD,

:.AABF經(jīng)4EDFCAAS）；

（2）解：'JAD//BC,

：.NADB=/DBG,

由折疊的性質可得，ZADB=ZGDB,

:?/GBD=/GDB,

:?BG=DG,

設GC為x,則5G=Z)G=8-x,

222

在RtAJDCG中，由勾股定理可得，DG=GC+CDf

即(8-x)2=X2+62,

7

解得％=I，

q

725

-DG^-4=~-

【點評】本題考查了翻折變換的性質，全等三角形的判定與性質，矩形的性質，勾股定

理，翻折前后對應邊相等，對應角相等，(2)利用勾股定理列出方程是解題的關鍵.

5.(2024秋?南海區(qū)期末)如圖，在△NBC中，AB=BC=10,/C=2VI5,AD±BC,垂足

為D

(1)求證：ZB=2ZCAD.

(2)求AD的長度；

(3)點尸是邊3C上一點，且點P到邊42和NC的距離相等，求點P到邊距離.

【分析】(1)由等腰三角形的性質，三角形內角和定理，即可證明；

(2)設CD=X(X>O),由勾股定理得至I]AB?--。。2,列出關于工的方程,

求出x的值，即可得到答案；

111

(3)由三角形面積公式得到58c?/ZXpBVM+pC?尸N,即可解決問題.

【解答】(1)證明：

/BAC=ZC,

'：ZBAC+ZC+ZB=\SO°,

AZ5+2ZC=180°,

'JADLBC,

：.ZCAD+ZC^90

：.2ZC+2ZCAD=1SO°,

：.ZB=2ZCAD,

(2)解：設CD=x(x>0),

在Rt/\ABD和RtzXXCD中，

'JAB1-BD2^AC2-DC2=AD~,

A102-(10-x)2=(20^

?.x=2.

:?BD=BC-CZ)=10-2=8；

(3)解：作于河，PNLAC于N,且PM=PN,連接/尸,

VAABC的面積=的面積+△尸4。的面積，

111

：.-BC*AD=~AB*PM+^AC-PN,

.,.10X6=(10+2V10)PM,

：.PM=10-2V10,

：.P到AB的距離是10-2V10.

【點評】本題考查等腰三角形的性質，勾股定理，三角形的面積，關鍵是掌握由勾股定

111

理列出關于CD的方程；由三角形面積公式得到/U4D=54B?PM+?C?/W.

6.如圖，在△48C中，/A4c為鈍角，邊⑷3、NC的垂直平分線分別交8C于點。、E.

(1)BD-+CE2=DE-,貝!J/3NC=°.

(2)若N/2C的平分線2尸和邊ZC的垂直平分線E尸相交于點凡過點尸作尸G垂直于

A4的延長線于點G.求證：BC-AB=2AG.

G

A

'F

【分析】(1)如圖1中，連接AE.首先證明ND4E=90°,易知NDBA=/DAB,

NK4C=NC,設NDBA=/DAB=x,NEAC=NC=y,根據(jù)三角形內角和定理可得

2x+90°+2j=180°,推出x+y=45°,由此即可解決問題；

(2)如圖2中，連接N凡FC,作?。3于“，只要證明△8FG也△CW,RtZUFG

^RtACFM,即可解決問題.

圖1

:邊N3、NC的垂直平分線分別交3C于點。、E,

：.BD=DA,EA=EC,

：.ZDBA=ZDAB,ZEAC=ZC,

設NDB4=NDAB=x,NEAC=NC=y,

'：BD2+CE2=DE2,

:.AD2+AE2=DE2,

:.NDAE=90°,

：.2x+90°+2y=180",

；.x+y=45°,

ZBAC=x+y+90°=135°；

故答案為：135；

(2)證明：如圖2中，連接/尸，尸C,作EMLC3于

G

圖2

U：FGLBA,

：.ZG=ZBMF=90°,

平分NCR4,

：.ZGBF=NMBF,

在/G和的中，

2G=乙BMF

Z.GBF=Z.MBF,

BF=BF

:■△BFGWXBFM(44S),

:?BG=BM,FG=FM,

???跖垂直平分線ZC,

：.FA=FC,

在RtAAFG和RtACW中，

(FG=FM

{FA=FC'

RtA^FG^RtACFA/(HL),

：.CM=AG,

*：BC=BM+CM,BG=AB+AG,BG=BM,CM=AG,

：?BC=AB+2AG,

：.BC-AB=2AG.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質、線段的垂直平分線的性質、角平分

線的性質、勾股定理的逆定理等知識，根據(jù)已知角平分線以及垂直平分線作出相關輔助

線從而利用全等求出是解決問題的關鍵.

7.(2024?海淀區(qū)校級模擬)如圖，在等腰直角△45。中，ZBAC=90°,。是5C邊上任

意一點(不與以。重合)，將線段4。繞點4逆時針旋轉90°得到線段連接CE,

DE.

(1)求NEC。的度數(shù)；

(2)若45=4,BD=五,求的長.

A

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質得到N/3C=//C2=45°,再根據(jù)旋轉的性

質得到NDAE=90°,推出判定△34D咨的條件，最后根據(jù)全等三角

形的對應角相等即可求出結果；

(2)根據(jù)勾股定理和全等三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：(1)：?.?RtZUBC中，ZBAC=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

由旋轉可知：AD=AE,ZDAE=90°,

ZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC=90°,

ZBAD=Z.CAE,

在△240與△(7/￡中，

AB=AC

/.BAD—Z.CAE,

AD=AE

:.△BAD-CAE("S),

AZACE=ZABD=45°,

：.ZECD=45°+45°=90°；

(2)VZBAC^90°,AB=4C=4,

'-BC=7AB2+Vf2=4VL

由(1)得，ABAD/MAE,

:.BD=CE=近,

:.CD=BC-BD=3五,

：.ZDCE^90°,

ACE2+CD2^ED2,

；.DE=J(3五A+(V2)2=2V5.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理、以及旋轉變換的性質，掌握

全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.

8.（2024秋?通州區(qū)期末）如圖，在RtZ\4BC中，NC=90°,AC=BC,在中,

ND=90°,AD與BC交于點E,S.ZDBE^ZDAB.

求證：(1)ZCAE=ZDBC；

(2)AC2+CE2=4BD2.

【分析】（1）由余角的性質可求解；

（2）由“4SL4S”可證△/DB0△/￡）尸，可得BD=DF,即AF=2AD,由可證△

ACE*ABCF,可得AE=BF=2BD,由勾股定理可求解.

【解答】證明：（1）,：ZACB=ZD=90°,

：.ZCEA+ZCAE=ZBED+ZCBD=90°,

：.ZCEA=ZBED,

:./CAE=/DBC；

（2）延長AD交NC延長線于點R

,/ZDBE=ZDAB,

：.NDAB=NCAE,

在△4DB和△/￡)尸中，

YDAB=ADAC

ADAD,

/.ADB=^.ADF=90°

.?.△4DB烏LADF(.ASA),

:.BD=DF,

：.BF=2BD,

在和△8CF中,

'/.CAE=4DBE

AC=BC,

.乙4cB=乙BCF=90°

:.AACE咨ABCF(ASA),

：.AE=BF,

：.AE=2BD,

在RtZUCE中，AC2+CE2=AE2,

：.AC2+CE2^(2BD>2=4*.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，靈活運用全等三角形的判定

方法是解題的關鍵.

9.(2024秋?舟山期中)如圖，在RtZUBC中，ZACB^90°,AC=CB,。在3c邊上，

P,。是射線4D上兩點，且CP=C。，/PCQ=90；

(1)求證：AP=BQ；

(2)若CP=\,BP=^).

①求/P的長；

②求△4BC的面積.

【分析】(1)由/QCP=/8C4=90°,可知N0C8=NPC4,即可證△0C8gZ\PCN

(SAS),有4P=BQ；

(2)①由CP=1,可得QP=&,ZCQP=ZCPQ^45°,有/CP/=NCQ8=135°,

故N80P=NCQ2-NC0尸=90°,即得80=必吟叩=2,從而4P=8Q=2；

②求出SAB/0=N0?50=2+VI,SACPQ=/P?CQ=W而SZ\/CP=SZ\5CQ,故

r-15廠

4BC=SABAQ+S&CPQ=2+V2+2=2+^2-

【解答】(1)證明：?.,NQCP=N2G4=90°,

：.ZQCB=ZPCA,

VC0=CP,CB=CA,

：./\QCB^APCA⑶S),

：.AP=BQ；

(2)解:①TC尸=1,

：.CQ=\,

'：ZQCP=90°,

:?QP=@ZCQP=ZCPQ=45°,

???/CPA=/CQB=135°,

???ZBQP=ACQB-ZCQP=90°,

:?BQ=1BP2-PQ2=J(V6)2-(V2)2=2,

：.AP=BQ=2；

(2)VZBPQ=90°,

11LL

??S^BAQ=~^AQ*BQ=2X(2+&)X2=2+VL

VZPCQ=90°,CP=CQ=1.

Ill

?-S^CPQ=萬CP?CQ=-xlXl=",

'：S/\ACP=S/\BCQ,

SAABC=SABAQ+SACPQ，

「15L

.??SAT1BC=2+V2+^=^+V2;

5L

.?.△48C的面積為］+&.

【點評】本題考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定定理,

證明△QCSg/XPC.

10.(2024?雙臺子區(qū)校級一模)如圖1,在△NBC中，NA4C=90°,AB=AC,BDLCD

于點。，連接N。，在CD上截取CE,使CE=BD,連接NE.

(1)直接判斷/￡與AD的數(shù)量關系；

(2)如圖2,延長ND,C8交于點尸，過點￡作EG〃/尸交8c于點G,試判斷尸G與

之間的數(shù)量關系，并證明；

A

EE

圖1圖2

【分析】(1)證明(S4S),由全等三角形的性質得出/E=4D；

(2)過點8作交。尸于點證得為等腰直角三角形，則2。=8加，

證明△CEGg^BWF(AAS),由全等三角形的性質得出CG=BF,由直角三角形的性質

可得出結論；

【解答】解：⑴AE=AD；

如圖1,AB與DC交于點、F,

圖1

,?ZDBA+ZDFB=ZAFE+ZACE,ZDFB=ZAFE,

：.ZDBA=ZACE,

,:CE=BD,AB=AC,

：./\ACE^/\ABD(SAS),

：.AE=AD；

故答案為：AE=AD；

(2)FG=VZ4S；

過點B作BMLBD交。尸于點M,

圖2

'：AACE^AABD,

：.ZCAE=ZBADfAE=AD,CE=BD,

：.ZBAD+ZBAE=90°,

AZADE=45°,

,:BDLCD,

ZBDM=45°,

???ABDM為等腰直角三角形，

:.BD=BM,

：.CE=BM,

■:EG"AF,

：.NEGC=/MFB,

又?；NFBM+/4BD=45°,/GCE+/ACE=45°,

???/FBM=/GCE,

:.ACEGQABMF(AAS),

：.CG=BF,

：.CG+BG=BF+BG,

；?FG=BC,

,:BC=y[iAB,

:?FG=gB；

【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，等腰

直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確構造全等三角形解決問題.

I壓軸題;

1.在等腰直角三角形4BC中，/4CB=90；CDL4B于點D,點￡是平面內任意一點,

連接DE.

(1)如圖1,當點￡在邊3c上時，過點。作。尸，DE交NC于點?

①求證：CE=AF；

②試探究線段N尸，DE,BE之間滿足的數(shù)量關系.

(2)如圖2,當點￡在△8DC內部時，連接4E,CE,若DB=5,DE=3?ZAED=

45°,求線段CE的長.

【分析】(1)①根據(jù)證明△/￡＞尸絲△CDE,進而解答即可；

②連接ER根據(jù)全等三角形的性質和勾股定理解答即可；

(2)根據(jù)&4s證明進而利用全等三角形的性質和勾股定理解答.

【解答】證明：(1)?VZT1C5=9O0,AC=BC,CDLAB,

：.ZACD=ZBCD=ZA=45°,

：.CD=AD,

■:DFLDE,CDLAB,ZADF+ZCDF=ZCDE+ZCDF^90°,

ZADF=ZCDE,

在△/￡)F與中，

=乙BCD=45°

AD^CD,

,AADF=乙CDE

.?.△ADF"ACDE(ASA),

；.CE=AF；

連接EF,

c

圖1

AADF"ACDE,

:.DE=DF,

■:DFLDE,

???叢DEF是等腰直角三角形，

，EF2=DE2+DF2=2DE2,

■:AF=CE,AC=BC,

:?CF=BE,

在RtZ^Cfi尸中，EF1=CE1+CF2,

：.AF2+BE2=C￡2+CF2=EF2=2DE2.

(2)過點。作于H,過點。作。G_LOE交4E于G,

圖2

VZACB=90°,AC=BC,CDLAB,

：.ZACD=ZBCD=ZA=45°,

；?CD=AD,

U：DGLDE,CDLAB,ZADG+ZCDG=ZCDE+ZCDG=90°,

???/ADG=/CDE,

'：DG±DEfZAED=45°,

:?NDGE=45°=NAED,

:?DG=DE,

在△CQE與△4DG中

AD=CD

Z-ADG=Z-CDE,

DG=DE

???△CDE咨AADG(S4S),

：.CE=AG,

在RtZXDEG中，DE=DG=3近,

：.EG=6,

"：DH.LAE,

：.DH=GH=EH=?>,

在中，AD=5,

.".AH=YJAD2—DH2=V52—32=4,

CE=AG=AH-GH=1.

【點評】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質以及

勾股定理解答.

2.(2024秋?海曙區(qū)校級期中)已知在△/2C中，NC4B的平分線4D與3c的垂直平分線

交于點。，于DN_L/C的延長線于N.

(1)證明：BM=CN.

(2)當NBAC=70。時，求NDC8的度數(shù)；

(3)若NB=8,AC=4,DE=3,貝!]4。必-BC2的值為.

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質和線段垂直平分線的性質可得到。M=DN,DB=DC,

根據(jù)"L證明RtZXDWB絲RtZkDNC,即可得出BM=CN；

(2)根據(jù)角平分線的性質得到DM=DN,根據(jù)全等三角形的性質得到

線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質得到/EDC=55°于是得到結論；

(3)證明4B+/C=2ZN=12,推出ZN=6,CN=2,再根據(jù)，CD2=CE2+DE2=

22

CN+DNf可得結論.

【解答】（1）證明：連接8。，如圖所示：

??7。是NC45的平分線，DMLAB,DNLAC,

：.DM=DN,

????！甏怪逼椒志€BC,

：.DB=DC,

在RtADMB和RtADA^C中，

(DB=DC

IDM=DN，

:.RtADMBQRtdDNC(HL),

:?BM=CN；

(2)解：由(1)得：/BDM=/CDN,

??Z。是NC45的平分線，DMLAB,DNLAC,

:?DM=DN,

在RtADMA和RtADAM中,

(DA=DA

IDM=DN，

：.RtADMA^RtADNA(HL),

：.ZADM=ZADN,

?:NBAC=70°,

AZMDN=HO°,ZADM=ZADN=55°,

ZBDM=ZCDN,

：.ZBDC=ZMDN=110°,

???DE是5c的垂直平分線，

：.DB=DC,

1

ZEDC=~ZBDC=55°,

：?NDCB=90°-ZEDC=35°,

AZDCB=35°；

(3)解：在△4DM和△4DN中，

YAMD=乙AND

^DAM=乙DAN,

AD=AD

￡\ADM^△4CW(AAS),

:?AM=AN,

*.*△DMB/ADNC,

：.BM=CN,

：.AB+AC=AM+BM+AN-CN=24N=8+4=12,

.\AN=6,

：.CN=AN-AC=6-4=2,

VCD2=CE2+DE2=Cl^+DN1,EC=|fiC,

1°_

：.~BC1+9=^+DN1,

4

.".4DN2-BC2=20.

故答案為：20.

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質、線段垂直平分線

的性質，熟悉角平分線的性質和線段垂直平分線的性質，證明三角形全等是解決問題的

關鍵.

3.（2024秋?山陽縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，點/為x軸負半軸上一點，B為y

軸正半軸上一點，若NO=2,AB=2OA.

（1）作/點關于V軸的對稱點E，并連接BE,求證：△/2E是等邊三角形；

（2）如圖2,尸是射線0/上任意一點，以PB為邊向上作等邊△P8O,DA的延長線交y

軸于點Q.

①求N0的長；

②若。8=2百，求8。的最小值.

圖1圖2

【分析】(1)根據(jù)軸對稱的性質得。/=?！?2,再證48=8E=/￡即可.

(2)①作點/關于y軸的對稱點連接8E,設4D交PB于J,證AABDmLEBP

(SAS),得NEPB=N4DB,再證NP47=NZ)5J=60°,即可解決問題；

②根據(jù)//。。=30°,得點。的運動軌跡是直線。。，再根據(jù)垂線段最短可知，當BD

時，8。的值最小，即可解決問題.

【解答】(1)證明：如圖1,

;點A點￡關于y軸對稱,

；?OA=OE=2,

?；BOL4E,

；?BA=BE,

?：AB=2OA=AE,

:?AB=BE=AE,

...△N3E是等邊三角形；

(2)解：①作點/關于y軸的對稱點E,連接2E,設4D交尸2于J,

Dy

PA\0|E

圖2

?:XPBD、ZXZBE都是等邊三角形，

:.BA=BE,BP=BD,NPBD=NABE=60°,

:.ZABD=/EBP,

在△48。和△防P中，

AB=EB

乙ABD=乙EBP,

BD=BP

:.AABD?AEBP(SAS)f

???/EPB=/ADB,

*.*NAJP=/DJB,

:.NPAJ=NDBJ=60°,

：.ZOAQ=ZPAJ=60°,

VZAOQ=90°,

AZAQO=90°-ZOAQ=30°,

：.AQ=2AO=4；

(2)VZAOB=90°,ZBAO=60°,

AZABO=30°,

：.AB=2OA=4,

?"=4,

:?AB=AQ,

'：AO±BQf

：.OQ=OB=20,

VZAQO=30°,

...點D的運動軌跡是直線QZ),

根據(jù)垂線段最短可知，當3。，。