中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：尺規(guī)作圖【知識(shí)點(diǎn)及十五大題型】

備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)專題35尺規(guī)作圖【知識(shí)點(diǎn)及十五大題型】

【知識(shí)點(diǎn)尺規(guī)作圖】

1?尺規(guī)作圖的要求

只用不帶刻度的直尺和圓規(guī)通過(guò)有限次操作，完成畫圖的一種作圖方法.尺規(guī)作圖不一定要寫作

圖步驟，但必須保留作圖痕跡.

2.五種基本尺規(guī)作圖

作一條線段等

1____1步驟：

a

于已知線段作射線

?11.OP;

0AP2.在OP上截取OA=a,OA即為所求線段

步驟：

1.以點(diǎn)0為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，

分別交OA.OB于點(diǎn)N.M；

作角的平分線中2.分別以點(diǎn)M.N為圓心，大于^MN的長(zhǎng)為半徑作弧，

產(chǎn)kA2

相交于點(diǎn)P；

3.畫射線OP,0P即為所求角平分線

步驟：

作線段的垂直

rsI.分別以點(diǎn)A.B為圓心，以大于LAB的長(zhǎng)為半徑，在AB兩側(cè)作??；

平分線2

2.連接兩弧交點(diǎn)所成直線即為所求線段的垂直平分線

步驟：

o^-1.在回a上以點(diǎn)0為圓心.以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，

交的兩邊于點(diǎn)；

作一個(gè)角等于13aP.Q

z

2.作射線0A;

已知角

3.以。為圓心.0P長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于點(diǎn)M；

。444.以點(diǎn)M為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)N；

5.過(guò)點(diǎn)N作射線OB,EIBCTA即為所求角

步驟：

過(guò)一點(diǎn)作已知

p1.在直線另一側(cè)取點(diǎn)M；

直線的垂線2.以P為圓心，以PM為半徑畫弧，交直線于A.B兩點(diǎn)；

昌JB

Ml3.分別以A.B為圓心，以大于12AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交M同側(cè)于點(diǎn)

N；4.連接PN,則直線PN即為所求垂線

步驟：

M1.以點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑向點(diǎn)。兩側(cè)作弧，

（不）交直線于A.B兩點(diǎn)；

邙2.分別以點(diǎn)A.B為圓心，以大于LAB長(zhǎng)為半徑向直線

2

兩側(cè)作弧，交點(diǎn)分別為M.N；

3.連接MN,MN即為所求垂線

【題型1尺規(guī)作圖-作線段】

【例1】（2023?山西太原?校聯(lián)考一模）如圖，已知線段a,b.

,11,------。---------0---------------------------------A

（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在射線04上作。8=a,0C=b；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)O,使BC=CD.如果線段a,b的長(zhǎng)度分別是3cM和4cm,求線段。。的

長(zhǎng)度.

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）5cm

【分析】⑴用圓規(guī)在射線04上截取線段。B=a,0C=b即可；

（2）先求出BC的長(zhǎng)，再由BC=CD即可求出線段。。的長(zhǎng).

【詳解】解：（1）所作圖形如圖所示.

（2）如圖所示，???。8=a=3,0C=b=4,

■■■BC=0C-OB=4-3=1

CD=BC=1

；.。。=0C+CD=4+1=5（cm）

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖，求線段的長(zhǎng)度，解決本題的關(guān)鍵是用尺規(guī)畫線段.

【變式1-1］（2023?河北邯鄲??？级＃┯贸咭?guī)作圖，已知三邊作三角形，用到的基本作圖是（）

A.作一個(gè)角等于已知角B.作已知直線的垂線

C.作一條線段等于已知線段D.作角的平分線

【答案】C

【分析】根據(jù)作一條線段等于已知線段即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：根據(jù)三邊作三角形用到的基本作圖是：作一條線段等于已知線段.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖.

【變式1-2]（2023?浙江湖州?統(tǒng)考二模）如圖，ZMON=35°,點(diǎn)尸在射線ON上，以尸為圓心，尸。為半徑

畫圓弧，交于點(diǎn)。，連接PQ,則.

【答案】70。/70度

【分析】由作圖可知，PO=PQ,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

【詳解】解：由作圖可知，PO=PQ,

：.ZPQO=ZO=35°,

：.ZQPN=ZO+ZPQO=70°,

故答案為：70°.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖一基本作圖，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題

意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

【變式1-3]（2023.廣東佛山?校聯(lián)考一模）如圖，在A4BC中，AB=AC.

（1）在BC上求作點(diǎn)E,使4D=4E,點(diǎn)。與點(diǎn)E不重合（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）求證：BD=CE.

【答案】（1）畫圖見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（D以A為圓心，以4。的長(zhǎng)為半徑畫弧交BC于E（不與O重合），點(diǎn)E即為所求;

（2）過(guò)點(diǎn)A作于根據(jù)三線合一定理得到BH=CH,DH=EH,由此即可證明8。=CE.

【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)E即為所求;

（2）證明：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AH，8c于

"：AD=AE,AB=AC,

：.BH=CH,DH=EH,

：.BH-DH=CH-EH,

：.BD=CE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖一作線段，三線合一定理，熟知三線合一定理是解題的關(guān)鍵.

【題型2尺規(guī)作圖-作一個(gè)角等于已知角】

【例2】（2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RtAABC中，乙4=90。，2C=4.根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，作射

線CE,與4B相交于點(diǎn)F.當(dāng)4尸=3時(shí)，的長(zhǎng)是.

【答案】8

【分析】本題考查了基本作圖，勾股定理.先根據(jù)勾股定理求出CF,再根據(jù)等角對(duì)等邊及線段的和差求解.

【詳解】解：在RtAABC中，44=90。，AC=4,AF=3,

CF=y/AC2+AF2=5,

由作圖得：LB=NBCF,

???BF=CF=5,

??.AB=AF+BF=8,

故答案為：8.

【變式2-1]（2023?福建泉州??？寄M預(yù)測(cè)）（1）如圖1,在RtzkACB中，ZC=90°,AC=3,BC=4,

。為BC邊上一點(diǎn)，CD=|.求證：4D平分NC4B.

圖1

（2）如圖2,矩形4BCD中，AB=5,BC=4,點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，DE=2,連接4E,請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺

和圓規(guī)在4B邊上找一點(diǎn)R使得乙4FD=2NZME.（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)E,根據(jù)勾股定理先求出48=5,用面積法求出OE的長(zhǎng)即可求解；

（2）作NG4E=NLME,交DC于點(diǎn)G,②作乙4DF=N4GD,交2B于點(diǎn)根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余即

可證明N4FD=^GAD=2ADAE.

【詳解】（1）證明：如圖1,過(guò)點(diǎn)￡＞作DEL48于點(diǎn)￡,

在RtAACB中，ZC=90°,

'：AC=3,BC=4,

：.AB=y]AC2+BC2=5,

111

9：-AC?CD+-AB?DE=-AC?BC,

222

q

/.3x-+5Z）E=3x4,

2

：.DE=-,

2

：.CD=DE,

.?.an平分4cm

（2）如圖2,點(diǎn)尸即為所求.

作法：①作NG4E=N02E,交DC于點(diǎn)G,

②作N4DF=N2GD,如B于點(diǎn)E

理由：\'^ADF+^AFD=90°,AAGD+AGAD=90°,

Z.AFD=/.GAD=24DAE.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本

作圖方法.

【變式2-2］（2023?廣東佛山?西南中學(xué)?？既＃┤鐖D，在A2BC中，P為4C邊上任意一點(diǎn)，按以下步驟作

圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交4P、4B于點(diǎn)M,N；②以點(diǎn)尸為圓心，以AM長(zhǎng)為半

徑作弧，交PC于點(diǎn)E；③以點(diǎn)E為圓心，以MN長(zhǎng)為半徑作弧，在△ABC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)尸；④作射線

PF交BC于點(diǎn)Q.若N4=60°,ZC=40°,貝!UPQC=（）

A.100°B.80°C.60°D.40°

【答案】B

【分析】先由三角形內(nèi)角和定理得到NB=80。，再根據(jù)作圖方法可知NCPQ=N4貝爐QIIAB,由此即可得

至此PQC=NB=80°.

【詳解】解：?.24=60。，ZC=40°,

:.乙B=180°一乙4一NC=80°,

由作圖方法可知4CPQ=LA,

：.PQIIAB,

:.乙PQC=NB=80°,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)與判定，尺規(guī)作圖一作與已知角相等的角，證明

PQII是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)?？级?如圖，在AABC中，AB=4C,點(diǎn)D為CB延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，CD=AB,連接2D.

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在4D的右側(cè)作N4DE=乙4。8,射線DE與4C延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E；(保留作圖痕

跡，不寫作法，不下結(jié)論)

(2)孟孟判斷CE=BD.她的證明思路是：利用等腰三角形的性質(zhì)及外角定理，通過(guò)全等從而得到CE與BD相

等.請(qǐng)根據(jù)孟孟的思路完成下面的填空：

證明：V?,：.^ABC=^ACB,'：^ADE=^ACB

.?.②,"/.ABC=^ADC+/.BAD

又4ADE=^ADC+NCDE,:.乙CDE=4BAD

?；D、B、C三點(diǎn)共線，：./.ABD+AABC=180°

C、E三點(diǎn)共線，.?.③

乙ABD=乙DCE,'：CD=AB

：.④(ASA),/.CE=BD

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)AB=AC；/-ABC=^ADE；Z.ACB+^DCE=180°；△ABD=△DCE

【分析】（1）根據(jù)作與已知角相等的角的尺規(guī)作圖方法作圖即可；

（2）先根據(jù)等邊對(duì)等角得到乙4BC=乙4CB,貝IJ乙=乙4OE,再利用三角形外角的性質(zhì)證明NCDE=

乙BAD,再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義證明乙48。=4DCE,由此即可證明△48。三△OCE,則CE=BO.

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

(2)證明：VAB=AC,

：.LABC=乙ACB,

'：LADE=Z.ACB

：./.ABC=/.ADE.

,：LABC=乙ADC+乙BAD,

又丁乙/DE=/.ADC+Z.CDE,

:?乙CDE=乙BAD,

TO、B、C三點(diǎn)共線，

：./.ABD+/.ABC=180°

VA>C、￡三點(diǎn)共線，

，乙ACB+乙DCE=180°

工乙ABD=乙DCE,

'：CD=AB

：.△ABD=△DCE(ASA),

ACE=BD.

故答案為：AB=AC；/.ABC=/.ADE；乙ACB+乙DCE=180°；△ABD=△DCE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，作與已知角相等的角,

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【題型3尺規(guī)作圖-作角的和、差】

【例3】（2023?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）如圖為一副三角尺，其中Na=60。,4?=45°,作乙4BC=120°,^DEF=

15°.

（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】圖見(jiàn)解析

【分析】本題考查尺規(guī)作角，根據(jù)尺規(guī)作角的方法，作圖即可.掌握尺規(guī)作角的方法，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，“BC/DEF即為所求；

【變式3-1］（2023?江西吉安?模擬預(yù)測(cè)）已知Na和立夕,作一個(gè)角等于Na+2々?.（保留作圖痕跡，不必寫

作法）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】先作乙40B=a,再作NBOC=2P，則乙40C即為所求.

【詳解】如圖所示，^AOB=a,乙BOC=20,則N40C即為所求.

作法：①作射線。4

②以任意長(zhǎng)度為半徑，Na的頂點(diǎn)為圓心作弧MN,N0的定點(diǎn)為圓心作弧PQ,以同樣長(zhǎng)度為半徑，以。為圓

心，作弧GD,交射線04于點(diǎn)。，

③以MN的長(zhǎng)為半徑，。為圓心，作弧交GD弧于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E,作射線0B,貝叱40B=a,

③以PQ的長(zhǎng)為半徑，E為圓心，作弧交GD弧于點(diǎn)凡

④以PQ的長(zhǎng)為半徑，F(xiàn)為圓心，作弧交GD弧于點(diǎn)G,

⑤過(guò)點(diǎn)G作射線0C,則NB0C=20

???Z-A0B+Z-B0C=a+2夕=Z-A0C

【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角，角度的計(jì)算，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2](2023?合肥二模)如圖所示，已知Na和利用尺規(guī)作NA02,使NAOB=2(/a-N￡).

【答案】見(jiàn)解析.

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的基本步驟作圖即可.

【詳解】作法：如圖所示.(1)作/COO=/a；

(2)以射線OD為一邊，在NCOD的外部作使NDOA=/a；

（3）以射線OC為一邊，在/C04的內(nèi)部作NCOE,使NCOE=N/3；

（.4）以射線0E為一邊，在/EO4內(nèi)部作/EOB,使/EOB=/0,則/AOB就是所求作的角.

【點(diǎn)睛】本題考查作一個(gè)差角的倍數(shù)角，本題的做法有兩種：一種可以先做倍數(shù)角再做差角，如本題提供的

答案；另一種也可以先做差角再做倍數(shù)角，熟練掌握作圖的基本步驟是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3]（2023?北京海淀.模擬預(yù)測(cè)）在Rt△ABC中，ZC=90°,令乙8=a<30。，線段BC的垂直平分

線分別交線段4B、BC于點(diǎn)D,E.

圖1圖2

（1）如圖1,用等式表示DE和4C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）如圖2,將射線4C繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a交線段DE于點(diǎn)尸,

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示2F,EF,DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（l）DE=[aC,證明見(jiàn)解析

（2）①圖見(jiàn)解析；②2F=3DE—EF,證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得出DE1BC,點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，再根據(jù)平行公理,得出4CII0E,

進(jìn)而得出DE是△ABC的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)，即可得出答案；

（2）①以點(diǎn)B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段BC于點(diǎn)M,交線段B4于點(diǎn)N,再以點(diǎn)4為圓心，以相等

長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段4C于點(diǎn)P,再以點(diǎn)P為圓心，以MN的長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)Q,再以點(diǎn)Q為

圓心，以MN的長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)K,連接4K,并延長(zhǎng)交DE于點(diǎn)F；

②設(shè)4c旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在4F上為點(diǎn)C',連接CC',根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形的內(nèi)角和定理，得出乙4CC'=

AACC=90°-a,再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出NC，CB=a,連接CD,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得

出DC=08,再根據(jù)等邊對(duì)等角，得出==再根據(jù)角相等，得出進(jìn)而得出

點(diǎn)C、C\D三點(diǎn)共線，再根據(jù)題意，得出DE是A4BC的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)，得出DE=：AC=

\AC,進(jìn)而得出4C'=2DE,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出N4CC'=NC'DF,進(jìn)而得出乙4C'C=

乙UDF,再根據(jù)對(duì)頂角相等，得出乙4LC=NDC，F(xiàn),再根據(jù)等量代換，得出NDC午=/LOF,再根據(jù)等角

對(duì)等邊，得出FC'=FD,再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合等量代換，得出AF=3DE-EF.

【詳解】（1）解：DE=\AC,證明如下：

是線段BC的垂直平分線，

；.DE1BC,點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn),

又,：乙C=90°,

：.AC1BC,

：.AC\\DE,

DE是△ABC的中位線，

：.DE=-AC；

2

設(shè)4C旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在ZF上為點(diǎn)L,連接CL,

V￡.CAC=2a,AC=AC,

AACC=/.ACC="=90°-cr,

2

又；UCB=90°,

NC'CB=90°一(90°-a)=a,

連接CD,

是線段BC的垂直平分線，

：.DC=DB,

Z-DCB—Z.B—a,

：.^DCB=乙CCB,

...點(diǎn)C、C\。三點(diǎn)共線，

又；DE是線段8c的垂直平分線，

：.DE1BC,點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，

又,：乙C=90°,

：.AC1BC,

：.AC\\DE,

DE是△ABC的中位線，

11

：.DE=-AC=-ACr,

22

：.AC=2DE,

9：AC\\DE,

：.Z.ACC=乙UDF,

又〈乙ACC'=4AC'C,

A/-ACC=乙UDF,

：.^ACrC=乙DCF,

"DCF=(CDF,

：.FC=FD,

：.AF=AC+CF

=2DE+DF

=2DE+(DE-EF)

=3DE—EF,

：.AF=3DE-EF.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、作圖一等角、等腰三角形的判定與性質(zhì)、

三角形的內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等，解本題的關(guān)鍵在正確作出輔助線，并熟練掌握相關(guān)的

性質(zhì)定理.

【題型4尺規(guī)作圖-過(guò)直線外一點(diǎn)作這條線的平行】

【例4】（2023?陜西寶雞?統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AC=3,AB=5,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在上求作一

點(diǎn)O,使得SAAOC：S^AOB=3：5.（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】由題意作BM〃AC,在射線BM上截取BD,使得BD=BA,連接AD交BC于點(diǎn)0,點(diǎn)0即為所

求作.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)。即為所求作.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意,

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

【變式4-1］（2023?湖北襄陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形4BCD中，AD\\BC,BD平分乙4BC.

（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)。作DEII4B,DE交BC于E；（不寫作法，只保留作圖痕跡）

(2)求證：四邊形ABED是菱形.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】⑴作N8DE=乙48。，BE交BC于點(diǎn)E；

(2)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.

【詳解】(1)解：圖形如圖所示：

(2)證明：---ADWBE,ABWDE,

四邊形ABED是平行四邊形，

???BD平分4BC,

Z.ABD=Z.DBC,

\'AD\\BC,

Z.ADB=Z.DBC,

：.乙ADB=4ABD

AB=AD,

???四邊形ABED是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，菱形的判定，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握

菱形的判定定理.

【變式4-2](2023?福建?統(tǒng)考中考真題)如圖，已知線段MN=a,4R垂足為a.

K

(1)求作四邊形4BCD,使得點(diǎn)8,D分別在射線4K,2R上，且28=BC=a,/.ABC=60°,CD//AB,(要

求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）設(shè)P,。分別為（1）中四邊形4BCD的邊的中點(diǎn)，求證：直線2D,BC,PQ相交于同一點(diǎn).

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)4B=a,點(diǎn)2在射線4K上，過(guò)點(diǎn)A作4B=a；根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，得4B=BC=4C,

分別過(guò)點(diǎn)A、B,a為半徑畫圓弧，交點(diǎn)即為點(diǎn)C；再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)作CD,即可得到答案；

（2）設(shè)直線與4。相交于點(diǎn)S、直線PQ與2。相交于點(diǎn)S，，根據(jù)平行線和相似三角形的性質(zhì)，得券=蔡，

從而得S'D=S。，即可完成證明.

【詳解】（1）作圖如下：

四邊形ABC。是所求作的四邊形;

（2）設(shè)直線BC與4。相交于點(diǎn)S,

5⑸

,CDC//AB,

△SBASCD,

.SA_AB

',SD~~DC

設(shè)直線PQ與AD相交于點(diǎn)S，,

VP,。分別為AB,CD的中點(diǎn),

11

：.PA=-AB,QD=-DC

2y2

.PA_AB

"QD~DC

.S'A_SA

**SrD-SD'

?

??S'D+AD—SD+AD，

SrDSD

.AD_AD

,■S，D-SD，

：.S'D=SD,

.?.點(diǎn)S與S，重合，即三條直線4D,BC,PQ相交于同一點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握推理能力、空間觀念、化歸與轉(zhuǎn)化思想，從而完成求解.

【變式4-3］（2023?江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,點(diǎn)C為圓內(nèi)一點(diǎn)，4B為該圓的一條弦.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)C作直線/與48平行，分別交該圓于點(diǎn)D、E（點(diǎn)。在點(diǎn)E的左

側(cè)）；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）中，若4B與DE位于圓心異側(cè)，且4B=2,DE=4VI,若該圓的半徑為3,則該圓位于4B和DE之

間的圖形的面積為.（如需畫草圖，請(qǐng)使用試題中的圖2）

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；

（2）y+4V2.

【分析】（1）連接4C,再根據(jù)作一個(gè)角等于已知角即可；

（2）過(guò)圓心。作。P1DE于點(diǎn)P,延長(zhǎng)P。交AB于點(diǎn)Q,由4BIIDE貝I］可知。Q_LAB,由勾股定理和SSS,證明

△DP。三A0Q4即可，最后利用面積求法即可；

此題考查了無(wú)刻度直尺作圖，垂徑定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，扇形面積求法和勾股定理，熟練掌握

以上知識(shí)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)如圖,

①延長(zhǎng)4C,

②分別以4C為半徑，任意長(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M,N,G,

③以G為圓心，MN長(zhǎng)度為半徑畫弧，交弧于點(diǎn)H,

④連接CH,

.??直線I即為所求；

(2)過(guò)圓心。作。PIDE于點(diǎn)P,延長(zhǎng)P。交于點(diǎn)Q,

'：AB\\DE,

：.0Q1AB,

：.DP=PE=|DE=2V2,AQ=BQ=^AB=1,

在RtAOP。中，由勾股定理得：OP=y/OD2-PD2=J32一(2⑨之=i,

同理：0Q=2企，

在△0「。和40Q4中，

DP=0Q

PO=QA,

DO=OA

：.△DPOSAOQA(SSS),

:.乙PDO=404,

?.2PD0+ND0P=90°,

."40Q+ND0P=90°,

J.^LAOD=90°,同理NBOE=90。，

.??該圓位于AB和DE之間的圖形的面積為:

S扇形D04+$扇形BOE+S&DOE+S^AOB'

90nx32,90KX32,1人GKc

--------+---------+-x4V2x1+-x2V2x2,

36036022

W+2企+2/,

9nI-

=—+4V2

故答案為：y+4V2.

【題型5尺規(guī)作圖-作角平分線】

【例5】（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，乙48c=90。，^BAC=60°,以點(diǎn)/為圓心，以A3的

長(zhǎng)為半徑畫弧交4C于點(diǎn)O,連接8D,再分別以點(diǎn)B,。為圓心，大于18。的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,

作射線4P交BD于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)E,連接DE,則SABDE：SACDE的值是（）

A.1:2B.1:V3C.2:5D.3:8

【答案】A

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖可得，4E是N84C的平分線，可得NBAE=30。，由三角形內(nèi)角和定理可得NC=30。，

由等腰三角形性質(zhì)可得4E=CE,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BE=可推出EC=2BE,根據(jù)三角形面

積公式即可求解.

【詳解】解：由尺規(guī)作圖可得，AE是NB4C的平分線，

：.^BAE=ACAE=-ABAC=30°,

2

\9^ABC=90°,Z.BAC=60°,

AZC=30°,

：.AE=CE,

在RtUBE中，BE=^AE,

：.BE=^EC,即EC=2BE,

??S4BDE：S4CDE=1:2，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖，含30。角直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，30。角

所對(duì)直角邊長(zhǎng)度是斜邊的一半.

【變式5-1](2023?新疆?統(tǒng)考中考真題)如圖，在x軸，y軸上分別截取04OB,使。2=。8,再分別以點(diǎn)

A,B為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,2a—3),則a的值為.

八y

B_￥

-ohx

【答案】3

【分析】根據(jù)作圖方法可知點(diǎn)P在MOA的角平分線上，由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)2到X軸和y軸的距離相等，

結(jié)合點(diǎn)P在第一象限，可得關(guān)于a的方程，求解即可.

【詳解】解：?；。4=。8,分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,

二點(diǎn)P在NB04的角平分線上，

二點(diǎn)戶到%軸和y軸的距離相等，

又???點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,2a-3),

a=2a—3,

cz—3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的作法及其性質(zhì)在坐標(biāo)與圖形性質(zhì)問(wèn)題中的應(yīng)用，明確題中的作圖方法及角平

分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2](2023?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題)如圖，點(diǎn)E是矩形A8C0的邊BC上的一點(diǎn)，且=

(1)尺規(guī)作圖(請(qǐng)用2B鉛筆)：作ND4E的平分線4F,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R連接DF.(保留作圖痕跡，不

寫作法)；

(2)試判斷四邊形4EFD的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)四邊形4EFC是菱形，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出ACMF=^AFE,結(jié)合角平分線的定義可得凡4=AEAF,則4E=

EF,然后根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖所示：

(2)四邊形4EFD是菱形；

理由：：矩形4BGD中，ADWBC,

：.^DAF=^AFE,

?.?4尸平分立。4凡

：.^DAF=AEAF,

：.Z.EFA=Z.EAF,

：.AE=EF,

"：AE=AD,

：.AD=EF,

'：AD\\EF,

四邊形4EFD是平行四邊形，

JL'-"AE=AD,

，平行四邊形4EFD是菱形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的

判定以及菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（2023?四川巴中?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知等邊△ABC,ADJ.BC,E為AB中點(diǎn).以。為圓心,

適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交DE于點(diǎn)交DB于點(diǎn)、N,分別以M、N為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)

P,作射線交4B于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)E作EFIIBC交射線DP于點(diǎn)R連接BF、AF.

（2）若AC=4,求A4FD的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）373

【分析】（1）先證明ABED是等邊三角形，得到BE=BD=DE,再根據(jù)角平分線的定義得到NEDF=乙BDF,

證明AEFD是等腰三角形，即可證明EF=BD,即可解答本題；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AD,AG,再根據(jù)菱形的性質(zhì)，求得FC,即可求出A/IFD的面積.

【詳解】（1）證明：,??等邊A4BC,AD1BC

???。是BC中點(diǎn)，Z.ABC=NC=60°,

???E是4B中點(diǎn)，

???DEWAC

???乙EDB=NC=60°,

.?.△BED是等邊三角形

??.BE=BD=DE,

?.?由尺規(guī)作圖可知。F平分NEDB,

???Z-EDF=Z.FDB

???EFIIBC,

???Z-EFD=Z.FDB,

???Z-EFD=乙EDF,

.??EF—ED=BD,

???EFWBD,

???四邊形BDEF是平行四邊形，

???DE=BD,

：.四邊形BOEF是菱形；

（2）解：?.,等邊AABC,AD1BC,

1

??.ZC=60°f^ADC=90°,2.BAD=-^BAC=30°,

???AC=4

22百，

BD=-2A2B=-AC=2,AD=y/AB-BD=2

???四邊形BOE尸是菱形，

^AGLFDfFG=GD,

Rt△AGD,Z-BAD=30°,

DG=^AD=y/3,AG=>JAD2-DG2=3,

FD=2^3,

???SAAFD=Ix2V3x3=3V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，含有30。角的直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，作圖-角

平分線，熟知上述概念是解題的關(guān)鍵.

【題型6尺規(guī)作圖-作三角形】

[例6]（2023?山東濱州?統(tǒng)考中考真題）（1）已知線段?n,n,求作RtAABC,使得NC=90°,CX=m,CB=n；

（請(qǐng)用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法.）

（2）求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.（請(qǐng)借助上一小題所作圖形，在完善的基礎(chǔ)上，寫

出已知、求證與證明.）

m

n

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）作射線4P,在AP上截取AC=M,過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線MN,在CN上截取CB=n,連接4B,則

RtAABC,即為所求；

（2）先根據(jù)題意畫出圖形，再證明.延長(zhǎng)CD至E使CD=DE,連接4E、BE,因?yàn)椤Ｊ?B的中點(diǎn)，所以AD=BD,

因?yàn)镃D=OE,所以四邊形4CBE是平行四邊形，因?yàn)橐?c8=90。，所以四邊形4CBE是矩形，根據(jù)矩形的

性質(zhì)可得出結(jié)論.

【詳解】（1）如圖所示，RtA48C即為所求；

（2）已知：如圖，為RtA4BC中斜邊4B上的中線，乙4cB=90。,

求證：CD^\AB.

證明：延長(zhǎng)CD并截取DE=CD.

為AB邊中線，：.BD=AD,

四邊形“BE為平行四邊形.

；4ACB=90°,

平行四邊形ZCBE為矩形，

：.AB=CE=2CD,

：.CD=-AB

2

【點(diǎn)睛】本題考查了作直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線,

構(gòu)造出矩形，利用矩形的性質(zhì)解答.

【變式6-1］（2023?安徽合肥?統(tǒng)考二模）知：A、B為直線/上兩點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)完成以下作圖（不寫作法，保

留作圖痕跡）；

~~ABI

⑴任作一個(gè)AABP,使P4=P8；

（2）作AABQ,使4Q=BQ,且乙4QB=120°.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）作線段的垂直平分線，即可求解；

（2）先作等邊三角形A2P,再作出NAPB和N54P的角平分線交于點(diǎn)。即可求解.

【詳解】（D解：如圖，A4BP即為所求；

理由：根據(jù)作圖得：PC平分/APB,AP=AB,PB=AB,4。平分/&4尸,

：.AP=AB=PB,

...△ABP為等邊三角形，ZBAQ=ZABQ,

：.ZBAP=60°,PC垂直平分AB,

：.AQ=BQ,

?；4。平分/區(qū)4尸，

/.ZBAQ=ZABQ=30°,

：.ZAQB=120°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作已知線段的垂直平分線，作已知角的平分線，作三角形，熟練掌握

尺規(guī)作圖的方法以及線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2］（2023?北京??？寄M預(yù)測(cè)）已知：ZMON,A為射線ON上一點(diǎn).

求作：AAOB,使得點(diǎn)B在射線OM上，^BAO=~^M0N.

作法：①以點(diǎn)。為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)死交射線ON的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；

②以E為圓心，AP長(zhǎng)為半徑畫弧，交弧斯于點(diǎn)尸；

③連接AP,交射線OM于點(diǎn)

所以△40B就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明：

證明：連接EP,AF,OP,

?.,點(diǎn)A,E,P在。。上，

：.^PAE=^POE.（）（填寫推理的依據(jù)）

?.,在。。中，PE=AF,

."MON=.（）（填寫推理的依據(jù)）

1

：.^BAO=-^M0N.

2

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半；乙POE；在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓

心角相等

【分析】（1）根據(jù)題意即可作出圖；

（2）根據(jù)圓周角定理及弦、弧、圓心角之間的關(guān)系即可解答.

【詳解】（1）解：作圖如下：

?.,點(diǎn)A,E,P在。。上，

：.^PAE=^POE.（同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半）

,在。。中，PE=4F,

，乙MON=4P0E.（在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓心角相等）

1

Z.BAO=-/.MON.

2

故答案為：同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半；NPOE；在同圓或等圓中，相等的弦

所對(duì)的圓心角相等.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及弦、弧、圓心角之間的關(guān)系，準(zhǔn)確作出圖是解決本題的關(guān)鍵.

【變式6-3］（2023?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接B4,PB,PC,將△

繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ODB,其中點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Q.

A

(1)請(qǐng)畫出AQDB(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)若4B=2,求P4+PB+PC的最小值.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)2百

【分析】(1)以點(diǎn)B與點(diǎn)P為圓心，以BP長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)Q,同理，以點(diǎn)B與點(diǎn)4為圓心，以84長(zhǎng)

為半徑畫弧，交于點(diǎn)D,連接BC,BQ,DQ,則△QDB為所求三角形；

(2)過(guò)點(diǎn)。作BC的垂線，垂足為E,連接尸Q,CD,由題可知APABmAQOB,即可證得APBQ是等邊三

角形，根據(jù)△ABC是等邊三角形，即可得到BE、CE的長(zhǎng)，繼而根據(jù)勾股定理求得OE、的長(zhǎng)，于是根據(jù)

由兩點(diǎn)之間，線段最短可得DQ+QP+PC2C。，故當(dāng)C,P,Q,。四點(diǎn)共線時(shí)，即可得到P4+PB+PC的

最小值.

【詳解】(1)解：

如圖所示，AQDB即為所求作的三角形.

(2)解：過(guò)點(diǎn)。作BC的垂線，垂足為E,連接P。，CD,

，乙BED=90°.

???△R4B繞點(diǎn)5逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△QDB,其中點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Q,

??.△PAB=△QDB,乙ABD=乙PBQ=60°,

：.PA=DQ,PB=QB,BD=AB=2,

??.△PBQ是等邊三角形，

：.PB=QP.

:△ABC是等邊三角形，

A/.ABC=60°,BC=AB=2.

V/.ABC+/.ABD+乙DBE=180°,

J.LDBE=60°,：.Z.BDE=30°,

i

：.BE=-BD=1,：.CE=BC+BE3.

2

在Rt△BDE中，DE=<BD2-BE2=V3.

在Rt△CDE中，CD=VCE2+DE2=2后

由兩點(diǎn)之間，線段最短可得OQ+QP+PC>CD,

當(dāng)且僅當(dāng)C,P,Q,。四點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

DQ+QP+PC>2V3,即P4+PB+PC>2V3,

：.PA+PB+PC的最小值是2百.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，尺規(guī)作三角形，掌握相關(guān)性質(zhì)以

及定理是解題的關(guān)鍵.

【題型7尺規(guī)作圖-作三角形的中線與高】

【例7】（2023?陜西西安??？家荒＃┤鐖D，在AABC中，ABAC=120°,AB=AC.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在BC

邊上求作點(diǎn)。，使an=|BD.（保留作圖痕跡，不寫作法）

A

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查了作垂線，等腰三角形的性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握含30。的直角三角

形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)A作4D14B交BC于點(diǎn)D,先利用等腰三角形的性質(zhì)求出NB=30°,然后利

用含30。的直角三角形的性質(zhì)即可判斷=|SO.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)。即為所求，

理由：由作圖，知

'：AB=AC,^BAC=120°,

：.AD=-BD.

2

【變式7-1]（2023?廣西貴港?統(tǒng)考一模）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）

如圖，已知/a和線段。、b

求作：（1）AABC,使NA=Na,AB^a,AC=b.

（2）在（1）的條件下，作AB邊上的中線CD

【答案】（1）如圖，△ABC為所作；見(jiàn)解析；（2）如圖，C。為所作；見(jiàn)解析.

【分析】（1）先作/BAC=/a,然后分別截取AC=b,從而得到△ABC；

（2）作AB的中垂線得到AB的中點(diǎn)，從而得到中線CO.

【詳解】（1）如圖，AABC為所作；

（2）如圖，C。為所作.

的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)

雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

【變式7-2](2023?廣西貴港?統(tǒng)考三模)如圖，在AABC中，AABC=^BAC=30°,^ADC=90°.

(1)用尺規(guī)作圖過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

(2)求證：AD=AE.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析

(2)詳見(jiàn)解析

【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫圖.

(1)根據(jù)尺規(guī)作圖過(guò)點(diǎn)4作的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E即可；

(2)根據(jù)N4BC=ABAC=30°,AADC=90°,即可證明：AD=AE.

【詳解】(1)解：如圖，過(guò)點(diǎn)4作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)邑

4E即為所求；

A

(2)9：/,ABC=ABAC=30°,

???乙ACE=60。，

???/,ADC=90°/zXEC=90。，

??.Z,EAC=30。，

???Z.DAC=Z-EAC,

Z.ADC=Z.AEC,AC=AC,

'.AADC三△ZEC(AAS),

AAD=AE.

【變式7-3](2023?重慶沙坪壩?重慶一中?？级?如圖，在矩形2BCD中，DF平分N4DC交BC于點(diǎn)F,連

(1)用尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)尸作4F的垂線，交CD于點(diǎn)E；(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)小明同學(xué)準(zhǔn)備在(1)問(wèn)所作的圖形中，求證8F=CE.他的證明思路是：利用矩形和角平分線的性質(zhì),

證明三角形全等解決問(wèn)題.請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下列填空.

證明：；四邊形ABCO是矩形

：.AD\\BC,

：.^ADF=乙DFC

：.^LADF=乙CDF

乙DFC=乙CDF

9：AB=CD

：.AB=FC

'：AF1EF

：.^AFE=90°

：.^AFB+AEFC=90°

???在A/BF中，48=90。

???乙BAF=(EFC

在△ABF和△FCE中

(=Z.C

V^BAF=乙EFC

AABF=AFC￡(ASA)

：.BF=CE

【答案】(1)見(jiàn)解析；

(2)@AB\\CD,②CD=CF,?AAFB+^BAF=90°,?AB=FC

【分析】（1）根據(jù)過(guò)直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線的作法作圖即可;

（2）根據(jù)AAS證明三角形全等，再根據(jù)全等的性質(zhì)證明.

【詳解】（D解：如圖：EF好戲?yàn)樗?

（2）證明：???四邊形4BCD是矩形

???ADWBC,

???Z-ADF=Z-DFC,

???。尸平分ZJ1DC,

???Z-ADF=乙CDF,

???Z-DFC=乙CDF,

???CD=CF,

?:AB=CD,

???AB=FC,

vAF1EF,

???Z,AFE=90°,

???^AFB+乙EFC=90°,

在尸中，乙B=90°,

^AFB+乙BAF=90°,

■,1Z.BAF=Z.EFC,

在△48尸和4FCE中，

乙B=AC

AB=FC,

./-BAF=乙EFC

???△ABF三AFCE(ASA),

ABF=CE.

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確地作出圖

形是解題的關(guān)鍵.

【題型8尺規(guī)作圖-作垂直平分線】

【例8】(2023?福建福州.福建省福州第十六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))如圖，乙4BC中，乙4cB=90。，點(diǎn)。為CB邊

上一點(diǎn).

(1)求作四邊形4DBE,使得四邊形4DBE是菱形(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)；

(2)4B與。E的交點(diǎn)為。，連結(jié)OC,若4E=5,cos^DBE=|,求。C的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析;

(2)275.

【分析】(1)如圖所示，①作線段4B的垂直平分線，交CB于點(diǎn)D；②以點(diǎn)3為圓心，以BD為半徑畫弧，

交垂直平分線于點(diǎn)E；即得所求.

(2)過(guò)點(diǎn)E作EF1BC于點(diǎn)足由菱形得，AE\IBC,AE=BE=5,可證四邊形4CFE是矩形，解RtABEF得

BF=3,EF=4,由勾股定理AB=7AC?+BC2=4圾,由斜邊中線定理，得。C==2b.

【詳解】(1)解：如圖所示，①作線段ZB的垂直平分線，交CB于點(diǎn)D；

②以點(diǎn)2為圓心，以B0為半徑畫弧，交垂直平分線于點(diǎn)E；

③連接4。，AE,BE,即得所求.

(2)過(guò)點(diǎn)E作EF1BC于點(diǎn)F,

V四邊形2DBE是菱形，

：.AE\\BC,AE=BE=5,

^ACB=90°,

.??四邊形4CFE是矩形，

：.CF=AE=5,

在RtABEF中，：COSNDBE=|,

.BF_3

*一g，

ABF=3,

：.EF=AC=4,

：.BC=CF+BO=5+3=8,

：.AB=y/AC2+BC2=V42+82=4心

???乙4cB=90。，。是的中點(diǎn)，

：.OC=-AB=2V5,

2

;.oc的長(zhǎng)為2遍.

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形；構(gòu)造直角三角形求解線段是

解題的關(guān)鍵.

【變式8-1]（2023?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）已知平行四邊形4BCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O